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Atividade 3
Resolução dos exercícios obrigatórios, feita por Guilherme de Abreu Barreto1.
Capítulo 5.5
Exercício 73
Avalie a integral definida:
\int^1_0 \dfrac 1{(1 + \sqrt x)^4}\ dx
Resolução
$ \displaystyle \int^1_0 \dfrac 1{(1 + \sqrt x)^4}\ dx \begin{cases} u = \sqrt x \ du = \dfrac{x^{-\frac 12}}{2}\ dx = \dfrac{dx}{2\sqrt x} = \dfrac{dx}{2u} \implies 2u\ du = dx \end{cases}\\ \ 2 \int^{\sqrt 1 = 1}{\sqrt 0 = 0} \dfrac{u}{(1 + u)^4}\ du \begin{cases} v = 1 + u \implies u = v - 1 \ dv = du \end{cases}\\ \ 2 \int^{1 + 1 = 2}{0 + 1 = 1} \dfrac{v - 1}{v^4}\ dv = 2 \left[\int^2_1 \dfrac v{v^4}\ dv - \int^2_1 \dfrac 1{v^4}\ dv \right] = 2 \left[ - \dfrac{v^{-2}}2 \Bigg |^2_1 + \dfrac{v^{-3}}3 \Bigg |^2_1 \right] = \\ \ 2 \left[\dfrac 1{3 \cdot 8} - \dfrac 13 - \dfrac 1{2 \cdot 4} + \dfrac 12\right] = \dfrac 16 $
Exercício 83
A respiração é cíclica e o ciclo completo respiratório desde o início da inalação até o fim da expiração demora cerca de 5\ s. A taxa máxima de fluxo de ar nos pulmões é de cerca de 0,5\ L/s. Isso explica, em partes, porque a função f(x) = \frac 12 \sin \left(\frac{2\pi t}5\right) tem sido frequentemente utilizada para modelar a taxa de fluxo de ar nos pulmões. Use esse modelo para encontrar o volume da ar inalado no instante t.
Resolução
O volume de ar inalado desde o início do ciclo respiratório (0) até o instante t pode ser aferido pela integral da taxa de fluxo de ar, aferida entre estes dois momentos:
$\displaystyle \int^t_0 \dfrac 12 \sin \left(\dfrac{2\pi x}5\right)\ dx = \dfrac 12 \int^t_0 \sin \left(\dfrac{2\pi x}5\right)\ dx \begin{cases} u = \dfrac{2\pi x}5 \\ \ du = \dfrac{2 \pi}5\ dx \implies dx = \dfrac 5{2\pi}\ du \end{cases}\\ \ \dfrac 12 \cdot \dfrac 5{2\pi}\int^{\frac{2\pi t}5}_0 \sin u\ du = \dfrac 5{4\pi} \cdot -\cos u \Bigg |^{\frac{2\pi t}5}_0 = \dfrac 5{4\pi} \left[1 - \cos\left(\dfrac{2\pi t}5\right)\right] $
Capítulo 7.1
Exercício 51
Use integração por partes para demonstrar a seguinte redução:
\int (\ln x)^n\ dx = x(\ln x)^n - n\int (\ln x)^{n - 1}\ dx
Resolução
Conforme a definição, a fórmula da integração por partes para integrais indefinidas pode ser expressa nos seguintes termos:
\int u \ dv = uv - \int v\ du
Assim o sendo,
$\displaystyle \int (\ln x)^n\ dx \begin{cases} u = (\ln x)^n \implies du = n (\ln x)^{n - 1}\ dx\ dv = dx \implies v = x \end{cases}\\ \ \displaystyle \int (\ln x)^n\ dx = x(\ln x)^n - \int n(\ln x)^{n - 1}\ dx = \bm{x(\ln x)^n - n\int (\ln x)^{n - 1}\ dx } $
Exercício 67
Uma partícula que se move ao longo de uma reta tem velocidade igual a v(t) = t^2e^{-t} metros por segundo após t segundos. Qual a distância que essa partícula percorrerá durante os primeiros t segundos?
Resolução
A função velocidade trata-se da função derivada da função espaço. Assim o sendo, para obtermos a variação \Delta S entre a posição inicial S(0) e final S(t), temos:
$S(t) = \displaystyle \int \dfrac{t^2}{e^t}\ dt \begin{cases} u = t^2 \implies du = 2t\ dt\ dv = \dfrac{dt}{e^t} \implies v = \int e^{-t}dt \begin{cases} w = -t\ dw = -dt \end{cases} \therefore v = - \int e^w\ dw = -e^{-t} \end{cases}\\ \ S(t) = - \dfrac{t^2}{e^t} + 2 \int \dfrac t{e^t}\ dt \begin{cases} u = t \implies du = dt \ dv = \dfrac{dt}{e^t} \implies v = -e^{-t} \end{cases}\\ \ S(t) = - \dfrac{t^2}{e^t} + 2 \left(- \dfrac t{e^t} + \int e^{-t}dt\right) = \dfrac{t^2}{e^t} + 2 \left(-\dfrac{t}{e^t} + \dfrac 1{e^t}\right) + \underbrace C_{=\ S(0)} \\ \ \implies \Delta S = \dfrac{-t^2 - 2t + 2}{e^t} $
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nUSP 12543033 ↩︎