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@ -59,15 +59,15 @@ Por ello es que los núcleones están confinados en el núcleo, es un estado ene
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que es un valor negativo, y es proporcional a la energía de enlace nuclear, de la forma
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\begin{equation*}
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B.E. = \Delta M(A,Z)c^2
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B.E. = -\Delta M(A,Z)c^2
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\end{equation*}
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De esta forma $-B.E.$ es la cantidad de energía necesaria para liberar a todos los nucleones de su estado ligado como núcleo, Si $\Delta M(A,Z)$ es negativa, y por ende $B.E.$, el núcleo es ligado, mientras más negativo sea el valor más ligado es.
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De esta forma $B.E.$ es la cantidad de energía necesaria para liberar a todos los nucleones de su estado ligado como núcleo, Si $\Delta M(A,Z)$ es negativa, y por ende $B.E.$ es positiva, el núcleo es ligado, mientras más grande sea el valor más ligado es.
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La energía promedio para liberar un nucleón se da por la razón
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\begin{equation*}
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\frac{B}{A} = \frac{-B.E.}{A} = \frac{-\Delta M(A,Z)c^2}{A}
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\frac{B}{A} = \frac{B.E.}{A} = \frac{-\Delta M(A,Z)c^2}{A}
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\end{equation*}
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Este valor es útil pues pensaríamos que la energía de enlace por nucleón $B/A$, si todo se comportara bien, sería una constante, mas su comportamiento nos da más características de esta energía, como se puede ver en la figura \ref{fig:binding}. Para núcleos ligeros $B/A$ oscila un poco, aumenta rápidamente y se satura, alcanzando un pico alrededor de los $9\ MeV$ por nucleón, que en el eje de las $X$ corresponde a un $A = 60$. Para $A$ mayor $B/A$ decae lentamente. $8\ MeV$ es un valor promedio para estos núcleos restantes, nos sirve para ver que esperamos obtener.
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@ -93,27 +93,27 @@ Este valor es útil pues pensaríamos que la energía de enlace por nucleón $B/
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Para obtener la energía de enlace a partir de los exceso de masa
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\begin{align*}
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B.E. =& M(A,Z) - Zm_p - (A-Z)m_n \\
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=& (\delta(A,Z) + A) - Z(\delta(1,1) + 1) - (A-Z)(\delta(1,0)+1) \\
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=& \delta(A,Z) + A -Z\delta(1,1) - Z - A\delta(1,0) - A + Z\delta(1,0) +Z \\
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=& \delta(A,Z) -Z\delta(1,1) - (A-Z)\delta(1,0)
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B.E. =& Zm_p + (A-Z)m_n - M(A,Z) \\
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=& Z(\delta(1,1) + 1) + (A-Z)(\delta(1,0)+1) - (\delta(A,Z) + A) \\
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=& Z\delta(1,1) + Z + A\delta(1,0) + A - Z\delta(1,0) - Z - \delta(A,Z) - A \\
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=& Z\delta(1,1) + (A-Z)\delta(1,0) - \delta(A,Z)
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\end{align*}
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Veamos un ejemplo. Tenemos el oxígeno estable ${}^{18}O^8$, el exceso de masa del núcleo es (revisando \url{https://www-nds.iaea.org/amdc/ame2016/mass16.txt}) $\delta(16,8) = -4737.00135\ keV$, siempre usaremos la del protón $\delta(1,1) = 7288.97061 keV$ y la del neutrón $\delta(1,0) = 8071.31713\ keV$, ahora calculemos la energía de enlace del núcleo:
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\begin{align*}
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B.E. =& \delta(16,8) -8\delta(1,1) - 8\delta(1,0) \\
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=& -4737.0013keV - 8(7288.9706keV) - 8(8071.3171keV) \\
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=& -91619.3032 keV
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B.E. =& 8\delta(1,1) + 8\delta(1,0) - \delta(16,8) \\
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=& 8(7288.9706keV) + 8(8071.3171keV) + 4737.0013keV\\
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=& 127619.3029 keV
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\end{align*}
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Un ejercicio útil para aplicar esto, aunque no sé que tan útil para la practica de la física nuclear, es obtener la energía de separación del último protón y el último neutrón de un núcleo
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\begin{align*}
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B.E.(A,Z) - B.E.(A-1,Z-1) =& \delta(A,Z) -Z\delta(1,1) - (A-Z)\delta(1,0)\\
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& - (\delta(A-1,Z-1) -(Z-1)\delta(1,1)\\
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& - ((A-1)-(Z-1))\delta(1,0)) \\
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=& \delta(A,Z)-\delta(A-1,Z-1) - \delta(1,1)
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B.E.(A,Z) - B.E.(A-1,Z-1) =& Z\delta(1,1) + (A-Z)\delta(1,0) - \delta(A,Z)\\
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& - ((Z-1)\delta(1,1) + ((A-1)-(Z-1))\delta(1,0)\\
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& - \delta(A-1,Z-1)) \\
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=& \delta(A-1,Z-1) + \delta(1,1) - \delta(A,Z)
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\end{align*}
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Algo similar se hace para el último neutrón.
