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@ -173,7 +173,7 @@ Lo que el problema nos dice es que ese protón tiene $10GeV$ de energía cinéti
=& \frac{10GeV}{0.938GeV}+1 = \mathbf{10.6609}.
\end{align*}
Teniendo $gamma$ (que siemnpre debe ser mayor que $1$, si no seguro hay un error), podemos calcular $\beta$ despejando de la definición de $\gamma$
Teniendo $gamma$ (que siempre debe ser mayor que $1$, si no seguro hay un error), podemos calcular $\beta$ despejando de la definición de $\gamma$
\begin{equation*}
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}.

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@ -19,7 +19,7 @@
En este momento sabemos ya algunas cosas y hemos hablado de otras:
\begin{itemize}
\item Los núcleos están compuestos porpprotones y neutrones
\item Los núcleos están compuestos por protones y neutrones
\item Protones y neutrones sienten las fuerzas: electromagnética, nuclear fuerte y nuclear débil
\item Núclos de helio, electrones y fotones los hemos tratado, pero no hemos hablado más de ellos como radiación
\end{itemize}
@ -123,7 +123,7 @@ Para entender el proceso podemos pensar que la partícula $\alpha$ está atrapad
{}^{232}Th^{90} \rightarrow {}^{228}Ra^{88} + {}^4He^2
\end{equation*}
Experimentalmente se ve que la energía de la partícula $\alfa$ es de $4.05\ MeV$ (se puede checar la energía liberada y ver que la mayor parte se la lleva como energía cinética la partícula $\alpha$), la vida media del ${}^{232}Th^{90}$ es de $\tau = 1.39\times 10^{10}\ \text{años}$, su radio $R=r_0(232)^{1/3} fm. \approx 7.37 \times 10^{-15}m.$. Para que la partícula $\alpha$ escape debe penetrar la barrera coulombiana, aunque el caso real es en tres dimensiones esto dificulta mucho los cálculos, quedarnos con la aproximación a 1 dimensión es bueno, lo que nos interesa es tener un estimado en orden de magnitud.
Experimentalmente se ve que la energía de la partícula $\alpha$ es de $4.05\ MeV$ (se puede checar la energía liberada y ver que la mayor parte se la lleva como energía cinética la partícula $\alpha$), la vida media del ${}^{232}Th^{90}$ es de $\tau = 1.39\times 10^{10}\ \text{años}$, su radio $R=r_0(232)^{1/3} fm. \approx 7.37 \times 10^{-15}m.$. Para que la partícula $\alpha$ escape debe penetrar la barrera coulombiana, aunque el caso real es en tres dimensiones esto dificulta mucho los cálculos, quedarnos con la aproximación a 1 dimensión es bueno, lo que nos interesa es tener un estimado en orden de magnitud.
Sustituiremos la barrera coulombiana por una barrera rectangular de la misma área, eligiendo $V_0 > E$ (la raíz $\sqrt{V_0-E}$ estará en los números reales), podemos elegir
@ -156,184 +156,184 @@ En cambio desde adentro la situación cambia, la probabilidad de que la partícu
&\approx 2.4\times 10^{-18}seg^{-1}.
\end{align*}
Esto es lo que se conoce como constante de decaimiento $\lambda$ (no se confunda con camino libre medio), la probabilidad de decaimiento por unidad de tiempo, el tiempo de vida media es la inversa de esta constante ($\tau = 1/\lambda$). En este caso $\tau \approx 1.3\times 10^{10}\text{ años}$.
Esto es lo que se conoce como constante de decaimiento $\lambda$ (no se confunda con camino libre medio), la probabilidad de decaimiento por unidad de tiempo, el tiempo de vida media es la inversa de esta constante ($\tau = 1/\lambda$). En este caso $\tau \approx 1.3\times 10^{10}\text{ años}$.
