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Resolução da Lista 3 da disciplina de Matemática Discreta
Feita por Guilherme de Abreu Barreto1
Teoria dos Conjuntos
Exercício 1
(a) O conjunto dos planetas no Sistema Solar;
(b) O conjunto dos Estados Federativos da República do Brasil.
(c) O conjunto dos números naturais pares;
(d) O conjunto de potências de 2 para qualquer expoente {x \in \N : x \ge 1};
(e) O conjunto dos números primos.
Exercício 2
A \cap B \cap C: o conjunto das argentinas residentes no Brasil;
B \backslash A: o conjunto dos residentes no Brasil que não são argentinos;
C \backslash A: o conjunto das mulheres no mundo que não são argentinas;
C \backslash B: o conjunto das mulheres no mundo que não residem no Brasil;
B \backslash C: o conjunto de residentes homens no Brasil.
Exercício 3
\begin{matrix}
\{\} & \{a\} & \{b\} & \{c\} \\
\{d\} & \{a,b\} & \{a,c\} & \{a,d\} \\
\{b,c\} & \{b,d\} & \{c,d\} & \{a,b,c\} \\
\{a,b,d\} & \{a,c,d\} & \{b,c,d\} & \{a,b,c,d\}
\end{matrix}
Exercício 4
\binom 52 = \frac{5!}{2!(5 - 2)!} = 10
Exercício 5
A relação de contingência é transitiva. Então se A está contido em B, e B está contido em C, A está contido em C. Tal qual ilustra a seguinte imagem (em ordem reversa):
Exercício 6
Se A está contido em B, então a união de A com C está contida pela união de B com C. De fato, o seguinte diagrama de Venn demonstra esta proposição:
| A, B, C | B ∪ C | B ∪ C ⊆ A ∪ C |
|---|---|---|
 |
 |
 |
Exercício 7
Um dado conjunto A é subconjunto de um conjunto B se A está contido em B, isto é, todos os elementos de A também são elementos de B. Os elementos de A e B podendo mesmo coincidir.
Segue desta definição de subconjunto que o conjunto vazio é contido por todos os conjuntos, pois todos os conjuntos existentes contém os elementos que compõem o conjunto vazio, isto é, nenhum (todos tem nada e mais algo). Ainda, mesmo o conjunto vazio contém todos os elementos que constituem... o conjunto vazio, e portanto também o contém.
Exercício 8
Uma vez que A\backslash B = A \cap \overline B, temos:
$(A \backslash B) \cup (B \backslash A) = (A \cap \overline B) \cup (B \cap \overline A) = \underbrace{[(A \cap \overline B) \cup B] \cap [(A \cap \overline B) \cup \overline A]}{\text{Distributiva}} \ = [(A \cup B) \cap (\overline B \cup B)] \cap [(A \cup \overline A) \cap (\overline B \cup \overline A)] = [(A \cup B) \cap \Omega] \cap [\Omega \cap (\overline B \cup \overline A)]\ = (A \cup B) \cap (\overline B \cup \overline A) = (A \cup B) \cap \underbrace{(\overline{A \cap B})}{\text{De Morgan}} = (A \cup B) \backslash (A \cap B),\blacksquare$
Exercício 9
Associatividade na intersecção
B \cap C |
A \cap (B \cap C) |
|---|---|
 |
 |
A \cap B |
(A \cap B) \cap C |
 |
 |
Associatividade na união
B \cup C |
A \cup (B \cup C) |
|---|---|
 |
 |
A \cup B |
(A \cup B) \cup C |
 |
|
Exercício 10
Distributividade da intersecção na união
B \cup C |
A \cap (B \cup C) |
|---|---|
 |
 |
A \cap B |
A \cap C |
(A \cap B) \cup (A \cap C) |
|---|---|---|
|
 |
 |
A \cup B |
A \cup C |
(A \cup B) \cap (A \cup C) |
|---|---|---|
 |
 |
 |
Exercício 11
Complemento da intersecção
A \cap B |
\overline{A \cap B} |
|---|---|
 |
 |
\overline A |
\overline B |
\overline A \cup \overline B |
|---|---|---|
 |
 |
|
Complemento da união
A \cup B |
\overline{A \cup B} |
|---|---|
 |
 |
\overline A |
\overline B |
\overline A \cap \overline B |
|---|---|---|
 |
 |
|
Exercício 12
a. A\Delta B = \{0,1,2,3,7,8,9\};
b. B \Delta C = \{1, 3, 4, 6, 8\};
c. B \Delta D = \{2,3,4,6,9\}; A \cap (B \Delta D) = \{2,3,4,6\}
