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Propriedades dos integrais e somatórios
Definição geral dos integrais
\int_a^b f(x)\ dx = \lim_{n \to \infty}
\underbrace{\sum^n_{i = 1} f(x_i) \Delta x}
_{\text{Soma de Reimann}} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{b - a}n \sum^n_{i = 1}
f\left(i \cdot \dfrac{b - a}n \right)
Propriedades dos integrais
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\displaystyle \int_a^b f(x)\ dx = - \int_b^a f(x)\ dx -
\displaystyle \int_a^a f(x)\ dx = 0 -
\displaystyle \int_a^b c\ dx = c\ (b - a) -
\displaystyle \int_a^b c f(x)\ dx = c \int_a^b f(x)\ dx -
\displaystyle \int_a^b [f(x) \pm g(x)]\ dx = \int_a^b f(x)\ dx \pm \int_a^b g(x)\ dx -
\displaystyle \int_a^b f(x)\ dx + \int_b^c f(x)\ dx = \int_a^c f(x)\ dx -
\displaystyle \int dx = x
Propriedades da somatória
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\displaystyle \sum^n_{i = 1} i = \dfrac{n (n + 1)}21 -
\displaystyle \sum^n_{i = 1} i^2 = \dfrac{n (n + 1)(2n + 1)}6 -
\displaystyle \sum^n_{i = 1} i^3 = \left[\dfrac{n (n + 1)}2\right]^2 -
\displaystyle \sum^n_{i = 1} c = nc -
\displaystyle \sum^n_{i = 1} c\ a_i = \displaystyle c \sum^n_{i = 1} a_i -
\displaystyle \sum^n_{i = 1} (a_i \pm b_i) = \sum^n_{i = 1} a_i \pm \sum^n_{i = 1} b_i -
\displaystyle \sum^n_{i = 1} a^i = \dfrac{a(a^n - 1)}{a - 1}2