semestre_2/Matrizes, Vetores e Geometria Analítica/02 - Propriedades do Espaço Vetorial.md

Propriedades do Espaço Vetorial

Admitindo \forall a, b \in \R e \forall u, v \in V,

P1

ae = e

Prova: Dados os axiomas I-3, I-4 e II-3 e da definição de espaço vetorial, têm-se:

ae = a(e) = \overbrace{a\underbrace{(e + e)}_{\text{I-3}}}^{\text{II-3}} = ae +ae\\ \implies \underbrace{ae + e}_{\text{I-3}} = ae + ae\\ \implies ae + ae + (-ae ) = ae + ae\\ \implies ae + (-ae) = ae + ae + (-ae)\\ \implies \overbrace{e = \underbrace{ae + \cancel e}_{I-3}}^{I-4}

P2

0u = e

Prova: 0u = u(0 + 0) = 0u + 0u \implies 0u + (-0u) = 0u + 0u + (-0u) \implies e = 0u + \cancel e

P3

au = e \iff a = 0 \lor u = e.

Prova: Suponhamos que a \not= 0, daí existe o número real a^{-1}. Assim, temos:

au = e \implies \dfrac{au}a = \dfrac ea

Aplicando-se os axiomas II-1, II-4 e a propriedade 1:

\underbrace{\dfrac{au}a = \left(\dfrac aa\right) u}_{\text{II-1}} =
\underbrace{1u = u}_{\text{II-4}} \\\ \\
\dfrac ea = \underbrace{a^{-1}e = e}_{\text{P1}}\\\ \\
\therefore u = e

P4

(-a)u = a(-u) = -(au)

Prova: Aplicando-se o axioma I-4 e a propriedade 2, temos:

$(au) + (-au) = e \ \implies au + (-au) = au + (-a)u \ \implies au + (-au) + (-au) = au + (-a)u + (-au) \ \implies (-au) + e = (-a)u + e \ \implies (-au) = (-a)u $

E um raciocínio análogo demonstrará que a(-u) = -(au).

P5

(a - b)u = au - bu

Prova: (a - b)u = (a + (-b))u = au + (-bu) = au - bu

P6

b\left(\displaystyle \sum^n_{i = 1} a_iu_i\right) = \sum^n_{i = 1} (ba_i)u_i

Prova: Faz-se por indução a partir dos axiomas II-1 e II-3.

P7

O vetor nulo (e) de qualquer espaço vetorial V é único.

Prova: digamos que, sei lá, existe g que, tal qual e, satisfaz a propriedade I-3

\exist\ e \in V \mid u + e = u

Assim, $e = e + u = u + g = g \implies e = g

$.

P8

Para cada vetor u de um espaço vetorial V existe um único vetor (-u) oposto de u.

Prova: Digamos que existe g tal que u + g = e. Daí então,

-u = -u + e = -u (u + g) = (-u + u) + g = e + g = g

P9

Para cada u \in V tem-se -(-u) = u.

Prova: u + (-u) = e \implies u = -(-u) + e \implies u = -(-u)

P10

u + v = u + w \iff v = w

Prova:

(-u) + (u + v) = (-u) + (u + w) \implies ((-u) + u) + v = (-u) + (u + w) \\
e + v = e + w \\
v = w

P11

Existe um único vetor v tal que u + v = w.

Prova:

(-u) + u + v = (-u) + w \implies e + v = w + (-u) \implies v = w + (-u)