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Produto Escalar

Definição

Se \textbf a = \langle a_1,\dots, a_n\rangle e \textbf b = \langle b_1, \dots, b_n \rangle, então o produto escalar de \textbf a e \textbf b é o número \textbf a \cdot \textbf b dado por

\textbf a \cdot \textbf b = a_1b_1 + \cdots + a_nb_n

Assim, para achar o produto escalar de a e b, multiplicamos as componentes correspondentes e somamos. O resultado não é um vetor. É um número real, isto é, um escalar, por isso o nome.

Exemplos

1. \langle 2, 4 \rangle \cdot \langle 3, -1 \rangle = 2 \cdot 3 + 4 \cdot -1 = 2

2. (\textbf i + 2 \textbf j - 3 \textbf k) \cdot (2 \textbf j - \textbf k) = 1 \cdot 0 + 2 \cdot 2 -3 \cdot -1 = 7

Propriedades

Se \textbf a, \textbf b e \textbf c são vetores de V_3, \textbf e o vetor nulo, e c um escalar, então:

1. \textbf a \cdot \textbf a = |\textbf a |^2

2. \textbf a \cdot \textbf b = \textbf b \cdot \textbf a

3. \textbf a \cdot (\textbf b + \textbf c) = \textbf a \cdot \textbf b + \textbf a \cdot \textbf c

4. (c \textbf a) \cdot \textbf b = c(\textbf a \cdot \textbf b) = \textbf a \cdot (c \textbf b)

5. \textbf e \cdot \textbf a = 0

Teorema

O produto escalar \textbf a \cdot \textbf b tem uma interpretação geométrica em termos do ângulo \theta entre \textbf a e \textbf b:

\textbf a \cdot \textbf b = |\textbf a| |\textbf b| \cos \theta

Figura 1

Demonstração

Se aplicarmos a Lei dos Cossenos no triânglo OAB da Figura 1, obteremos

|AB|^2 = |OA|^2 + |OB|^2 - 2 |OA||OB| \cos \theta

Onde |OA| = |\textbf a|, |OB| = |\textbf b| e |AB| = |\textbf a - \textbf b|. Ou seja,

$|\textbf a - \textbf b|^2 = |\textbf a|^2 + |\textbf b|^2 - 2|\textbf a||\textbf b| \cos \theta = \ |\textbf a|^2 - 2 \textbf a \cdot \textbf b + |\textbf b|^2 = |\textbf a|^2 + |\textbf b|^2 - 2|\textbf a||\textbf b| \cos \theta= \ - 2 \textbf a \cdot \textbf b = - 2|\textbf a||\textbf b| \cos \theta = \ \textbf a \cdot \textbf b = |\textbf a||\textbf b| \cos \theta$

Exemplo

Determine o ângulo entre dois vetores \textbf a = \lang 2, 2, -1\rang e \textbf b \lang 5, -3, 2 \rang.

\textbf a \cdot \textbf b = |\textbf a| |\textbf b| \cos \theta \implies \cos \theta = \dfrac{\textbf a \cdot \textbf b}{|\textbf a| |\textbf b|} = \dfrac{2(5) + 2(-3) + 2(-1)}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} \cdot \sqrt{5^2 + (-3)^2 + 2^2}} = \dfrac 2{3\sqrt{38}}

Casos específicos

Dois vetores \textbf a e \textbf b formam um ângulo

• ortogonal se \textbf a \cdot \textbf b = 0 \implies \theta = \frac 12 \pi;

• agudo se \textbf a \cdot \textbf b > 0;

• obtuso se \textbf a \cdot \textbf b < 0.

Ângulos Diretores

Os ângulos \alpha, \beta e \gamma (no intervalo [0, \pi]) que \textbf a faz com os eixos coordenados positivos x, y e z.

Os cossenos desses ângulos diretores são chamados cossenos diretores do vetor \textbf a.

\cos \alpha = \dfrac{a_1}{|\textbf a|};\,
\cos \beta = \dfrac{a_2}{|\textbf a|};\,
\cos \gamma = \dfrac{a_3}{|\textbf a|}.

Onde

\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1

Por isso

\textbf a = \lang a_1, a_2, a_3 \rang =
\lang|\textbf a| \cos \alpha,|\textbf a| \cos \beta, |\textbf a| \cos \gamma\rang =
|\textbf a|\lang \cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma\rang

Disso implica que

\dfrac 1{|\textbf a|} \textbf a = \lang \cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma\rang

Projeções

A figura acima mostra as representações \overrightarrow{PQ} e \overrightarrow{PR} de dois vetores \textbf a e \textbf b com a mesma origem P. Se S é o pé do perpendicular a partir de R à reta contendo \overrightarrow{PQ} , então o vetor coam representação \overrightarrow{PS} é chamado vetor projeção de \textbf b sobre \textbf a e é denotado por \text{proj}_\textbf a \textbf b.

\text{proj}_\textbf a \textbf b =
\left(\frac{\textbf a \cdot \textbf b}{|\textbf a|}\right) \frac{\textbf a }{|\textbf a|}

Onde \frac{\textbf a }{|\textbf a|} é o versor (vetor unitário) de \textbf a.

A projeção escalar de \textbf b sobre \textbf a (também chamada componente de \textbf b ao longo de \textbf a) \text{comp}_\textbf a \textbf b é definida como o módulo com sinal do vetor projeção, cujo valor é dado pelo número |\textbf b| \cos \theta, onde \theta é o ângulo entre \textbf a e \textbf b.

\text{comp}_\textbf a \textbf b = |\textbf b| \cos \theta =
\frac{\textbf a \cdot \textbf b}{|\textbf a|}

Observe que o vetor projeção é a projeção escalar vezes o versor de \textbf a:

\text{proj}_\textbf a \textbf b = \frac{\textbf a }{|\textbf a|}\text{comp}_\textbf a \textbf b