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Vetores
Adição de vetores
Se \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{BC} são vetores posicionados de maneira que o ponto inicial de \overrightarrow{BC} é o ponto terminal de \overrightarrow{AB}, então a soma \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} é o vetor \overrightarrow{AC} do ponto inicial de \overrightarrow{AB} ao ponto final de \overrightarrow{BC}. A definição de adição de vetores é ilustrada abaixo. Você pode ver por que essa definição é algumas vezes chamada Lei do Triângulo.
Utilizando-se de coordenadas cartesianas, tem-se:
Multiplicação escalar
Se c é um escalar e \textbf v é um vetor, então a multiplicação escalar c\textbf v é o vetor cujo comprimento é |c| vezes o comprimento de \textbf v e cuja direção e sentido são os mesmos de \textbf v se c > 0 e sentido oposto a \textbf v se c < 0. Se c = 0 ou v = 0, então c\textbf v = 0.
Múltiplos escalares de
\textbf v
Componentes
As coordenadas que descrevem um vetor. Por exemplo, sendo a um componente do vetor \textbf a, podemos descrever vetores bi e tridimencionais como:
\textbf a = \langle a_1,a_2 \rangle;\ \textbf a = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle
Usamos a notação \langle a_1,a_2 \rangle para o par ordenado que se refere a um vetor para não confundir com o par ordenado (a_1, a_2) que corresponde a um ponto no plano.
Ao somarmos algebricamente vetores, somamos suas componentes. Analogamente, ao multiplicarmos estes por escalares, multiplicamos seus componentes.
Vetor posição
O vetor cuja origem corresponde à origem do sistema de coordenadas.
Para qualquer outra representação de início no ponto A(x_1, y_1, z_1) e término no ponto B(x_2, y_2, z_2), temos que o vetor \textbf a com representação \overrightarrow{AB} é
\textbf a = \langle x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1 \rangle
Comprimento
O comprimento de um vetor bidimensional \textbf a = \langle a_1,a_2 \rangle é
|\textbf a | = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}
O comprimento de um vetor tridimensional \textbf a = \langle a_1,a_2, a_3 \rangle é
|\textbf a | = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}