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Atividade 8
Resolução dos exercícios obrigatórios, feita por Guilherme de Abreu Barreto1.
Capítulo 14.2
Exercício 19
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
\lim_{(x,y,z) \to (\pi,\theta,1)} e^{y^2}\tan(xz)
Resolução
O limite existe pois a função está definida para x = \pi, y = \theta e z = 1:
\lim_{(x,y,z) \to (\pi,\theta,1)} e^{y^2}\tan(xz)
= e^{\theta^2} \tan (\pi)
= e^{\theta^2} \cdot 0 = 0 = e^{y^2}\tan(xz)
Exercício 31
Determine o maior conjunto no qual a função é contínua:
F(x, y) = \frac{1 + x^2 + y^2}{1 - x^2 - y^2}
Resolução
\frac{1 + x^2 + y^2}{1 - x^2 - y^2} = \frac{1 + x^2 + y^2}{1 - (x^2 + y^2)}
Assim, A função F(x,y) está definida para \{(x,y) : x^2 + y^2 \not = 1\}, sendo o domínio da função o maior conjunto contínuo de valores para a mesma.
Capítulo 14.3
Exercício 45
Use a definição de derivadas parciais como limites 4 para encontrar f_x(x, y) e f_y(x, y) em
f(x,y) = xy^2 - x^3y
Resolução
\displaystyle f_x(x,y) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)y^2 - (x + h)^3y - xy^2 + x^3y}h\\ = \lim_{h \to 0} \frac{\cancel{xy^2} + hy^2 - \cancel{x^3y} - 3x^2hy - 3xh^2y - h^3y - \cancel{xy^2 + x^3y}}h \\ = \lim_{h \to 0} \frac{\cancel h (y^2 - 3x^2y - 3xhy - h^2y)}{\cancel h} = y^2 - 3x^2y\ \blacksquare
\displaystyle f_y(x,y) = \lim_{h \to 0} \frac{x(y + h)^2 - x^3(y + h) - xy^2 + x^3y}h\\ = \lim_{h \to 0} \frac{\cancel{xy^2} + 2yhx + h^2x - \cancel{x^3y} - x^3h - \cancel{xy^2 + x^3 y}}h \\ = \lim_{h \to 0} \frac{\cancel h (2yx + hx - x^3)}{\cancel h} = - x^2 + 2xy\ \blacksquare
Exercício 65
Determine a derivada parcial f_{xyz} para f(x,y,z) = e^{xyz^2}.
Resolução
f_x = e^{xyz^2} \cdot yz^2 \implies \\ f_{xy} = e^{xyz^2} \cdot z^2 + e^{xyz^2} \cdot xyz^4 \implies \\ f_{xyz} = (e^{xyz^2} \cdot 2z + e^{xyz^2} \cdot 2xyz \cdot z^2) + (e^{xyz^2} \cdot 4xyz^3 + e^{xyz^2} \cdot 2xyz e^{xyz^2} \cdot xyz^4)\\ = e^{xyz^2}(2z + 6xyz^3 + 2x^2y^2z^5)\ \blacksquare
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nUSP 12543033; Turma 04 ↩︎