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# Resolução da [Lista 3](https://drive.google.com/file/d/11EVnUCFLDsAWBr3CKzHrrxE9ZWtppUSw/view?usp=drive_web&authuser=0) da disciplina de Matemática Discreta
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> Feita por Guilherme de Abreu Barreto[^1]
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## Teoria dos Conjuntos
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### Exercício 1
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**(a)** O conjunto dos planetas no Sistema Solar;
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**(b)** O conjunto dos Estados Federativos da República do Brasil.
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**(c)** O conjunto dos números naturais pares;
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**(d)** O conjunto de potências de 2 para qualquer expoente ${x \in \N : x \ge 1}$;
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**(e)** O conjunto dos números primos.
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### Exercício 2
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$A \cap B \cap C$: o conjunto das argentinas residentes no Brasil;
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$B \backslash A$: o conjunto dos residentes no Brasil que não são argentinos;
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$C \backslash A$: o conjunto das mulheres no mundo que não são argentinas;
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$C \backslash B$: o conjunto das mulheres no mundo que não residem no Brasil;
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$B \backslash C$: o conjunto de residentes homens no Brasil.
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### Exercício 3
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$$
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\begin{matrix}
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\{\} & \{a\} & \{b\} & \{c\} \\
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\{d\} & \{a,b\} & \{a,c\} & \{a,d\} \\
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\{b,c\} & \{b,d\} & \{c,d\} & \{a,b,c\} \\
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\{a,b,d\} & \{a,c,d\} & \{b,c,d\} & \{a,b,c,d\}
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\end{matrix}
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$$
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### Exercício 4
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$$
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\binom 52 = \frac{5!}{2!(5 - 2)!} = 10
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$$
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### Exercício 5
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A relação de contingência é transitiva. Então se A está contido em B, e B está contido em C, A está contido em C. Tal qual ilustra a seguinte imagem (em ordem reversa):
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<img src="file:///home/user/Public/USP/Sistemas%20de%20Informação/2º%20semestre/Matemática%20Discreta%20I/Lista%203/Imagens/2021-10-27-18-24-07-image.png" title="" alt="" data-align="center">
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### Exercício 6
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Se $A$ está contido em $B$, então a união de $A$ com $C$ está contida pela união de $B$ com $C$. De fato, o seguinte diagrama de Venn demonstra esta proposição:
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| A, B, C | B ∪ C | B ∪ C ⊆ A ∪ C |
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|:------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|:------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|:------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|
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### Exercício 7
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Um dado conjunto A é subconjunto de um conjunto B se A está **contido** em B, isto é, todos os elementos de A também são elementos de B. Os elementos de A e B podendo mesmo coincidir.
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Segue desta definição de subconjunto que o conjunto vazio é contido por todos os conjuntos, pois todos os conjuntos existentes contém os elementos que compõem o conjunto vazio, isto é, nenhum (todos tem nada e mais algo). Ainda, mesmo o conjunto vazio contém todos os elementos que constituem... o conjunto vazio, e portanto também o contém.