\section*{Decaimiento Beta}
\section*{Decaimiento Beta}
Aquí hablaremos de partículas y fuerzas que ya conocemos, pero vistas desde el marco de la física nuclear. Como hemos mencionado para núcleos más pesados empiezan a abundar los neutrones, si un núcleo tiene demasiados neutrones extras con respecto a los protones, seguramente se encuentra en un estado menos estable. El núcleo puede convertirse a uno más estable emitiendo un electrón y un anti-neutrino del electrón ($\beta^-$).
Aquí hablaremos de partículas y fuerzas que ya conocemos, pero vistas desde el marco de la física nuclear. Como hemos mencionado para núcleos más pesados empiezan a abundar los neutrones, si un núcleo tiene demasiados neutrones extras con respecto a los protones, seguramente se encuentra en un estado menos estable. El núcleo puede convertirse a uno más estable emitiendo un electrón y un anti-neutrino del electrón ($\beta^-$).
\begin{equation*}
{}^AX^Z \rightarrow {}^AY^{Z+1} + e^- +\bar{\nu_e}
\end{equation*}
\begin{equation*}
{}^AX^Z \rightarrow {}^AY^{Z+1} + e^- +\bar{\nu_e}
\end{equation*}
Que realemente el proceso que sucede es el de un neutrón decayendo a un protón
Que realmente el proceso que sucede es el de un neutrón decayendo a un protón
\begin{equation*}
n\rightarrow p + e^- + \bar{\nu_e}
\end{equation*}
\begin{equation*}
n\rightarrow p + e^- + \bar{\nu_e}
\end{equation*}
¿Lo recuerdan? Era un ejemplo de intreacción débil pues hay un $W^-$ intermediario. Ya conocemos los principios de este decaimiento y podemos saltarnos una parte de su tratamiento. De igual manera existe otro decaimiento ($\beta^+$)
¿Lo recuerdan? Era un ejemplo de interacción débil pues hay un $W^-$ intermediario. Ya conocemos los principios de este decaimiento y podemos saltarnos una parte de su tratamiento. De igual manera existe otro decaimiento ($\beta^+$)
\begin{equation*}
{}^AX^Z \rightarrow {}^AY^{Z-1} + e^+ +\nu_e
\end{equation*}
\begin{equation*}
{}^AX^Z \rightarrow {}^AY^{Z-1} + e^+ +\nu_e,
\end{equation*}
En este caso
\noindent en este caso
\begin{equation*}
p\rightarrow n+e^+ + \nu_e
\end{equation*}
\begin{equation*}
p\rightarrow n+e^+ + \nu_e.
\end{equation*}
Y también existe la captura electrónica
Y también existe la captura electrónica
\begin{equation*}
{}^AX^Z + e^- \rightarrow {}^AY^{Z-1} +\nu_e
\end{equation*}
\begin{equation*}
{}^AX^Z + e^- \rightarrow {}^AY^{Z-1} +\nu_e,
\end{equation*}
Que se traduce a la interacción
\noindent que se traduce a la interacción
\begin{equation*}
p+e^- \rightarrow n + \nu_{e}
\end{equation*}
\begin{equation*}
p+e^- \rightarrow n + \nu_{e}
\end{equation*}
Este último es un fenómeno bastante peculiar donde el núcleo atrapa a un electrón de las órbitas interiores el átomo, los electrones restantes hacen una cascada hacia abajo para llenar el hueco dejado, uno o varios rayos $X$ son liberados.
Este último es un fenómeno bastante peculiar donde el núcleo atrapa a un electrón de las órbitas interiores el átomo, los electrones restantes hacen una cascada hacia abajo para llenar el hueco dejado, uno o varios rayos $X$ son liberados.
La característica de estos decaimientos es que $\Delta A = 0$ y $|\Delta Z| = 1$.
La característica de estos decaimientos es que $\Delta A = 0$ y $|\Delta Z| = 1$.
