semestre_2/Cálculo II/Atividade 9/Planos Tangentes e Aproximações Lineares.md

Planos Tangentes e Aproximações Lineares

Planos tangentes

Suponha que f tenha derivadas parciais contínuas. Uma equação do plano tangente à superfície z = f(x,y) no ponto P(x_0,y_0, z_0) é dada por

z - z_0 = f_x(x_0,y_0)(x - x_0) + f_y(x_0,y_0)(y - y_0)

Exemplo

Determine o plano tangente ao paraboloide elíptico z = 2x^2 + y^2 no ponto (1, 1, 3).

Resolução

Seja f(x,y) = 2x^2 + y^2. Então

f_x(x,y) = 4x \implies f_x(1,1) = 4 \\ f_y(x,y) = 2y \implies f_y(1,1) = 2

Portanto, temos a equação do plano tangente em (1,1,3) como

z - 3 = 4(x - 1) + 2(y - 1) \implies z = 4x + 2y - 3\ \blacksquare

Aproximações lineares

Para funções de uma única variável

Dada uma função f(x) contínua e uma variável real x cujo valor é próximo de uma constante a, temos:

f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a)

Tal qual ilustra o seguinte gráfico:

Ou seja para valores próximos de a, a curva descrita pela função f(x) se aproxima de uma reta que contém o valor a. Desta forma, é possível utilizar uma função afim L(x) de maneira a obter uma aproximação da função geral f(x), tal que L(x) = f(a) + f'(a)(x-a) \approx f(x). Onde L(x) é denominada a linearização de f no ponto a.

Exemplo

Calculemos o valor aproximado de \sqrt[3]{25}.

Resolução

1. Seja f(x) = x^{\frac 13}, o problema consiste em encontrar o valor de f(25).

2. Precisamos de um valor próximo de 25, do qual saibamos qual é a raiz cúbica. Sabemos que f(27) = 3, então usemos a = 27.

3. Derivando f(x) e encontrando o valor de f'(a):

f'(x) = \frac{x^{- \frac 23}}3 = \frac 1{3 \sqrt[3]{x^2}} \implies
f'(27) = \dfrac 1{3\sqrt[3]{27^2}} = \frac 1{27}

4. Usando a aproximação linear:

f(25) \approx f(27) + f'(27)(25 - 27) = 3 - \frac 2{27} \approx 2,926

5. O resultado 2,926 é um valor bem próximo, e portanto uma boa aproximação, do valor real 2,924.

Para funções com duas variáveis

O mesmo procedimento pode ser realizado uma função com duas variáveis f(x,y) fazendo uso de suas derivadas parciais de x e y: f_x e f_y. Tal que chegamos na seguinte fórmula:

L(x,y) = f(a,b) + f_x(a,b)(x - a) + f_y(a,b)(y - b) \approx f(x,y)

Onde a e b são constantes tais que x \approx a e y \approx b.

Para funções com três ou mais variáveis

De forma análoga, temos:

L(x,y,z) = f(a,b) + f_x(a,b,c)(x - a) + f_y(a,b,c)(y - b)\\ + f_z(a,b,c)(z - c) \approx f(x,y,z)

E assim por diante.

Diferenciabilidade

Se z = f(x,y), então f é diferenciável em (a,b) de \Delta z puder ser expresso na forma

\Delta z = f_x(a,b)\Delta x + f_y(a,b)\Delta y + \varepsilon_1\Delta x + \varepsilon_2 \Delta y

onde tanto \varepsilon_1 e \varepsilon_2 \to 0 quando (\Delta x,\Delta y) \to (0,0)

Ou seja, uma função é diferenciável se, e somente se, sua aproximação linear fornece uma boa aproximação para f(x,y) para valores próximos de f(a,b).

Teorema

Se as derivadas parciais f_x e f_y existirem perto do ponto (a, b) e forem contínuas em (a, b), então f é diferenciável em (a, b).

Diferenciais

Para funções de uma única variável

Para uma função de uma única variável, y = f (x), definimos a diferencial dx como uma variável independente; ou seja, dx pode valer qualquer número real. A diferencial de y é definida como

dy = f'(x)\ dx

Para funções de duas variáveis

Para uma função de duas variáveis, z = f (x, y), definimos as diferenciais dx e dy como variáveis independentes; ou seja, podem ter qualquer valor. Então a diferencial dz também chamada de diferenciação total, é definida por

dz = f_x(x,y)\ dx + f_y(x,y)\ dy
= \frac{\partial z}{\partial x}\ dx + \frac{\partial z}{\partial y}\ dy

Algumas vezes a notação utilizada para a diferenciação total é df.

E assim, com a notação diferencial, a aproximação linear pode ser escrita como

f(x,y) \approx f(a,b) + dz

Para funções de três variáveis

Analogamente,

dw = yz\ dx + xz\ dy + xy\ dz
= \frac{\partial w}{\partial x}\ dx + \frac{\partial w}{\partial y}\ dy
+ \frac{\partial w}{\partial z}\ dz