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Atividade 1
Capítulo 4.9
Exercício 29
Encontre f, onde f'''(t) = \cos t.
Resolução
Conforme a tabela dos integrais,
$f'''(t) = \cos t \ f'' (t) = \sin t + C_1 \ f' (t) = - \cos t + C_1x + C_2 \ f(t) = - \sin t + \dfrac{C_1x^2}2 + C_2x + C_3 $
Exercício 67
Um objeto é lançado para cima com velocidade inicial v_0 metros por segundo a partir de um ponto s_0 metros acima do solo. Mostre que
[v(t)]^2 = v_0^2 - 19,6[s(t) - s_0]
Resolução
$a(t) = v'(t) \approx -9,8 \ v(t) = a(t)t + C_1 = a(t)t + v_0 = s'(t)\implies t = \dfrac{v(t) - v_0}{a(t)} \ s(t) = \dfrac{a(t)t^2}2 + v_0t + C_2 = \dfrac{a(t)t^2}2 + v_0t + s_0 \ s(t) - s_0 = t \left[ \dfrac{a(t)t}2 + v_0 \right] \\ \ s(t) - s_0 = \left[ \dfrac{v(t) - v_0}{a(t)} \right] \left[ \dfrac{\cancel{a(t)}}2 \cdot \dfrac{v(t) - v_0}{\cancel{a(t)}} + v_0 \right] \\ \ s(t) - s_0 = \dfrac{[v(t) - v_0][v(t) - \cancel{v_0} + \cancel 2v_0]}{2a(t)} \\ \ 2a(t)[s(t) - s_0] = [v(t)]^2 - v_0^2 \\ \ \bm{[v(t)]^2 = v_0^2 -19,6 [s(t) - s_0]} $
Capítulo 5.2
Exercício 37
Calcule a integral de \int_{-3}^0 (1 + \sqrt{9 - x^2})\ dx, interpretando-a em termos das áreas.
Resolução
\int_{-3}^0 (1 + \sqrt{9 - x^2})\ dx =\\ \int_{-3}^0 1 \ dx + \int_{-3}^0 \sqrt{9 - x^2}\ dx =\\ 1 \cdot (0 - (-3)) + \int_{-3}^0 \sqrt{9 - x^2}\ dx = 3 + \int_{-3}^0 \sqrt{9 - x^2}\ dx
Considerando y = \sqrt{9 - x^2} temos que o segundo termo da equação anterior refere-se à uma área posicionada no segundo quadrante ([-3,0]) e estritamente positiva (0 \le y \le 3). Também percebemos que esta possui forma circular pois a equação se assemelha à aquela do círculo (y^2 + x^2 = r^2):
y = \sqrt{9 - x^2} \implies y^2 + x^2 = 9
Onde r^2 = 9. Assim, substituindo \int_{-3}^0 \sqrt{9 - x^2}\ dx pela área de um quadrante de um círculo de raio 3, temos:
\int_{-3}^0 (1 + \sqrt{9 - x^2})\ dx = 3 + \dfrac{9\pi}4
Exercício 53
Cada uma das regiões A, B e C delimitadas pelo gráfico de f e o eixo x tem área 3. Encontre o valor de
\int_{-4}^2 [f(x) + 2x +5]\ dx
Resolução
\int_{-4}^2 [f(x) + 2x +5]\ dx = \int_{-4}^2 f(x)\ dx + \underbrace{\int_{-4}^2 2x \ dx}_{\text{função linear}} + \underbrace{\int_{-4}^2 5\ dx}_{\text{função constante}} =\\\ \\ (-3 + 3 - 3) + \left(\dfrac{2 \cdot 4}2 - \dfrac{4 \cdot 8}2 \right) + 5 (2 - (-4)) = \bm{15}