De hacer un análisis parecido al del decaimiento alfa, y si despreciamos al neutrino, notaríamos que la mayor parte de la energía se la llevaría el electrón, pero experimentalmente se ve que el espectro de energías es continuo, de forma que esa energía la comparte con el neutrino.
De hacer un análisis parecido al del decaimiento alfa, y si despreciamos al neutrino, notaríamos que la mayor parte de la energía se la llevaría el electrón, pero experimentalmente se ve que el espectro de energías es continuo, de forma que esa energía la comparte con el neutrino.
Podemos hacer el análisis de energía tomando en cuenta las tres partículas del lado derecho
Podemos hacer el análisis de energía tomando en cuenta las tres partículas del lado derecho
\begin{align*}
M_Pc^2 &= T_H + M_Hc^2 + T_{e^-} + m_ec^2 + T_{\bar{\nu}_e} + m_{\bar{\nu}_e}c^2 \\
T_H + T_{e^-} + T_{\bar{\nu}_e} =& M_Pc^2 - M_Hc^2 - m_ec^2 - m_{\bar{\nu}_e}c^2
\end{align*}
\begin{align*}
M_Pc^2 &= T_H + M_Hc^2 + T_{e^-} + m_ec^2 + T_{\bar{\nu}_e} + m_{\bar{\nu}_e}c^2 \\
T_H + T_{e^-} + T_{\bar{\nu}_e} =& M_Pc^2 - M_Hc^2 - m_ec^2 - m_{\bar{\nu}_e}c^2
\end{align*}
Análizando este término se pueden ver las distintas opciones. Para que la emisión de un electrón suceda debe cumplirse que
Analizando este término se pueden ver las distintas opciones. Para que la emisión de un electrón suceda debe cumplirse que
\begin{align*}
(M(A,Z)-M(A,Z+1)-m_{\nu_e})c^2 \geq 0 \\
\approx (M(A,Z)-M(A,Z+1))c^2 \geq 0
\end{align*}
\begin{align*}
(M(A,Z)-M(A,Z+1)-m_{\nu_e})c^2 &\geq 0 \\
\approx (M(A,Z)-M(A,Z+1))c^2 &\geq 0.
\end{align*}
Con la masa la del átomo completo. Dado que el núcleo hijo es muy pesado su energía cinética será muy reducida, tamp¿bién puede omitir, quedando que toda la energía liberada corresponde a las energías cinéticas del electrón y el neutrino, $E\approx T_e+T_{\nu}$.
Con la masa la del átomo completo. Dado que el núcleo hijo es muy pesado su energía cinética será muy reducida, también se puede omitir, quedando que toda la energía liberada corresponde a las energías cinéticas del electrón y el neutrino, $E\approx T_e+T_{\nu}$.
La energía de desintegración para la emisión del positrón
La energía de desintegración para la emisión del positrón
\begin{align*}
E &= (M_P - M_H - m_e - m_{\nu})c^2 \\
E &= (M(A,Z) - M(A,Z-1) - 2m_e -m_{\nu_e})c^2 \\
&\approx (M(A,Z) - M(A,Z-1) - 2m_e)c^2
\end{align*}
\begin{align*}
E &= (M_P - M_H - m_e - m_{\nu})c^2 \\
E &= (M(A,Z) - M(A,Z-1) - 2m_e -m_{\nu_e})c^2 \\
&\approx (M(A,Z) - M(A,Z-1) - 2m_e)c^2
\end{align*}
Con las mismas condiciones del caso pasado. Para captura electrónica
Con las mismas condiciones del caso pasado. Para captura electrónica
\begin{align*}
E &= (M_P + m_e - M_H - m_{\nu})c^2 \\
E &= (M(A,Z) - M(A,Z-1) -m_{\nu_e})c^2 \\
&\approx (M(A,Z) - M(A,Z-1))c^2
\end{align*}
\begin{align*}
E &= (M_P + m_e - M_H - m_{\nu})c^2 \\
E &= (M(A,Z) - M(A,Z-1) -m_{\nu_e})c^2 \\
&\approx (M(A,Z) - M(A,Z-1))c^2
\end{align*}
En todos estos casos se desprecian las energías de ligadura (en $eV$) de los electrones en el átomo. El espectro de energías nos puede dar una idea de la masa de los neutrinos, pero por su pequeña masa no es una tarea fácil.