d. A \cap B = \{4,5,6\}; A \cap D = \{2,3,5\}; (A \cap B) \Delta (A\cap D) = \{2,3,4,6\}
Exercício 13
A \Delta B |
C |
A \Delta B \Delta C |
|---|---|---|
 |
 |
 |
Exercício 14
a. A \oplus B = (A\backslash B) \cup (B \backslash A) = (B \backslash A) \cup (A\backslash B) = B \oplus A
b. A \oplus B = (A\backslash B) \cup (B \backslash A) = (\overline B\backslash \overline A) \cup (\overline A \backslash \overline B) = (\overline A \backslash \overline B) \cup (\overline B\backslash \overline A) = \overline A \oplus \overline B
c. A \oplus \varnothing = (A \backslash \varnothing) \cup (\varnothing \backslash A) = A \cup \varnothing = A
d. A \oplus A = (A\backslash A) \cup (A\backslash A) = \varnothing \cup \varnothing = \varnothing
e. A * A = A \cap A = A
f. A \oplus (B \oplus C) = A \oplus B \oplus C = (A \oplus B) \oplus C
g. A \oplus B = A \oplus C \implies (A \oplus B) \cap \overline A = (A \oplus C) \cap \overline A \implies (B \backslash A) = (C \backslash A)
Pela definição de diferença, tem-se que B\backslash A = \{x : (x \in B) \land (x \not \in A) \}, e C\backslash A = {x : (x \in C) \land (x \not \in A) }. Ora, se B\backslash A equivale a dizer que um elemento está em C mas não em A (C\backslash A), então B = C.
h. A * (B \oplus C) = A \cap (B \oplus C) = \underbrace{(A \cap B) \oplus (A \cap C)}_{\text{Distributividade na intersecção}} = (A * B) \oplus (A * C)
Propriedade esta da distributividade demonstrada no exercício 10.
Exercício 15
a. Cada subconjunto a integrar o produto fundamental pode assumir 2 formas distintas: A_i ou \overline A_i. Assim sendo, conforme a análise combinatória, para n subconjuntos existem 2_1 \times 2_2 \times \dots \times 2_n = 2^n possibilidades distintas de produto fundamental.
b. Segue da formulação anterior que, para cada par J e K de produto fundamental existe pelo menos um conjunto \overline A_i (1 \le i \le n) em J que é complementar ao conjunto A_i em K. Isto é, dado um elemento x qualquer tem-se:
\{x : (x \in A_i)\ \underline \lor\ (x \in \overline A_i)\}
Onde \underline \lor é o "ou exclusivo". Como J = \{x : x \in (A_1 \cap \dots \cap A_i \cap \dots \cap A_n)\}, K = \{x : x \in (A_1 \cap \dots \cap \overline A_i \cap \dots \cap A_n)\} e a definição de intersecção para quaisquer conjuntos A e B é A \cap B = \{x : (x \in A) \land (x \in B)\}, não à elemento em J que também pertença à K. Estes conjuntos são, portanto, disjuntos entre si.
c. O conjunto Universo \Omega é aquele que engloba a todos os elementos que pertencem à qualquer conjunto. Consideremos o par de conjuntos J e K anterior. Um elemento x que pertence a J não pertence a K e vice-versa, não obstante este pertence a algum conjunto e portanto pertence também ao conjunto Universo. Pela definição de produto fundamental, podemos extrapolar essa relação para qualquer número n de conjuntos de produto fundamental. Assim, qualquer elemento x é tal que pertence a um produto fundamental, não pertence aos (n - 1) demais, e pertence ao conjunto Universo.
Como todos os elementos x são assim compreendidos pelo conjunto Universo, pela definição de subconjunto dada no exercício 6, todo produto fundamental é subconjunto do conjunto Universo e, por conseguinte, o conjunto Universo unifica todos os produtos fundamentais.
Exercício 16
Um subconjunto X de S é tal que possui i elementos, 0 \le i \le n, deste último. Ou seja, para cada elemento de S existem 2 possibilidades: estar ou não em X. Assim sendo, conforme a análise combinatória, para n elementos existem 2_1 \times 2_2 \times \dots \times 2_n = 2^n possíveis subconjuntos.
