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7b595fc530
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8fd0ea4ab2
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@ -1,327 +0,0 @@
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################# INSERINDO #######################
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Log lista [elementos: 0]
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#TIPO: 0 ->
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#TIPO: 1 ->
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#TIPO: 2 ->
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#TIPO: 3 ->
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#TIPO: 4 ->
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#TIPO: 5 ->
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#TIPO: 6 ->
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#TIPO: 7 ->
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#TIPO: 8 ->
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#TIPO: 9 ->
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Insercao retornou true (1)
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Log lista [elementos: 1]
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#TIPO: 0 ->
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#TIPO: 1 -> [2;22;23;$506]
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#TIPO: 2 ->
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#TIPO: 3 ->
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#TIPO: 4 ->
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#TIPO: 5 ->
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#TIPO: 6 ->
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#TIPO: 7 ->
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#TIPO: 8 ->
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#TIPO: 9 ->
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Insercao retornou true (2)
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Log lista [elementos: 2]
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#TIPO: 0 ->
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||||
#TIPO: 1 -> [2;22;23;$506]
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||||
#TIPO: 2 ->
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||||
#TIPO: 3 ->
|
||||
#TIPO: 4 -> [4;4;4;$16]
|
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#TIPO: 5 ->
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||||
#TIPO: 6 ->
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||||
#TIPO: 7 ->
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#TIPO: 8 ->
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#TIPO: 9 ->
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Insercao retornou true (3)
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Log lista [elementos: 3]
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#TIPO: 0 ->
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||||
#TIPO: 1 -> [6;8;9;$72] [2;22;23;$506]
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||||
#TIPO: 2 ->
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||||
#TIPO: 3 ->
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||||
#TIPO: 4 -> [4;4;4;$16]
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#TIPO: 5 ->
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#TIPO: 6 ->
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#TIPO: 7 ->
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||||
#TIPO: 8 ->
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||||
#TIPO: 9 ->
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||||
Insercao retornou true (4)
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||||
Log lista [elementos: 4]
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||||
#TIPO: 0 ->
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||||
#TIPO: 1 -> [6;8;9;$72] [3;22;23;$506] [2;22;23;$506]
|
||||
#TIPO: 2 ->
|
||||
#TIPO: 3 ->
|
||||
#TIPO: 4 -> [4;4;4;$16]
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||||
#TIPO: 5 ->
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||||
#TIPO: 6 ->
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#TIPO: 7 ->
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#TIPO: 8 ->
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#TIPO: 9 ->
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Insercao retornou false (5)
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Log lista [elementos: 4]
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#TIPO: 0 ->
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||||
#TIPO: 1 -> [6;8;9;$72] [3;22;23;$506] [2;22;23;$506]
|
||||
#TIPO: 2 ->
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||||
#TIPO: 3 ->
|
||||
#TIPO: 4 -> [4;4;4;$16]
|
||||
#TIPO: 5 ->
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#TIPO: 6 ->
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#TIPO: 7 ->
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#TIPO: 8 ->
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#TIPO: 9 ->
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Insercao retornou false (6)
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Log lista [elementos: 4]
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#TIPO: 0 ->
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||||
#TIPO: 1 -> [6;8;9;$72] [3;22;23;$506] [2;22;23;$506]
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||||
#TIPO: 2 ->
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||||
#TIPO: 3 ->
|
||||
#TIPO: 4 -> [4;4;4;$16]
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#TIPO: 5 ->
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||||
#TIPO: 6 ->
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#TIPO: 7 ->
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#TIPO: 8 ->
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#TIPO: 9 ->
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Insercao retornou false (7)
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Log lista [elementos: 4]
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#TIPO: 0 ->
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||||
#TIPO: 1 -> [6;8;9;$72] [3;22;23;$506] [2;22;23;$506]
|
||||
#TIPO: 2 ->
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||||
#TIPO: 3 ->
|
||||
#TIPO: 4 -> [4;4;4;$16]
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||||
#TIPO: 5 ->
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#TIPO: 6 ->
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#TIPO: 7 ->
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#TIPO: 8 ->
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#TIPO: 9 ->
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||||
Insercao retornou false (8)
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Log lista [elementos: 4]
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||||
#TIPO: 0 ->
|
||||
#TIPO: 1 -> [6;8;9;$72] [3;22;23;$506] [2;22;23;$506]
|
||||
#TIPO: 2 ->
|
||||
#TIPO: 3 ->
|
||||
#TIPO: 4 -> [4;4;4;$16]
|
||||
#TIPO: 5 ->
|
||||
#TIPO: 6 ->
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||||
#TIPO: 7 ->
|
||||
#TIPO: 8 ->
|
||||
#TIPO: 9 ->
|
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||||
Insercao retornou false (9)
|
||||
Log lista [elementos: 4]
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||||
#TIPO: 0 ->
|
||||
#TIPO: 1 -> [6;8;9;$72] [3;22;23;$506] [2;22;23;$506]
|
||||
#TIPO: 2 ->
|
||||
#TIPO: 3 ->
|
||||
#TIPO: 4 -> [4;4;4;$16]
|
||||
#TIPO: 5 ->
|
||||
#TIPO: 6 ->
|
||||
#TIPO: 7 ->
|
||||
#TIPO: 8 ->
|
||||
#TIPO: 9 ->
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||||
################# REMOVENDO #######################
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||||
Remocao retornou true (1)
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||||
Log lista [elementos: 4]
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||||
#TIPO: 0 ->
|
||||
#TIPO: 1 -> [6;8;9;$72] [3;22;23;$506] [2;22;23;$506]
|
||||
#TIPO: 2 ->
|
||||
#TIPO: 3 ->
|
||||
#TIPO: 4 -> [4;3;4;$12]
|
||||
#TIPO: 5 ->
|
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#TIPO: 6 ->
|
||||
#TIPO: 7 ->
|
||||
#TIPO: 8 ->
|
||||
#TIPO: 9 ->
|
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|
||||
Remocao retornou true (2)
|
||||
Log lista [elementos: 4]
|
||||
#TIPO: 0 ->
|
||||
#TIPO: 1 -> [6;8;9;$72] [2;21;23;$483] [3;22;23;$506]
|
||||
#TIPO: 2 ->
|
||||
#TIPO: 3 ->
|
||||
#TIPO: 4 -> [4;3;4;$12]
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#TIPO: 5 ->
|
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#TIPO: 6 ->
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#TIPO: 7 ->
|
||||
#TIPO: 8 ->
|
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#TIPO: 9 ->
|
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||||
Remocao retornou true (3)
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||||
Log lista [elementos: 3]
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||||
#TIPO: 0 ->
|
||||
#TIPO: 1 -> [6;8;9;$72] [2;21;23;$483]
|
||||
#TIPO: 2 ->
|
||||
#TIPO: 3 ->
|
||||
#TIPO: 4 -> [4;3;4;$12]
|
||||
#TIPO: 5 ->
|
||||
#TIPO: 6 ->
|
||||
#TIPO: 7 ->
|
||||
#TIPO: 8 ->
|
||||
#TIPO: 9 ->
|
||||
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||||
Remocao retornou false (4)
|
||||
Log lista [elementos: 3]
|
||||
#TIPO: 0 ->
|
||||
#TIPO: 1 -> [6;8;9;$72] [2;21;23;$483]
|
||||
#TIPO: 2 ->
|
||||
#TIPO: 3 ->
|
||||
#TIPO: 4 -> [4;3;4;$12]
|
||||
#TIPO: 5 ->
|
||||
#TIPO: 6 ->
|
||||
#TIPO: 7 ->
|
||||
#TIPO: 8 ->
|
||||
#TIPO: 9 ->
|
||||
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||||
Remocao retornou false (5)
|
||||
Log lista [elementos: 3]
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||||
#TIPO: 0 ->
|
||||
#TIPO: 1 -> [6;8;9;$72] [2;21;23;$483]
|
||||
#TIPO: 2 ->
|
||||
#TIPO: 3 ->
|
||||
#TIPO: 4 -> [4;3;4;$12]
|
||||
#TIPO: 5 ->
|
||||
#TIPO: 6 ->
|
||||
#TIPO: 7 ->
|
||||
#TIPO: 8 ->
|
||||
#TIPO: 9 ->
|
||||
|
||||
Remocao retornou false (6)
|
||||
Log lista [elementos: 3]
|
||||
#TIPO: 0 ->
|
||||
#TIPO: 1 -> [6;8;9;$72] [2;21;23;$483]
|
||||
#TIPO: 2 ->
|
||||
#TIPO: 3 ->
|
||||
#TIPO: 4 -> [4;3;4;$12]
|
||||
#TIPO: 5 ->
|
||||
#TIPO: 6 ->
|
||||
#TIPO: 7 ->
|
||||
#TIPO: 8 ->
|
||||
#TIPO: 9 ->
|
||||
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||||
################# ATUALIZANDO VALOR #######
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||||
Atualizacao retornou true (1)
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||||
Log lista [elementos: 3]
|
||||
#TIPO: 0 ->
|
||||
#TIPO: 1 -> [6;8;1;$8] [2;21;23;$483]
|
||||
#TIPO: 2 ->
|
||||
#TIPO: 3 ->
|
||||
#TIPO: 4 -> [4;3;4;$12]
|
||||
#TIPO: 5 ->
|
||||
#TIPO: 6 ->
|
||||
#TIPO: 7 ->
|
||||
#TIPO: 8 ->
|
||||
#TIPO: 9 ->
|
||||
|
||||
Atualizacao retornou true (2)
|
||||
Log lista [elementos: 3]
|
||||
#TIPO: 0 ->
|
||||
#TIPO: 1 -> [2;21;23;$483] [6;8;600;$4800]
|
||||
#TIPO: 2 ->
|
||||
#TIPO: 3 ->
|
||||
#TIPO: 4 -> [4;3;4;$12]
|
||||
#TIPO: 5 ->
|
||||
#TIPO: 6 ->
|
||||
#TIPO: 7 ->
|
||||
#TIPO: 8 ->
|
||||
#TIPO: 9 ->
|
||||
|
||||
Atualizacao retornou true (3)
|
||||
Log lista [elementos: 3]
|
||||
#TIPO: 0 ->
|
||||
#TIPO: 1 -> [6;8;20;$160] [2;21;23;$483]
|
||||
#TIPO: 2 ->
|
||||
#TIPO: 3 ->
|
||||
#TIPO: 4 -> [4;3;4;$12]
|
||||
#TIPO: 5 ->
|
||||
#TIPO: 6 ->
|
||||
#TIPO: 7 ->
|
||||
#TIPO: 8 ->
|
||||
#TIPO: 9 ->
|
||||
|
||||
Atualizacao retornou false (4)
|
||||
Log lista [elementos: 3]
|
||||
#TIPO: 0 ->
|
||||
#TIPO: 1 -> [6;8;20;$160] [2;21;23;$483]
|
||||
#TIPO: 2 ->
|
||||
#TIPO: 3 ->
|
||||
#TIPO: 4 -> [4;3;4;$12]
|
||||
#TIPO: 5 ->
|
||||
#TIPO: 6 ->
|
||||
#TIPO: 7 ->
|
||||
#TIPO: 8 ->
|
||||
#TIPO: 9 ->
|
||||
|
||||
Atualizacao retornou false (5)
|
||||
Log lista [elementos: 3]
|
||||
#TIPO: 0 ->
|
||||
#TIPO: 1 -> [6;8;20;$160] [2;21;23;$483]
|
||||
#TIPO: 2 ->
|
||||
#TIPO: 3 ->
|
||||
#TIPO: 4 -> [4;3;4;$12]
|
||||
#TIPO: 5 ->
|
||||
#TIPO: 6 ->
|
||||
#TIPO: 7 ->
|
||||
#TIPO: 8 ->
|
||||
#TIPO: 9 ->
|
||||
|
||||
Atualizacao retornou false (6)
|
||||
Log lista [elementos: 3]
|
||||
#TIPO: 0 ->
|
||||
#TIPO: 1 -> [6;8;20;$160] [2;21;23;$483]
|
||||
#TIPO: 2 ->
|
||||
#TIPO: 3 ->
|
||||
#TIPO: 4 -> [4;3;4;$12]
|
||||
#TIPO: 5 ->
|
||||
#TIPO: 6 ->
|
||||
#TIPO: 7 ->
|
||||
#TIPO: 8 ->
|
||||
#TIPO: 9 ->
|
||||
|
||||
Atualizacao retornou true (7)
|
||||
Log lista [elementos: 3]
|
||||
#TIPO: 0 ->
|
||||
#TIPO: 1 -> [6;8;3;$24] [2;21;23;$483]
|
||||
#TIPO: 2 ->
|
||||
#TIPO: 3 ->
|
||||
#TIPO: 4 -> [4;3;4;$12]
|
||||
#TIPO: 5 ->
|
||||
#TIPO: 6 ->
|
||||
#TIPO: 7 ->
|
||||
#TIPO: 8 ->
|
||||
#TIPO: 9 ->
|
||||
|
||||
Atualizacao retornou true (8)
|
||||
Log lista [elementos: 3]
|
||||
#TIPO: 0 ->
|
||||
#TIPO: 1 -> [6;8;3;$24] [2;21;23;$483]
|
||||
#TIPO: 2 ->
|
||||
#TIPO: 3 ->
|
||||
#TIPO: 4 -> [4;3;200;$600]
|
||||
#TIPO: 5 ->
|
||||
#TIPO: 6 ->
|
||||
#TIPO: 7 ->
|
||||
#TIPO: 8 ->
|
||||
#TIPO: 9 ->
|
||||
|
||||
Atualizacao retornou true (9)
|
||||
Log lista [elementos: 3]
|
||||
#TIPO: 0 ->
|
||||
#TIPO: 1 -> [6;8;3;$24] [2;21;20;$420]
|
||||
#TIPO: 2 ->
|
||||
#TIPO: 3 ->
|
||||
#TIPO: 4 -> [4;3;200;$600]
|
||||
#TIPO: 5 ->
|
||||
#TIPO: 6 ->
|
||||
#TIPO: 7 ->
|
||||
#TIPO: 8 ->
|
||||
#TIPO: 9 ->
|
||||
|
||||
|
|
@ -1,327 +0,0 @@
|
|||
################# INSERINDO #######################
|
||||
Log lista [elementos: 0]
|
||||
#TIPO: 0 ->
|
||||
#TIPO: 1 ->
|
||||
#TIPO: 2 ->
|
||||
#TIPO: 3 ->
|
||||
#TIPO: 4 ->
|
||||
#TIPO: 5 ->
|
||||
#TIPO: 6 ->
|
||||
#TIPO: 7 ->
|
||||
#TIPO: 8 ->
|
||||
#TIPO: 9 ->
|
||||
|
||||
Insercao retornou true (1)
|
||||
Log lista [elementos: 1]
|
||||
#TIPO: 0 ->
|
||||
#TIPO: 1 -> [2;22;23;$506]
|
||||
#TIPO: 2 ->
|
||||
#TIPO: 3 ->
|
||||
#TIPO: 4 ->
|
||||
#TIPO: 5 ->
|
||||
#TIPO: 6 ->
|
||||
#TIPO: 7 ->
|
||||
#TIPO: 8 ->
|
||||
#TIPO: 9 ->
|
||||
|
||||
Insercao retornou true (2)
|
||||
Log lista [elementos: 2]
|
||||
#TIPO: 0 ->
|
||||
#TIPO: 1 -> [2;22;23;$506]
|
||||
#TIPO: 2 ->
|
||||
#TIPO: 3 ->
|
||||
#TIPO: 4 -> [4;4;4;$16]
|
||||
#TIPO: 5 ->
|
||||
#TIPO: 6 ->
|
||||
#TIPO: 7 ->
|
||||
#TIPO: 8 ->
|
||||
#TIPO: 9 ->
|
||||
|
||||
Insercao retornou true (3)
|
||||
Log lista [elementos: 3]
|
||||
#TIPO: 0 ->
|
||||
#TIPO: 1 -> [6;8;9;$72] [2;22;23;$506]
|
||||
#TIPO: 2 ->
|
||||
#TIPO: 3 ->
|
||||
#TIPO: 4 -> [4;4;4;$16]
|
||||
#TIPO: 5 ->
|
||||
#TIPO: 6 ->
|
||||
#TIPO: 7 ->
|
||||
#TIPO: 8 ->
|
||||
#TIPO: 9 ->
|
||||
|
||||
Insercao retornou true (4)
|
||||
Log lista [elementos: 4]
|
||||
#TIPO: 0 ->
|
||||
#TIPO: 1 -> [6;8;9;$72] [3;22;23;$506] [2;22;23;$506]
|
||||
#TIPO: 2 ->
|
||||
#TIPO: 3 ->
|
||||
#TIPO: 4 -> [4;4;4;$16]
|
||||
#TIPO: 5 ->
|
||||
#TIPO: 6 ->
|
||||
#TIPO: 7 ->
|
||||
#TIPO: 8 ->
|
||||
#TIPO: 9 ->
|
||||
|
||||
Insercao retornou false (5)
|
||||
Log lista [elementos: 4]
|
||||
#TIPO: 0 ->
|
||||
#TIPO: 1 -> [6;8;9;$72] [3;22;23;$506] [2;22;23;$506]
|
||||
#TIPO: 2 ->
|
||||
#TIPO: 3 ->
|
||||
#TIPO: 4 -> [4;4;4;$16]
|
||||