En todos estos casos se desprecian las energías de ligadura (en $eV$) de los electrones en el átomo. El espectro de energías nos puede dar una idea de la masa de los neutrinos, pero por su pequeña masa no es una tarea fácil.
Si regresamos a la consideración del pozo de potencial, sabemos que hay una barrera centrífuga que de igual manera evita que ciertas configuraciones puedan salir del pozo. Si el momento angular orbital de la partícula que sale es $\ell=1$ será más complicado que escape. En cambio si $\ell=0$ será más sencillo. Entonces se dividen los decaimientos:
Si regresamos a la consideración del pozo de potencial, sabemos que hay una barrera centrífuga que de igual manera evita que ciertas configuraciones puedan salir del pozo. Si el momento angular orbital de la partícula que sale es $\ell=1$ será más complicado que escape. En cambio si $\ell=0$ será más sencillo. Entonces se dividen los decaimientos:
\begin{itemize}
\item $L=0$, decaimiento beta permitido
\item $L>0$, decaimientos beta prohibidos ($L=1$ primero prohibido, $L=2$ segundo prohibio, etc.)
\end{itemize}
\begin{itemize}
\item $L=0$, decaimiento beta permitido
\item $L>0$, decaimientos beta prohibidos ($L=1$ primero prohibido, $L=2$ segundo prohibio, etc.)
\end{itemize}
En todo esto hemos considerado la interacción del núcleo con el campo del electrón y el neutrino, a partir de sus valores podemos saber cuanto momento angular es emitido. El momento angular que se llevan es el que corresponde al momento angular orbital $L$ de ambas partículas. Considerando el momento angula inicial y final del núcleo tenemos dos posibilidades
En todo esto hemos considerado la interacción del núcleo con el campo del electrón y el neutrino, a partir de sus valores podemos saber cuanto momento angular es emitido. El momento angular que se llevan es el que corresponde al momento angular orbital $L$ de ambas partículas. Considerando el momento angula inicial y final del núcleo tenemos dos posibilidades
\begin{itemize}
\item $J_f = J_i + L$, es una transición de Fermi
\item $J_f = J_i + L + 1$, es una transición de Gamow-Teller
\end{itemize}
\begin{itemize}
\item $J_f = J_i + L$, es una transición de Fermi
\item $J_f = J_i + L + 1$, es una transición de Gamow-Teller
\end{itemize}
Graficar las energías de enlace (o los defectos de masa) de isóbaros que decaen por decaimiento beta es útil para ilustrar el proceso, pongamos por ejemplo los isóbaros con $A=76$, que serían ${}^{76}Zn^{30}$, ${}^{76}Ga^{31}$, ${}^{76}Ge^{32}$, ${}^{76}As^{33}$, ${}^{76}Se^{34}$, ${}^{76}Br^{35}$, ${}^{76}Kr^{36}$, ${}^{76}Rb^{37}$ y ${}^{76}Sr^{38}$. En la figura \ref{fig:parabola} se grafican los excesos de masa contra los números atómicos, los núcleos par par van en la parábola de abajo, los impar-impar en la parábola de arriba, la dirección de las flechas indica si es un decaimiento $\beta^+$ o $\beta^-$ y sólo en un caso se puede ver una captura electrónica en la flecha que va del ${}^{76}As^{33}$ al ${}^{76}Ge^{32}$. El resto, si van de izquierda a derecha la $Z$ va aumentando, se emite un $e^-$, son decaimientos $\beta^-$, si las flechas van de derecha a izquierda, la $Z$ disminuye, se emite un $e^+$, el decaimiento es $\beta^+$.
