semestre_2/Matemática Discreta I/Lógica elementar.md

Lógica elementar

Respostas à 1ª lista de exercícios

1.

(a) (q \land \lnot r) \to p

"Se o céu está estrelado e não está fazendo frio então Eva vai sair para uma caminhada"

(b) q \to (\lnot r \to p)

A proposição acima equivale à q \to (r \lor p), conforme demonstra a seguinte tabela verdade:

r	p	\lnot r \to p	r \lor p
F	F	F	F
F	V	V	V
V	F	V	V
V	V	V	V

Logo, a oração fica: "Se o céu está estrelado então está fazendo frio ou Eva vai sair para uma caminhada."

(c) \lnot(p \iff (q \lor r))

Abordemos a proposição em partes:

• p \iff (q \lor r): Eva vai sair para uma caminhada se, e somente se, o céu está estrelado ou está fazendo frio.

• \lnot(p \iff (q \lor r)) (a negação da proposta anterior): Eva não vai sair para uma caminhada se, e somente se, o céu está estrelado ou está fazendo frio.

(d) p \iff q

(e) (r \land \lnot q) \to \lnot p

(f) r \land p

2.

p	q	p \to q	\lnot p \lor q
F	F	V	V
F	V	V	V
V	F	F	F
V	V	V	V

3.

Se q é uma tautologia, q \equiv V sempre. Enquanto, se r é uma contradição, r \equiv F sempre. Logo,

p	q	r	p \lor q	p \land r
V	V	F	V	F
F	V	F	V	F

4.

(a) Nota-se que o valor verdade de tais proposições são equivalentes na tabela verdade:

p	q	r	p \land (q \lor r)	(p \land q) \lor (p \land r)
F	F	F	F	F
F	V	F	F	F
F	F	V	F	F
F	V	V	F	F
V	V	V	V	V
V	V	F	V	V
V	F	V	V	V
V	F	F	F	F

(b) Tal qual anterioremente,

p	q	r	p \lor (q \land r)	(p\lor q) \land (p \lor r)
F	F	F	F	F
F	V	F	F	F
F	F	V	F	F
F	V	V	V	V
V	V	V	V	V
V	V	F	V	V
V	F	V	V	V
V	F	F	V	V

5.

Demonstração da segunda lei de Morgan:

p	q	\lnot (p \lor q)	\lnot p \land \lnot q
V	V	F	F
V	F	F	F
F	V	F	F
F	F	V	V

6.

A Lei de Morgan aplica-se de maneira equivalente na teoria dos conjuntos e na lógica proposicional. Veja que o complemento à intercessão entre dois conjuntos A e B é a união dos complementos de A e B:

Assim o sendo, para n conjuntos P tem-se que:

\left(\bigcap^n_{i = 1}P_i\right)^c = \bigcup^n_{i = 1} P_i^{\ c}

e também:

\left(\bigcup^n_{i = 1} P_i\right)^c = \bigcap^n_{i = 1} P_i^{\ c}

7.

(a) Tautologia

p	q	(p \to q) \lor p
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	V

(b) Reescrevendo a equação em termos de \land e \lor:

$(p \to (q \to r)) \to ((p \to q) \to (p \to r)) \equiv \ \lnot (\lnot p \lor (\lnot q \lor r)) \lor (\lnot(\lnot p \lor q) \lor (\lnot p \lor r)) \equiv \ (p \land \lnot (\lnot q \lor r)) \lor ((p\land q) \lor (\lnot p \lor r)) \equiv \ (p \land (q \land \lnot r)) \lor ((p \land q) \lor (\lnot p \lor r)) \equiv \ ((p \land q) \land (p \land \lnot r)) \lor ((p \land q) \lor (\lnot p \lor r)) $

p	q	r	((p \land q) \land (p \land \lnot r)) \lor ((p \land q) \lor (\lnot p \lor r))
F	F	F	(F \land F) \lor (F \lor V) \equiv V
F	V	F	(F \land F) \lor (F \lor V) \equiv V
F	F	V	(F \land F) \lor (F \lor V) \equiv V
F	V	V	(F \land F) \lor (F \lor V) \equiv V
V	V	V	(V \land F) \lor (V \lor V) \equiv V
V	V	F	(V \land V) \lor (V \lor F) \equiv V
V	F	V	(F \land F) \lor (F \lor V) \equiv V
V	F	F	(F \land V) \lor (F \lor V) \equiv F

8.

p	p \lor \lnot p	p \land \lnot p
F	F \lor V \equiv V	F \land V \equiv F
V	V \lor F \equiv V	V \land F \equiv F

9.

$p \to (q \to r) \equiv \lnot p \lor (\lnot q \lor r) \equiv \lnot (p \land q) \lor (\lnot p \lor r) \ (p \to q)\to r \equiv \lnot(\lnot p \lor q) \lor r \equiv (p \land \lnot q) \lor r \equiv (p \lor r) \land (r \lor \lnot q) $

p	q	r	\lnot (p \land q) \lor (\lnot p \lor r)	(p \lor r) \land (r \lor \lnot q)
F	F	F	V \lor V \equiv V	F \land V \equiv F
F	V	F	V \lor V \equiv V	F \land F \equiv F
F	F	V	V \lor V \equiv V	V \land V \equiv V
F	V	V	V \lor V \equiv V	V \land V \equiv V
V	V	V	F \lor V \equiv V	V \land V \equiv V
V	V	F	F \lor F \equiv F	V \land F \equiv F
V	F	V	V \lor V \equiv V	V \land V \equiv V
V	F	F	V \lor F \equiv V	V \land V \equiv V

10.