#TIPO: 5 ->
|
||||
#TIPO: 6 ->
|
||||
#TIPO: 7 ->
|
||||
#TIPO: 8 ->
|
||||
#TIPO: 9 ->
|
||||
|
||||
Insercao retornou false (6)
|
||||
Log lista [elementos: 4]
|
||||
#TIPO: 0 ->
|
||||
#TIPO: 1 -> [6;8;9;$72] [3;22;23;$506] [2;22;23;$506]
|
||||
#TIPO: 2 ->
|
||||
#TIPO: 3 ->
|
||||
#TIPO: 4 -> [4;4;4;$16]
|
||||
#TIPO: 5 ->
|
||||
#TIPO: 6 ->
|
||||
#TIPO: 7 ->
|
||||
#TIPO: 8 ->
|
||||
#TIPO: 9 ->
|
||||
|
||||
Insercao retornou false (7)
|
||||
Log lista [elementos: 4]
|
||||
#TIPO: 0 ->
|
||||
#TIPO: 1 -> [6;8;9;$72] [3;22;23;$506] [2;22;23;$506]
|
||||
#TIPO: 2 ->
|
||||
#TIPO: 3 ->
|
||||
#TIPO: 4 -> [4;4;4;$16]
|
||||
#TIPO: 5 ->
|
||||
#TIPO: 6 ->
|
||||
#TIPO: 7 ->
|
||||
#TIPO: 8 ->
|
||||
#TIPO: 9 ->
|
||||
|
||||
Insercao retornou false (8)
|
||||
Log lista [elementos: 4]
|
||||
#TIPO: 0 ->
|
||||
#TIPO: 1 -> [6;8;9;$72] [3;22;23;$506] [2;22;23;$506]
|
||||
#TIPO: 2 ->
|
||||
#TIPO: 3 ->
|
||||
#TIPO: 4 -> [4;4;4;$16]
|
||||
#TIPO: 5 ->
|
||||
#TIPO: 6 ->
|
||||
#TIPO: 7 ->
|
||||
#TIPO: 8 ->
|
||||
#TIPO: 9 ->
|
||||
|
||||
Insercao retornou false (9)
|
||||
Log lista [elementos: 4]
|
||||
#TIPO: 0 ->
|
||||
#TIPO: 1 -> [6;8;9;$72] [3;22;23;$506] [2;22;23;$506]
|
||||
#TIPO: 2 ->
|
||||
#TIPO: 3 ->
|
||||
#TIPO: 4 -> [4;4;4;$16]
|
||||
#TIPO: 5 ->
|
||||
#TIPO: 6 ->
|
||||
#TIPO: 7 ->
|
||||
#TIPO: 8 ->
|
||||
#TIPO: 9 ->
|
||||
|
||||
################# REMOVENDO #######################
|
||||
Remocao retornou true (1)
|
||||
Log lista [elementos: 4]
|
||||
#TIPO: 0 ->
|
||||
#TIPO: 1 -> [6;8;9;$72] [3;22;23;$506] [2;22;23;$506]
|
||||
#TIPO: 2 ->
|
||||
#TIPO: 3 ->
|
||||
#TIPO: 4 -> [4;3;4;$12]
|
||||
#TIPO: 5 ->
|
||||
#TIPO: 6 ->
|
||||
#TIPO: 7 ->
|
||||
#TIPO: 8 ->
|
||||
#TIPO: 9 ->
|
||||
|
||||
Remocao retornou true (2)
|
||||
Log lista [elementos: 4]
|
||||
#TIPO: 0 ->
|
||||
#TIPO: 1 -> [6;8;9;$72] [2;21;23;$483] [3;22;23;$506]
|
||||
#TIPO: 2 ->
|
||||
#TIPO: 3 ->
|
||||
#TIPO: 4 -> [4;3;4;$12]
|
||||
#TIPO: 5 ->
|
||||
#TIPO: 6 ->
|
||||
#TIPO: 7 ->
|
||||
#TIPO: 8 ->
|
||||
#TIPO: 9 ->
|
||||
|
||||
Remocao retornou true (3)
|
||||
Log lista [elementos: 3]
|
||||
#TIPO: 0 ->
|
||||
#TIPO: 1 -> [6;8;9;$72] [2;21;23;$483]
|
||||
#TIPO: 2 ->
|
||||
#TIPO: 3 ->
|
||||
#TIPO: 4 -> [4;3;4;$12]
|
||||
#TIPO: 5 ->
|
||||
#TIPO: 6 ->
|
||||
#TIPO: 7 ->
|
||||
#TIPO: 8 ->
|
||||
#TIPO: 9 ->
|
||||
|
||||
Remocao retornou false (4)
|
||||
Log lista [elementos: 3]
|
||||
#TIPO: 0 ->
|
||||
#TIPO: 1 -> [6;8;9;$72] [2;21;23;$483]
|
||||
#TIPO: 2 ->
|
||||
#TIPO: 3 ->
|
||||
#TIPO: 4 -> [4;3;4;$12]
|
||||
#TIPO: 5 ->
|
||||
#TIPO: 6 ->
|
||||
#TIPO: 7 ->
|
||||
#TIPO: 8 ->
|
||||
#TIPO: 9 ->
|
||||
|
||||
Remocao retornou false (5)
|
||||
Log lista [elementos: 3]
|
||||
#TIPO: 0 ->
|
||||
#TIPO: 1 -> [6;8;9;$72] [2;21;23;$483]
|
||||
#TIPO: 2 ->
|
||||
#TIPO: 3 ->
|
||||
#TIPO: 4 -> [4;3;4;$12]
|
||||
#TIPO: 5 ->
|
||||
#TIPO: 6 ->
|
||||
#TIPO: 7 ->
|
||||
#TIPO: 8 ->
|
||||
#TIPO: 9 ->
|
||||
|
||||
Remocao retornou false (6)
|
||||
Log lista [elementos: 3]
|
||||
#TIPO: 0 ->
|
||||
#TIPO: 1 -> [6;8;9;$72] [2;21;23;$483]
|
||||
#TIPO: 2 ->
|
||||
#TIPO: 3 ->
|
||||
#TIPO: 4 -> [4;3;4;$12]
|
||||
#TIPO: 5 ->
|
||||
#TIPO: 6 ->
|
||||
#TIPO: 7 ->
|
||||
#TIPO: 8 ->
|
||||
#TIPO: 9 ->
|
||||
|
||||
################# ATUALIZANDO VALOR #######
|
||||
Atualizacao retornou true (1)
|
||||
Log lista [elementos: 3]
|
||||
#TIPO: 0 ->
|
||||
#TIPO: 1 -> [6;8;1;$8] [2;21;23;$483]
|
||||
#TIPO: 2 ->
|
||||
#TIPO: 3 ->
|
||||
#TIPO: 4 -> [4;3;4;$12]
|
||||
#TIPO: 5 ->
|
||||
#TIPO: 6 ->
|
||||
#TIPO: 7 ->
|
||||
#TIPO: 8 ->
|
||||
#TIPO: 9 ->
|
||||
|
||||
Atualizacao retornou true (2)
|
||||
Log lista [elementos: 3]
|
||||
#TIPO: 0 ->
|
||||
#TIPO: 1 -> [2;21;23;$483] [6;8;600;$4800]
|
||||
#TIPO: 2 ->
|
||||
#TIPO: 3 ->
|
||||
#TIPO: 4 -> [4;3;4;$12]
|
||||
#TIPO: 5 ->
|
||||
#TIPO: 6 ->
|
||||
#TIPO: 7 ->
|
||||
#TIPO: 8 ->
|
||||
#TIPO: 9 ->
|
||||
|
||||
Atualizacao retornou true (3)
|
||||
Log lista [elementos: 3]
|
||||
#TIPO: 0 ->
|
||||
#TIPO: 1 -> [6;8;20;$160] [2;21;23;$483]
|
||||
#TIPO: 2 ->
|
||||
#TIPO: 3 ->
|
||||
#TIPO: 4 -> [4;3;4;$12]
|
||||
#TIPO: 5 ->
|
||||
#TIPO: 6 ->
|
||||
#TIPO: 7 ->
|
||||
#TIPO: 8 ->
|
||||
#TIPO: 9 ->
|
||||
|
||||
Atualizacao retornou false (4)
|
||||
Log lista [elementos: 3]
|
||||
#TIPO: 0 ->
|
||||
#TIPO: 1 -> [6;8;20;$160] [2;21;23;$483]
|
||||
#TIPO: 2 ->
|
||||
#TIPO: 3 ->
|
||||
#TIPO: 4 -> [4;3;4;$12]
|
||||
#TIPO: 5 ->
|
||||
#TIPO: 6 ->
|
||||
#TIPO: 7 ->
|
||||
#TIPO: 8 ->
|
||||
#TIPO: 9 ->
|
||||
|
||||
Atualizacao retornou false (5)
|
||||
Log lista [elementos: 3]
|
||||
#TIPO: 0 ->
|
||||
#TIPO: 1 -> [6;8;20;$160] [2;21;23;$483]
|
||||
#TIPO: 2 ->
|
||||
#TIPO: 3 ->
|
||||
#TIPO: 4 -> [4;3;4;$12]
|
||||
#TIPO: 5 ->
|
||||
#TIPO: 6 ->
|
||||
#TIPO: 7 ->
|
||||
#TIPO: 8 ->
|
||||
#TIPO: 9 ->
|
||||
|
||||
Atualizacao retornou false (6)
|
||||
Log lista [elementos: 3]
|
||||
#TIPO: 0 ->
|
||||
#TIPO: 1 -> [6;8;20;$160] [2;21;23;$483]
|
||||
#TIPO: 2 ->
|
||||
#TIPO: 3 ->
|
||||
#TIPO: 4 -> [4;3;4;$12]
|
||||
#TIPO: 5 ->
|
||||
#TIPO: 6 ->
|
||||
#TIPO: 7 ->
|
||||
#TIPO: 8 ->
|
||||
#TIPO: 9 ->
|
||||
|
||||
Atualizacao retornou true (7)
|
||||
Log lista [elementos: 3]
|
||||
#TIPO: 0 ->
|
||||
#TIPO: 1 -> [6;8;3;$24] [2;21;23;$483]
|
||||
#TIPO: 2 ->
|
||||
#TIPO: 3 ->
|
||||
#TIPO: 4 -> [4;3;4;$12]
|
||||
#TIPO: 5 ->
|
||||
#TIPO: 6 ->
|
||||
#TIPO: 7 ->
|
||||
#TIPO: 8 ->
|
||||
#TIPO: 9 ->
|
||||
|
||||
Atualizacao retornou true (8)
|
||||
Log lista [elementos: 3]
|
||||
#TIPO: 0 ->
|
||||
#TIPO: 1 -> [6;8;3;$24] [2;21;23;$483]
|
||||
#TIPO: 2 ->
|
||||
#TIPO: 3 ->
|
||||
#TIPO: 4 -> [4;3;200;$600]
|
||||
#TIPO: 5 ->
|
||||
#TIPO: 6 ->
|
||||
#TIPO: 7 ->
|
||||
#TIPO: 8 ->
|
||||
#TIPO: 9 ->
|
||||
|
||||
Atualizacao retornou true (9)
|
||||
Log lista [elementos: 3]
|
||||
#TIPO: 0 ->
|
||||
#TIPO: 1 -> [6;8;3;$24] [2;21;20;$420]
|
||||
#TIPO: 2 ->
|
||||
#TIPO: 3 ->
|
||||
#TIPO: 4 -> [4;3;200;$600]
|
||||
#TIPO: 5 ->
|
||||
#TIPO: 6 ->
|
||||
#TIPO: 7 ->
|
||||
#TIPO: 8 ->
|
||||
#TIPO: 9 ->
|
||||
|
||||
|
|
@ -1,70 +0,0 @@
|
|||
# Semana 01
|
||||
|
||||
> 16/08/21 a 21/08. Por Guilherme de Abreu Barreto, nUSP: 12543033.
|
||||
|
||||
Respostas aos exercícios propostos.
|
||||
|
||||
## Exercício 01
|
||||
|
||||
Output com variável `nusp` do tipo `int`:
|
||||
|
||||
```
|
||||
Imprimindo inteiro: 12543033
|
||||
Imprimindo numero: 12543033
|
||||
Imprimindo float (com cast): 12543033.000000
|
||||
Imprimindo quociente: 6271516
|
||||
Imprimindo resto: 1
|
||||
Imprimindo quadrado: -1270180687
|
||||
```
|
||||
|
||||
Notei que o resultado do quadrado é incorreto, imaginei ser uma questão de insuficiência da capacidade do tipo `int` para o armazenamento do resultado. Então repeti o procedimento designando à variável `nusp` o tipo `long long int`[^1] e assim obtive a resposta esperada:
|
||||
|
||||
```
|
||||
Digite seu número USP: Imprimindo inteiro: 12543033
|
||||
Imprimindo numero: 12543033
|
||||
Imprimindo float (com cast): 12543033.000000
|
||||
Imprimindo quociente: 6271516
|
||||
Imprimindo resto: 1
|
||||
Imprimindo quadrado: 157327676839089
|
||||
```
|
||||
|
||||
## Exercício 02
|
||||
|
||||
Output:
|
||||
|
||||
```
|
||||
x: 7 y: 13 z: 0x7fffdd1a03f8
|
||||
&x: 0x7fffdd1a03f8 &y: 0x7fffdd1a03fc &z: 0x7fffdd1a0400
|
||||
Novo valor de x: 20
|
||||
```
|
||||
|
||||
Não obstante, o código, ao ser compilado, produziu os seguintes alertas:
|
||||
|
||||
```
|
||||
e2.c: In function ‘main’:
|
||||
e2.c:7:33: warning: format ‘%p’ expects argument of type ‘void *’, but argument 4 has type ‘int *’ [-Wformat=]
|
||||
7 | printf("x: %i y: %i z: %p\n", x, y, z);
|
||||
| ~^ ~
|
||||
| | |
|
||||
| void * int *
|
||||
| %ls
|
||||
e2.c:8:22: warning: format ‘%p’ expects argument of type ‘void *’, but argument 2 has type ‘int *’ [-Wformat=]
|
||||
8 | printf("&x: %p &y: %p &z: %p\n", &x, &y, &z);
|
||||
| ~^ ~~
|
||||
| | |
|
||||
| void * int *
|
||||
| %ls
|
||||
e2.c:8:29: warning: format ‘%p’ expects argument of type ‘void *’, but argument 3 has type ‘int *’ [-Wformat=]
|
||||
8 | printf("&x: %p &y: %p &z: %p\n", &x, &y, &z);
|
||||
| ~^ ~~
|
||||
| | |
|
||||
| void * int *
|
||||
| %ls
|
||||
e2.c:8:36: warning: format ‘%p’ expects argument of type ‘void *’, but argument 4 has type ‘int **’ [-Wformat=]
|
||||
8 | printf("&x: %p &y: %p &z: %p\n", &x, &y, &z);
|
||||
| ~^ ~~
|
||||
| | |
|
||||
| void * int **
|
||||
```
|
||||
|
||||
[^1]: Foi necessário o uso da *flag* `-std=c99` para que o `gcc` compilase o código sem emitir alertas.
|
||||
|
|
@ -1,12 +0,0 @@
|
|||
## O especificador de formato %p
|
||||
|
||||
Este é utilizado para imprimir o endereço na memória de uma dada variável.
|
||||
|
||||
```
|
||||
#include<stdio.h>
|
||||
main() {
|
||||
int x = 50;
|
||||
int *ptr = &x;
|
||||
printf("The address is: %p, the value is %d", ptr, *ptr);
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
|
|
@ -1,30 +0,0 @@
|
|||
# Notas quanto ao exercício
|
||||
|
||||
1. Como jogar o prompt para o terminal e o output para o arquivo?
|
||||
2. Como passar um argumento para o executável?
|
||||
|
||||
## Output com variável int:
|
||||
|
||||
```
|
||||
Digite seu número USP: Imprimindo inteiro: 12543033
|
||||
Imprimindo numero: 12543033
|
||||
Imprimindo float (com cast): 12543033.000000
|
||||
Imprimindo quociente: 6271516
|
||||
Imprimindo resto: 1
|
||||
Imprimindo quadrado: -1270180687
|
||||
```
|
||||
|
||||
## Output com variável long long int
|
||||
|
||||
```
|
||||
Digite seu número USP: Imprimindo inteiro: 12543033
|
||||
Imprimindo numero: 12543033
|
||||
Imprimindo float (com cast): 12543033.000000
|
||||
Imprimindo quociente: 6271516
|
||||
Imprimindo resto: 1
|
||||
Imprimindo quadrado: 157327676839089
|
||||
```
|
||||
|
||||
---
|
||||
|
||||
[Diferença entre os especificadores de formato %d e %i](https://www.geeksforgeeks.org/difference-d-format-specifier-c-language/)
|
||||
|
|
@ -1,29 +0,0 @@
|
|||
# Semana 08: resposta ao [exercício proposto](http://www.each.usp.br/digiampietri/ACH2023/ACH2023_AtividadeSemanal08.pdf)
|
||||
|
||||
> Por Guilherme de Abreu Barreto[^1]
|
||||
|
||||
```c
|
||||
bool excluirElementoPilha(PILHATRIPLA* p, REGISTRO* reg, int pilha){
|
||||
switch (pilha) {
|
||||
case 1:
|
||||
if (p->topo1 < 0)
|
||||
return false;
|
||||
*reg = p->A[p->topo1--];
|
||||
return true;
|
||||
case 2:
|
||||
if (p->topo2 < p->base2)
|
||||
return false;
|
||||
*reg = p->A[p->topo2--];
|
||||
return true;
|
||||
case 3:
|
||||
if (p->topo3 >= MAX)
|
||||
return false;
|
||||
*reg = p->A[p->topo3++];
|
||||
return true;
|
||||
default:
|
||||
return false;
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
|
||||
[^1]: nUSP: 12543033
|
||||
|
|
@ -1,24 +0,0 @@
|
|||
# Semana 09: resposta ao [exercício proposto](http://www.each.usp.br/digiampietri/ACH2023/ACH2023_AtividadeSemanal09.pdf)
|
||||
|
||||
> Por Guilherme de Abreu Barreto[^1]
|
||||
|
||||
```c
|
||||
MATRIZ *multiplicarMatrizes(MATRIZ *m1, MATRIZ *m2){
|
||||
int i,j,k;
|
||||
MATRIZ *res;
|
||||
|
||||
if (m1->colunas != m2->linhas)
|
||||
return NULL;
|
||||
res = inicializarMatriz(m1->linhas, m2->colunas);
|
||||
for (i = 0; i < res->linhas; i++) {
|
||||
for (j = 0; j < res->colunas; j++) {
|
||||
res->M[i][j] = 0;
|
||||
for (k = 0; k < m1->colunas; k++)
|
||||
res->M[i][j] += m1->M[i][k] * m2->M[k][j];
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
return res;
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
|
||||
[^1]: nUSP: 12543033
|
||||
|
|
@ -1,55 +0,0 @@
|
|||
# Semana 10: resposta ao [exercício proposto](http://www.each.usp.br/digiampietri/ACH2023/ACH2023_AtividadeSemanal10.pdf)
|
||||
|
||||
> Por Guilherme de Abreu Barreto[^1]
|
||||
|
||||
**Parte 1:** Escreva o que será impresso pela execução do código desta atividade.
|
||||
|
||||
**Resolução:**
|
||||
|
||||
```c
|
||||
FuncaoZZZ (1a execucao): 1
|
||||
FuncaoX (1a execucao): 3
|
||||
Imprimindo (1a execucao): 3 2 1
|
||||
FuncaoZZZ (2a execucao): 3
|
||||
FuncaoX (2a execucao): 6
|
||||
Imprimindo (2a execucao): 3 7 6 5 2 1
|
||||
```
|
||||
|
||||
**Parte 2:** Desenhe a arvore binária resultante da execução deste código.
|
||||
|
||||
**Resolução:**
|
||||
|
||||
```mermaid
|
||||
classDiagram
|
||||
Raiz --> esq1
|
||||
Raiz --> dir1
|
||||
dir1 --> esq2
|
||||
dir1 --> dir2
|
||||
esq2 --> dir3
|
||||
class Raiz {
|
||||
(PONT) 0x5555555592a0
|
||||
chave = 1
|
||||
}
|
||||
class esq1 {
|
||||
chave = 3
|
||||
(PONT) 0x5555555592e0
|
||||
}
|
||||
class dir1 {
|
||||
chave = 2
|
||||
(PONT) 0x5555555592c0
|
||||
}
|
||||
class esq2 {
|
||||
chave = 6
|
||||
(PONT) 0x555555559750
|
||||
}
|
||||
class dir2 {
|
||||
chave = 5
|
||||
(PONT) 0x555555559730
|
||||
}
|
||||
class dir3 {
|
||||
chave = 7
|
||||
(PONT) 0x555555559710
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
|
||||
[^1]: nUSP: 12543033
|
||||
|
|
@ -1,15 +0,0 @@
|
|||
# Semana 12: resposta ao [exercício proposto](http://www.each.usp.br/digiampietri/ACH2023/ACH2023_AtividadeSemanal12.pdf)
|
||||
|
||||
> Por Guilherme de Abreu Barreto[^1]
|
||||
|
||||
```mermaid
|
||||
classDiagram
|
||||
4 --> 2
|
||||
4 --> 7
|
||||
2 --> 1
|
||||
2 --> 3
|
||||
7 --> 5
|
||||
5 --> 6
|
||||
```
|
||||
|
||||
[^1]: nUSP: 12543033
|
||||
|
|
@ -1,69 +0,0 @@
|
|||
# Argumentos
|
||||
|
||||
## 1.
|
||||
|
||||
**(a)** "*Pode-se vir ao trabalho de ônibus ou carro. Fulano veio ao trabalho de ônibus, logo, não usou seu carro*". Este argumento é falacioso pois as alternativas não são mutuamente exclusivas: fulano pode ter percorrido diferentes partes do trajeto com cada um dos modos de transporte.
|
||||
|
||||
**(b)** "Se estiver chovendo, fulano virá com um guarda-chuva. Fulano veio com um guarda-chuva, logo, choveu". Este argumento é falacioso pois o pressuposto e o consequente não se implicam mutuamente. Embora a ocorrência de chuva leve fulano a carregar seu guarda-chuva consigo, por outro lado a não ocorrência de chuva não é proibitiva para que fulano carregue seu guarda-chuva.
|
||||
|
||||
**(c)** "Se estiver chovendo, fulano virá com um guarda-chuva. Não choveu, então fulano não virá com um guarda-chuva." A mesma falácia do argumento anterior, mas na sua forma negativa.
|
||||
|
||||
## 2.
|
||||
|
||||
**(a)** isLower(7, 4) ⟶ ¬ isPrime(7) ∴ ¬ isLower(7, 4) ⟶ isPrime(7)
|
||||
|
||||
Se admitimos que ser ou não menor que quatro é condição para não ser ou ser, respectivamente, um número primo, então sim, a proposta é válida. Não obstante, essa condição não é coerente com a definição de número primo.
|
||||
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**(b)** isEqual(l~1~, l~2~) ⟶ isEqual(a~1~, a~2~) ∴ ¬isEqual(l~1~, l~2~) ⟶ ¬ isEqual(a~1~, a~2~)
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A conclusão apresentada é correta (congruente com a definição de triângulo isóceles), mas a argumentação feita é inválida (falácia da negação do antecedente).
