semestre_2/Cálculo II/Atividade 8/Derivadas parciais.md

Derivadas Parciais

Se f é uma função de duas variáveis (x, y), suas derivadas parciais são as funções f_x e f_y definidas por

f_x (x, y) = \lim_{h \to 0} \frac{f[(x + h),y] - f(x,y)}h \\\ \\
f_y (x, y) = \lim_{h \to 0} \frac{f[x,(y + h)] - f(x,y)}h

Outras notações utilizadas para derivadas parciais:

f_x(x,y) = f_x = \frac{\partial f}{\partial x}
= \frac{\partial}{\partial x} f(x,y) = \frac{\partial z}{\partial x} = 
f_1=D_1f = D_xf

Onde z = f(x,y) e o numerador 1 é um índice que indica a primeira variável do par ordenado.

Regra para determinar Derivadas Parciais de \mathbf{z = f(x,y)}

1. Para determinar f_x, trate y como uma constante e derive f(x,y) com relação a x.
2. Para determinar f_y, trate x como uma constante e derive f(x,y) com relação a y.

Derivadas de Ordem Superior

Se f é uma função de duas variáveis, suas derivadas parciais f_x e f_y são funções de duas variáveis, de modo que podemos considerar novamente suas derivadas parciais$ (f_x)_x$, (f_x)_y, (f_y)_x e (f_y)_y, chamadas derivadas parciais de segunda ordem de f. Se z = f(x, y), usamos a seguinte notação, por exemplo:

(f_x)_x = f_{xx} = f_{11}
= \frac \partial{\partial x} \left( \frac {\partial f}{\partial x}\right)
= \frac {\partial^2f}{\partial x^2} = \frac {\partial^2z}{\partial x^2}

Teorema de Clairaut

Suponha que f seja definida em uma bola aberta D que contenha o ponto (a, b). Se as funções f_{xy} e f_{yx} forem ambas contínuas em D, então

f_{xy}(a,b) = f_{yx}(a,b)