Tal qual fizemos no exercício 4, podemos quantificar o número de subconjuntos a conter m elementos pela seguinte relação binominal:
\binom nm = \frac{n!}{m!(n - m)!}
Exercício 17
A relação dada pelo enunciado trata-se do Princípio de Inclusão e Exclusão.
|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|
De fato, ao contarmos o número de elementos em |A \cup B| pela soma dos elementos em |A| + |B|, necessitamos também subtrair o número de elementos em |A \cap B| de forma a evitar que estes sejam contabilizados duas vezes.
Exercício 18
Uma forma mais geral do Princípio de Inclusão Exclusão pode ser expressa como:
\left | \bigcup^n_{i = 1} A_i \right | = \sum^n_{i = 1} |A_i|
- \sum^{n - 1}_{i = 1}\sum^n_{j = i + 1} | A_i \cap A_j |
+ (-1)^{n - 1} \left | \bigcap^n_{i = 1} A_i \right |
Assim, temos que
|A \cup B \cup C| = (|A| + |B| + |C|) - (|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|) + |A \cap B \cap C|
Enquanto
|A \cup B \cup C \cup D| = (|A| + |B| + |C| + |D|) - (|A \cap B| + |A \cap C| + |A \cap D| \\ + |B \cap C| + |B \cap D| + |C \cap D|) - |A \cap B \cap C \cap D|
Exercício 19
Para qualquer elemento x, se x está contido em A este
-
está contido em um subconjunto de
P(A) -
não está contido em
Bou um subconjunto deP(B)
e vice-versa. Isso pois A e B tratam-se de conjuntos disjuntos. Assim sendo,
-
P(A) \cap P(B) = A \cap B = \varnothing -
P(A) \cup P(B) \subseteq A \cup B
Exercício 20
Observe o seguinte gráfico:
{
"$schema": "https://vega.github.io/schema/vega/v5.json",
"description": "A basic stacked bar chart example.",
"width": 500,
"height": 200,
"padding": 5,
"data": [
{
"name": "table",
"values": [
{"x": "São religiosos", "y": 79, "c": 0}, {"x": "São religiosos", "y": 21, "c": 1},
{"x": "Fizeram compras online", "y": 26, "c": 0}, {"x": "Fizeram compras online", "y": 74, "c": 1}
],
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"groupby": ["x"],
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"field": "y"
}
]
}
],
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{
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},
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"nice": true, "zero": true,
"domain": {"data": "table", "field": "y1"}
},
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"type": "ordinal",
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"domain": {"data": "table", "field": "c"}
}
],
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],
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{
"type": "rect",
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"enter": {
"x": {"scale": "x", "field": "x"},
"width": {"scale": "x", "band": 1, "offset": -1},
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"y2": {"scale": "y", "field": "y1"},
"fill": {"scale": "color", "field": "c"}
},
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"fillOpacity": {"value": 1}
},
"hover": {
"fillOpacity": {"value": 0.5}
}
}
}
]
}
Se admitirmos que o maior número possível de pessoas não religiosas e que nunca fizeram uma compra online, temos que no mínimo o número de pessoas religiosas que nunca fizeram compras é [100 - (26 + 21)]\% = 53\% da população. Por outro lado,
{
"$schema": "https://vega.github.io/schema/vega/v5.json",
"description": "A basic stacked bar chart example.",
"width": 500,
"height": 200,
"padding": 5,
"data": [
{
"name": "table",
"values": [
{"x": "São religiosos", "y": 79, "c": 0}, {"x": "São religiosos", "y": 21, "c": 1},
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],
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"groupby": ["x"],
"sort": {"field": "c"},
"field": "y"
}
]
}
],
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"domain": {"data": "table", "field": "x"}
},
{
"name": "y",
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"range": "height",
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"domain": {"data": "table", "field": "y1"}
},
{
"name": "color",
"type": "ordinal",
"range": "category",
"domain": {"data": "table", "field": "c"}
}
],
"axes": [
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],
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},
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}
}
}
]
}
Se admitirmos que a correspondência entre pessoas religiosas e que não fizeram compras online é máxima, teremos que todos que não fizeram compras online, 74\% da população, são religiosos.
Por isso esse índice nunca é igual ou inferior à 50% da população.
Exercício 21
Todos aqueles múltiplos de 2 \times 3 = 6 e 2 \times 5 = 10, descontados aqueles múltiplos de 2 \times 3 \times 5 = 30. Ou seja, o quociente de 100 / 6 mais o quociente de 100 / 10 menos o quociente de 100 / 30, o que resulta em 16 + 10 - 3 = 23.
-
nUSP: 12543033; Turma 04 ↩︎