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## 3.
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Considerando p ≡ "hoje é terça feira" e q ≡ "João irá trabalhar", a proposição $(p \to q) \land p \to q$ sendo verdadeira equivale à:
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Se hoje é terça-feira então João irá trabalhar.
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Hoje é terça-feira.
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Logo, João irá trabalhar.
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## 4.
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De maneira análoga ao exemplo anterior, temos que:
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Se hoje é terça-feira então João irá trabalhar.
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João não irá trabalhar.
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Hoje não é terça-feira.
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## 5.
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**Modus ponendo tollens:** $\neg (p \land q), p \vdash \neg q$
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Não é possível Pedro e Quércia ambos ganharem em uma mesma partida de xadrez.
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Pedro venceu a partida de xadrez.
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Logo, Quércia perdeu a partida.
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**Modus tollendo ponens:** $p \lor q, \neg p \vdash q$
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Por certo, Pedro ou Quércia compareceriam à reunião.
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Pedro não compareceu.
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Então Quércia compareceu.
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## 6.
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| $p$ | V | V | F | F |
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| --------------------------- |:---:|:---:|:---:|:---:|
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| $q$ | V | F | V | F |
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| $p \to q$ | V | F | V | V |
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| $\neg p \to \neg q$ | V | V | F | V |
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| $q \to p$ | V | V | F | V |
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| $\neg q \to \neg p$ | V | F | V | V |
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| $(p \to q) \land (q \to p)$ | V | F | F | V |
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| $p \iff q$ | V | F | F | V |
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# Lógica elementar
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Respostas à [1ª lista de exercícios](https://classroom.google.com/u/0/c/MzgyMTU0Njc2MjQ1/m/MzgyMTYxMjEwMzg2/details)
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## 1.
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**(a)** $(q \land \lnot r) \to p$
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"*O céu está estrelado e não está fazendo frio, então Eva vai sair para uma caminhada*"
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**(b)** $q \to (\lnot r \to p)$
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A proposição acima equivale à $q \to (r \lor p)$, conforme demonstra a seguinte **tabela verdade**:
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| $r$ | $p$ | $\lnot r \to p$ | $r \lor p $ |
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|:---:|:---:|:---------------:|:-----------:|
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| F | F | F | F |
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| F | V | V | V |
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| V | F | V | V |
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| V | V | V | V |
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Logo, a oração fica: "*O céu está estrelado, então está fazendo frio ou Eva vai sair para uma caminhada.*"
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> Resultado diferente do sugerido pelo professor “O céu está estrelado então Eva vai sair para uma caminhada porque não está fazendo
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> frio.” Este afirma não estar fazendo frio
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**(c)** $\lnot(p \iff (q \lor r))$
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Abordemos a proposição em partes:
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- $p \iff (q \lor r)$: Eva vai sair para uma caminhada se, e somente se, o céu está estrelado ou está fazendo frio.
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- $\lnot(p \iff (q \lor r))$ (a negação da proposta anterior): Eva **não** vai sair para uma caminhada se, e somente se, o céu está estrelado ou está fazendo frio.
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**(d)** $p \iff q$
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**(e)** $(r \land \lnot q) \to \lnot p$
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**(f)** $r \land p$
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## 2.
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| $p$ | $q$ | $p \to q$ | $\lnot p \lor q $ |
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|:---:|:---:|:---------:|:-----------------:|
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| F | F | V | V |
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| F | V | V | V |
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| V | F | F | F |
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| V | V | V | V |
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## 3.
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Se q é uma tautologia, $q \equiv V$ sempre. Enquanto, se r é uma contradição, $r \equiv F$ sempre. Logo,
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| $p$ | $q$ | $r$ | $p \lor q$ | $p \land r$ |
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|:---:|:---:|:---:|:----------:|:-----------:|
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| V | V | F | V | F |
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| F | V | F | V | F |
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## 4.
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**(a)** Nota-se que o valor verdade de tais proposições são equivalentes na tabela verdade:
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| $p$ | $q$ | $r$ | $p \land (q \lor r)$ | $(p \land q) \lor (p \land r)$ |
|
||||
|:---:|:---:|:---:|:--------------------:|:------------------------------:|
|
||||
| F | F | F | F | F |
|
||||
| F | V | F | F | F |
|
||||
| F | F | V | F | F |
|
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| F | V | V | F | F |
|
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| V | F | F | F | F |
|
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| V | V | F | V | V |
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| V | F | V | V | V |
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| V | V | V | V | V |
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||||
**(b)** Tal qual anterioremente,
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| $p$ | $q$ | $r$ | $p \lor (q \land r)$ | $(p\lor q) \land (p \lor r)$ |
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||||
|:---:|:---:|:---:|:--------------------:|:----------------------------:|
|
||||
| F | F | F | F | F |
|
||||
| F | V | F | F | F |
|
||||
| F | F | V | F | F |
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| F | V | V | V | V |
|
||||
| V | V | V | V | V |
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| V | V | F | V | V |
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||||
| V | F | V | V | V |
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| V | F | F | V | V |
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## 5.
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||||
Demonstração da segunda lei de Morgan:
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| $p$ | $q$ | $\lnot (p \lor q)$ | $\lnot p \land \lnot q$ |
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||||
|:---:|:---:|:------------------:|:-----------------------:|
|
||||
| V | V | F | F |
|
||||
| V | F | F | F |
|
||||
| F | V | F | F |
|
||||
| F | F | V | V |
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||||
## 6.
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||||
A Lei de Morgan aplica-se de maneira equivalente na teoria dos conjuntos e na lógica proposicional. Veja que o complemento à intercessão entre dois conjuntos $A$ e $B$ é a união dos complementos de $A$ e $B$:
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Assim o sendo, para $n$ conjuntos $P$ tem-se que:
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$$
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||||
\left(\bigcap^n_{i = 1}P_i\right)^c = \bigcup^n_{i = 1} P_i^{\ c}
|
||||
$$
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||||
|
||||
e também:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\left(\bigcup^n_{i = 1} P_i\right)^c = \bigcap^n_{i = 1} P_i^{\ c}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
## 7.
|
||||
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||||
**(a)** Tautologia: $(p \to q) \lor p \equiv (\neg p \lor q) \lor p \equiv (\neg p \lor p) \lor (q \lor p) \equiv V \lor (q \lor p) \equiv V$
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||||
|
||||
| $p$ | $q$ | $(p \to q) \lor p$ |
|
||||
|:---:|:---:|:------------------:|
|
||||
| V | V | V |
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||||
| V | F | V |
|
||||
| F | V | V |
|
||||
| F | F | V |
|
||||
|
||||
**(b)** Reescrevendo a equação em termos de $\land$ e $\lor$:
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||||
$(p \to (q \to r)) \to ((p \to q) \to (p \to r)) \equiv \\
|
||||
\lnot (\lnot p \lor (\lnot q \lor r)) \lor (\lnot(\lnot p \lor q) \lor (\lnot p \lor r)) \equiv \\
|
||||
(p \land \lnot (\lnot q \lor r)) \lor ((p\land q) \lor (\lnot p \lor r)) \equiv \\
|
||||
(p \land (q \land \lnot r)) \lor ((p \land q) \lor (\lnot p \lor r)) \equiv \\
|
||||
((p \land q) \land (p \land \lnot r)) \lor ((p \land q) \lor (\lnot p \lor r))
|
||||
$
|
||||
|
||||
| $p$ | $q$ | $r$ | $((p \land q) \land (p \land \lnot r)) \lor ((p \land q) \lor (\lnot p \lor r))$ |
|
||||
|:---:|:---:|:---:|:--------------------------------------------------------------------------------:|
|
||||
| F | F | F | $(F \land F) \lor (F \lor V) \equiv V$ |
|
||||
| F | V | F | $(F \land F) \lor (F \lor V) \equiv V$ |
|
||||
| F | F | V | $(F \land F) \lor (F \lor V) \equiv V$ |
|
||||
| F | V | V | $(F \land F) \lor (F \lor V) \equiv V$ |
|
||||
| V | V | V | $(V \land F) \lor (V \lor V) \equiv V$ |
|
||||
| V | V | F | $(V \land V) \lor (V \lor F) \equiv V$ |
|
||||
| V | F | V | $(F \land F) \lor (F \lor V) \equiv V$ |
|
||||
| V | F | F | $(F \land V) \lor (F \lor V) \equiv V$ |
|
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## 8.
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||||
| $p$ | $p \lor \lnot p$ | $p \land \lnot p$ |
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||||
|:---:|:-------------------:|:--------------------:|
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||||
| F | $F \lor V \equiv V$ | $F \land V \equiv F$ |
|
||||
| V | $V \lor F \equiv V$ | $V \land F \equiv F$ |
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## 9.
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||||
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||||
$p \to (q \to r) \equiv \lnot p \lor (\lnot q \lor r) \equiv \lnot (p \land q) \lor (\lnot p \lor r) \\
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||||
(p \to q)\to r \equiv \lnot(\lnot p \lor q) \lor r \equiv (p \land \lnot q) \lor r \equiv (p \lor r) \land (r \lor \lnot q)
|
||||
$
|
||||
|
||||
| $p$ | $q$ | $r$ | $\lnot (p \land q) \lor (\lnot p \lor r)$ | $(p \lor r) \land (r \lor \lnot q)$ |
|
||||
|:---:|:---:|:---:|:-----------------------------------------:|:-----------------------------------:|
|
||||
| F | F | F | $V \lor V \equiv V$ | $F \land V \equiv F$ |
|
||||
| F | V | F | $V \lor V \equiv V$ | $F \land F \equiv F$ |
|
||||
| F | F | V | $V \lor V \equiv V$ | $V \land V \equiv V$ |
|
||||
| F | V | V | $V \lor V \equiv V$ | $V \land V \equiv V$ |
|
||||
| V | V | V | $F \lor V \equiv V$ | $V \land V \equiv V$ |
|
||||
| V | V | F | $F \lor F \equiv F$ | $V \land F \equiv F$ |
|
||||
| V | F | V | $V \lor V \equiv V$ | $V \land V \equiv V$ |
|
||||
| V | F | F | $V \lor F \equiv V$ | $V \land V \equiv V$ |
|
||||
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||||
## 10.
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Conforme a seguinte tabela verdade, isso pode ser feito de duas formas: reunindo-se apenas com o representante turco ou, senão, apenas com os representantes turco e russo.
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| $a$ | $t$ | $r$ | $(a \land \lnot t) \lor (\lnot a \land t)$ | $(r \lor t)$ | $\lnot (a \land r)$ |
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||||
|:---:|:---:|:---:|:------------------------------------------:|:------------:|:-------------------:|
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||||
| F | F | F | F | F | V |
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||||
| F | V | F | V | V | V |
|
||||
| F | F | V | F | V | V |
|
||||
| F | V | V | V | V | V |
|
||||
| V | V | V | F | V | F |
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||||
| V | V | F | F | V | V |
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||||
| V | F | V | V | V | F |
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||||
| V | F | F | V | F | V |
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## 11.
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O **princípio da equivalência** descreve que para quaisquer proposições $p$ e $q$ equivalentes entre si que contenham os conectivos $\lnot$, $\land$ ou $\lor$, mas não necessariamente todos, as proposições **duais** destas (proposições obtidas pela substituição de cada $\land$ por $\lor$ e vice-versa; e de cada constante $V$ por $F$ e vice versa) também são equivalentes entre si.
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Por exemplo,
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$p \land (p \lor p) \iff p$
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Como, por hipótese, temos que $p \equiv q$, então
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$p \land (p \lor q) \iff p$
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||||
Podemos ainda adicionar à formulação anterior o elemento neutro $\lor\ F$:
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||||
$(p \lor F) \land (p \lor q) \iff p$
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||||
E então simplificá-la:
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$\underbrace{p \lor \underbrace{(F \land q)}_{\text{Identidade}}}_{\text{Distributiva}} \iff p \\\ \\
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||||
p \lor F \iff p \\
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||||
p \iff p
|
||||
$
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||||
|
||||
Consideremos agora a formulação dual deste mesmo teorema:
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||||
$p \lor (p \land q) \iff p \\
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||||
(p \land V) \lor (p \land q) \iff p \\
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||||
p \land (V \lor q) \iff p \\
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||||
p \land V \iff p \\
|
||||
p \iff p
|
||||
$
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||||
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||||
Fica demonstrado que realizando as substituições propostas, "duais", alcançamos resultados equivalentes.
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## 12.
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Podemos descrever o XOR em termos de conjunção e disjunção da seguinte forma:
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$$
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||||
p\ \underline \lor\ q \equiv (p \land \lnot q) \lor (\lnot p \land q)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Assim, para este temos a seguinte tabela verdade:
|
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||||
| $p$ | $q$ | $(p \land \lnot q) \lor (\lnot p \land q)$ |
|
||||
|:---:|:---:|:------------------------------------------:|
|
||||
| F | V | V |
|
||||
| F | F | F |
|
||||
| V | V | F |
|
||||
| V | F | V |
|
||||
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## 13.
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||||
**(a)** Vamos simplificar a proposição e admitir que esta seja falsa:
|
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||||
$$
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||||
(p \iff (\neg q \lor r)) \to (\neg p \to q) \equiv
|
||||
(p \iff (\neg q \lor r)) \to (p \lor q) \equiv F
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Analizemos a tabela verdade para identificar os valores de $(p \iff (\neg q \lor r))$ e $(p \lor q)$ que levam a este resultado:
|
||||
|
||||
| $(p \iff (\neg q \lor r))$ | $(p \lor q)$ | $(p \iff (\neg q \lor r)) \to (p \lor q)$ |
|
||||
|:--------------------------:|:------------:|:-----------------------------------------:|
|
||||
| V | V | V |
|
||||
| V | F | F |
|
||||
| F | V | V |
|
||||
| F | F | V |
|
||||
|
||||
Apenas quando $(p \iff (\neg q \lor r)) \equiv V$ e $(p \lor q) \equiv F$ obtêm-se tal resultado. Para $(p \lor q) \equiv F$, $p \equiv q \equiv F$. Substituindo estes valores, temos:
|
||||
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||||
$(F \iff (\neg F \lor r)) \equiv V \\
|
||||
(F \iff (V \lor r)) \equiv V \\
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||||
F \iff V \equiv V
|
||||
$
|
||||
|
||||
Chegamos a um absurdo. Assim o sendo, não é possível que esta expressão seja falsa: trata-se de uma **tautologia**.
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|
||||
**(b)** $(p \to (q \lor r)) \lor (p \lor q) \equiv (p \to q) \lor (p \to r)\ \cancel{\lor\ (p \to q)}\ \equiv p \to (q \lor r) \equiv F$
|
||||
|
||||
Para produzir esse resultado bastaria que $p \equiv V$ e $q \equiv r \equiv F$. Qualquer outra configuração não produziria resultado verdadeiro. Não se reduziu ao absurdo, esta não se trata de uma tautologia ou contradição.
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||||
## 14.
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||||
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||||
**(a)** $p \land q \equiv \neg(\neg p \lor \neg q)$
|
||||
|
||||
**(b)** $p \to q \equiv \neg p \lor q$
|
||||
|
||||
**(c)** $p \to q \equiv \neg(p \land \neg q)$
|
||||
|
||||
**(d)** $p \land q \equiv \neg (p \to \neg q)$
|
||||
|
||||
**(e)** $p \lor q \equiv \neg p \to q$
|
||||
|
||||
## 15.
|
||||
|
||||
**(a)**
|
||||
|
||||
| $p$ | $q$ | $p \uparrow q$ | $\neg p \uparrow \neg q$ |
|
||||
|:---:|:---:|:--------------:|:------------------------:|
|
||||
| V | V | F | V |
|
||||
| V | F | V | V |
|
||||
| F | V | V | V |
|
||||
| F | F | V | F |
|
||||
|
||||
**(b)**
|
||||
|
||||
$\neg p \iff p \uparrow p$
|
||||
|
||||
$p \land q \iff (p \uparrow q) \uparrow (p \uparrow q)$
|
||||
|
||||
$p \lor q \iff (p \uparrow p) \uparrow (q \uparrow q)$
|
||||
|
||||
**(c)**
|
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||||
$(p \to q) \iff p \uparrow (q \uparrow q) \iff p \uparrow (p \uparrow q)$
|
||||
|
||||
$(p \iff q) \iff (p \uparrow q) \uparrow ((p \uparrow p) \uparrow (q \uparrow q))$
|
||||
|
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## 16.
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||||
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||||
**(a)** $(p \iff (((\neg q) \lor r) \to p)) \equiv \\
|
||||
p \iff ((\neg q \lor r) \to p) \equiv \\
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||||
(p \iff \neg q \lor r) \to (p \iff p) \equiv \\
|
||||
p \iff \neg q \lor r\ \underbrace{\to p}_{\text{redundante}} \equiv \\
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||||
p \iff \neg q \lor r
|
||||
$
|
||||
|
||||
**(b)** Como assim? O próprio enunciado demonstrou.
|
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# Resolução da [Lista 3](https://drive.google.com/file/d/11EVnUCFLDsAWBr3CKzHrrxE9ZWtppUSw/view?usp=drive_web&authuser=0) da disciplina de Matemática Discreta
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> Feita por Guilherme de Abreu Barreto[^1]
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## Teoria dos Conjuntos
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### Exercício 1
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**(a)** O conjunto dos planetas no Sistema Solar;
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**(b)** O conjunto dos Estados Federativos da República do Brasil.
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**(c)** O conjunto dos números naturais pares;
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**(d)** O conjunto de potências de 2 para qualquer expoente ${x \in \N : x \ge 1}$;
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**(e)** O conjunto dos números primos.
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### Exercício 2
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$A \cap B \cap C$: o conjunto das argentinas residentes no Brasil;
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$B \backslash A$: o conjunto dos residentes no Brasil que não são argentinos;
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$C \backslash A$: o conjunto das mulheres no mundo que não são argentinas;
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$C \backslash B$: o conjunto das mulheres no mundo que não residem no Brasil;
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$B \backslash C$: o conjunto de residentes homens no Brasil.
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### Exercício 3
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$$
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\begin{matrix}
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\{\} & \{a\} & \{b\} & \{c\} \\
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\{d\} & \{a,b\} & \{a,c\} & \{a,d\} \\
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\{b,c\} & \{b,d\} & \{c,d\} & \{a,b,c\} \\
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\{a,b,d\} & \{a,c,d\} & \{b,c,d\} & \{a,b,c,d\}
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\end{matrix}
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$$
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### Exercício 4
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$$
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\binom 52 = \frac{5!}{2!(5 - 2)!} = 10
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$$
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### Exercício 5
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A relação de contingência é transitiva. Então se A está contido em B, e B está contido em C, A está contido em C. Tal qual ilustra a seguinte imagem (em ordem reversa):
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<img src="file:///home/user/Public/USP/Sistemas%20de%20Informação/2º%20semestre/Matemática%20Discreta%20I/Lista%203/Imagens/2021-10-27-18-24-07-image.png" title="" alt="" data-align="center">
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### Exercício 6
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Se $A$ está contido em $B$, então a união de $A$ com $C$ está contida pela união de $B$ com $C$. De fato, o seguinte diagrama de Venn demonstra esta proposição:
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| A, B, C | B ∪ C | B ∪ C ⊆ A ∪ C |
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|:------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|:------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|:------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|
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### Exercício 7
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Um dado conjunto A é subconjunto de um conjunto B se A está **contido** em B, isto é, todos os elementos de A também são elementos de B. Os elementos de A e B podendo mesmo coincidir.
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Segue desta definição de subconjunto que o conjunto vazio é contido por todos os conjuntos, pois todos os conjuntos existentes contém os elementos que compõem o conjunto vazio, isto é, nenhum (todos tem nada e mais algo). Ainda, mesmo o conjunto vazio contém todos os elementos que constituem... o conjunto vazio, e portanto também o contém.
