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Definição de sub-espaço vetorial
Seja V um espaço vetorial sobre \R. Um sub-espaço vetorial W de V é um subconjunto W \subset V tal que possui as mesmas propriedades de espaço vetorial (possui um elemento neutro, possui adição e multiplicação) restritas a um alguns dos elementos presentes no espaço V (senão todos).
Combinações Lineares
Tomemos um subconjunto S = {u_1, \dots , u_n} \subset V. Indiquemos por [S] o seguinte subconjunto:
[S] = \{a_1u_1 + \dots + a_nu_n \mid a_1, \dots a_n \in \R\}
O sub-espaço [S] recebe o nome de sub-espaço gerado por S. Cada elemento de [S] é uma combinação linear de S.
Por enquanto um conjunto S seja finito, o conjunto [S], exemplificado acima, abarca o produto de todos os valores de S por todos os valores em \R e é, portanto, infinito.
Espaços vetoriais finitamente gerados
Um espaço vetorial V é finitamente gerado se existe S \subset V, S finito, tal que V = [S]. Por exemplo, observemos, em \R^3, o conjunto:
S = \{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\}
Onde
a = (1,0,0);\ b = (0,1,0);\ c = (0,0,1)
Podemos dizer que os vetores em S correspondem à, ou geram um, espaço \R^3, e [S] abarca a todos os valores contidos neste.