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### Exercício 8
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Uma vez que $A\backslash B = A \cap \overline B$, temos:
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$(A \backslash B) \cup (B \backslash A)
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= (A \cap \overline B) \cup (B \cap \overline A) = \underbrace{[(A \cap \overline B) \cup B] \cap [(A \cap \overline B) \cup \overline A]}_{\text{Distributiva}} \\ = [(A \cup B) \cap (\overline B \cup B)] \cap [(A \cup \overline A) \cap (\overline B \cup \overline A)] = [(A \cup B) \cap \Omega] \cap [\Omega \cap (\overline B \cup \overline A)]\\ = (A \cup B) \cap (\overline B \cup \overline A) = (A \cup B) \cap \underbrace{(\overline{A \cap B})}_{\text{De Morgan}} = (A \cup B) \backslash (A \cap B)\,\blacksquare$
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### Exercício 9
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#### Associatividade na intersecção
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| $B \cap C$ | $A \cap (B \cap C)$ |
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|:------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|:-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|
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| $A \cap B$ | $(A \cap B) \cap C$ |
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#### Associatividade na união
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| $B \cup C$ | $A \cup (B \cup C)$ |
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|:------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|:------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|
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| $A \cup B$ | $(A \cup B) \cup C$ |
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### Exercício 10
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#### Distributividade da intersecção na união
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| $B \cup C$ | $A \cap (B \cup C)$ |
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|:-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|:------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|
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| $A \cap B$ | $A \cap C$ | $(A \cap B) \cup (A \cap C)$ |
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|:------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|:------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|:-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|
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| $A \cup B$ | $A \cup C$ | $(A \cup B) \cap (A \cup C)$ |
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|:-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|:------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|:------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|
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### Exercício 11
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#### Complemento da intersecção
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| $A \cap B$ | $\overline{A \cap B}$ |
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|:----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|:------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|
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|  | <img src="file:///home/user/Public/USP/Sistemas%20de%20Informação/2º%20semestre/Matemática%20Discreta%20I/Lista%203/Imagens/6a0ef6868c5af59f3618ee4e6d3999b1f751901a.png" title="" alt="" width="212"> |
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| $\overline A$ | $\overline B$ | $\overline A \cup \overline B$ |
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|:---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|:------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|:------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|
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|  |  | <img src="file:///home/user/Public/USP/Sistemas%20de%20Informação/2º%20semestre/Matemática%20Discreta%20I/Lista%203/Imagens/6a0ef6868c5af59f3618ee4e6d3999b1f751901a.png" title="" alt="" width="208"> |
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#### Complemento da união
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| $A \cup B$ | $\overline{A \cup B}$ |
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|:----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|:------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|
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|  | <img src="file:///home/user/Public/USP/Sistemas%20de%20Informação/2º%20semestre/Matemática%20Discreta%20I/Lista%203/Imagens/ddf5127e24e7bac0516564851879785171dbe2a5.png" title="" alt="" width="212"> |
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| $\overline A$ | $\overline B$ | $\overline A \cap \overline B$ |
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|:----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|:-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|:------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|
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|  |  | <img src="file:///home/user/Public/USP/Sistemas%20de%20Informação/2º%20semestre/Matemática%20Discreta%20I/Lista%203/Imagens/ddf5127e24e7bac0516564851879785171dbe2a5.png" title="" alt="" width="206"> |
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### Exercício 12
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**a.** $A\Delta B = \{0,1,2,3,7,8,9\}$;
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**b.** $B \Delta C = \{1, 3, 4, 6, 8\}$;
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**c.** $B \Delta D = \{2,3,4,6,9\}; A \cap (B \Delta D) = \{2,3,4,6\}$
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**d.** $A \cap B = \{4,5,6\}; A \cap D = \{2,3,5\}; (A \cap B) \Delta (A\cap D) = \{2,3,4,6\}$
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### Exercício 13
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| $A \Delta B$ | $C$ | $A \Delta B \Delta C$ |
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|:------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|:------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|:------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|
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### Exercício 14
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**a.** $A \oplus B = (A\backslash B) \cup (B \backslash A) = (B \backslash A) \cup (A\backslash B) = B \oplus A$
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**b.** $A \oplus B = (A\backslash B) \cup (B \backslash A) = (\overline B\backslash \overline A) \cup (\overline A \backslash \overline B) = (\overline A \backslash \overline B) \cup (\overline B\backslash \overline A) = \overline A \oplus \overline B$
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**c.** $A \oplus \varnothing = (A \backslash \varnothing) \cup (\varnothing \backslash A) = A \cup \varnothing = A$
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**d.** $A \oplus A = (A\backslash A) \cup (A\backslash A) = \varnothing \cup \varnothing = \varnothing$
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**e.** $A * A = A \cap A = A$
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**f.** $A \oplus (B \oplus C) = A \oplus B \oplus C = (A \oplus B) \oplus C$
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**g.** $A \oplus B = A \oplus C \implies (A \oplus B) \cap \overline A = (A \oplus C) \cap \overline A \implies (B \backslash A) = (C \backslash A)$
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Pela definição de diferença, tem-se que $B\backslash A = \{x : (x \in B) \land (x \not \in A) \}$, e $C\backslash A = {x : (x \in C) \land (x \not \in A) }$. Ora, se $B\backslash A$ equivale a dizer que um elemento está em $C$ mas não em $A$ ($C\backslash A$), então $B = C$.