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### Exercício 8
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Uma vez que $A\backslash B = A \cap \overline B$, temos:
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$(A \backslash B) \cup (B \backslash A)
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= (A \cap \overline B) \cup (B \cap \overline A) = \underbrace{[(A \cap \overline B) \cup B] \cap [(A \cap \overline B) \cup \overline A]}_{\text{Distributiva}} \\ = [(A \cup B) \cap (\overline B \cup B)] \cap [(A \cup \overline A) \cap (\overline B \cup \overline A)] = [(A \cup B) \cap \Omega] \cap [\Omega \cap (\overline B \cup \overline A)]\\ = (A \cup B) \cap (\overline B \cup \overline A) = (A \cup B) \cap \underbrace{(\overline{A \cap B})}_{\text{De Morgan}} = (A \cup B) \backslash (A \cap B)\,\blacksquare$
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### Exercício 9
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#### Associatividade na intersecção
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| $B \cap C$ | $A \cap (B \cap C)$ |
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|:------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|:-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|
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|  |  |
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| $A \cap B$ | $(A \cap B) \cap C$ |
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#### Associatividade na união
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| $B \cup C$ | $A \cup (B \cup C)$ |
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|:------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|:------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|
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|  |  |
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| $A \cup B$ | $(A \cup B) \cup C$ |
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### Exercício 10
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#### Distributividade da intersecção na união
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| $B \cup C$ | $A \cap (B \cup C)$ |
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|:-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|:------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|
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|  |  |
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| $A \cap B$ | $A \cap C$ | $(A \cap B) \cup (A \cap C)$ |
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|:------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|:------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|:-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|
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|  |  |  |
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| $A \cup B$ | $A \cup C$ | $(A \cup B) \cap (A \cup C)$ |
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|:-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|:------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|:------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|
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|  |  |  |
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### Exercício 11
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#### Complemento da intersecção
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| $A \cap B$ | $\overline{A \cap B}$ |
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|:----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|:------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|
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|  | <img src="file:///home/user/Public/USP/Sistemas%20de%20Informação/2º%20semestre/Matemática%20Discreta%20I/Lista%203/Imagens/6a0ef6868c5af59f3618ee4e6d3999b1f751901a.png" title="" alt="" width="212"> |
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| $\overline A$ | $\overline B$ | $\overline A \cup \overline B$ |
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|:---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|:------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|:------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|
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|  |  | <img src="file:///home/user/Public/USP/Sistemas%20de%20Informação/2º%20semestre/Matemática%20Discreta%20I/Lista%203/Imagens/6a0ef6868c5af59f3618ee4e6d3999b1f751901a.png" title="" alt="" width="208"> |
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#### Complemento da união
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| $A \cup B$ | $\overline{A \cup B}$ |
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|:----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|:------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|
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|  | <img src="file:///home/user/Public/USP/Sistemas%20de%20Informação/2º%20semestre/Matemática%20Discreta%20I/Lista%203/Imagens/ddf5127e24e7bac0516564851879785171dbe2a5.png" title="" alt="" width="212"> |
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| $\overline A$ | $\overline B$ | $\overline A \cap \overline B$ |
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|:----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|:-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|:------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|
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|  |  | <img src="file:///home/user/Public/USP/Sistemas%20de%20Informação/2º%20semestre/Matemática%20Discreta%20I/Lista%203/Imagens/ddf5127e24e7bac0516564851879785171dbe2a5.png" title="" alt="" width="206"> |
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### Exercício 12
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**a.** $A\Delta B = \{0,1,2,3,7,8,9\}$;
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**b.** $B \Delta C = \{1, 3, 4, 6, 8\}$;
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**c.** $B \Delta D = \{2,3,4,6,9\}; A \cap (B \Delta D) = \{2,3,4,6\}$
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**d.** $A \cap B = \{4,5,6\}; A \cap D = \{2,3,5\}; (A \cap B) \Delta (A\cap D) = \{2,3,4,6\}$
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### Exercício 13
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| $A \Delta B$ | $C$ | $A \Delta B \Delta C$ |
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|:------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|:------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|:------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|
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|  |  |  |
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### Exercício 14
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**a.** $A \oplus B = (A\backslash B) \cup (B \backslash A) = (B \backslash A) \cup (A\backslash B) = B \oplus A$
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**b.** $A \oplus B = (A\backslash B) \cup (B \backslash A) = (\overline B\backslash \overline A) \cup (\overline A \backslash \overline B) = (\overline A \backslash \overline B) \cup (\overline B\backslash \overline A) = \overline A \oplus \overline B$
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**c.** $A \oplus \varnothing = (A \backslash \varnothing) \cup (\varnothing \backslash A) = A \cup \varnothing = A$
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**d.** $A \oplus A = (A\backslash A) \cup (A\backslash A) = \varnothing \cup \varnothing = \varnothing$
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**e.** $A * A = A \cap A = A$
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**f.** $A \oplus (B \oplus C) = A \oplus B \oplus C = (A \oplus B) \oplus C$
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**g.** $A \oplus B = A \oplus C \implies (A \oplus B) \cap \overline A = (A \oplus C) \cap \overline A \implies (B \backslash A) = (C \backslash A)$
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Pela definição de diferença, tem-se que $B\backslash A = \{x : (x \in B) \land (x \not \in A) \}$, e $C\backslash A = {x : (x \in C) \land (x \not \in A) }$. Ora, se $B\backslash A$ equivale a dizer que um elemento está em $C$ mas não em $A$ ($C\backslash A$), então $B = C$.
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**h.** $A * (B \oplus C) = A \cap (B \oplus C) = \underbrace{(A \cap B) \oplus (A \cap C)}_{\text{Distributividade na intersecção}} = (A * B) \oplus (A * C)$
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Propriedade esta da distributividade demonstrada no exercício 10.
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### Exercício 15
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**a.** Cada subconjunto a integrar o produto fundamental pode assumir 2 formas distintas: $A_i$ ou $\overline A_i$. Assim sendo, conforme a análise combinatória, para $n$ subconjuntos existem $2_1 \times 2_2 \times \dots \times 2_n = 2^n$ possibilidades distintas de produto fundamental.
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**b.** Segue da formulação anterior que, para cada par $J$ e $K$ de produto fundamental existe pelo menos um conjunto $\overline A_i$ ($1 \le i \le n$) em $J$ que é complementar ao conjunto $A_i$ em $K$. Isto é, dado um elemento $x$ qualquer tem-se:
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$$
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\{x : (x \in A_i)\ \underline \lor\ (x \in \overline A_i)\}
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$$
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Onde $\underline \lor$ é o "ou exclusivo". Como $J = \{x : x \in (A_1 \cap \dots \cap A_i \cap \dots \cap A_n)\}$, $K = \{x : x \in (A_1 \cap \dots \cap \overline A_i \cap \dots \cap A_n)\}$ e a definição de intersecção para quaisquer conjuntos $A$ e $B$ é $A \cap B = \{x : (x \in A) \land (x \in B)\}$, não à elemento em $J$ que também pertença à $K$. Estes conjuntos são, portanto, **disjuntos** entre si.
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**c.** O conjunto Universo $\Omega$ é aquele que engloba a todos os elementos que pertencem à qualquer conjunto. Consideremos o par de conjuntos $J$ e $K$ anterior. Um elemento $x$ que pertence a $J$ não pertence a $K$ e vice-versa, não obstante este pertence a algum conjunto e portanto pertence também ao conjunto Universo. Pela definição de produto fundamental, podemos extrapolar essa relação para qualquer número $n$ de conjuntos de produto fundamental. Assim, qualquer elemento $x$ é tal que pertence a um produto fundamental, não pertence aos $(n - 1)$ demais, e pertence ao conjunto Universo.
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Como todos os elementos $x$ são assim compreendidos pelo conjunto Universo, pela definição de subconjunto dada no exercício 6, todo produto fundamental é subconjunto do conjunto Universo e, por conseguinte, o conjunto Universo unifica todos os produtos fundamentais.
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## Exercício 16
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Um subconjunto $X$ de $S$ é tal que possui $i$ elementos, $0 \le i \le n$, deste último. Ou seja, para cada elemento de $S$ existem 2 possibilidades: estar ou não em $X$. Assim sendo, conforme a análise combinatória, para $n$ elementos existem $2_1 \times 2_2 \times \dots \times 2_n = 2^n$ possíveis subconjuntos.
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Tal qual fizemos no exercício 4, podemos quantificar o número de subconjuntos a conter $m$ elementos pela seguinte relação binominal:
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$$
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\binom nm = \frac{n!}{m!(n - m)!}
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$$
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### Exercício 17
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<img src="file:///home/user/Public/USP/Sistemas%20de%20Informação/2º%20semestre/Matemática%20Discreta%20I/Lista%203/Imagens/2021-10-29-12-49-06-image.png" title="" alt="" data-align="center">
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||||
A relação dada pelo enunciado trata-se do *Princípio de Inclusão e Exclusão*.
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$$
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|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|
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$$
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De fato, ao contarmos o número de elementos em $|A \cup B|$ pela soma dos elementos em $|A| + |B|$, necessitamos também subtrair o número de elementos em $|A \cap B|$ de forma a evitar que estes sejam contabilizados duas vezes.
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### Exercício 18
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Uma forma mais geral do Princípio de Inclusão Exclusão pode ser expressa como:
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$$
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\left | \bigcup^n_{i = 1} A_i \right | = \sum^n_{i = 1} |A_i|
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- \sum^{n - 1}_{i = 1}\sum^n_{j = i + 1} | A_i \cap A_j |
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||||
+ (-1)^{n - 1} \left | \bigcap^n_{i = 1} A_i \right |
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||||
$$
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||||
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Assim, temos que
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$|A \cup B \cup C| = (|A| + |B| + |C|) - (|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|) + |A \cap B \cap C|$
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||||
Enquanto
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$|A \cup B \cup C \cup D| = (|A| + |B| + |C| + |D|) - (|A \cap B| + |A \cap C| + |A \cap D| \\ + |B \cap C| + |B \cap D| + |C \cap D|) - |A \cap B \cap C \cap D|$
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### Exercício 19
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Para qualquer elemento $x$, se $x$ está contido em $A$ este
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- está contido em um subconjunto de $P(A)$
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- não está contido em $B$ ou um subconjunto de $P(B)$
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e vice-versa. Isso pois $A$ e $B$ tratam-se de conjuntos **disjuntos**. Assim sendo,
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- $P(A) \cap P(B) = A \cap B = \varnothing$
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- $P(A) \cup P(B) \subseteq A \cup B$
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||||
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### Exercício 20
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||||
Observe o seguinte gráfico:
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```vega-lite
|
||||
{
|
||||
"$schema": "https://vega.github.io/schema/vega/v5.json",
|
||||
"description": "A basic stacked bar chart example.",
|
||||
"width": 500,
|
||||
"height": 200,
|
||||
"padding": 5,
|
||||
|
||||
"data": [
|
||||
{
|
||||
"name": "table",
|
||||
"values": [
|
||||
{"x": "São religiosos", "y": 79, "c": 0}, {"x": "São religiosos", "y": 21, "c": 1},
|
||||
{"x": "Fizeram compras online", "y": 26, "c": 0}, {"x": "Fizeram compras online", "y": 74, "c": 1}
|
||||
],
|
||||
"transform": [
|
||||
{
|
||||
"type": "stack",
|
||||
"groupby": ["x"],
|
||||
"sort": {"field": "c"},
|
||||
"field": "y"
|
||||
}
|
||||
]
|
||||
}
|
||||
],
|
||||
|
||||
"scales": [
|
||||
{
|
||||
"name": "x",
|
||||
"type": "band",
|
||||
"range": "width",
|
||||
"domain": {"data": "table", "field": "x"}
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"name": "y",
|
||||
"type": "linear",
|
||||
"range": "height",
|
||||
"nice": true, "zero": true,
|
||||
"domain": {"data": "table", "field": "y1"}
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"name": "color",
|
||||
"type": "ordinal",
|
||||
"range": "category",
|
||||
"domain": {"data": "table", "field": "c"}
|
||||
}
|
||||
],
|
||||
|
||||
"axes": [
|
||||
{"orient": "bottom", "scale": "x", "zindex": 1},
|
||||
{"orient": "left", "scale": "y", "zindex": 1}
|
||||
],
|
||||
|
||||
"marks": [
|
||||
{
|
||||
"type": "rect",
|
||||
"from": {"data": "table"},
|
||||
"encode": {
|
||||
"enter": {
|
||||
"x": {"scale": "x", "field": "x"},
|
||||
"width": {"scale": "x", "band": 1, "offset": -1},
|
||||
"y": {"scale": "y", "field": "y0"},
|
||||
"y2": {"scale": "y", "field": "y1"},
|
||||
"fill": {"scale": "color", "field": "c"}
|
||||
},
|
||||
"update": {
|
||||
"fillOpacity": {"value": 1}
|
||||
},
|
||||
"hover": {
|
||||
"fillOpacity": {"value": 0.5}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
]
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
|
||||
Se admitirmos que o maior número possível de pessoas não religiosas e que nunca fizeram uma compra online, temos que no mínimo o número de pessoas religiosas que nunca fizeram compras é $[100 - (26 + 21)]\% = 53\%$ da população. Por outro lado,
|
||||
|
||||
```vega-lite
|
||||
{
|
||||
"$schema": "https://vega.github.io/schema/vega/v5.json",
|
||||
"description": "A basic stacked bar chart example.",
|
||||
"width": 500,
|
||||
"height": 200,
|
||||
"padding": 5,
|
||||
|
||||
"data": [
|
||||
{
|
||||
"name": "table",
|
||||
"values": [
|
||||
{"x": "São religiosos", "y": 79, "c": 0}, {"x": "São religiosos", "y": 21, "c": 1},
|
||||
{"x": "Não fizeram compras online", "y": 74, "c": 0}, {"x": "Não fizeram compras online", "y":26, "c": 1}
|
||||
],
|
||||
"transform": [
|
||||
{
|
||||
"type": "stack",
|
||||
"groupby": ["x"],
|
||||
"sort": {"field": "c"},
|
||||
"field": "y"
|
||||
}
|
||||
]
|
||||
}
|
||||
],
|
||||
|
||||
"scales": [
|
||||
{
|
||||
"name": "x",
|
||||
"type": "band",
|
||||
"range": "width",
|
||||
"domain": {"data": "table", "field": "x"}
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"name": "y",
|
||||
"type": "linear",
|
||||
"range": "height",
|
||||
"nice": true, "zero": true,
|
||||
"domain": {"data": "table", "field": "y1"}
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"name": "color",
|
||||
"type": "ordinal",
|
||||
"range": "category",
|
||||
"domain": {"data": "table", "field": "c"}
|
||||
}
|
||||
],
|
||||
|
||||
"axes": [
|
||||
{"orient": "bottom", "scale": "x", "zindex": 1},
|
||||
{"orient": "left", "scale": "y", "zindex": 1}
|
||||
],
|
||||
|
||||
"marks": [
|
||||
{
|
||||
"type": "rect",
|
||||
"from": {"data": "table"},
|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
},
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||||
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|
||||
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|
||||
},
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||||
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||||
"fillOpacity": {"value": 0.5}
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}
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}
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}
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]
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}
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```
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Se admitirmos que a correspondência entre pessoas religiosas e que não fizeram compras online é máxima, teremos que todos que não fizeram compras online, $74\%$ da população, são religiosos.
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Por isso esse índice nunca é igual ou inferior à 50% da população.
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### Exercício 21
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Todos aqueles múltiplos de $2 \times 3 = 6$ e $2 \times 5 = 10$, descontados aqueles múltiplos de $2 \times 3 \times 5 = 30$. Ou seja, o quociente de $100 / 6$ mais o quociente de $100 / 10$ menos o quociente de $100 / 30$, o que resulta em $16 + 10 - 3 = 23$.
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[^1]: nUSP: 12543033; Turma 04
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@ -1,275 +0,0 @@
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# Resolução da [Lista 4](https://drive.google.com/file/d/1ls29hxpLdYCc-sF8LkKYiFCs1M79PUKb/view?usp=drive_web&authuser=0) da disciplina de Matemática Discreta
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> Feita por Guilherme de Abreu Barreto[^1]
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## Relações
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### Exercício 1
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Se concordarmos que a Teoria dos Conjuntos provêm uma sólida fundamentação axiomática a partir da qual construirmos demais saberes matemáticos, então temos de demonstrar como demais objetos matemáticos podem ser descritos enquanto conjuntos de algum tipo. Ou seja, se **pares ordenados** não forem compreendidos enquanto axiomas, então estes podem ser descritos enquanto conjuntos. O principal problema o qual temos de sanar nesta representação é o fato de que conjuntos descrevem qualquer agrupamento de elementos distintos, mesmo aqueles **desordenados**; tal que um conjunto$A = \{a,b\} = \{b,a\}$.
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||||
Para sanar essa insuficiência, o matemático Kazimierz Kuratowski propôs em 1921 a seguinte definição:
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- Considere um conjunto com dois valores $a, b$:
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$A = \{a,b\}$
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- Então, o conjunto potência de $A$ é:
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$P(A) = \{\{\}, \{a\},\{b\},\{a,b\}\}$
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||||
- Se deste conjunto derivarmos um subconjunto contendo todos os elementos que por vez contêm $a$, teremos:
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||||
$S(P(A)) = \{\{a\},\{a,b\}\}$
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||||
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||||
Note que este subconjunto contém toda informação necessária para descrevermos um par ordenado:
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||||
- Os valores $a$ e $b$.
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||||
- A ordenação destes: o primeiro elemento é descrito pelo elemento $\{a\}$
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||||
Finalmente, podemos então restituir a notação original estabelecendo a correspondência $(a,b) := \{\{a\},\{a,b\}\}$.
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||||
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||||
Voltemos ao problema em questão. $(a,b)$ = $(c,d)$ se e somente se $a = c$ e $b = d$. Procederemos na ida por demonstração direta:
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$$
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(a,b) := \{\{a\},\{a,b\}\} = \{\{c\},\{c,d\}\} := (c,d)
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||||
$$
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||||
|
||||
E na volta procederemos por contradição. Por hipótese, a = c e b = d, onde $(a,b) := \{\{a\},\{a,b\}\}$. Vamos assumir aqui que também a = b = c = d. Pela definição de conjuntos, os elementos que constituem um conjunto são todos **distintos entre si**, de tal forma que repetições são redundantes, não constituem novos elementos. Assim:
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||||
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||||
$$
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||||
(a,a) := \{\{a\}, \{\underbrace{a,a}_{ =\ a}\}\}
|
||||
= \{\underbrace{\{a\},\{a\}}_{=\ \{a\}}\} = \{\{a\}\}
|
||||
$$
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||||
|
||||
Podemos notar que a cardinalidade deste conjunto é distinta daquela da hipótese:
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$|\{\{a\}\}| = 1;\\ |\{\{a\},\{a,b\}\}| = 2$
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||||
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||||
O que é absurdo. Logo, só é possível que $(a,b) = (c,d)$ se $a = b$ e $c = d$, e não doutra forma. $\blacksquare$
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||||
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### Exercício 2
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||||
**a.**
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<img title="" src="file:///home/user/Public/USP/Sistemas%20de%20Informação/2º%20semestre/Matemática%20Discreta%20I/Lista%204/Imagens/2021-10-30-13-34-56-image.png" alt="" data-align="center" width="278">
|
||||
|
||||
**b.**
|
||||
|
||||
| R | a | b | c |
|
||||
| ----- | --- | --- | --- |
|
||||
| **1** | 0 | 1 | 1 |
|
||||
| **2** | 0 | 0 | 0 |
|
||||
| **3** | 0 | 1 | 0 |
|
||||
| **4** | 1 | 0 | 1 |
|
||||
|
||||
**c.** $R^{-1} = \{(b,1),(c,1),(b,3),(a,4),(c,4)\}$
|
||||
|
||||
| R^-1^ | 1 | 2 | 3 | 4 |
|
||||
| ----- | --- | --- | --- | --- |
|
||||
| **a** | 0 | 0 | 0 | 1 |
|
||||
| **b** | 1 | 0 | 1 | 0 |
|
||||
| **c** | 1 | 0 | 0 | 1 |
|
||||
|
||||
**d.** Uma é a matriz transposta da outra. Isso é uma se obtêm pela transposição dos elementos ordenados em linhas na outra para colunas na própria.
|
||||
|
||||
### Exercício 3
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||||
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||||
<img title="" src="file:///home/user/Public/USP/Sistemas%20de%20Informação/2º%20semestre/Matemática%20Discreta%20I/Lista%204/Imagens/2021-10-30-17-43-57-image.png" alt="" data-align="center" width="293">
|
||||
|
||||
**a.** $T = R \circ S = \{(1,x), (2,y), (2,z)\}$
|
||||
|
||||
**b.** $M_R = \left[\begin{matrix}
|
||||
0 & 1 & 0 \\
|
||||
1 & 0 & 1 \\
|
||||
0 & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 0 & 0 \end{matrix}\right]; M_S = \left[\begin{matrix}
|
||||
0 & 1 & 0 \\
|
||||
1 & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 1 & 1 \end{matrix}\right]$
|
||||
|
||||
**c.** Estas são ligeiramente diferentes:
|
||||
|
||||
$M_T = \left[\begin{matrix}
|
||||
1 & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 1 & 1 \\
|
||||
0 & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 0 & 0 \end{matrix}\right] \\\ \\
|
||||
M_RM_S = \left[\begin{matrix}
|
||||
0 & 1 & 0 \\
|
||||
1 & 0 & 1 \\
|
||||
0 & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 0 & 0 \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix}
|
||||
0 & 1 & 0 \\
|
||||
1 & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 1 & 1 \end{matrix}\right] =
|
||||
\left[\begin{matrix}
|
||||
1 & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 2 & 1 \\
|
||||
0 & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 0 & 0 \end{matrix}\right]$
|
||||
|
||||
Note que a matriz resultante $M_RM_S$ corresponde às posições de incidência das setas em $C$ e também o número destas:
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||||
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| T = R ○ S | x | y | z |
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||||
| --------- | --- | --- | --- |
|
||||
| **1** | 1 | 0 | 0 |
|
||||
| **2** | 0 | 2 | 1 |
|
||||
| **3** | 0 | 0 | 0 |
|
||||
| **4** | 0 | 0 | 0 |
|
||||
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### Exercício 4
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| R | S | R ○ S |
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|:---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|:----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|:---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|
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|  |  |  |
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||||
| **S ○ R** | **R^2^** | **S^2^** |
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||||
|  |  |  |
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### Exercício 5
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||||
| R^-1^ | R^2^ |
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|:---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|:---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|
|
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|  |  |
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||||
Nota-se que as relações $R$, $R^{-1}$ e $R^2$ **não** são funções pois mapeiam pelo menos um valor no domínio para mais de um valor na imagem.