Conforme a seguinte tabela verdade, isso pode ser feito de duas formas: reunindo-se apenas com o representante turco ou, senão, apenas com os representantes turco e russo.

a	t	r	(a \land \lnot t) \lor (\lnot a \land t)	(r \lor t)	\lnot (a \land r)
F	F	F	F	F	V
F	V	F	V	V	V
F	F	V	F	V	V
F	V	V	V	V	V
V	V	V	F	V	F
V	V	F	F	V	V
V	F	V	V	V	F
V	F	F	V	F	V

11.

O princípio da equivalência descreve que para quaisquer proposições p e q equivalentes entre si que contenham os conectivos \lnot, \land ou \lor, mas não necessariamente todos, as proposições duais destas (proposições obtidas pela substituição de cada \land por \lor e vice-versa; e de cada constante V por F e vice versa) também são equivalentes entre si.

Por exemplo,

p \land (p \lor p) \iff p

Como, por hipótese, temos que p \equiv q, então

p \land (p \lor q) \iff p

Podemos ainda adicionar à formulação anterior o elemento neutro \lor\ F:

(p \lor F) \land (p \lor q) \iff p

E então simplificá-la:

$\underbrace{p \lor \underbrace{(F \land q)}{\text{Identidade}}}{\text{Distributiva}} \iff p \\ \ p \lor F \iff p \ p \iff p $

Consideremos agora a formulação dual deste mesmo teorema: $p \lor (p \land q) \iff p \ (p \land V) \lor (p \land q) \iff p \ p \land (V \lor q) \iff p \ p \land V \iff p \ p \iff p $

Fica demonstrado que realizando as substituições propostas, "duais", alcançamos resultados equivalentes.

12.

Podemos descrever o XOR em termos de conjunção e disjunção da seguinte forma:

p\ \underline \lor\ q \equiv (p \land \lnot q) \lor (\lnot p \land q)

Assim, para este temos a seguinte tabela verdade:

p	q	(p \land \lnot q) \lor (\lnot p \land q)
F	V	V
F	F	F
V	V	F
V	F	V

13.

(a) Vamos simplificar a proposição e admitir que esta seja falsa:

(p \iff (\neg q \lor r)) \to (\neg p \to q) \equiv
(p \iff (\neg q \lor r)) \to (p \lor q) \equiv F

Analizemos a tabela verdade para identificar os valores de (p \iff (\neg q \lor r)) e (p \lor q) que levam a este resultado:

(p \iff (\neg q \lor r))	(p \lor q)	(p \iff (\neg q \lor r)) \to (p \lor q)
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Apenas quando (p \iff (\neg q \lor r)) \equiv V e (p \lor q) \equiv F obtêm-se tal resultado. Para (p \lor q) \equiv F, p \equiv q \equiv F. Substituindo estes valores, temos:

$(F \iff (\neg F \lor r)) \equiv V \ (F \iff (V \lor r)) \equiv V \ F \iff V \equiv V $

Chegamos a um absurdo. Assim o sendo, não é possível que esta expressão seja falsa: trata-se de uma tautologia.

(b) (p \to (q \lor r)) \lor (p \lor q) \equiv (p \to q) \lor (p \to r)\ \cancel{\lor\ (p \to q)}\ \equiv p \to (q \lor r) \equiv F

Para produzir esse resultado bastaria que p \equiv V e q \equiv r \equiv F. Qualquer outra configuração não produziria resultado verdadeiro. Não se reduziu ao absurdo, esta não se trata de uma tautologia ou contradição.

14.

(a) p \land q \equiv \neg(\neg p \lor \neg q)

(b) p \to q \equiv \neg p \lor q

(c) p \to q \equiv \neg(p \land \neg q)

(d) p \land q \equiv \neg (p \to \neg q)

(e) p \lor q \equiv \neg p \to q

15.

(a)

p	q	p \uparrow q	\neg p \uparrow \neg q
V	V	F	V
V	F	V	V
F	V	V	V
F	F	V	F

(b)

\neg p \iff p \uparrow p

p \land q \iff (p \uparrow q) \uparrow (p \uparrow q)

p \lor q \iff (p \uparrow p) \uparrow (q \uparrow q)

(c)

(p \to q) \iff p \uparrow (q \uparrow q) \iff p \uparrow (p \uparrow q)

(p \iff q) \iff (p \uparrow q) \uparrow ((p \uparrow p) \uparrow (q \uparrow q))

16.

(a) $(p \iff (((\neg q) \lor r) \to p)) \equiv \ p \iff ((\neg q \lor r) \to p) \equiv \ (p \iff \neg q \lor r) \to (p \iff p) \equiv \ p \iff \neg q \lor r\ \underbrace{\to p}_{\text{redundante}} \equiv \ p \iff \neg q \lor r $

(b) Como assim? O próprio enunciado demonstrou.