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**h.** $A * (B \oplus C) = A \cap (B \oplus C) = \underbrace{(A \cap B) \oplus (A \cap C)}_{\text{Distributividade na intersecção}} = (A * B) \oplus (A * C)$
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Propriedade esta da distributividade demonstrada no exercício 10.
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### Exercício 15
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**a.** Cada subconjunto a integrar o produto fundamental pode assumir 2 formas distintas: $A_i$ ou $\overline A_i$. Assim sendo, conforme a análise combinatória, para $n$ subconjuntos existem $2_1 \times 2_2 \times \dots \times 2_n = 2^n$ possibilidades distintas de produto fundamental.
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**b.** Segue da formulação anterior que, para cada par $J$ e $K$ de produto fundamental existe pelo menos um conjunto $\overline A_i$ ($1 \le i \le n$) em $J$ que é complementar ao conjunto $A_i$ em $K$. Isto é, dado um elemento $x$ qualquer tem-se:
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$$
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\{x : (x \in A_i)\ \underline \lor\ (x \in \overline A_i)\}
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$$
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Onde $\underline \lor$ é o "ou exclusivo". Como $J = \{x : x \in (A_1 \cap \dots \cap A_i \cap \dots \cap A_n)\}$, $K = \{x : x \in (A_1 \cap \dots \cap \overline A_i \cap \dots \cap A_n)\}$ e a definição de intersecção para quaisquer conjuntos $A$ e $B$ é $A \cap B = \{x : (x \in A) \land (x \in B)\}$, não à elemento em $J$ que também pertença à $K$. Estes conjuntos são, portanto, **disjuntos** entre si.
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**c.** O conjunto Universo $\Omega$ é aquele que engloba a todos os elementos que pertencem à qualquer conjunto. Consideremos o par de conjuntos $J$ e $K$ anterior. Um elemento $x$ que pertence a $J$ não pertence a $K$ e vice-versa, não obstante este pertence a algum conjunto e portanto pertence também ao conjunto Universo. Pela definição de produto fundamental, podemos extrapolar essa relação para qualquer número $n$ de conjuntos de produto fundamental. Assim, qualquer elemento $x$ é tal que pertence a um produto fundamental, não pertence aos $(n - 1)$ demais, e pertence ao conjunto Universo.
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Como todos os elementos $x$ são assim compreendidos pelo conjunto Universo, pela definição de subconjunto dada no exercício 6, todo produto fundamental é subconjunto do conjunto Universo e, por conseguinte, o conjunto Universo unifica todos os produtos fundamentais.
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## Exercício 16
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Um subconjunto $X$ de $S$ é tal que possui $i$ elementos, $0 \le i \le n$, deste último. Ou seja, para cada elemento de $S$ existem 2 possibilidades: estar ou não em $X$. Assim sendo, conforme a análise combinatória, para $n$ elementos existem $2_1 \times 2_2 \times \dots \times 2_n = 2^n$ possíveis subconjuntos.
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Tal qual fizemos no exercício 4, podemos quantificar o número de subconjuntos a conter $m$ elementos pela seguinte relação binominal:
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$$
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\binom nm = \frac{n!}{m!(n - m)!}
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$$
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### Exercício 17
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<img src="file:///home/user/Public/USP/Sistemas%20de%20Informação/2º%20semestre/Matemática%20Discreta%20I/Lista%203/Imagens/2021-10-29-12-49-06-image.png" title="" alt="" data-align="center">
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A relação dada pelo enunciado trata-se do *Princípio de Inclusão e Exclusão*.
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$$
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|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|
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$$
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De fato, ao contarmos o número de elementos em $|A \cup B|$ pela soma dos elementos em $|A| + |B|$, necessitamos também subtrair o número de elementos em $|A \cap B|$ de forma a evitar que estes sejam contabilizados duas vezes.