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@ -220,7 +220,7 @@ Las observaciones además nos dicen que los núcleos más estables más abundant
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\subsection*{Inestabilidad del núcleo}
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La radiactividad fue descubierta por accidente en 1896 en el trabajo de Henry Becquerel, observando un efecto de radiactividad naturar en las sales de uranio, un núcleo bastante pesado.
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La radiactividad fue descubierta por accidente en 1896 en el trabajo de Henry Becquerel, observando un efecto de radiactividad natural en las sales de uranio, un núcleo bastante pesado.
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Ya hablamos de los tres tipos de radiación
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@ -248,35 +248,41 @@ El hecho de que la energía de enlace por núcleon tienda a una constante es mue
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\section*{Modelos nucleares}
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Los modelos que trataremos son fenomenológicos, por las complicadas características de la fuerza nuclear fue necesario tomar ese camino. Ya en la sección anterior hablamos de algunas de las características que definen a estos modelos.
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Los modelos que trataremos son fenomenológicos, por las complicadas características de la fuerza nuclear fue necesario tomar ese camino. Ya en la sección anterior hablamos de algunas de las características que definen a estos modelos. Hay tres tipos de modelos:
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\begin{itemize}
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\item Modelos empíricos
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\item Modelos de partícula independiente
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\item Modelos de interacción fuerte
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\end{itemize}
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\subsection*{Modelo de la gota}
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Los experimentos muestran que el núcleo parece tener una estructura esférica, con un radio, eso es lo primero que nos hace pensar en una gota, además de la incompresibilidad del fluido y su estructura hay algunas características extras que asemejan a un fluido. Pero en este modelo las características particulares de los nucleones son desechadas.
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Los experimentos muestran que el núcleo parece tener una estructura esférica, con un radio proporcional a la cantidad de nucleones contenidos, eso es lo primero que nos hace pensar en una gota, además de la incompresibilidad y su estructura hay algunas características extras que asemejan a un fluido. Pero en este modelo las características particulares de los nucleones son desechadas. Este modelo fue propuesto por Bohr y Weizsäcker.
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La gota está formada por nucleones como si fueran moléculas, los del interior están saturados, es dificil desprenderlos, y los de la orilla no están saturados, se separan más fácil, lo que asemeja a la tension superficial.
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La gota está formada por nucleones como si fueran moléculas, los del interior están saturados, es dificil desprenderlos, y los de la orilla no lo están, se separan más fácil, lo que asemeja a la tensión superficial.
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A partir de estas consideraciones podemos ir aproximando la energía de ligadura
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\begin{equation*}
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B.E. = -a_1 A + a_2 A^{\frac{2}{3}}
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B.E. = a_1 A - a_2 A^{\frac{2}{3}}
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\end{equation*}
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El primer término se refiere a la energía en el volumen, saturada, el segundo a la tensión superficial. Núcleos más ligeros tienen más nucelones en la superficie que en el volumen. Explica un poco el rápido crecimiento al inicio de la gráfica $B/A$.
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El primer término se refiere a la energía en el volumen, saturada, el segundo a la tensión superficial. Núcleos más ligeros tienen más nucleones en la superficie que en el volumen. Explica un poco el rápido crecimiento al inicio de la gráfica $B/A$.