Graficar las energías de enlace (o los defectos de masa) de isóbaros que decaen por decaimiento beta es útil para ilustrar el proceso, pongamos por ejemplo los isóbaros con $A=76$, que serían ${}^{76}Zn^{30}$, ${}^{76}Ga^{31}$, ${}^{76}Ge^{32}$, ${}^{76}As^{33}$, ${}^{76}Se^{34}$, ${}^{76}Br^{35}$, ${}^{76}Kr^{36}$, ${}^{76}Rb^{37}$ y ${}^{76}Sr^{38}$. En la figura \ref{fig:parabola} se grafican los excesos de masa contra los números atómicos, los núcleos par par van en la parábola de abajo, los impar-impar en la parábola de arriba, la dirección de las flechas indica si es un decaimiento $\beta^+$ o $\beta^-$ y sólo en un caso se puede ver una captura electrónica en la flecha que va del ${}^{76}As^{33}$ al ${}^{76}Ge^{32}$. El resto, si van de izquierda a derecha la $Z$ va aumentando, se emite un $e^-$, son decaimientos $\beta^-$, si las flechas van de derecha a izquierda, la $Z$ disminuye, se emite un $e^+$, el decaimiento es $\beta^+$.
\begin{figure}[ht!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{beta_parabola2.png}
\caption{Excesos de masa para los isóbaros con $A= 76$ que tienen decaiminetos $\beta$. Imagen adaptada de \cite{Poves} con licencia CC-BY 3.0}
\label{fig:parabola}
\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}[ht!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{beta_parabola2.png}
\caption{Excesos de masa para los isóbaros con $A= 76$ que tienen decaimientos $\beta$. Imagen adaptada de \cite{Poves} con licencia CC-BY 3.0}
\label{fig:parabola}
\end{center}
\end{figure}
¿Qué núcleos inestables decaen por emisión beta, cuáles por alfa? Para verlo tenemos la tabla de los isótopos estables e inestables, como se puede ver en la figura \ref{fig:estabilidad}. En medio se distingue una línea negra de los núcleos estables, en azul todos los núcleos inestables que decaen por emisión $\beta$, en amarillo por emisión $\alpha$. Por razones que veremos en la siguinete sección no están listados los núcleos que decaen por emisión $\gamma$. La línea del goteo del protón se muestra como una línea negra en la parte superior de la franja, más allá e esta línea los núcleos desprensen un protón para poder llegar a la estabilidad.
¿Qué núcleos inestables decaen por emisión beta, cuáles por alfa? Para verlo tenemos la tabla de los isótopos estables e inestables, como se puede ver en la figura \ref{fig:estabilidad}. En medio se distingue una línea negra de los núcleos estables, en azul todos los núcleos inestables que decaen por emisión $\beta$, en amarillo por emisión $\alpha$. Por razones que veremos en la siguinete sección no están listados los núcleos que decaen por emisión $\gamma$. La línea del goteo del protón se muestra como una línea negra en la parte superior de la franja, más allá de esta línea los núcleos desprenden un protón para poder llegar a la estabilidad.
\begin{figure}[ht!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{estabilidad.png}
\caption{Tabla de nucleones. Imagen de Hiroyuki Koura en el dominio público}
\label{fig:estabilidad}
\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}[ht!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{estabilidad.png}
\caption{Tabla de nucleones. Imagen de Hiroyuki Koura en el dominio público}
\label{fig:estabilidad}
\end{center}
\end{figure}
\section*{Decaimiento Gamma}
\section*{Decaimiento Gamma}
Cuando un núcleo decae por emisión alfa o beta puede decaer a un estado excitado del núcleo hijo, este núcleo a su vez puede decaer por alguno de los dos procesos o en caso de no desintegrarse puede llegar a su estado base emitiendo un fotón, un $\gamma$. Los espacios entre nivles de energía en el núcleo son de alrededor de $50\ keV$, pero el gama emitido puede deberse al paso del nucleón por más de un nivel, por lo que su energía está en el orden de $MeV$.