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### Exercício 18
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Uma forma mais geral do Princípio de Inclusão Exclusão pode ser expressa como:
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$$
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\left | \bigcup^n_{i = 1} A_i \right | = \sum^n_{i = 1} |A_i|
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- \sum^{n - 1}_{i = 1}\sum^n_{j = i + 1} | A_i \cap A_j |
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+ (-1)^{n - 1} \left | \bigcap^n_{i = 1} A_i \right |
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$$
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Assim, temos que
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$|A \cup B \cup C| = (|A| + |B| + |C|) - (|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|) + |A \cap B \cap C|$
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Enquanto
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$|A \cup B \cup C \cup D| = (|A| + |B| + |C| + |D|) - (|A \cap B| + |A \cap C| + |A \cap D| \\ + |B \cap C| + |B \cap D| + |C \cap D|) - |A \cap B \cap C \cap D|$
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### Exercício 19
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Para qualquer elemento $x$, se $x$ está contido em $A$ este
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- está contido em um subconjunto de $P(A)$
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- não está contido em $B$ ou um subconjunto de $P(B)$
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e vice-versa. Isso pois $A$ e $B$ tratam-se de conjuntos **disjuntos**. Assim sendo,
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- $P(A) \cap P(B) = A \cap B = \varnothing$
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- $P(A) \cup P(B) \subseteq A \cup B$
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### Exercício 20
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Observe o seguinte gráfico:
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```vega-lite
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{
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"$schema": "https://vega.github.io/schema/vega/v5.json",
|
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|
|
"description": "A basic stacked bar chart example.",
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|
|
"width": 500,
|
|||
|
|
"height": 200,
|
|||
|
|
"padding": 5,
|
|||
|
|
|
|||
|
|
"data": [
|
|||
|
|
{
|
|||
|
|
"name": "table",
|
|||
|
|
"values": [
|
|||
|
|
{"x": "São religiosos", "y": 79, "c": 0}, {"x": "São religiosos", "y": 21, "c": 1},
|
|||
|
|
{"x": "Fizeram compras online", "y": 26, "c": 0}, {"x": "Fizeram compras online", "y": 74, "c": 1}
|
|||
|
|
],
|
|||
|
|
"transform": [
|
|||
|
|
{
|
|||
|
|
"type": "stack",
|
|||
|
|
"groupby": ["x"],
|
|||
|
|
"sort": {"field": "c"},
|
|||
|
|
"field": "y"
|
|||
|
|
}
|
|||
|
|
]
|
|||
|
|
}
|
|||
|
|
],
|
|||
|
|
|
|||
|
|
"scales": [
|
|||
|
|
{
|
|||
|
|
"name": "x",
|
|||
|
|
"type": "band",
|
|||
|
|
"range": "width",
|
|||
|
|
"domain": {"data": "table", "field": "x"}
|
|||
|
|
},
|
|||
|
|
{
|
|||
|
|
"name": "y",
|
|||
|
|
"type": "linear",
|
|||
|
|
"range": "height",
|
|||
|
|
"nice": true, "zero": true,
|
|||
|
|
"domain": {"data": "table", "field": "y1"}
|
|||
|
|
},
|
|||
|
|
{
|
|||
|
|
"name": "color",
|
|||
|
|
"type": "ordinal",
|
|||
|
|
"range": "category",
|
|||
|
|
"domain": {"data": "table", "field": "c"}
|
|||
|
|
}
|
|||
|
|
],
|
|||
|
|
|
|||
|
|
"axes": [
|
|||
|
|
{"orient": "bottom", "scale": "x", "zindex": 1},
|
|||
|
|
{"orient": "left", "scale": "y", "zindex": 1}
|
|||
|
|
],
|
|||
|
|
|
|||
|
|
"marks": [
|
|||
|
|
{
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|||
|
|
"type": "rect",
|
|||
|
|
"from": {"data": "table"},
|
|||
|
|
"encode": {
|
|||
|
|
"enter": {
|
|||
|
|
"x": {"scale": "x", "field": "x"},
|
|||
|
|
"width": {"scale": "x", "band": 1, "offset": -1},
|
|||
|
|
"y": {"scale": "y", "field": "y0"},
|
|||
|
|
"y2": {"scale": "y", "field": "y1"},
|
|||
|
|
"fill": {"scale": "color", "field": "c"}
|
|||
|
|
},
|
|||
|
|
"update": {
|
|||
|
|
"fillOpacity": {"value": 1}
|
|||
|
|
},
|
|||
|
|
"hover": {
|
|||
|
|
"fillOpacity": {"value": 0.5}
|
|||
|
|
}
|
|||
|
|
}
|
|||
|
|
}
|
|||
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]
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}
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```