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Centrándonos de nuevo en esa gráfica $B/E$, vemos que a altas energías el valor decrece, lentamente, pero decrece. Eso puede deberse a la repulsión coulombiana entre protones
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\begin{equation*}
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B.E. = -a_1 A + a_2 A^{\frac{2}{3}} + a_3 \frac{Z^2}{A^{\frac{1}{3}}}
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B.E. = a_1 A - a_2 A^{\frac{2}{3}} - a_3 \frac{Z^2}{A^{\frac{1}{3}}}
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\end{equation*}
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Todas estas son consideraciones clásicas, pero hace falta agregar la estabilidad del núcleo. Recordemos que lo más estable para núcleos ligeros es $N=Z$, los núcleos par-par son más estables sin importar si son ligeros o pesados, los núcleos par-impar ya no son tan estables, y los impar-impar son los menos estables. Requerimos un término que responda a ello (efectos muy probablemente cuánticos)
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\begin{equation*}
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B.E. = -a_1 A + a_2 A^{\frac{2}{3}} + a_3 \frac{Z^2}{A^{\frac{1}{3}}} + a_4\frac{(N-Z)^2}{A} \pm a_5A^{-\frac{3}{4}},
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||||
B.E. = a_1 A - a_2 A^{\frac{2}{3}} - a_3 \frac{Z^2}{A^{\frac{1}{3}}} - a_4\frac{(N-Z)^2}{A} \pm a_5A^{-\frac{3}{4}},
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\end{equation*}
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||||
\noindent se asume que los coeficientes $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$ y $a_5$ son positivos, de esta forma los signos también nos dan información de la fenomenología (cómo aportan a la energía de ligadura y por lo tanto a la estabilidad del núcleo). El cuarto término nos asegura que si $N\neq Z$ la energía de enlace es mayor, por ende el núcleo es más inestable. Para núcleos ligeros el tercer término no afecta tanto, y el cuarto no aporta nada a disminuir la energía de enlace con $N=Z$. En el quinto término el signo positivo se elige para núcleos impar-impar, negativo para los núclos par-par y $a_5=0$ para núclos impar-par.
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||||
\noindent se asume que los coeficientes $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$ y $a_5$ son positivos, de esta forma los signos también nos dan información de la fenomenología (cómo aportan a la energía de ligadura y por lo tanto a la estabilidad del núcleo). El cuarto término nos asegura que si $N\neq Z$ la energía de enlace es mayor, por ende el núcleo es más inestable. Para núcleos ligeros el tercer término no afecta tanto, y el cuarto no aporta nada a disminuir la energía de enlace con $N=Z$. En el quinto término el signo positivo se elige para núcleos par-par, negativo para los núcleos impar-impar y $a_5=0$ para núclos impar-par.
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Los valores de los coeficientes se obtinen de ajustar el modelo a los datos empíricos
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@ -288,7 +294,7 @@ Los valores de los coeficientes se obtinen de ajustar el modelo a los datos emp
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Se puede sustituir en la fórmula para masas respecto a la energía de ligadura
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\begin{equation*}
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M(A,Z) = Zm_p + (A-Z)m_n + \frac{B.E.}{c^2}
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M(A,Z) = Zm_p + (A-Z)m_n - \frac{B.E.}{c^2}
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\end{equation*}
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\noindent y obtener una relación de la fórmula semi empírica con la masa
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@ -298,7 +304,7 @@ Se puede sustituir en la fórmula para masas respecto a la energía de ligadura
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&+ \frac{a_2}{c^2} + \frac{a_3}{c^2} \frac{Z^2}{A^{\frac{1}{3}}} + \frac{a_4}{c^2}\frac{(N-Z)^2}{A} \pm \frac{a_5}{c^2}A^{-\frac{3}{4}}
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||||
\end{align*}
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ES la fórmula semi-empírica de Bethe-Weizsäcker para masas nucleares, puede dar información sobre estabilidad de núcleos aún no conocidos (de cualquier $A$ y $Z$), y es de mucha ayuda para entender la fisión nuclear.
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Es la fórmula semi-empírica de Bethe-Weizsäcker para masas nucleares, puede dar información sobre estabilidad de núcleos aún no conocidos (de cualquier $A$ y $Z$), y es de mucha ayuda para entender la fisión nuclear.