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### Exercício 6
|
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||||
| R | R^-1^ |
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||||
|:---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|:---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|
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|  |  |
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||||
| **R ∪ R^-1^** | **R ∩ R^-1^** |
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|  |  |
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### Exercício 7
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Sejam R e S ordens parciais sobre um conjunto A. Mostre que R∩S também é uma relação de ordem parcial sobre A.
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||||
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||||
Para uma relação ser de tipo ordem parcial, esta necessita ser **reflexiva**, **antissimétrica** e **transitiva**. A relação de intersecção $R \cap S$ é deste tipo por consequência de carregar tais características dos conjuntos que integra:
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||||
|
||||
- Esta é reflexiva pois qualquer par ordenado $(a,a) \in R$ corresponde s $(a,a) \in S$ e portanto a $(a,a) \in R \cap S$.
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||||
|
||||
- Para qualquer par ordenado $(a,b) \in R \cap S$, $(a,b) \in R$ e $(a,b) \in S$. Como tanto $R$ e $S$ são antissimétricos, $(b,a) \not\in R$, $(b,a) \not\in S$ e $(b,a) \not\in R \cap S$.
|
||||
|
||||
- Para qualquer par ordenado $(a,b), (b,c) \in R \cap S$, $(a,b), (b,c) \in R$ e $(a,b), (b,c) \in S$. Como tanto R e S são transitivos, $(a,c) \in R$, $(a,c) \in S$ e $(a,c) \in R \cap S$.
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### Exercício 8
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Tal relação é:
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- Reflexiva pois $a^1 = a$, $1 \in \N$. Portanto $(a,a) \in R$.
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- Antissimétrica pois se $a^r = b$ então $b^\frac 1r = \pm a$, mas $\frac 1r \not \in \N$. Portanto $(a,b) \in R$, mas $(b, a) \not \in R$.
|
||||
|
||||
- Transitiva pois se $a^r = b$ e $b^s = c$ então $a^{r \cdot s} = c$, $r \cdot s \in \N$. Então $(a,c) \in R$.
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||||
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||||
O conjunto destas qualidades configura que o conjunto $R$ é de tipo parcialmente ordenado sobre $\Z$.
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### Exercício 9
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Tal relação é:
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- Reflexiva pois se $A = B$ então $(A,A) \in R$.
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- Antissimétrica pois se $A \subset B$ então $B \not \subset A$. Portanto $(A,B) \in R$, mas $(B, A) \not \in R$.
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||||
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||||
- Transitiva pois se $A \subseteq C$ e $C \subseteq B$ então $A \subseteq B$. Logo $(A,C) \in R$, $(C, B) \in R$ e $(A, B) \in R$.
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||||
|
||||
O conjunto destas qualidades configura que o conjunto R é de tipo parcialmente ordenado.
|
||||
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||||
**Diagrama de Hasse para S = P({a,b,c})**
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<img src="file:///home/user/Public/USP/Sistemas%20de%20Informação/2º%20semestre/Matemática%20Discreta%20I/Lista%204/Imagens/cbdf8dffb6e245ed2f81937b9070c1a9dcc52977.png" title="" alt="" data-align="center">
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### Exercício 10
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||||
Uma relação de equivalência trata-se de uma relação binária que é **reflexiva**, **simétrica** e **transitiva**.
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Assim sendo, a relação descrita é de tal tipo tido que ela é
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||||
- Reflexiva pois se $p = r$ e $q = s$ então $((p,q)(p,q)) \in R$.
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||||
- Simétrica pois se $pq = rs$ então $((p,q)(r,s)) \in R$ e $((r,s),(p,q)) \in R$.
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||||
|
||||
- Transitiva pois se $pq = mn$ e $mn = rs$ então $((p,q),(m,n)) \in R$, $((m,n),(r,s)) \in R$ e $((p,q),(r,s)) \in R$.
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||||
### Exercício 11
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||||
**(Ida)** A cardinalidade do conjunto $|\Z|$ é infinita, entretanto $P(\Z)$ contém todos os subconjuntos possíveis de serem compostos por elementos de $\Z$, tal que $P(\Z) = \{\{\},\{0\},\{1\},\{-1\},\{2\},\dots,\{0,1\},\{0, -1\},\dots\}$. Assim $P(\Z)$ contém incontáveis subconjuntos cada qual finito, tal que para dois subconjuntos $A$ e $B$ quaisquer a diferença simétrica entre estes também é finita pois $A \Delta B \subseteq A\cup B$.
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||||
**(Volta)** A relação $R$ entre quaisquer conjuntos finitos é
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- Reflexiva pois $A \Delta A = \varnothing$, um conjunto finito contendo nenhum elemento. Logo, $(A,A) \in R$.
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- Simétrica pois $A \Delta B = B \Delta A$. Assim, $(A, B) \in R$ e $(B, A) \in R$.
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||||
- Transitiva pois se $A \Delta B$ é finita e $B \Delta C$ também, isso implica que $A \Delta C$ também será. Portanto $((A, B), (B,C) \in R) \implies ((A,C) \in R)$.
|
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||||
Finalmente, observa-se que $R$ trata-se de uma relação de **equivalência**.
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### Exercício 12
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||||
Temos a relação $R = \{(a,b) \in \R : (b - a) \in \Z\}$, está é uma relação de equivalência pois
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- esta é reflexiva: para qualquer $a \in \R$, $(a - a) = 0$ e $0 \in \Z$, logo $(a,a) \in R$;
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||||
- esta é simétrica: pois o módulo da diferença de $b - a$ equivale àquele da diferença de $a - b$ em $\Z$, logo $(a,b), (b,a) \in R$;
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||||
|
||||
- esta é transitiva pois se $(a - b), (b - c) \in \Z$ então $(a - c) \in \Z$, logo $(a,b),(b,c),(a,c) \in R$.
|
||||
|
||||
Assim, para qualquer valor $x \in \R$ dada a relação $R$ sobre $\R$ tem-se a classe de equivalência $[x] = \{y \in \R : (x.y) \in R \}$ representativa de todos os valores aqueles para os quais a diferença $x - y$ produz um número inteiro.
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||||
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||||
### Exercício 13
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||||
- $R$ e $R^{-1}$ são relações transitivas tais que $(a,b),(b,c),(a,c) \in R$ e $(c,b),(b,a),(c,a) \in R^{-1}$, logo $R \cap R^{-1}$ também é transitiva pois $(a,b),(b,c),(a,c), (c,b),(b,a),(c,a) \in R \cap R^{-1}$;
|
||||
|
||||
- $R$ e $R^{-1}$ são relações reflexivas, então $(a,a) \in R$, $(a,a) \in R^{-1}$ e portanto $(a,a) \in R \cap R^{-1}$;
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||||
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||||
- Finalmente, se $(a,b)$ e $(b,a)$ está em $R \cap R^{-1}$, tal qual demonstrado anteriormente, então $R \cap R^{-1}$ é também simétrica e constitui uma relação de equivalência.
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||||
### Exercício 14
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||||
A relação $a \equiv b(\text{mod }n)$ denota existência da igualdade $a = kn + b$ para algum $k \in \Z^*$. Podemos notar que esta trata-se de uma relação de equivalência pois esta possui as características de
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||||
- reflexividade: existe $a \equiv a(\text{mod }n)$, para qualquer $n$ quando $a = 0$ e para $a$ quando $n > a$;
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||||
- simetria: $a \equiv b(\text{mod }n)$ se, e somente se, $b \equiv a(\text{mod }n)$.
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$$
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a = kn + b \iff b = a\ \underbrace{- k}_{k_2}n = k_2n + a
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$$
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- transitividade: se $a \equiv b(\text{mod }n)$ e $b \equiv c(\text{mod }n)$, então $a \equiv c(\text{mod }n)$.
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||||
$\begin{cases} a = kn + b \\ b = k_2n + c \end{cases} \\ \therefore
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a = \underbrace{kn + k_2n}_{k_3n} + c = k_3n + c$
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### Exercício 15
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||||
Sejam $A, B, C$ matrizes de dimensão $n \times n$ e $P$ uma matriz inversível também de dimensão $n \times n$ tal que duas matrizes similares entre si, denotadas por $A \sim B$, estão relacionadas por $PAP^{-1} = B$. Esta relação de similitude trata-se de uma relação de equivalência pois:
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- Esta é reflexiva: $A \sim A$
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**Prova:** Seja $P$ a matriz identidade $I_n$, $(I_n)^{-1}AI_n = A$. $\blacksquare$
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- Esta é simétrica: $A \sim B$ se e apenas se $B \sim A$
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**Prova:** se assumirmos que $A \sim B$, teremos
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$P^{-1}AP = B\\ \cancel{P(P^{-1}}AP) = P(B) \\ (A\cancel{P)P^{-1}} = PBP^{-1} \\ PBP^{-1} = A$
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Seja $Q$ uma matriz tal que $Q = P^{-1}$, logo $Q^{-1}BQ = A \implies B \sim A$
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Assim, $A \sim B \iff B\sim A\ \blacksquare$.
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||||
- Esta é transitiva: se $A \sim B$ e $B \sim C$ então $A \sim C$
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**Prova:** Por hipótese temos
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$\begin{cases} B = P^{-1}AP \\ C = Q^{-1}BQ \end{cases} \\ \therefore C = Q^{-1}(P^{-1}AP)Q = (PQ)^{-1}A(PQ)$
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||||
Seja $W$ uma matriz tal que $W = PQ$, logo $C = W^{-1}A W \implies C \sim A\ \blacksquare$
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[^1]: nUSP: 12543033; Turma 04
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@ -1,217 +0,0 @@
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# Resolução da [Lista 4](https://drive.google.com/file/d/1ls29hxpLdYCc-sF8LkKYiFCs1M79PUKb/view?usp=drive_web&authuser=0) da disciplina de Matemática Discreta
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> Feita por Guilherme de Abreu Barreto[^1]
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## Funções
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### Exercício 1
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**a.** Não pois, existem mulheres solteiras as quais, por definição, não são contempladas por esta relação.
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**b.** Está bem definida.
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### Exercício 2
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Vamos admitir dois conjuntos quaisquer $X$, de tamanho $n$, e $Y$ de tamanho $m$, sendo $m \ge n$, e $n, m \in \N$. Estes estão relacionados entre si pela função injetora $f: X \to Y$. Então, pela definição de função injetora, para quaisquer elementos $x_i, x_j$, $1 \le i < j \le n$, em $X$ para os quais $x_i \not = x_j$ correspondem dois valores $f(x_i)$ e $f(x_j)$ em $Y$ os quais $f(x_i) \not = f(x_j)$. Logo, segue que a mesma função no sentido inverso $f^{-1} : Y \to X$ produz um pareamento de um para um tal que para quaisquer valores $f(x_i) \not = f(x_j)$ resultam valores $x_i \not = x_j$.
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||||
No mais, a função composta $f^{-1} \circ f$ comporta-se tal qual uma função identidade $\text{id}_n$ para $X$ se e somente se $m \ge n$. Por um lado, esta mapeia um valor $x_i$ com ele próprio:
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$$
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||||
f^{-1} \circ f (x_i) = f^{-1}(f(x_i)) = x_i
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$$
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Por outro, isso só é possível para valores de $i \le n$ pois $(x_{n+1},f(x_{n + 1})) \not \in f$.
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### Exercício 3
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Vamos admitir que os conjuntos $X$, $Y$ e $Z$ possuam tamanhos $r$, $s$ e $t$. Ainda, que os índices $i$, $j$, $k$ são tais que $1 \le k \le t \le j \le s \le i \le r$, sendo $i,j,k,r,s,t \in \N$. Assim, $X = \{x_1, \dots \, x_r\}$, $Y = \{y_1, \dots , y_s\}$, $Z = \{z_1, \dots , z_t\}$. Segue da definição de sobrejeção que
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- $\exists x_i \in X$ tal que $f(x_i) = y_j$ sendo $y_j \in Y$. Ainda, $Y = \{f(x_1), \dots, f(x_r)\}$.
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- $\exists y_j \in Y$ tal que $g(y_j) = z_k$ sendo $z_k \in Z$. Ainda, $Z = \{g(y_1), \dots, g(y_s)\}$.
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Assim, se aplicarmos a função $g \circ f$ sobre $X$ teremos:
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$\{g \circ f(x_1), \dots, g \circ f(x_r)\} =
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\{g (f(x_1)), \dots, g (f(x_r))\} =
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\{g (y_1), \dots, g (y_s)\} = \\
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\{z_1, \dots, z_t\} = Z$
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Ou seja $g \circ f$ também é sobrejetora ao mapear $g \circ f: X \to Z$.
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### Exercício 4
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Quando dizemos que $(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$ estamos indicando que **para qualquer** número $x$ tais expressões possuem o mesmo valor. Isso também pode ser interpretado dizendo que ambos os lados da igualdade representam **a mesma função**.
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Retomando o problema em questão, temos que $g \circ f = h \circ f \implies g(f(x)) = h(f(x)), f(x) \in Y$. Como $f$ é sobrejetora não existe elemento em $Y$, domínio tanto de $g$ e $h$, o qual não possa ser descrito na forma $f(x)$. Assim sendo, se $g(f(x)) = h(f(x))$ para qualquer valor $f(x)$, por definição estamos falando de funções iguais entre si.
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### Exercício 5
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Em concordância com a definição de função um grafo orientado é adequado a representação de função se e somente se este indica relações entre pares ordenados. Por exemplo:
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| Representativo de uma função | Não representativo de uma função |
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|:------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|:------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|
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|  |  |
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No primeiro gráfico vemos que para qualquer nó $x$ à uma relação com um único $f(x)$. No segundo gráfico, um **grafo acíclico dirigido**, isso não ocorre: podemos destacar a relação $f(11) = \{2, 9, 10\}$.
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### Exercício 6
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**a.** A função $f: \Z \to \Z$ pode ser definida como
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$$
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f = \{(x,y): x = 2k \to y = 1\ \underline \lor\ x = 2k + 1 \to y = -1, \forall k \in \Z\}
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$$
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Onde $\underline \lor$ é o sinal para a expressão "ou exclusivo"
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**b.** Procederemos por exaustão.
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- $z_1$ par e $z_2$ par implicam $z_1 + z_2$ par.
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$$
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2k + 2k_2 = 2(k + k_2) = 2k_3
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$$
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Logo,
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$$
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||||
f(z_1 + z_2) = 1 = 1 \cdot 1 = f(z_1)f(z_2)
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$$
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||||
- $z_1$ par e $z_2$ ímpar, ou vice versa, implica $z_1 + z_2$ ímpar.
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$$
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||||
2k + 2k_2 + 1 = 2(k + k_2) + 1 = 2k_3 + 1
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$$
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||||
Logo,
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||||
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||||
$$
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||||
f(z_1 + z_2) = -1 = -1 \cdot 1 = f(z_1)f(z_2)
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$$
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||||
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||||
- $z_1$ e $z_2$ impares implicam, $z_1 + z_2$ par.
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$$
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||||
2k + 1 + 2k_2 + 1 = 2(k + k_2 + 1) = 2k_3
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$$
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||||
|
||||
Logo,
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||||
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||||
$$
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||||
f(z_1 + z_2) = 1 = -1 \cdot -1 = f(z_1)f(z_2)
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$$
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||||
|
||||
**c.** Procederemos por exaustão.
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||||
- $z_1$ par e $z_2$ par implicam $z_1z_2$ par.
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$$
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||||
2k \cdot 2k_2 = 2(2kk_2) = 2k_3
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$$
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Logo,
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$$
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||||
f(z_1z_2) = 1 = 1 \cdot 1 = f(z_1)f(z_2)
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$$
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||||
|
||||
- $z_1$ par e $z_2$ ímpar, ou vice versa, implica $z_1z_2$ par.
|
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$$
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||||
2k(2k_2 + 1) = 2[k(2k_2 + 1)] = 2k_3
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$$
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||||
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Logo,
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$$
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||||
f(z_1z_2) = 1 \not = -1 \cdot 1 = f(z_1)f(z_2)
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$$
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|
||||
- $z_1$ e $z_2$ impares implicam, $z_1z_2$ ímpar.
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$$
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||||
(2k + 1)(2k_2 + 1) = 4kk_2 + 2k + 2k_2 + 1 = 2(2kk_2 + k + k_2) + 1 = 2k_3 + 1
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$$
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Logo,
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$$
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f(z_1z_2) = - 1 \not = -1 \cdot -1 = f(z_1)f(z_2)
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$$
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**d.** $f(x) = 1$.
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### Exercício 7
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**a.** $f_{c,d} \circ f_{a,b}(x) = f_{c,d}(f_{a,b}(x)) = c(ax + b) + d = \underbrace{(ca)}_{=\ p}x + \underbrace{(cb + d)}_{=\ q} = f_{p,q} (x)$
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**b.** $\big \{ f_{a,b} \circ f_{c,d}(x) = a(cx + d) + b = (ca)x + (ad + b) \\ \therefore f_{a,b} \circ f_{c,d}(x) = f_{c,d} \circ f_{a,b}(x) \implies \cancel{(ca)x} + (cb + d) = \cancel{(ca)x} + (ad + b)\\ \implies b(c - 1) = d(a - 1)$
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**c.** $f_{a,b} \circ f_{1,1} = f_{1,1} \circ f_{a,b} \implies a(x + 1) + b = 1(ax + b) + 1\\ \implies \cancel{ax} + \cancel b + 1 = \cancel{ax} + a + \cancel b \implies a = 1$
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Assim sendo, desde que $a = 1$ esta expressão é verdadeira $\forall b \in \R$.