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Se admitirmos que o maior número possível de pessoas não religiosas e que nunca fizeram uma compra online, temos que no mínimo o número de pessoas religiosas que nunca fizeram compras é $[100 - (26 + 21)]\% = 53\%$ da população. Por outro lado,
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```vega-lite
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{
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|
"$schema": "https://vega.github.io/schema/vega/v5.json",
|
|||
|
|
"description": "A basic stacked bar chart example.",
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|||
|
|
"width": 500,
|
|||
|
|
"height": 200,
|
|||
|
|
"padding": 5,
|
|||
|
|
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|
"data": [
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{
|
|||
|
|
"name": "table",
|
|||
|
|
"values": [
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|
{"x": "São religiosos", "y": 79, "c": 0}, {"x": "São religiosos", "y": 21, "c": 1},
|
|||
|
|
{"x": "Não fizeram compras online", "y": 74, "c": 0}, {"x": "Não fizeram compras online", "y":26, "c": 1}
|
|||
|
|
],
|
|||
|
|
"transform": [
|
|||
|
|
{
|
|||
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|
"type": "stack",
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|||
|
|
"groupby": ["x"],
|
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|
|
"sort": {"field": "c"},
|
|||
|
|
"field": "y"
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|||
|
|
}
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|||
|
|
]
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|
}
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|
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],
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|
"scales": [
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|
{
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"name": "x",
|
|||
|
|
"type": "band",
|
|||
|
|
"range": "width",
|
|||
|
|
"domain": {"data": "table", "field": "x"}
|
|||
|
|
},
|
|||
|
|
{
|
|||
|
|
"name": "y",
|
|||
|
|
"type": "linear",
|
|||
|
|
"range": "height",
|
|||
|
|
"nice": true, "zero": true,
|
|||
|
|
"domain": {"data": "table", "field": "y1"}
|
|||
|
|
},
|
|||
|
|
{
|
|||
|
|
"name": "color",
|
|||
|
|
"type": "ordinal",
|
|||
|
|
"range": "category",
|
|||
|
|
"domain": {"data": "table", "field": "c"}
|
|||
|
|
}
|
|||
|
|
],
|
|||
|
|
|
|||
|
|
"axes": [
|
|||
|
|
{"orient": "bottom", "scale": "x", "zindex": 1},
|
|||
|
|
{"orient": "left", "scale": "y", "zindex": 1}
|
|||
|
|
],
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|
|
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|
"marks": [
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|
|
{
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|
|
"type": "rect",
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|
"from": {"data": "table"},
|
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|
|
"encode": {
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|
|
"enter": {
|
|||
|
|
"x": {"scale": "x", "field": "x"},
|
|||
|
|
"width": {"scale": "x", "band": 1, "offset": -1},
|
|||
|
|
"y": {"scale": "y", "field": "y0"},
|
|||
|
|
"y2": {"scale": "y", "field": "y1"},
|
|||
|
|
"fill": {"scale": "color", "field": "c"}
|
|||
|
|
},
|
|||
|
|
"update": {
|
|||
|
|
"fillOpacity": {"value": 1}
|
|||
|
|
},
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|
|
"hover": {
|
|||
|
|
"fillOpacity": {"value": 0.5}
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|||
|
|
}
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|
}
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|
}
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}
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Se admitirmos que a correspondência entre pessoas religiosas e que não fizeram compras online é máxima, teremos que todos que não fizeram compras online, $74\%$ da população, são religiosos.
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Por isso esse índice nunca é igual ou inferior à 50% da população.
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### Exercício 21
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Todos aqueles múltiplos de $2 \times 3 = 6$ e $2 \times 5 = 10$, descontados aqueles múltiplos de $2 \times 3 \times 5 = 30$. Ou seja, o quociente de $100 / 6$ mais o quociente de $100 / 10$ menos o quociente de $100 / 30$, o que resulta em $16 + 10 - 3 = 23$.
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[^1]: nUSP: 12543033; Turma 04
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