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O Produto Vetorial

Definição

Se \textbf a = \lang a_1, a_2, a_3 \rang e \textbf b = \lang b_1, b_2, b_3 \rang, então produto vetorial ou cruzado de a e b é o vetor c perpendicular tanto à a e b descrito por

\textbf c = \textbf a \times \textbf b =
\lang a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1 \rang

Obs: Definição de produto vetorial para vetores tridimensionais.

Por ser ortogonal tanto à a e b, tem-se que:

\textbf c \cdot \textbf a = \textbf c \cdot \textbf b = 0
= (\textbf a \times \textbf b) \cdot \textbf b
= (\textbf a \times \textbf b) \cdot \textbf a

A regra da mão direita fornece a direção de \textbf a \times \textbf b, ortogonal ao plano que contêm a e b.

Propriedades

Se a, b e c são vetores e c é um escalar, então

1. \textbf a \times \textbf a = 0

2. \textbf a \times \textbf b = - \textbf b \times \textbf a

3. (c \textbf a) \times \textbf b = c(\textbf a \times \textbf b) = \textbf a \times (c\textbf b)

4. \textbf a \times (\textbf b + \textbf c) = \textbf a \times \textbf b + \textbf a \times \textbf c

5. (\textbf a + \textbf b) \times \textbf c = \textbf a \times \textbf c + \textbf b \times \textbf c

6. \textbf a (\textbf b \times \textbf c) = (\textbf a \times \textbf b) \cdot \textbf c

7. $\textbf a \times (\textbf b \times \textbf c) = (\textbf a \cdot \textbf c)\textbf b - (\textbf a \cdot \textbf b)\textbf c$

Exemplo

Encontre um vetor perpendicular ao plano que passa pelos pontos

P(1, 4, 6), Q(-2, 5, -1), R(1, -1, 1)

Resolução

O vetor \overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR} é perpendicular a ambos \overrightarrow{PQ} e \overrightarrow{PR} e, portanto, perpendicular ao plano que passa por P, Q e R. Tem-se que:

$\overrightarrow{PQ} = (-2 - 1)\textbf i + (5 - 4)\textbf j + (-1 - 6)\textbf k = - 3\textbf i + \textbf j - 7\textbf k \ \overrightarrow{PR} = (1 - 1)\textbf i + (-1 -4)\textbf j + (1 - 6)\textbf k = -5 \textbf j - 5 \textbf k \ \overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR} = \lang 1(-5) + 7(-5), -7(0) + 3(-5), -3(-5) - 1(0) \rang\ = \lang-40,-15,15\rang = -5\lang 8,3,-3 \rang$

Assim, temos que \lang-40,-15,15\rang é perpendicular ao plano e, no mais, todo múltiplo não nulo de \lang 8,3,-3 \rang também o é.

Teorema

Se \theta é o ângulo entre a e b, 0 \le \theta \le \pi, então

|\textbf a \times \textbf b| = |\textbf a||\textbf b| \sin \theta = A

Onde A é a área descrita pelo paralelogramo formado entre os vetores. Assim, dois vetores são paralelos entre si se \theta = k\pi, k \in \Z.

Caso específico

A ideia de produto vetorial aparece muito frequentemente em física. Por exemplo, ao apertarmos um parafuso aplicando uma força a uma chave de boca iremos girar o parafuso). O torque \tau (em relação à origem) é definido como sendo o produto cruzado dos vetores posição e força:

\tau = \textbf r \times \textbf F

Posto em termos da definição de produto vetorial, isso seria equivalente à

|\tau| = |\textbf r \times \textbf F| = |\textbf r||\textbf F| \sin \theta

Produtos Triplos

O produto \textbf a \cdot (\textbf b \times \textbf c) que ocorre na Propriedade 5 da definição de produto vetorial é chamado produto misto ou produto triplo escalar dos vetores a, b e c. O significado geométrico do produto misto pode ser visto considerando-se o paralelepípedo determinado pelos vetores a, b e c.

Assim sendo, o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores a, b e c é o módulo do produto misto:

V = | \textbf a \cdot (\textbf b \times \textbf c)|

Caso específico

Se usarmos a fórmula anterior e descobrirmos que o volume do paralelepípedo determinado por a, b e c é 0, então os três vetores precisam pertencer ao mesmo plano; ou seja eles são coplanares.