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**d.** Sendo $y = f_{a,b}(x) = ax + b$, a função inversa pode ser expressa por:
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$$
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x = ay + b \implies f^{-1}_{a,b} (x) = \frac{b - x}a
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$$
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### Exercício 8
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Para a função
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```c
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long long unsigned int ackermann (unsigned int m, unsigned int n) {
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if (m == 0)
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return n + 1;
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||||
if (n == 0)
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||||
return ackermann (m - 1, 1);
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return ackermann (m - 1, ackermann(m, n - 1));
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}
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```
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Os resultados foram, respectivamente:
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```
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A(1,1) = 3
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A(1,2) = 4
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A(2,2) = 7
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A(3,2) = 29
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```
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Para o valor $A(4,2)$ o algoritmo foi executado até que a memória a este alocada fosse esgotada (`segmentation fault`) . Não obstante, conforme constata o artigo referente ao algoritmo na Wikipédia, computadores otimizados para esta tarefa calcularam o resultado de 19,729 dígitos decimais: 2^65536^ − 3.
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### Exercício 9 (*Divertissement*)
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Consideremos uma lista exaustiva dos infinitos números entre 0.0 e 1.0:
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| 0. | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | $\dots$ |
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| -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- |
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||||
| 0. | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | $\dots$ |
|
||||
| 0. | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | $\dots$ |
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| 0. | 1 | 4 | 2 | 5 | 9 | 2 | 6 | $\dots$ |
|
||||
| 0. | 9 | 9 | 9 | 9 | 8 | 9 | 7 | $\dots$ |
|
||||
| 0. | 2 | 8 | 5 | 1 | 2 | 8 | 3 | $\dots$ |
|
||||
| 0. | 4 | 2 | 8 | 5 | 1 | 5 | 2 | $\dots$ |
|
||||
| 0. | 5 | 7 | 2 | 1 | 4 | 2 | 1 | $\dots$ |
|
||||
| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\ddots$ |
|
||||
|
||||
Em seguida aplicamos sobre esta lista uma função em uma diagonal que altera o valor da entrada em uma unidade, digamos, $f = \{(x,y) : x < 9 \to y = x + 1\ \underline \lor\ x = 9 \to y = 0\}$.
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||||
|
||||
| 0. | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | $\dots$ |
|
||||
| -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- |
|
||||
| 0. | **2** | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | $\dots$ |
|
||||
| 0. | 3 | **4** | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | $\dots$ |
|
||||
| 0. | 1 | 4 | **3** | 5 | 9 | 2 | 6 | $\dots$ |
|
||||
| 0. | 9 | 9 | 9 | **0** | 8 | 9 | 7 | $\dots$ |
|
||||
| 0. | 2 | 8 | 5 | 1 | **3** | 8 | 3 | $\dots$ |
|
||||
| 0. | 4 | 2 | 8 | 5 | 1 | **6** | 2 | $\dots$ |
|
||||
| 0. | 5 | 7 | 2 | 1 | 4 | 2 | **2** | $\dots$ |
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||||
| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\ddots$ |
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O número resultante é de forma tal que encontra-se contido nos reais, mas é diferente de todos os infinitos números aqueles com que cruza na tabela, pois difere destes em pelo menos um dígito. Por isso, os números reais são de grandeza superior a uma infinidade contável: estes são incontáveis.
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[^1]: nUSP: 12543033; Turma 04
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Before Width: | Height: | Size: 24 KiB |
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Before Width: | Height: | Size: 27 KiB |
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@ -1,271 +0,0 @@
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# Resolução da [Lista 5](https://drive.google.com/file/d/1JX_Jk-oXc0ykWU80bwci9KUI99Dc6PRV/view?usp=drive_web&authuser=0) da disciplina de Matemática Discreta
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> Feita por Guilherme de Abreu Barreto[^1]
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## 1. Álgebras booleanas
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### 1.
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**a.**($a'+ b')c$;
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**b.** $bc + ca = c(a + b)$. Forma dual: $c' + a'b'$;
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**c.** $a + b' + c'$;
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**d.** $ab(b + c') = abb + abc' = (ab) + (ab)c' = ab$. Forma dual: $a' + b'$;
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**e.** $(a' + b')(b' + c')(c' + a')$;
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### 2.
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A álgebra booliana está definida nos seguintes termos:
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- Existe um conjunto (no caso, $B$) contendo pelo menos dois elementos ditos **especiais**:
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- o elemento nulo aditivo (no caso, $0$);
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- o elemento nulo multiplicativo (no caso, $1$);
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- Existem duas operações binárias (que relacionam dois elementos):
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- Adição (no caso, $+$) e
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- Multiplicação (no caso, $*$).
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- Existe uma operação unária que associa cada elemento $x \in B$ a um elemento $x' \in B$ denominado seu complemento.
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- No caso, a operação é denotada pelo sinal $'$ e os elementos complementares entre si são $a$ com $f$, $b$ com $e$, $c$ com $d$, $0$ com $1$.
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Fica demonstrada a relação de $\mathscr B$ com a álgebra booliana.
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### 3.
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**a.** Para qualquer $a \in D_N$ tem-se:
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- $a + 1 = mmc(a,1) = a$;
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- $a * N = mdc(a, N)$, como $a \le N$, $N \mid a$ então $mdc(a,N) = a$.
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**b,c e d.** Uma sêxtupla de elementos constitui uma álgebra booleana se cinco propriedades são satisfeitas, demonstradas à seguir, $\forall a, b, c \in \N - \{1,0\}$:
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**P1.** Comutatividade
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$\bullet\ a + b = mmc(a,b) = mmc(b,a) = b + a$;
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$\bullet\ a * b = mdc(a,b) = mdc(b,a) = b * a$;
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**P2.** Associatividade
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$\bullet\ (a + b) + c = mmc(mmc(a,b),c) = mmc(a, mmc(b,c)) = a + (b + c);\\ \bullet\ (a * b) * c = mdc(mdc(a,b),c) = mdc(a, mdc(b,c)) = (a * b) * c$
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**P3.** Distributividade
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$\bullet\ a + (b * c) = mmc(a,mdc(b,c)) = mdc(mmc(a,b), mmc(a,c)) = (a + b) * (a + c);\\ \bullet\ a * (b + c) = mdc(a,mmc(b,c)) = mmc(mdc(a,b),mdc(a,c)) = (a * b) + (a * c);$
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**Prova**
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Quaisquer números $a,b \in \N$ tais que $a, b > 1$ podem ser escritos como produtos de potências dos mesmos $n$ números primos $p$, ainda que por diferentes expoentes ($k$ e $l$)[^2]:
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$$
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\begin{matrix}
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a = \displaystyle \prod^n_{i = 1} p_i^{k_i} & &
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b = \displaystyle \prod^n_{i = 1} p_i^{l_i}
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||||
\end{matrix}
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||||
$$
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||||
Assim, as expressões $mmc(a,b)$ e $mdc(a,b)$ podem ser descritas enquanto uma decomposição de números primos[^3] da seguinte maneira:
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$mmc(a,b) = p_1^{\max(k_1,l_1)}p_2^{\max(k_2,l_2)}\dots p_n^{\max(k_n,l_n)} = \displaystyle \prod^n_{i = 1} p_i^{\max(k_i, l_i)} \\
|
||||
mdc(a,b) = p_1^{\min(k_1,l_1)}p_2^{\min(k_2,l_2)}\dots p_n^{\min(k_n,l_n)} = \displaystyle \prod^n_{i = 1} p_i^{\min(k_i, l_i)}$
|
||||
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||||
Onde $max(a,b)$ e $min(a,b)$ tratam-se das funções $\N^2 \to \N$ que escolhem o maior e o menor valor entre aqueles fornecidos, respectivamente.
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**Lema:** As operações de máximo e mínimo são distributivas entre si.
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Procederemos por exaustão. Temos 6 casos a considerar:
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- $a \le b \le c$
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- $\max(a, \min(b,c)) = \max(a,b) = b\\ \min(\max(a,b),\max(a,c)) = \min(b,c) = b$
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||||
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||||
- $\min(a, \max(b,c)) = \min(a,c) = a\\ \max(min(a,b),\min(a,c)) = \max(a,a) = a$
|
||||
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||||
- $a \le c \le b$
|
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||||
- $\max(a, min(b,c)) = \max(a,c) = c\\ \min(\max(a,b),\max(a,c)) = \min(b,c) = c$
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||||
- $\min(a, \max(b,c)) = \min(a,b) = a\\ \max(\min(a,b),\min(a,c)) = \max(a,a) = a$
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||||
- $b \le a \le c$
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||||
- $\max(a, \min(b,c)) = \max(a,b) = a\\ \min(\max(a,b),\max(a,c)) = \min(a,c) = a$
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||||
- $\min(a, \max(b,c)) = \min(a,c) = a\\ \max(\min(a,b),\min(a,c)) = \max(b,a) = a$
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- $b \le c \le a$
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- $\max(a, \min(b,c)) = \max(a,c) = a\\ \min(\max(a,b),\max(a,c)) = \min(a,a) = a$
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||||
- $\min(a, \max(b,c)) = \min(a,c) = c\\ \max(\min(a,b),\min(a,c)) = \max(b,c) = c$
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- $c \le a \le b$
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- $\max(a, \min(b,c)) = \max(a,c) = a\\ \min(\max(a,b),\max(a,c)) = \min(b,a) = a$
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- $\min(a, \max(b,c)) = \min(a,b) = a\\ \max(\min(a,b),\min(a,c)) = \max(a,c) = a$
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- $c \le b \le a$
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- $\max(a, \min(b,c)) = \max(a,c) = a\\ \min(\max(a,b),\max(a,c)) = \min(a,a) = a$
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- $\max(a, \min(b,c)) = \max(a,c) = a\\ \min(\max(a,b),\max(a,c)) = \min(a,a) = a$
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**Corolário:** As operações de $mmc$ e $mdc$ são distributivas entre si.
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$\displaystyle mmc(a,mdc(b,c)) = \prod^n_{i = 1} p_i^{\max(k_i,\min(l_i,m_i))} = \prod^n_{i = 1} p_i^{\min(\max(k_i, l_i),\max(k_i,m_i))}\\ = mdc(mmc(a, b), mmc(a,c))$
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$\displaystyle mdc(a,mmc(b,c)) = \prod^n_{i = 1} p_i^{\min(k_i,\max(l_i,m_i))} = \prod^n_{i = 1} p_i^{\max(\min(k_i, l_i),\min(k_i,m_i))}\\ = mmc(mdc(a, b), mdc(a,c))$
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**P4.** Identidade
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- $\displaystyle a + 1 = mmc(a,1) = a$
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- $a * N = mdc(a, N) = a$
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**P5.** Complementariedade
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- $\displaystyle a + a' = mmc(a, N/a) = N$, se $N/a \nmid a$
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- $a * a' = mdc(a, N/a) = 1$, se $N/a \nmid a$
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||||
Assim, a $\mathscr B = \lang D_N, +, *, ', 1, N \rang$ tal qual definida pelo enunciado **pode** constituir uma álgebra booleana, a depender do valor $N \in \N$. Analisemos os casos apresentados: $D_{70}, D_{15}$ e $D_18$. Nestes três as propriedades **P1** à **P4** se sustentam, mas a propriedade **P5** apresenta divergência:
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$D_{15}:$
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||||
| $a$ | $a'$ | $mmc(a,a')$ | $mdc(a,a')$ |
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||||
| ---:| ----:| -----------:| -----------:|
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||||
| 1 | 15 | 15 | 1 |
|
||||
| 3 | 5 | 15 | 1 |
|
||||
| 5 | 3 | 15 | 1 |
|
||||
| 15 | 1 | 15 | 1 |
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$D_{70}:$
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||||
| $a$ | $a'$ | $mmc(a,a')$ | $mdc(a,a')$ |
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||||
| ---:| ----:| -----------:| -----------:|
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| 1 | 70 | 70 | 1 |
|
||||
| 2 | 35 | 70 | 1 |
|
||||
| 5 | 14 | 70 | 1 |
|
||||
| 7 | 10 | 70 | 1 |
|
||||
| 10 | 7 | 70 | 1 |
|
||||
| 14 | 5 | 70 | 1 |
|
||||
| 35 | 2 | 70 | 1 |
|
||||
| 70 | 1 | 70 | 1 |
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||||
$D_{18}:$
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||||
| $a$ | $a'$ | $mmc(a,a')$ | $mdc(a,a')$ |
|
||||
| ---:| ----:| -----------:| -----------:|
|
||||
| 1 | 18 | 18 | 1 |
|
||||
| 2 | 9 | 18 | 1 |
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||||
| 3 | 6 | **6** | **3** |
|
||||
| 6 | 3 | **6** | **3** |
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| 9 | 2 | 18 | 1 |
|
||||
| 18 | 1 | 18 | 1 |
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||||
Destes três conjuntos, apenas os dois primeiros conjuntos satisfazem a definição de álgebra booleana. $\blacksquare$
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**e.** Prosseguiremos em nossa demonstração por contradição. Por hipótese, $D_N$ constitui uma algebra booleana e possui a propriedade de complementariedade $p * p' = mdc(p, N/p) = 1$, onde $1 < p < N$. Também, $N \mid p$ e $N \mid p^2$. Assim,
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$$
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||||
\begin{cases} N = p \cdot p' \\ N = p^2 \cdot (p^2)' \end{cases}
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\therefore p' = (p^2)' \cdot p
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||||
$$
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||||
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||||
E portanto, $p * p' = mdc(p, p') = mdc(p,(p^2)' \cdot p) = p$, chegamos à uma contradição. Logo, não é possível $D_N$ constituir uma álgebra booleana se esta contêm tanto a $p$ e $p^2$. $\blacksquare$
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### 4.
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**a.** Usando as definições das operações $*$,$+$ e $'$ obtemos os seguintes resultados quando os valores de $a$, $b$ e $c$ são $0$ ou $1$:
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Para $ab + c = (a + c)(b + c)$:
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| $a$ | $b$ | $c$ | $ab$ | $ab + c$ |
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||||
|:---:|:---:|:---:|:----:|:--------:|
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||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | **0** |
|
||||
| 0 | 0 | 1 | 0 | **1** |
|
||||
| 0 | 1 | 0 | 0 | **0** |
|
||||
| 0 | 1 | 1 | 0 | **1** |
|
||||
| 1 | 0 | 0 | 0 | **0** |
|
||||
| 1 | 0 | 1 | 0 | **1** |
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||||
| 1 | 1 | 0 | 1 | **1** |
|
||||
| 1 | 1 | 1 | 1 | **1** |
|
||||
|
||||
| $a$ | $b$ | $c$ | $(a + c)$ | $(b + c)$ | $(a + c)(b + c)$ |
|
||||
|:---:|:---:|:---:|:---------:|:---------:|:----------------:|
|
||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | **0** |
|
||||
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | **1** |
|
||||
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | **0** |
|
||||
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | **1** |
|
||||
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | **0** |
|
||||
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | **1** |
|
||||
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | **1** |
|
||||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | **1** |
|
||||
|
||||
Para $(a + b)c = ac + bc$:
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||||
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||||
| $a$ | $b$ | $c$ | $(a + b)$ | $(a + b)c$ |
|
||||
|:---:|:---:|:---:|:---------:|:----------:|
|
||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | **0** |
|
||||
| 0 | 0 | 1 | 0 | **0** |
|
||||
| 0 | 1 | 0 | 1 | **0** |
|
||||
| 0 | 1 | 1 | 1 | **1** |
|
||||
| 1 | 0 | 0 | 1 | **0** |
|
||||
| 1 | 0 | 1 | 1 | **1** |
|
||||
| 1 | 1 | 0 | 1 | **0** |
|
||||
| 1 | 1 | 1 | 1 | **1** |
|
||||
|
||||
| $a$ | $b$ | $c$ | $ac$ | $bc$ | $ac + bc$ |
|
||||
|:---:|:---:|:---:|:----:|:----:|:---------:|
|
||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | **0** |
|
||||
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | **0** |
|
||||
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | **0** |
|
||||
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | **1** |
|
||||
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | **0** |
|
||||
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | **1** |
|
||||
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | **0** |
|
||||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | **1** |
|
||||
|
||||
**b.**
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||||
|
||||
| $a$ | $b$ | $a + b$ | $ab$ | $a'b'$ | $(a + b)'$ |
|
||||
|:---:|:---:|:-------:|:----:|:------:|:----------:|
|
||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | **1** | **1** |
|
||||
| 0 | 1 | 1 | 0 | **0** | **0** |
|
||||
| 1 | 0 | 1 | 0 | **0** | **0** |
|
||||
| 1 | 1 | 1 | 1 | **0** | **0** |
|
||||
|
||||
| $a$ | $b$ | $ab$ | $(ab)'$ | $a' + b'$ |
|
||||
|:---:|:---:|:----:|:-------:|:---------:|
|
||||
| 0 | 0 | 0 | **1** | **1** |
|
||||
| 0 | 1 | 0 | **1** | **1** |
|
||||
| 1 | 0 | 0 | **1** | **1** |
|
||||
| 1 | 1 | 1 | **0** | **0** |
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### 5.
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**a.** $a + a'b = (a + a')(a + b) = 1(a + b) = a + b$
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||||
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||||
**b.** $a + ab + b = (a + ab) + b = a + b$
|
||||
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||||
**c.** $a + b(a + c) = a + ba + bc = (a + ba) + bc = a + bc = (a + b) (a + c)$
|
||||
|
||||
**d.** $a + b + a'b'c = a + (b + a')\cancel{(b + b')}(b + c) = a + b + a'c = \\ b + \cancel{(a + a')}(a + c) = a + b + c$
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||||
|
||||
[^1]: nUSP: 12543033; Turma 04
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||||
|
||||
[^2]: **Expression for Integers as Powers of Same Primes**. Disponível em: <https://proofwiki.org/wiki/Expression_for_Integers_as_Powers_of_Same_Primes>. Acesso em: 28 nov. 2021.
|
||||
|
||||
[^3]: **GCD and LCM from Prime Decomposition**. Disponível em: <https://proofwiki.org/wiki/GCD_and_LCM_from_Prime_Decomposition>. Acesso em: 28 nov. 2021.
|
||||
|
||||
[^4]: **Boolean algebra**. Disponível em: https://en.wikipedia.org/wiki/Boolean_algebra#Duality_principle. Acesso em: 28 nov. 2021.
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@ -1,95 +0,0 @@
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|||
# Resolução da [Lista 5](https://drive.google.com/file/d/1JX_Jk-oXc0ykWU80bwci9KUI99Dc6PRV/view?usp=drive_web&authuser=0) da disciplina de Matemática Discreta
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||||
> Feita por Guilherme de Abreu Barreto[^1]
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## 2. Expressões booleanas
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### 1.
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**a.** $\alpha(a,b) = (ab + ab')(a' + b) = \cancel{aba'} + abb + \cancel{ab'a'} + \cancel{ab'b} = ab \\ \therefore \alpha(0,0) = 0,\ \alpha(0,1) = 0,\ \alpha (1,0) = 0,\ \alpha(1,1) = 1$
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||||
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||||
**b.** $\beta(a,b) = (a + ab + b)(a + b') = (a + b)(a + b') = a + ab + ab + ab'\\ = a \therefore \beta(0,0) = 0,\ \beta(0,1) = 0,\ \beta(1,0) = 1,\ \beta(1,1) = 1$
|
||||
|
||||
**c.** $\gamma(a,b,c) = (a + b + c)(a' + b' + c') = \cancel{aa'} + ab' + ac' + ba' + \cancel{bb'}\\ + bc' + ca' + cb' + \cancel{cc'}$
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||||
Sempre que algum elemento igualar a 1 e outro a 0, esta expressão será equivalente à 1 e, senão, à 0.
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**d.** $\delta (a,b,c) = (a + b'c)(b + c') = ab + ac' + \cancel{b'ab + b'cc'} = a(b + c')\\ \therefore \delta(0,0,0) = 0,\ \delta(0,0,1) = 0,\ \delta(0,1,0) = 0,\ \delta(0,1,1) = 0,\\ \delta(1,0,0) = 1,\ \delta(1,0,1) = 0, \delta(1,1,0) = 1, \delta(1,1,1) = 1$
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### 2.
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**a.** e, ab, f
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**b.** d, a, b
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**c.**
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- $\gamma (1,e,a) = 1b + \cancel{0e} + ef + ba + \cancel{a0} + f1 = b + f$
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||||
- $\gamma(a,b,e) = ae + fb + bb + ee + ef + ba = b + e = 1$
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||||
- $\gamma(1, f, 0) = 1a + \cancel{0f} + f1 + \cancel{a0} + \cancel{00} + 11 = a + f = 1$
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**d.**
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||||
- $\delta (e,c,1) = e(c + 0) = ec$;
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||||
- $\delta(1, a, b) = 1(a + e) = a + e$
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||||
- $\delta (f, d, d) = f (d + c) = f1 = f$
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||||
**e.** ae, $e(a + 0)(\cancel{be} + \cancel{eb} + bd + ec + ce + db) = ea(bd + ce) = \cancel{abde} + ac = ac$
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### 3.
