semestre_2/Matrizes, Vetores e Geometria Analítica/01 - Definição de Espaço Vetorial.md

Definição de Espaço Vetorial

Todo conjunto V \not = \empty definido sobre um campo qualquer \mathbb D¹ (por exemplo, \R ou \mathbb C) em que existe:

1. adição (u, v) \in V \mapsto u + v \in V

2. e multiplicação (a, u), a \in \R, u \in V \mapsto au \in V

com determinados axiomas (8 no total).

I. Propriedades da adição

Para \forall u, v, w \in V:

1. Comutação

u + v = v + u

2. Associação

u + (v + w) = (u + v) + w

3. Existe um elemento neutro, aqui indicado por e, que não altera o resultado de uma adição ao ser acrescentado nesta

\exist\ e \in V \mid u + e = u

4. Para todo elemento u existe um oposto (-u) tal que:

\exist\ (-u) \in V \mid u + (-u) = e

II. Propriedades da multiplicação

Para \forall a, b \in \R e \forall u, v \in V:

1. a(bu) = (ab)u

2. (a + b)u = au + bu

3. a(u + v) = au + av

4. 1u = u

O espaço vetorial \R^n

As propriedades anteriormente descritas se aplicam a qualquer n-upla de números ordenados:

$ (x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2), \forall x, y \in \R^2 \ (x_1, y_1, z_1) + (x_2, y_2, z_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2), \forall x, y, z \in \R^3 \ \vdots \ (a_1, \dots a_n) + (b_1, \dots, b_n) = (a_1 + b_1, \dots a_n + b_n), \forall a_1, \dots, a_n, b_1, \dots, b_n \in \R^n $

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1. Daqui por diante assumiremos \R, mas tais propriedades aplicariam-se a qualquer outro campo. ↩︎