El fotón se lleva al menos una unidad de momento angular (el fotón tiene espín de 1 en unidades de $\hbar$) y es un proceso que conserva paridad (a diferencia del decimiento beta). Imaginemos un núcelo en un estado inicial con energía $E_i$ que pasa por emisión de un fotón de frecuencia $\nu$ a un estado final con energía $E_f$
Cuando un núcleo decae por emisión alfa o beta puede decaer a un estado excitado del núcleo hijo, este núcleo a su vez puede decaer por alguno de los dos procesos o en caso de no desintegrarse puede llegar a su estado base emitiendo un fotón, un $\gamma$. Los espacios entre niveles de energía en el núcleo son de alrededor de $50\ keV$, pero el gama emitido puede deberse al paso del nucleón por más de un nivel, por lo que su energía está en el orden de $MeV$.
El fotón se lleva al menos una unidad de momento angular (el fotón tiene espín de 1 en unidades de $\hbar$) y es un proceso que conserva paridad (a diferencia del decaimiento beta). Imaginemos un núcelo en un estado inicial con energía $E_i$ que pasa por emisión de un fotón de frecuencia $\nu$ a un estado final con energía $E_f$
\begin{equation*}
h\nu = E_i - E_f
\end{equation*}
\begin{equation*}
h\nu = E_i - E_f
\end{equation*}
El mismo análisis se puede hacer si en lugar de emitir absorbe, sólo con signo cambiado.
El mismo análisis se puede hacer si en lugar de emitir absorbe, sólo con signo cambiado.
Podríamos pensar que la energía del fotón determina univocamente el espaciamiento entre niveles, pero al emitir el fotón el núcleo también siente una pequeña reacción, entonces una parte de la energía debe irse en moemnto del núcleo
Podríamos pensar que la energía del fotón determina unívocamente el espaciamiento entre niveles, pero al emitir el fotón el núcleo también siente una pequeña reacción, entonces una parte de la energía debe irse en momento del núcleo
\begin{equation*}
\frac{h\nu}{c} = Mv,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\frac{h\nu}{c} = Mv,
\end{equation*}
\noindent con $M$ y $v$ la masa y velocidad del estado final. Agregando esta parte a la conservación de la energía
\noindent con $M$ y $v$ la masa y velocidad del estado final. Agregando esta parte a la conservación de la energía
\begin{align*}
E_i-E_f =& h\nu + \frac{1}{2}Mv^2 \\
=& h\nu +\frac{1}{2M}\left( \frac{h\nu}{c} \right)^2 \\
\text{reacomodando } h\nu =& \left( E_i - E_f - \frac{h^2 \nu^2}{2Mc^2} \right) = E_i - E_f - \Delta E_R,
\end{align*}
\begin{align*}
E_i-E_f =& h\nu + \frac{1}{2}Mv^2 \\
=& h\nu +\frac{1}{2M}\left( \frac{h\nu}{c} \right)^2 \\
\text{reacomodando } h\nu =& \left( E_i - E_f - \frac{h^2 \nu^2}{2Mc^2} \right) = E_i - E_f - \Delta E_R,
\end{align*}
\noindent donde $E_R$ denota la energía cinética de reacción del núcleo. Los estados son denotados por su energía, como lo hemos estado haciendo, en particular todo estado inestable realmente tiene un valor dentro de un rango de energía, un grosor, $\partial E = \Gamma$, de igual forma omo hemos visto un poco también los estados inestables tienen un tiempo de vida media $\tau$, por el principio de incertidumbre podemos escribir
\noindent donde $E_R$ denota la energía cinética de reacción del núcleo. Los estados son denotados por su energía, como lo hemos estado haciendo, en particular todo estado inestable realmente tiene un valor dentro de un rango de energía, un grosor, $\partial E = \Gamma$, de igual forma los estados inestables tienen un tiempo de vida media $\tau$, por el principio de incertidumbre podemos escribir
\begin{align*}
\tau \Gamma &\approx \hbar \\
\text{o diciéndolo de otra forma } \Gamma &\approx \frac{\hbar}{\tau} \approx \text{incertidumbre en }(E_i-E_f)
\end{align*}
\begin{align*}
\tau \Gamma &\approx \hbar \\
\text{o diciéndolo de otra forma } \Gamma &\approx \frac{\hbar}{\tau} \approx \text{incertidumbre en }(E_i-E_f)
\end{align*}
El valor exacto del nivel de energía es incierto, la mejor aproximación es dada por el grosor $\Gamma$. Así tenemos que si $\Delta E_R \ll \Gamma$, es decir, que la energía de reacción del núcleo es mucho menor que el nivel de energía (tomando en cuenta su incertidumbre), el proceso de emisión es posible, de lo contrario no habrá decaimineto $\gamma$.