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**a.** $a(ab' + a'b) = ab' + \cancel{aa'b} = ab'$
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||||
**b.** $a(a' + b')' = a(ab) =aab = ab$
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||||
**c.** $(a + b)(b + c)(c + a) = (\cancel{ab} + ac + b + bc)(c + a) =\\ ac + bc + \cancel{bc} + \cancel{ac} + ab + abc = ab + bc + ca$
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||||
|
||||
**d.** $abc(a + b) = abc + abc = abc$
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||||
**e.** $(a + b)'(a'b)' = a'b'(a + b') = a'b'$
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### 4.
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**a.** $(a' + b)' + bc' = ab' + bc' = ab'c + ab'c' + abc' + a'bc'$
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**b.** $(a + b + c)(a' + b + c) =\\ \cancel{aa'} + ab + ac + ba' + b + bc + a'c + \cancel{bc} + c =\\ ab + ac + b + c + a'c =\\ac + b + c= \\ abc + ab'c + abc' + a'bc + a'bc' + a'b'c$
|
||||
|
||||
**c.** $(a + b' + c)(a' + b + c) =\\ \cancel{aa'} + ab + ac + b'a' + b'c + a'c + bc + c =\\ ab + b'a' + c =\\ abc + abc' + ab'c + a'b'c' + a'bc + ab'c$
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|
||||
**d.** $b(a + bc') = ab + bc' = abc + abc' + a'bc'$
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||||
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||||
**e.** $(a' + b)' (a + b') + ac' =\\ ab'(a + b') + ac' = ab' + ac' =\\ ab'c + ab'c' + abc'$
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### 5.
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**a.** $(\overline{A \cup B}) \cap (B \cup \overline C) \equiv (a + b)'(b + c') = (a'b')(b + c')\\ = 0 + a'b'c' \equiv \overline A \cap \overline B \cap \overline C$
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||||
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||||
**b.** $(\overline{B \cap C}) \cap (\overline{\overline A \cap C}) = (bc)'(a'c)' = (b' + c')(a + c') =\\ ab' +b'c' + ac' + c' = ab' + c' \equiv (A \cap \overline B) \cup C$
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### 6.
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**a.** $ab + a'b' \equiv (a \equiv b)$
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Mapa de Karnaugh:
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| | b | b' |
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|:------:|:-----------------------:|:-----------------------:|
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||||
| **a** | :ballot_box_with_check: | |
|
||||
| **a'** | | :ballot_box_with_check: |
|
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|
||||
Repare que este constitui uma **matriz identidade**. $\therefore a \equiv b$.
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||||
**b.** $abc + a'bc + ab'c + abc' \equiv (ab + bc + ca)$
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||||
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||||
| ⟍ | b'c | bc | bc' | b'c' |
|
||||
|:------:|:-----------------------:|:-----------------------:|:-----------------------:|:----:|
|
||||
| **a** | :ballot_box_with_check: | :ballot_box_with_check: | :ballot_box_with_check: | |
|
||||
| **a'** | | :ballot_box_with_check: | | |
|
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||||
A partir desta visualização percebemos que podemos formar três pares de intersecções, justamente $(ab + bc + ca)$.
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[^1]: nUSP: 12543033; Turma 04
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@ -1,245 +0,0 @@
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# Resolução da [Lista 5](https://drive.google.com/file/d/1JX_Jk-oXc0ykWU80bwci9KUI99Dc6PRV/view?usp=drive_web&authuser=0) da disciplina de Matemática Discreta
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> Feita por Guilherme de Abreu Barreto[^1]
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## 3. Formas disjuntivas mínimas
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### 1.
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**a.** $\{ \alpha = ab' + abc' + a'bc', \pi = ac' \\\therefore \alpha = abc + ab'c' + abc' + a'bc'$
|
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Mapa de Karnaugh:
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||||
| ⟍ | bc | bc' | b'c' | b'c |
|
||||
|:------:|:---:|:-----------------------:|:-----------------------:|:-----------------------:|
|
||||
| **a** | | :ballot_box_with_check: | :ballot_box_with_check: | :ballot_box_with_check: |
|
||||
| **a'** | | :ballot_box_with_check: | | |
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|
||||
Logo, $\alpha = ab' + bc' \therefore \pi \not \subset \alpha$
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**b.** $\{ \alpha = ab + ab'c' + a'b'c', \pi = ab' \\\therefore \alpha = abc + abc' + ab'c' + a'b'c$
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||||
| ⟍ | bc | bc' | b'c' | b'c |
|
||||
|:------:|:-----------------------:|:-----------------------:|:-----------------------:|:-----------------------:|
|
||||
| **a** | :ballot_box_with_check: | :ballot_box_with_check: | :ballot_box_with_check: | |
|
||||
| **a'** | | | | :ballot_box_with_check: |
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|
||||
Logo, $\alpha = ab + ac' + a'b'c \therefore \pi \not \subset \alpha$
|
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**c.** $\{ \alpha = c + abc + abc', \pi = ab \\\therefore \alpha = ab'c + a'bc + a'b'c + abc + abc'$
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||||
| ⟍ | bc | bc' | b'c' | b'c |
|
||||
|:------:|:-----------------------:|:-----------------------:|:----:|:-----------------------:|
|
||||
| **a** | :ballot_box_with_check: | :ballot_box_with_check: | | :ballot_box_with_check: |
|
||||
| **a'** | :ballot_box_with_check: | | | :ballot_box_with_check: |
|
||||
|
||||
Logo, $\alpha = c + ab = c + \pi \therefore \pi \subset \alpha$
|
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||||
**d.** $\{ \alpha = a'bc + ab'c + abc, \pi = abc \therefore \pi \subset \alpha$
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### 2.
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**a.** $\alpha = abc + abc' + a'c' + a'b'c + a'bc'\\ = abc + abc' + a'b'c' + a'b'c + a'bc'$
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São **duas** as possíveis formas disjuntivas mínimas:
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$\alpha = b'c' + a'b' + ab$
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$\alpha = ab + ac' + a'b'$
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**b.** $\beta = ab + a'(b' + c') + bc' = \underline{ab + a'b' + a'c' + bc'} =\\ abc + abc' + a'b'c + a'b'c' + a'bc'$
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|
||||
São **duas** as possíveis formas disjuntivas mínimas:
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$\beta = a'b' + ac + ab$
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$\beta = a'b' + b'c + ab$
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**c.** $\gamma = a + bc + a'b'c' = abc + abc' + ab'c + ab'c' + a'bc + a'b'c'$
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||||
| ⟍ | bc | bc' | b'c' | b'c |
|
||||
|:------:|:-----------------------:|:-----------------------:|:-----------------------:|:-----------------------:|
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||||
| **a** | :ballot_box_with_check: | :ballot_box_with_check: | :ballot_box_with_check: | :ballot_box_with_check: |
|
||||
| **a'** | :ballot_box_with_check: | | :ballot_box_with_check: | |
|
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|
||||
Existe apenas **uma** forma disjuntiva mínima possível:
|
||||
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||||
$\gamma = a + bc + b'c'$
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**d.** $\delta = abc' + ab'c + ab'c' + a'bc' + a'b'c$
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||||
Existem **duas** formas disjuntivas mínimas possíveis:
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||||
$\delta = ab' + bc' + b'c$
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||||
$\delta = ac' + bc' + b'c$
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||||
**e.** $\eta = abc + abc' + ab'c' + a'b'c$
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||||
|
||||
| ⟍ | bc | bc' | b'c' | b'c |
|
||||
|:------:|:-----------------------:|:-----------------------:|:-----------------------:|:-----------------------:|
|
||||
| **a** | :ballot_box_with_check: | :ballot_box_with_check: | :ballot_box_with_check: | |
|
||||
| **a'** | | | | :ballot_box_with_check: |
|
||||
|
||||
Existe apenas **uma** forma disjuntiva mínima possível:
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||||
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||||
$\eta = ab + ac' + a'b'c$
|
||||
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||||
**f.** $\mu = abc + abc' + ab'c + ab'c' + a'bc + a'bc' + a'b'c + a'b'c'$
|
||||
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||||
| ⟍ | bc | bc' | b'c' | b'c |
|
||||
|:------:|:-----------------------:|:-----------------------:|:-----------------------:|:-----------------------:|
|
||||
| **a** | :ballot_box_with_check: | :ballot_box_with_check: | :ballot_box_with_check: | :ballot_box_with_check: |
|
||||
| **a'** | :ballot_box_with_check: | :ballot_box_with_check: | :ballot_box_with_check: | :ballot_box_with_check: |
|
||||
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||||
Existe apenas **uma** forma disjuntiva mínima possível:
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||||
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||||
$\mu = 1$
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**g.** $\nu = ab + a'bc' + a'b'c = abc + abc' + a'bc' + a'b'c$
|
||||
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||||
| ⟍ | bc | bc' | b'c' | b'c |
|
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|:------:|:-----------------------:|:-----------------------:|:----:|:-----------------------:|
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||||
| **a** | :ballot_box_with_check: | :ballot_box_with_check: | | |
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||||
| **a'** | | :ballot_box_with_check: | | :ballot_box_with_check: |
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||||
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||||
Existe apenas **uma** forma disjuntiva mínima possível:
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||||
$\therefore \nu = ab + bc' + a'b'c$
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||||
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||||
**h.** $\rho = ac + abc' + a'bc + a'b'c = abc + ab'c + abc' + a'bc + a'b'c$
|
||||
|
||||
| ⟍ | bc | bc' | b'c' | b'c |
|
||||
|:------:|:-----------------------:|:---:|:-----------------------:|:-----------------------:|
|
||||
| **a** | :ballot_box_with_check: | | :ballot_box_with_check: | :ballot_box_with_check: |
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||||
| **a'** | :ballot_box_with_check: | | | :ballot_box_with_check: |
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|
||||
Existe apenas **uma** forma disjuntiva mínima possível:
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||||
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||||
$\rho = ab' + c$
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||||
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### 3.
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||||
|
||||
**a.** $\alpha = \sum m(3,5,7,13,14,15) = 0011, 0101, 0111, 1101, 1110, 1111$
|
||||
|
||||
| ⟍ | **00 (z'w') ** | **01 (z'w)** | **11 (zw)** | **10 (zw')** |
|
||||
|:------------- |:--------------:|:-----------------------:|:-----------------------:|:-----------------------:|
|
||||
| **00 (x'y')** | | | :ballot_box_with_check: | |
|
||||
| **01(x'y)** | | :ballot_box_with_check: | :ballot_box_with_check: | |
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||||
| **11 (xy)** | | :ballot_box_with_check: | :ballot_box_with_check: | :ballot_box_with_check: |
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||||
| **10 (xy')** | | | | |
|
||||
|
||||
Existe apenas **uma** forma disjuntiva mínima possível:
|
||||
|
||||
$\alpha(x,y,z,w) = yw + x'zw + xyz$
|
||||
|
||||
**b.** $\beta = \sum m(3,4,5,6,7,8,12) = 0011, 0100, 0101, 0110, 0111, 1000, 1100$
|
||||
|
||||
| ⟍ | **00 (z'w')** | **01 (z'w)** | **11 (zw)** | **10 (zw')** |
|
||||
|:------------- |:-----------------------:|:-----------------------:|:-----------------------:|:-----------------------:|
|
||||
| **00 (x'y')** | | | :ballot_box_with_check: | |
|
||||
| **01 (x'y)** | :ballot_box_with_check: | :ballot_box_with_check: | :ballot_box_with_check: | :ballot_box_with_check: |
|
||||
| **11 (xy)** | :ballot_box_with_check: | | | |
|
||||
| **10 (xy')** | :ballot_box_with_check: | | | |
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||||
|
||||
Existe apenas **uma** forma disjuntiva mínima possível:
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||||
|
||||
$\beta (x,y,z,w) = xz'w' + x'y + x'zw$
|
||||
|
||||
**c.** $\gamma = \sum m(0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7) = 000, 001, 010, 011, 100, 10 1, 110, 111$
|
||||
|
||||
| ⟍ | **00 (y'z')** | **01 (y'z)** | **11 (yz)** | **10 (yz')** |
|
||||
|:----------:|:-----------------------:|:-----------------------:|:-----------------------:|:-----------------------:|
|
||||
| **0 (x')** | :ballot_box_with_check: | :ballot_box_with_check: | :ballot_box_with_check: | :ballot_box_with_check: |
|
||||
| **1 (x)** | :ballot_box_with_check: | :ballot_box_with_check: | :ballot_box_with_check: | :ballot_box_with_check: |
|
||||
|
||||
Existe apenas **uma** forma disjuntiva mínima possível:
|
||||
|
||||
$\gamma(x,y,z,w) = 1$
|
||||
|
||||
**d.** $\delta = \sum m(4,6,8,10,13,14) = 0100, 0110, 1000, 1010, 1101, 1110$
|
||||
|
||||
| ⟍ | **00 (z'w')** | **01 (z'w)** | **11 (zw)** | **10 (zw')** |
|
||||
|:------------- |:-----------------------:|:-----------------------:|:-----------:|:-----------------------:|
|
||||
| **00 (x'y')** | | | | |
|
||||
| **01 (x'y)** | :ballot_box_with_check: | | | :ballot_box_with_check: |
|
||||
| **11 (xy)** | | :ballot_box_with_check: | | :ballot_box_with_check: |
|
||||
| **10 (x'y)** | :ballot_box_with_check: | | | :ballot_box_with_check: |
|
||||
|
||||
Existem **duas** formas disjuntivas mínimas possíveis:
|
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$\delta(x,y,z,w) = xyz'w + xy'w' + x'yw' + yzw'$
|
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||||
|
||||
|
||||
$\delta (x,y,z,w) = xyz'w + xy'w' + x'yw' + xzw'$
|
||||
|
||||
**e.** $\eta = \sum m(1,2,3,4,6,9) = 0001, 0010, 0011, 0100, 0110, 1001$
|
||||
|
||||
| ⟍ | **00 (z'w')** | **01 (z'w)** | **11 (zw)** | **10 (zw')** |
|
||||
|:------------- |:-----------------------:|:-----------------------:|:-----------------------:|:-----------------------:|
|
||||
| **00 (x'y')** | | :ballot_box_with_check: | :ballot_box_with_check: | :ballot_box_with_check: |
|
||||
| **01 (x'y)** | :ballot_box_with_check: | | | :ballot_box_with_check: |
|
||||
| **11 (xy)** | | | | |
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| **10 (xy')** | | :ballot_box_with_check: | | |
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||||
Existem **duas** formas disjuntivas mínimas possíveis:
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||||
$\eta (x,y,z,w) = x'yw' + x'y'z + y'z'w$
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||||
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||||
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||||
$\eta (x,y,z,w) = x'yw' + x'y'w + x'zw' + y'z'w$
|
||||
|
||||
**f.** $\mu = \sum m(0,1,2,4,8) = 0000, 0001, 0010, 0100, 1000$
|
||||
|
||||
| ⟍ | **00 (z'w')** | **01 (z'w)** | **11 (zw)** | **10 (zw')** |
|
||||
|:------------- |:-----------------------:|:-----------------------:|:-----------:|:-----------------------:|
|
||||
| **00 (x'y')** | :ballot_box_with_check: | :ballot_box_with_check: | | :ballot_box_with_check: |
|
||||
| **01 (x'y)** | :ballot_box_with_check: | | | |
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||||
| **11 (xy)** | | | | |
|
||||
| **10 (xy')** | :ballot_box_with_check: | | | |
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||||
Existe apenas **uma** forma disjuntiva mínima possível:
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||||
$\mu(x,y,z,w) = y'z'w' + x'y'w' + x'y'z' + x'z'w'$
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### 4.
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**a.** $ab' + c$
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**b.** $ab + b'c' + a'b'$
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**c.** $bc + a'b + ab'$
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||||
**d.** $a' + c$
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### 5.
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**a.** $a'c + abc + ac'd' + a'b'$
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**b.** $a'cd + b'cd' + ab'd' + abc'd$
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||||
**c.** $a'c + a'd' + cd' + ab'c'$
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||||
**d.** $bc + ab' + b'c'$
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||||
#
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[^1]: nUSP: 12543033; Turma 04
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@ -1,35 +0,0 @@
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# Resolução da [Lista 5](https://drive.google.com/file/d/1JX_Jk-oXc0ykWU80bwci9KUI99Dc6PRV/view?usp=drive_web&authuser=0) da disciplina de Matemática Discreta
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||||
> Feita por Guilherme de Abreu Barreto[^1]
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## Circuitos digitais
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### 1.
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**a.**
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<img title="" src="file:///home/user/Documents/Drives/USP/Introdução%20a%20Ciência%20da%20Computação/Imagens/a95daf95b0cfeb3dea362c917728ddd95c321f3f.png" alt="" data-align="center" width="232">
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||||
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||||
**b.**
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<img title="" src="file:///home/user/Documents/Drives/USP/Introdução%20a%20Ciência%20da%20Computação/Imagens/57108d6393d2a998ba1ce4a3cdb840c5c8a98873.png" alt="" width="313" data-align="center">
|
||||
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||||
**c.**
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<img title="" src="file:///home/user/Documents/Drives/USP/Introdução%20a%20Ciência%20da%20Computação/Imagens/cc1de92e941cbac07ae8a2b9397e159df0c7e651.png" alt="" data-align="center" width="393">
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||||
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### 2.
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||||
**a.**
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<img title="" src="file:///home/user/Documents/Drives/USP/Introdução%20a%20Ciência%20da%20Computação/Imagens/4675afafb2f3d57fa13d470701386e04b2827575.png" alt="" data-align="center" width="258">
|
||||
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||||
**b.**
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<img title="" src="file:///home/user/Documents/Drives/USP/Introdução%20a%20Ciência%20da%20Computação/Imagens/7f5196482611bb9b20dc67a1a8b3306acb6c17c8.png" alt="" data-align="center" width="290">
|
||||
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||||
### 3.
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<img title="" src="file:///home/user/Documents/Drives/USP/Introdução%20a%20Ciência%20da%20Computação/Imagens/e343435de0ef55df64497a1d53ac63ad3d13c78a.png" alt="" data-align="center" width="197">
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||||
nUSP: 12543033; Turma 04
|
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@ -1,301 +0,0 @@
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|||
# Algebra booleana
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## Relação com outras algebras
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||||
É possível constatar uma semelhança entre as operações encontradas nas algebras de proposição e de conjuntos, de tal forma a encontrarmos as seguintes equivalências:
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- $V \equiv \Omega$
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- $\varnothing \equiv F$
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- $\cup \equiv \lor$
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- $\cap \equiv \land$
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Isso se deve ao fato destas serem instâncias de um mesmo tipo de algebra: a **algebra booleana**.
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## Definição de algebra booleana
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||||
A algebra booleana está definida para os seguintes termos:
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- Existe um conjunto $S$ contendo pelo menos dois elementos ditos **especiais**, aqui denominados 0 e 1, onde
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- 0 é o elemento nulo aditivo;
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- e 1 é o elemento nulo multiplicativo.
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- Existem duas operações binárias (que relacionam dois elementos):
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- Adição ($+$) e
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- Multiplicação ($\cdot$)[^1];
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- Existe uma operação unária que associa cada elemento $x \in S$ a um elemento $x' \in S$, o complemento de $x$ em $S$.
