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Atividade 2
Resolução dos exercícios obrigatórios, feita por Guilherme de Abreu Barreto1.
Capítulo 5.3
Exercício 45
O que está errado com a seguinte equação?
\displaystyle \int^1_{-2} x^{-4}\ dx = \dfrac{x^{-3}}{-3} \Bigg ]^1_{-2} = - \dfrac 38
Resolução
A equação em questão faz uso do Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para calcular o valor da integral da função f(x) = x^{-4} no intervalo [1, -2]. Entretanto, o TFC, conforme sua definição, aplica-se somente às integrais de funções contínuas. Este não é o caso aqui, pois nota-se que f(x) = x^{-4} apresenta descontinuidade no ponto x = 0.
Exercício 65
A função de Fresnel S foi definida no Exemplo 3, e seus gráficos estão nas Figuras 7 e 8.
(a) Em que valores de x essa função tem valores máximos locais?
(b) Em que intervalos a função é côncava para cima?
(c) Use um gráfico para resolver a seguinte equação, com precisão de duas casas decimais:
\displaystyle \int^x_0 \sin \left(\dfrac{\pi t^2}2\right)\ dt = \dfrac 15
Resolução
(a) Conforme se observa pela figura 7, a função de Fresnel apresenta valores máximos e mínimos para os valores de x aqueles em que sua função derivada S'(x) = \sin (\pi x^2/2) tem valor 0. O que ocorre sempre que o valor de x é diferente de 0 e múltiplo de √2:
S'(x) = \sin \left(\dfrac{\pi (n \sqrt 2)^2}2\right) = 0 \implies
\begin{cases}
\text{Máximo local, se \textit k for} \begin{cases}
\text{ímpar e positivo} \\
\text{par e negativo}
\end{cases} \\\ \\
\text{Mínimo local, se k for} \begin{cases}
\text{par e positivo} \\
\text{ímpar e negativo}
\end{cases} \\
\end{cases}
Onde n é um número inteiro e positivo. Ou seja, para x > 0 tem-se um máximo local quando:
\dfrac{\pi x^2}2 = (2n + 1)\pi \implies x = \sqrt{2(2n + 1)}
Enquanto, para x < 0, isso ocorre quando:
\dfrac{\pi x^2}2 = 2n\pi \implies x = -2\sqrt x
(b) Conforme as propriedades das funções derivadas, enquanto a função derivada descreve a localização dos pontos máximos e mínimos da função da qual foi derivada, por vez, a função derivada desta primeira descreve a concavidade desta última: para cima quando S''(x) > 0 e para baixo quando S''(x) < 0. Onde S'''(x) é:
S'(x) = \sin \left(\dfrac{\pi x^2}2\right) \implies S''(x) = \cos \left(\dfrac{\pi x^2}2\right) \cdot \pi x
Logo, para x > 0:
\cos \left(\dfrac{\pi x^2}2\right) \cdot \pi x > 0 \implies \cos \left(\dfrac{\pi x^2}2\right) > 0 \implies 0 < \dfrac{\pi x^2}2 < \dfrac \pi 2
Generalizando:
\left(2n - \dfrac 32 \right)\pi < \dfrac{\pi x^2}2 < \left(2n - \dfrac 12 \right)\pi \\\ \\
\sqrt{4n - 3} < x < \sqrt{4n - 1}
Para qualquer número inteiro e positivo n.
De maneira análoga, para x < 0:
\cos \left(\dfrac{\pi x^2}2\right) \cdot \pi x > 0 \implies \cos \left(\dfrac{\pi x^2}2\right) < 0 \implies \dfrac \pi 2 < \dfrac{\pi x^2}2 < \dfrac{3\pi} 2
Generalizando:
\left(2n - \dfrac 12 \right)\pi < \dfrac{\pi x^2}2 < \left(2n - \dfrac 32 \right)\pi\\\ \\
\sqrt{4n - 1} < |x| < \sqrt{4n - 3}
(c) O gráfico à seguir foi gerado aplicando a fórmula da integral em uma calculadora gráfica e experimentando-se valores para x menores que √2 até ser encontrado o valor aquele que corresponde à área descrita pelo enunciado em x = 0.74.
Capítulo 5.4
Exercício 45
Calcule a integral de \int^2_{-1} (x - 2 |x|)\ dx
Resolução
$\text{(I) } \int^2_{-1} (x - 2 |x|)\ dx = \int_{-1}^0 (x + 2x)\ dx + \int_0^2 (x - 2x)\ dx =\\ \ 3 \int_{-1}^0 x\ dx - \int_0^2 x\ dx = 3[F(0) - F(-1)] - [F(2) - F(0)] \\ \ \text{(II) } f(x) = x \implies F(x) = \dfrac{x^2}2 \\ \ \text{(I) e (II) } 3 \cdot - \dfrac 12 - \dfrac 42 = - \dfrac 72 $
Exercício 67
O custo marginal de fabricação de x metros de um certo tecido é C'(x) = 3 - 0,01x + 0,000006x^2^ US$/m (em dólares por metro). Ache o aumento do custo (A) se o nível de produção for elevado de 2 000 para 4 000 metros.
Resolução
C'(x) = 3 - 10^{-2}x + 6 \cdot 10^{-6}x \implies C(x) = 3x - \dfrac{10^{-2}}2x^2 + 2 \cdot 10^{-6}x^3\\\ \\A = \displaystyle \int_{2 \cdot 10^3}^{4 \cdot 10^3} C'(x) dx = C(4 \cdot 10^3) - C(2 \cdot 10^3) = \\\ \\4 \cdot 10^3 \left[3 - \dfrac{10^{-2} \cdot 4 \cdot 10^3}2 + 2 \cdot 10^{-6} \cdot 16 \cdot 10^6\right] - 2 \cdot 10^3 (3 - 10 + 8)\\\ \\ = \bm{58 \cdot 10^3 \textbf{ dollares/m}}
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nUSP 12543033 ↩︎