El valor exacto del nivel de energía es incierto, la mejor aproximación es dada por el grosor $\Gamma$. Así tenemos que si $\Delta E_R \ll \Gamma$, es decir, que la energía de reacción del núcleo es mucho menor que el nivel de energía (tomando en cuenta su incertidumbre), el proceso de emisión es posible, de lo contrario no habrá decaimineto $\gamma$.
\begin{figure}[ht!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.6\linewidth]{nivelesse.jpg}
\caption{Niveles de energía para el ${}^{72}Se^{34}$. Tomado de \cite{Krane}}
\label{fig:niveles}
\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}[ht!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.6\linewidth]{nivelesse.jpg}
\caption{Niveles de energía para el ${}^{72}Se^{34}$. Tomado de \cite{Krane}}
\label{fig:niveles}
\end{center}
\end{figure}
Veamos un ejemplo, tomemos el ${}^{50}Ti^{22}$ como el núcleo, sólo por tener un valor intermedio de $A$. Calculamos la masa $M\approx 46512.11\ MeV/c^2$ y consideramos un espaciamiento de $h\nu\gtrsim 100keV = 10^5 eV$
Veamos un ejemplo, tomemos el ${}^{50}Ti^{22}$ como el núcleo, sólo por tener un valor intermedio de $A$. Calculamos la masa $M\approx 46512.11\ MeV/c^2$ y consideramos un espaciamiento de $h\nu\gtrsim 100keV = 10^5 eV$
\begin{equation}
\Delta E_R = \frac{(h\nu)^2}{2Mc^2} = \frac{(10^5 eV)^2}{2(46.512\times 10^9 eV)} \approx 0.215\ eV
\label{ec:delta}
\end{equation}
\begin{equation}
\Delta E_R = \frac{(h\nu)^2}{2Mc^2} = \frac{(10^5 eV)^2}{2(46.512\times 10^9 eV)} \approx 0.215\ eV
\label{ec:delta}
\end{equation}
Ahora consideramos un tiempo de vida media para un nivel de energía alrededor de $10^{-12}seg$, que es un valor que sule tener un estado excitado, podemos aproximar la anchura
Ahora consideramos un tiempo de vida media para un nivel de energía alrededor de $10^{-12}seg$, que es un valor que sule tener un estado excitado, podemos aproximar la anchura
\begin{equation*}
\Gamma \approx \frac{\hbar}{\tau} \approx \frac{6.582\times 10^{-22}MeV\cdot seg}{10^{-12}seg} = 6.582\times 10^{-10} MeV = 6.582 \times 10^{-4} eV
\end{equation*}
\begin{equation*}
\Gamma \approx \frac{\hbar}{\tau} \approx \frac{6.582\times 10^{-22}MeV\cdot seg}{10^{-12}seg} = 6.582\times 10^{-10} MeV = 6.582 \times 10^{-4} eV
\end{equation*}
Es claro que $\Gamma \ll \Delta E_R$, por lo que la emisión no puede suceder. Pero hemos tomado los valores correctos ¿qué es lo que pasa? Nuestro problema está en la energía de reacción $\Delta E_R$, que debe ser reducida al mínimo.