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### Axiomas
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A sêxtupla $B$ de elementos $B = \lang S, 0, 1, + , \cdot, ' \rang$ é uma algebra booleana se esta exibe as seguintes propriedades:
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**P1.** Comutatividade
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- $x + y = y + x$
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- $x \cdot y = y \cdot x$
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**P2.** Associatividade
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- $(x + y) + z = x + (y + z)$
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- $(x \cdot y)\cdot z = x \cdot (y \cdot z)$
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**P3.** Distributividade
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- $x + (y \cdot z) = (x + y) \cdot (x + z)$[^2]
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||||
- $x \cdot (y + z) = (x \cdot y) + (x \cdot z)$
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||||
**P4.** Identidade
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- $x + 0 = x$
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||||
- $x \cdot 1 = x$
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**P5.** Complementariedade
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- $x + x' = 1$
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- $x \cdot x' = 0$
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||||
**P6.** Precedência: $' > \cdot > +$. Exemplo:
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- $x \cdot y + z = (x \cdot y) + z$
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||||
- $x \cdot y' = x \cdot(y')$
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||||
Por isso a relação com as algebras de proposição e de conjuntos: estas respeitam esses axiomas e podem ser descritas em termos das sêxtuplas
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- $B = \lang P(A), \varnothing, A, \cup, \cap,' \rang$ (Algebra de conjuntos);
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||||
- $B = \lang \mathfrak L, F, V, \lor, \land, \neg \rang$ (Algebra de proposição);
|
||||
|
||||
- $B = \lang \{0,1\}, 0, 1, ||, \&\&, ! \rang$ (Algebra binária).
|
||||
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||||
### Dualidade
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Tal qual demonstrado nos axiomas, cada propriedade **dual** obtida pelas substituições $+ \leftrightarrow \cdot$, $0 \leftrightarrow 1$ também é válida. Assim como a reflexividade das relações de igualdade como, por exemplo,
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||||
$$
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||||
x \cdot (y + z) = (x \cdot y) + (x \cdot z) \leftrightarrow
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(x \cdot y) + (x \cdot z) = x \cdot (y + z)
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||||
$$
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### Resultados
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**R1.** Em qualquer algebra booleana todo elemento $x$ satisfaz:
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- $x + x = x$
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**Prova:**
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$x = x + 0 = x + xx' = (x + x)(x + x') = (x + x)\cdot 1 = x + x$
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- $xx = x$
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||||
**Prova:** é a expressão dual de $x + x = x$
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**R2. Lei da absorção:** em qualquer algebra booleana quaisquer elementos $x,y$ satisfazem
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- $x + xy = x$
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**Prova:** faremos uma analogia com a algebra proposicional e analisaremos a tabela verdade destas proposições:
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| x | y | xy | x + xy |
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|:---:|:---:|:---:|:------:|
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| F | F | F | F |
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| F | V | F | F |
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||||
| V | F | F | V |
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||||
| V | V | V | V |
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- $x (x + y) = x$
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||||
**Prova:** é a expressão dual de $x + xy = x$.
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||||
**R3. Lei da nulidade:** em qualquer algebra booleana todo elemento $x$ satisfaz
|
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- $x + 1 = 1$
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||||
**Prova:**
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$x + 1 = x + \underbrace{(x + x')}_{\textbf{P5}} = \underbrace{(x + x)}_{\textbf{P2}} + x' = \underbrace{x}_{\textbf{R1}} + x' = \underbrace{1}_{\textbf{P5}}$
|
||||
|
||||
- $0x = 0$
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||||
**Prova:** é a expressão dual de $x + 1 = 1$.
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**R4.** Em qualquer algebra booleana quaisquer elementos $x, y$ tais que $x + y = 1$ e $xy = 0$, então $x = y'$.
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**Prova:** Conforme a propriedade **P5**, $y + y' = 1$ e $yy' = 0$. Então se $x = y'$, tem-se que $x + y = 1$ e $xy = 0$.
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||||
**R5.** Em qualquer algebra booleana todo elemento $x$ satisfaz $x'' = (x')' = x$. Também temos que $0' = 1$ e portanto $1' = 0$.
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||||
**R6. Leis de DeMorgan:** Em qualquer algebra booleana quaisquer elementos $x$, $y$ satisfazem:
|
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- $(x + y)' = x'y'$
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- $(xy)' = x' + y'$
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## Expressões Booleanas
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Uma **expressão booleana** nas variáveis $x, y, \dots$ em uma algebra booleana $B$ é uma expressão bem formada pelas **variáveis** muitas vezes em conjunção com **operadores** e, por vezes, **parênteses**. Por exemplo:
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$$
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||||
\alpha(x,y,z) = xyz' + x(y + z) + (x + z)'
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$$
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é uma expressão booleana pois podemos calcular seu valor nos elementos 0 e 1 (que pertencem a toda álgebra booleana):
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$$
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||||
\alpha(0,1,0) = 0\cdot1 \cdot 0' + 0(1 + 0) + (0 + 0)' = 0 + 0 + 1 = 1
|
||||
$$
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||||
**Teorema:** Toda expressão booleana pode ser colocada na forma de uma **soma de produtos fundamentais**, expressões que não contêm variáveis repetidas ou valem 0. Exemplos:
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- $xy'z$ é um produto fundamental;
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- $0 \cdot0\cdot\dots\cdot0$ é um produto fundamental;
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- $xytx'$ não é (x está repetido). Posto em forma de produto fundamental, $xytx' = 0$.
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### Variáveis e literais
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Variáveis são os valores aqueles denominados por incógnitas $x, y, z$, etc. literais são instâncias destas variáveis na expressão. Por exemplo, em $xytx'$ temos duas literais, $x$ e $x'$, da variável $x$.
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### Inclusão
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Se $\alpha$ e $\beta$ são duas expressões booleanas, dizemos que $\beta$ inclui $\alpha$, denotado por $\alpha \le \beta$, se todo literal de $\alpha$ também aparece em $\beta$. Por exemplo: $xz' \le xyz't$, mas $xz \not \le xyz't$.
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**Teorema:** pela lei da absorção, se $\alpha \le \beta$, então $\alpha + \beta = \alpha$. Exemplo:
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$\begin{cases}
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\alpha(x,z) = xz \\
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||||
\beta(x,y,z) = xyz
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\end{cases}\\
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\therefore \alpha + \beta = xz + xyz = xz + (xz)y = xz$
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### Formas disjuntivas
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Denominação dada às expressões booleanas aquelas nas quais
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1. são compostas por uma soma de produtos fundamentais;
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2. e nenhum destes produtos fundamentais inclui algum dos demais.
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Exemplo:
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- $xy + yz + xz$ é uma forma disjuntiva;
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- $xy + xz + (xy)z$ não é.
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||||
**Teorema:** Toda expressão booleana pode ser representada em uma forma disjuntiva. É possível reduzir uma dada expressão à sua forma disjuntiva pela aplicação, por vezes sucessiva das leis de DeMorgan, da involução ($x'' = x$), e da absorção, para simplificar a expressão.
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Exemplo:
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$$
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||||
(x'y)'(x' + xyz') = (x + y') (x' + xyz') =
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\cancel{xx'} + xyz' + x'y' + \cancel{x'yy'z'} = \\\ \\ x'y' + xyz'\ \blacksquare
|
||||
$$
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||||
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||||
### Formas mínimas e implicantes primos
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Sejam $\alpha$ e $\beta$ duas formas disjuntivas cada qual com $t$ termos e $l$ literais. Dizemos que $\alpha$ é **mais simples** que $\beta$ se
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- $t_{\alpha} < t_{\beta}$ e $l_\alpha \le l_\beta$, ou
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||||
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||||
- $t_\alpha \le t_\beta$ e $l_\alpha < l_\beta$.
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||||
#### Forma disjuntiva mínima
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Dizemos que $\alpha$ é uma **forma disjuntiva mínima** se nenhuma outra forma disjuntiva equivalente a $\alpha$ é mais simples que $\alpha$.
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#### Implicante primo
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Qualquer termo $\pi$ que
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- para uma forma disjuntiva $\alpha$ tem a adição $\pi + \alpha = \alpha$;
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- qualquer outra combinação de literais $x_1, \dots, x_n$ contidos em $\pi$ não produz o mesmo resultado.
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Por exemplo, se $\pi = xy$ e $\alpha = xy + xy'z + x'yz$, então
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$\pi + \alpha = \underbrace{xy + xy}_{Absorção} + xy'z + x'yz = xy + xy'z + x'yz = \alpha$
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**Teorema:** Se $\alpha$ é uma forma disjuntiva mínima, então os termos de $\alpha$ são todos seus respectivos implicantes primos. Dai o nome "primo", pois refere-se um componente primordial.
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### Formas Disjuntivas Normais (DNF)
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Dado um conjunto $S$ de variáveis booleanas quaisquer dizemos que a expressão booleana $\alpha$ está na forma disjuntiva normal se todos os termos de $\alpha$ contêm todas as variáveis de $S$.
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**Exemplo:** para $S = \{xy\}$, $\alpha = x'y + x'y$ está na forma disjuntiva normal, enquanto $\beta = x + x'y$ não está.
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Toda expressão booleana pode ser colocada na forma normal pelo uso da lei do complemento ($x + x' = 1$).
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**Exemplo:** $\alpha = x'y + x = x'y + x(y + y') = x'y + xy + xy'$
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## Mapa de Karnaugh (K-Map)[^2]
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Diagrama no qual cada produto fundamental possível é representado por uma "célula". Células adjacentes devem **diferir somente por um literal**. Um mapa de Karnaugh para $n$ variáveis possui $2^n$ células.
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**Exemplo:** A seguinte tabela representa um mapa de Karnaugh para um conjunto $S = \{x,y\}$:
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| ⟍ | y | y' |
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|:------:|:---:|:----:|
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| **x** | xy | xy' |
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| **x'** | x'y | x'y' |
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Uma expressão booleana em sua forma mínima então pode então ser representada por células assinaladas na tabela.
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**Exemplo:** $\alpha = xy + x'y + xy'$
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| $\alpha$ | y | y' |
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|:--------:|:-----------------------:|:-----------------------:|
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| **x** | :ballot_box_with_check: | :ballot_box_with_check: |
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| **x'** | :ballot_box_with_check: | |
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Feito o diagrama, identificamos expressões descritas pelas regiões retangulares de maior comprimento que são potência de 2.
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- Primeira coluna: $xy + x'y = y$;
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- Primeira linha: $xy + xy' = x$
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Assim, obtemos a forma disjuntiva mínima $\alpha = x + y$. Vemos que esta é representativa da expressão anterior fazendo uso da lei do complemento:
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$$
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\alpha = x + y = x(y + y') + y(x + x') = xy + xy' + \cancel{xy}\ + x'y = \alpha
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$$
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**Atenção:** O mapa de Karnaugh é contínuo em suas extremidades, como mostra esta imagem:
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<img src="file:///home/user/Public/USP/Sistemas%20de%20Informação/2º%20semestre/Matemática%20Discreta%20I/Imagens/0dc257375f0158494200599e14ac7a05a141f349.gif" title="" alt="" data-align="center">
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## Mintermos
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Denominação dada aos produtos fundamentais aqueles que contém todas as variáveis presentes no conjunto em questão.
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- Para $n$ variáveis existem $2^n$ mintermos;
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- Cada célula de um mapa de Karnaugh representa um mintermo;
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- Cada mintermo assume valor 1 somente para uma combinação de valores para suas variáveis.
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### Indexação
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Mintermos podem ser indexados em código binário, tal que:
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- $xyz = 111 = 2^2 + 2^1 + 2^0 = 7$;
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- $xy'z = 101 = 2^2 + 2^0 = 5$;
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- $x'yz' = 010 = 2^1 = 2$;
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Segue que toda expressão booleana na forma disjuntiva normal corresponde à uma soma de mintermos
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$\alpha = xyz + xyz' + x'yz = 111 + 110 + 011 = \sum m(3,6,7)$
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[^1]: Usualmente este sinal é omitido.
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[^2]: Note a distinção com a algebra artimética e a semelhança com a algebra de conjuntos.
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[^3]: [Vídeo explicando o mapa.](https://yt.didw.to/watch?v=RO5alU6PpSU) [Mais outro bom](https://yt.didw.to/watch?v=Enb3C4yZ5rw).
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@ -1,140 +0,0 @@
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# Enumeração e Combinatória
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Técnicas de contagem de objetos com determinadas propriedades.
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## Princípios básicos
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Dados dois eventos $A$ e $B$ disjuntos, se
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- o evento $A$ pode ocorrer de $n$ maneiras diferentes e
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- o evento $B$ pode ocorrer de $m$ maneiras diferentes,
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**Regra da soma:** então o evento $A\ ou\ B$ pode ocorrer de $n + m$ maneiras diferentes ($|A \cup B| = |A| + |B|$).
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**Regra do produto:** então o evento $A\ e\ B$ pode ocorrer de $nm$ maneiras diferentes ($|A \times B| = |A||B|$).
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## Permutações
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Arranjos de objetos em que a ordem destes é significativa.
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### r-permutações
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Dado um conjunto de elementos de tamanho $n$, denomina-se $r$-permutação de $n$ objetos o conjunto de combinações possíveis com um subconjunto de $r \le n$ objetos.
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Por exemplo, duas possíveis 3-permutações das 4 letras A, B, C, D são ACB e DBC.
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### Teorema
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O número de $r$-permutações de $n$ objetos é dado por
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$$
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P(n,r) = n(n - 1)\dots (n - r+ 1) = \dfrac{n!}{(n - r)!}
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$$
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### Corolário
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O número de permutações de $n$ objetos é dado por $P(n,n) = n!$ . Neste caso escreve-se simplesmente $P(n)$ ou $P_n$.
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### Permutações com repetições
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Quando alguns dos objetos a serem permutados são idênticos, temos de considerar uma redução no número de permutações distintas.
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#### Teorema
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O número $P(\alpha_1, \dots, \alpha_k, \beta_1,\dots, \beta_l, \theta_1,\dots,\theta_m, \dots)$ de permutações de $n$ objetos onde todos $\alpha$, $\beta$, e $\theta$ são idênticos com quaisquer outros $\alpha$, $\beta$ e $\theta$ respectivamente, é:
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$$
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P^{\alpha_1, \dots, \alpha_k, \beta_1,\dots, \beta_l, \theta_1,\dots,\theta_m, \dots}_{\alpha_1 + \dots + \alpha_k + \beta_1 + \dots + \beta_l + \theta_1 + \dots + \theta_m + \dots} = \dfrac{(\alpha + \beta + \theta + \dots )!}{\alpha!\beta!\theta!\dots!}
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$$
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Também denotado enquanto número **multinomial**:
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$$
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\left(\begin{matrix} & & n! & & \\ n_1! & n_2! & n_3! & n_4! & n_5!\end{matrix}\right)
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$$
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### Permutações com reposição
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O número de $r$-permutações de $n$ objetos diferentes que podem ser repostos ou, equivalentemente, que existem em quantidade ilimitada é dado, pela regra do produto, por
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$$
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U(n,r) = n^r
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$$
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## Combinações
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Seleção de objetos de um arranjo no qual a ordem não é significativa.
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### Teorema
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O número de combinações de $r$ objetos de um arranjo de $n$ objetos é dado por
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$$
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C(n,r) = \dfrac{n(n-1)\dots (n - r + 1)}{r!} = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}
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$$
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### Coeficientes binomiais
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O número $C_{(n,r)}$ possui um símbolo especial para ele que é
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$$
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C_{(n,r)} = \frac{n!}{r!(n - r)!} = \binom nr
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$$
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denominado "coeficiente binomial". Onde
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- $C_{(n,0)} = \binom n0 = 1$;
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- $C_{(n,r)} = \binom nr = 0$ se $r < 0$ ou $r > n$;
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- $C_{(n,r)} = \binom{-n}r = (-1)^r \binom{n + r - 1}r$;
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- $C_{(-n,-r)} = \binom{-n}{-r} = (-1)^{n + r}\binom{r - 1}{n - 1}$[^1]
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- $C_{(n,r)} = \binom nr = \binom n{n - r} = C_{(n, n - r)}$
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- $C_{(n + 1,r)} = \binom {n + 1}r = \binom nr + \binom n{r - 1} = C_{(n,r)} + C_{(n, r - 1)}$
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### Combinações com repetições
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O conjunto $R(n,k)$ de $k$ combinações de $n$ objetos distintos os quais podem ocorrer cada qual até $k$ vezes e somados totalizam $k$ itens.
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#### Método de Euler
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Trata-se de um método para calcular o número de combinações distintas com repetições mapeando-as a elementos de um arranjo sem repetições.
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Considere uma sequência de 4 elementos numerados de 1 à 4, onde busca-se compor uma combinação de 5 elementos. Ordenada em ordem crescente, uma combinação possível com repetição seria $C = \{1,2,2,2,4\}$. Criemos um arranjo $A$ de igual tamanho à partir deste conjunto, aplicando a regra de transformação $a_i = c_i + i - 1$. Teremos como resultado $A= \{1,2,4,5,8\}$, um arranjo sem repetição de elementos, mais correspondente a uma combinação onde há repetições.
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À partir dai, podemos calcular pelo binômio de Newton o número de arranjos distintos:
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$$
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R(n,k) = \binom {n + k -1}k
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$$
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Como a regra de transformação é bijetora (produz valores $a_i$ distintos para cada valor $c_i$ também distinto), tem-se que este binômio é representativo da variedade de combinações possíveis.
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#### Método "bolas e barras"
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Em uma $k$-combinação de $n$ itens com repetição, temos $x_1$ elementos do tipo 1, $x_2$ elementos do tipo 2, etc. Tal que
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$$
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x_1 + x_2 + \dots + x_n = k
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$$
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O número de $k$-combinações de $n$ itens com repetição é dado, portanto, pelo número de soluções de soluções para a equação acima, sendo que $x_i \ge 0$.
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O método de bolas e barras consiste em uma ilustração que representa unidades enquanto bolas e a distinção entre elementos enquanto barras:
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$$
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\underbrace{\circ \circ \circ}_{x_1} | \underbrace \circ_{x_2} ||
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\underbrace{\circ \circ}_{x_3} | \dots | \underbrace \circ_{x_n}
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$$
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Pelo desenho observa-se que existem $k$ bolas e $n - 1$ barras cujas posições são transponíveis entre si. Assim, cada solução para a equação $x_1 + \dots x_n = k$ pode corresponder a uma configuração das bolas e barras. Ou seja, temos de escolher onde colocar $n - 1$ barras dentre $n - 1 + k$ posições possíveis. Esse número nada mais é que o número de seleções de $n - 1$ itens de um total de $n - 1 + k$ itens sem repetição:
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$$
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R(n,k) = \binom{n - 1 + k}{n - 1} = \binom{n + k - 1}k
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$$
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[^1]: Verificar este resultado. "Livro do Knauf"
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@ -1,40 +0,0 @@
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# Princípio do Pombal
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Seja $S$ um conjunto finito de cardinalidade $n$. Sejam $S_1, S_2, \dots, S_k$ partições de $S$ em $k$ subconjuntos. Então, pelo menos um subconjunto $S_i$ de $S$ contém pelo menos $\lceil \frac nk \rceil$ elementos.
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**Corolário:** Se um conjunto de n elementos é dividido em $k < n$ subconjuntos, então pelo menos um subconjunto contém mais de um elemento.
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**Outro corolário:** Sejam $m, n$ e $k$ números inteiros positivos e não nulos. Se $mn$ objetos são distribuídos em $k$ conjuntos, $k < n$, então pelo menos um conjunto contém $m + 1$ objetos.
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**Demonstração:** Procederemos por contradição, suponhamos que *nenhum* subconjunto $S_i$ de $S$, sendo $|S| = n$, tenha $\lceil \frac nk \rceil$ elementos.
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Então o número máximo de elementos em qualquer $S_i$ seria $\lceil \frac nk \rceil - 1$.
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E o total de elementos em $S$ seria não mais que $k (\lceil \frac nk \rceil - 1) = k \lceil \frac nk \rceil - k$.
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Dai tiramos duas possibilidades:
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**1.** $n$ é divisível por $k$. Então $\lceil \frac nk \rceil = \frac nk$ é um número inteiro e $k \lceil \frac nk \rceil - k = n - k$. Logo:
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$$
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\left \lceil \frac nk \right \rceil =
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\frac nk \implies k \left\lceil \frac nk \right\rceil - k = n - k
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$$
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E assim,
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$$
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|S| = \sum^k_{i = 1} |S_i| \le n - k < n
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$$
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Isso contradiz a hipótese de que $|S| = n$.
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**2.** $n$ não é divisível por $k$. Então,
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$$
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|S| = k \left \lceil \frac nk \right \rceil - k < \frac{k (n + k)}k - k = n
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$$
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Novamente, isso contradiz a hipótese de que $|S| = n$
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Logo, por prova de contradição, necessita haver pelo menos $\lceil \frac nk \rceil$ elementos em pelo menos um subconjunto $S_i \subseteq S$.
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