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Algebra booleana
Relação com outras algebras
É possível constatar uma semelhança entre as operações encontradas nas algebras de proposição e de conjuntos, de tal forma a encontrarmos as seguintes equivalências:
-
V \equiv \Omega -
\varnothing \equiv F -
\cup \equiv \lor -
\cap \equiv \land
Isso se deve ao fato destas serem instâncias de um mesmo tipo de algebra: a algebra booleana.
Definição de algebra booleana
A algebra booleana está definida para os seguintes termos:
-
Existe um conjunto
Scontendo pelo menos dois elementos ditos especiais, aqui denominados 0 e 1, onde-
0 é o elemento nulo aditivo;
-
e 1 é o elemento nulo multiplicativo.
-
-
Existem duas operações binárias (que relacionam dois elementos):
-
Adição ($+$) e
-
Multiplicação ($\cdot$)1;
-
-
Existe uma operação unária que associa cada elemento
x \in Sa um elementox' \in S, o complemento dexemS.
Axiomas
A sêxtupla B de elementos B = \lang S, 0, 1, + , \cdot, ' \rang é uma algebra booleana se esta exibe as seguintes propriedades:
P1. Comutatividade
-
x + y = y + x -
x \cdot y = y \cdot x
P2. Associatividade
-
(x + y) + z = x + (y + z) -
(x \cdot y)\cdot z = x \cdot (y \cdot z)
P3. Distributividade
-
$x + (y \cdot z) = (x + y) \cdot (x + z)$2
-
x \cdot (y + z) = (x \cdot y) + (x \cdot z)
P4. Identidade
-
x + 0 = x -
x \cdot 1 = x
P5. Complementariedade
-
x + x' = 1 -
x \cdot x' = 0
P6. Precedência: ' > \cdot > +. Exemplo:
-
x \cdot y + z = (x \cdot y) + z -
x \cdot y' = x \cdot(y')
Por isso a relação com as algebras de proposição e de conjuntos: estas respeitam esses axiomas e podem ser descritas em termos das sextuplas
-
B = \lang P(A), \varnothing, A, \cup, \cap,' \rang(Algebra de conjuntos); -
B = \lang \mathfrak L, F, V, \lor, \land, \neg \rang(Algebra de proposição); -
B = \lang \{0,1\}, 0, 1, ||, \&\&, ! \rang(Algebra binária).
Dualidade
Tal qual demonstrado nos axiomas, cada propriedade dual obtida pelas substituições + \leftrightarrow \cdot, 0 \leftrightarrow 1 também é válida. Assim como a reflexividade das relações de igualdade como, por exemplo,
$$
x \cdot (y + z) = (x \cdot y) + (x \cdot z) \leftrightarrow
(x \cdot y) + (x \cdot z) = x \cdot (y + z)
Resultados
R1. Em qualquer algebra booleana todo elemento x satisfaz:
-
$x + x = x$ Prova:
x = x + 0 = x + xx' = (x + x)(x + x') = (x + x)\cdot 1 = x + x -
$xx = x$ Prova: é a expressão dual de
x + x = x
R2. Lei da absorção: em qualquer algebra booleana quaisquer elementos x,y satisfazem
-
$x + xy = x$ Prova: faremos uma analogia com a algebra proposicional e analisaremos a tabela verdade destas proposições:
x y xy x + xy F F F F F V F F V F F V V V V V -
$x (x + y) = x$ Prova: é a expressão dual de
x + xy = x.
R3. Lei da nulidade: em qualquer algebra booleana todo elemento x satisfaz
-
x + 1 = 1Prova:
x + 1 = x + \underbrace{(x + x')}_{\textbf{P5}} = \underbrace{(x + x)}_{\textbf{P2}} + x' = \underbrace{x}_{\textbf{R1}} + x' = \underbrace{1}_{\textbf{P5}} -
$0x = 0$ Prova: é a expressão dual de
x + 1 = 1.
R4. Em qualquer algebra booleana quaisquer elementos x, y tais que x + y = 1 e xy = 0, então x = y'.
Prova: Conforme a propriedade P5, y + y' = 1 e yy' = 0. Então se x = y', tem-se que x + y = 1 e xy = 0.
R5. Em qualquer algebra booleana todo elemento x satisfaz x'' = (x')' = x. Também temos que 0' = 1 e portanto 1' = 0.
R6. Leis de DeMorgan: Em qualquer algebra booleana quaisquer elementos x, y satisfazem:
-
(x + y)' = x'y' -
(xy)' = x' + y'
Expressões Booleanas
Uma expressão booleana nas variáveis x, y, \dots em uma algebra booleana B é uma expressão bem formada pelas variáveis muitas vezes em conjunção com operadores e, por vezes, parênteses. Por exemplo:
$$
\alpha(x,y,z) = xyz' + x(y + z) + (x + z)'
é uma expressão booleana pois podemos calcular seu valor nos elementos 0 e 1 (que pertencem a toda álgebra booleana):
$$
\alpha(0,1,0) = 0\cdot1 \cdot 0' + 0(1 + 0) + (0 + 0)' = 0 + 0 + 1 = 1
Teorema: Toda expressão booleana pode ser colocada na forma de uma soma de produtos fundamentais, expressões que não contêm variáveis repetidas ou valem 0. Exemplos:
-
xy'zé um produto fundamental; -
0 \cdot0\cdot\dots\cdot0é um produto fundamental; -
xytx'não é (x está repetido). Posto em forma de produto fundamental,xytx' = 0.
Variáveis e literais
Variáveis são os valores aqueles denominados por incógnitas x, y, z, etc. literais são instâncias destas variáveis na expressão. Por exemplo, em xytx' temos duas literais, x e x', da variável x.
Inclusão
Se \alpha e \beta são duas expressões booleanas, dizemos que \beta inclui \alpha, denotado por \alpha \le \beta, se todo literal de \alpha também aparece em \beta. Por exemplo: xz' \le xyz't, mas xz \not \le xyz't.
Teorema: pela lei da absorção, se \alpha \le \beta, então \alpha + \beta = \alpha. Exemplo:
$\begin{cases} \alpha(x,z) = xz \ \beta(x,y,z) = xyz \end{cases}\ \therefore \alpha + \beta = xz + xyz = xz + (xz)y = xz$