Es claro que $\Gamma \ll \Delta E_R$, por lo que la emisión no puede suceder. Pero hemos tomado los valores correctos ¿qué es lo que pasa? Nuestro problema está en la energía de reacción $\Delta E_R$, que debe ser reducida al mínimo.
El efecto Mössbauer explica como es que sucede, considera que los núcleos están fuertemente unidos en una red cristalina, de esta forma cuando se emite un $\gamma$ no es sólo el núcleo el que siente la reacción, si no toda la red, esto multiplica la masa en el denominador de la ecuación \ref{ec:delta} por un factor muy grande, lo que reduce inmensamente la energía de reacción. El efecto Mössbauer explica con gran precisión las energías de los niveles nucleares.
El efecto Mössbauer explica como es que sucede, considera que los núcleos están fuertemente unidos en una red cristalina, de esta forma cuando se emite un $\gamma$ no es sólo el núcleo el que siente la reacción, si no toda la red, esto multiplica la masa en el denominador de la ecuación \ref{ec:delta} por un factor muy grande, lo que reduce inmensamente la energía de reacción. El efecto Mössbauer explica con gran precisión las energías de los niveles nucleares.
Como se muestra en la figura \ref{fig:niveles} los estados excitados se encuentran marcados por energía, de estos niveles excitados puede emitirse un fotón para bajar al estado base.
Como se muestra en la figura \ref{fig:niveles} los estados excitados se encuentran marcados por energía, de estos niveles excitados puede emitirse un fotón para bajar al estado base.
La conversión interna sucede cuando el $\gamma$ saliente del núcleo excita a uno de los electrones de las pas interiores del átomo y lo desprende, en este caso en lugar de detctar un fotón se detecta un electrón de alta energía ¿cómo diferenciarlo de un electrón de decaimiento $\beta^-$? Primero por su energía, puede ser mucho mayor a la de la partícula $\beta$, pero sobre todo por su espectro de energía. Como es arrancado de una capa interior de los niveles atómicos, sólo cierta energía puede desprenderlo, de igual forma su espectro de energía está cuantizado. Mientras que el espectro de energía de los $\beta$ es continuo.
La conversión interna sucede cuando el $\gamma$ saliente del núcleo excita a uno de los electrones de las pas interiores del átomo y lo desprende, en este caso en lugar de detectar un fotón se detecta un electrón de alta energía ¿cómo diferenciarlo de un electrón de decaimiento $\beta^-$? Primero por su energía, puede ser mucho mayor a la de la partícula $\beta$, pero sobre todo por su espectro de energía. Como es arrancado de una capa interior de los niveles atómicos, sólo cierta energía puede desprenderlo, de igual forma su espectro de energía está cuantizado. Mientras que el espectro de energía de los $\beta$ es continuo.
\section{Leyes de decaimiento}
\section{Leyes de decaimiento}
Ya hablamos de los posibles decaimientos nucleares, lo que falta es ver como describir matemáticamente estos procesos. Ya sea que se emitan $\alpha$'s, $\beta$'s o $\gamma$'s en gran medida lo hemos tratado como un proceso estadístico, esto sucede para un grupo grande de partículas y no tenemos la certeza del momento exacto del decaimiento. Lo que hay es una probabilidad constante de que suceda el decaimiento para cada núcleo, la llamamos $\lambda$. Si $N$ es el número de núcleos radiactivos de un cierto tipo en un tiempo definido y lambdaes la probabilidad constante de decaimiento por unidad de tiempo, el cambio en el número de nucleos en un intervalo de tiempo infinitesimal $dt$ es