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\subsection*{Modelo de gas de Fermi}
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320
pres6.tex
320
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@ -15,12 +15,12 @@
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\setbeamertemplate{footline}[frame number]
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\newcommand{\backupbegin}{
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||||
\newcounter{finalframe}
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\setcounter{finalframe}{\value{framenumber}}
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||||
\newcounter{finalframe}
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\setcounter{finalframe}{\value{framenumber}}
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}
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||||
\newcommand{\backupend}{
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||||
\setcounter{framenumber}{\value{finalframe}}
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||||
\setcounter{framenumber}{\value{finalframe}}
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||||
}
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||||
\author{Física Nuclear y subnuclear }
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@ -253,8 +253,55 @@
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|||
\end{table}
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\end{frame}
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\begin{frame}{Tratemos de aclarar lo del signo}
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Primero veamos qué pasa con los excesos de masa:
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\begin{equation*}
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{}^{236}U → {}^{92}Kr + {}^{141}Ba + 3 n
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\end{equation*}
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||||
\begin{align*}
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||||
\delta(236,92) =& 42444.644 keV\\
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||||
\delta(92,36) =& -68769.320 keV\\
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||||
\delta(141,56) =& -79732.626 keV\\
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||||
\delta(0,1) =& 8071.31713 keV \\
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||||
\delta(1,1) =& 7288.97061 keV\ \text{por si acaso}
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\end{align*}
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\end{frame}
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||||
\begin{frame}{Calculamos energías de enlace}
|
||||
\begin{align*}
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||||
B.E.(236,92) =& 42444.644 keV - 92*(7288.97061-keV)-144*(8071.31713 keV)\\
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||||
=& -1790410.31884 keV\\
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||||
B.E.(92,36) =& -68769.32 keV - 36*(7288.97061-keV)-56*(8071.31713 keV)\\
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||||
=& -783166.02124 keV\\
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||||
B.E.(141,56) =& -79732.626 keV - 56*(7288.97061-keV)-85*(8071.31713 keV)\\
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||||
=& -1182048.25334 keV\\
|
||||
\end{align*}
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||||
\end{frame}
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||||
\begin{frame}{¡Les he fallado!}
|
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\begin{figure}[ht!]
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||||
\begin{center}
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||||
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{te-he-fallado-oppi.jpg}
|
||||
\caption{Meme con finalidad didáctica}
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\label{fig:islas}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{figure}
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||||
\end{frame}
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||||
\begin{frame}{Calculamos energías de enlace, \textbf{ahora sí de forma correcta}}
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||||
\begin{align*}
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||||
B.E.(236,92) =& 92*(7288.97061-keV) + 144*(8071.31713 keV) - 42444.644 keV\\
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||||
=& 1790410.3188 keV\\
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||||
B.E.(92,36) =& 36*(7288.97061-keV) + 56*(8071.31713 keV) + 68769.32 keV\\
|
||||
=& 783166.02124 keV\\
|
||||
B.E.(141,56) =& 56*(7288.97061-keV) + 85*(8071.31713 keV) + 79732.626 keV\\
|
||||
=& 1182048.25334 keV\\
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Inestabilidad de los núcleos}
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||||
Radiactividad
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Radiactividad, descubierta por Becquerel en 1896, trabajando sales de Uranio
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item $\alpha$, núcelos de ${}^4He^2$
|
||||
\item $\beta$, electrones
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||||
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@ -293,7 +340,7 @@
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||||
\begin{frame}{Energía de ligadura en modelo de la gota}
|
||||
\begin{equation*}
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||||
B.E. = -a_1 A + a_2 A^{\frac{2}{3}} + a_3 \frac{Z^2}{A^{\frac{1}{3}}} + a_4\frac{(N-Z)^2}{A} \pm a_5A^{-\frac{3}{4}},
|
||||
B.E. = a_1 A - a_2 A^{\frac{2}{3}} - a_3 \frac{Z^2}{A^{\frac{1}{3}}} - a_4\frac{(N-Z)^2}{A} \pm a_5A^{-\frac{3}{4}},
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
a_1\approx 15.5\ MeV, \ \ a_2 &\approx 16.8\ MeV, \ \ a_3 \approx 0.72\ MeV, \\
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||||
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@ -302,184 +349,185 @@
|
|||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Fórmula semi-empírica de Bethe-Weiszäcker}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
M(A,Z) = Zm_p + (A-Z)m_n + \frac{B.E.}{c^2}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
M(A,Z) = Zm_p + (A-Z)m_n - \frac{B.E.}{c^2}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
\begin{align*}
|
||||
M(A,Z) =& Zm_p + (A-Z)m_n -\frac{a_1}{c^2}A \\
|
||||
&+ \frac{a_2}{c^2} + \frac{a_3}{c^@} \frac{Z^2}{A^{\frac{1}{3}}} + \frac{a_4}{c^2}\frac{(N-Z)^2}{A} \pm \frac{a_5}{c^2}A^{-\frac{3}{4}}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
M(A,Z) =& Zm_p + (A-Z)m_n -\frac{a_1}{c^2}A \\
|
||||
&+ \frac{a_2}{c^2} + \frac{a_3}{c^@} \frac{Z^2}{A^{\frac{1}{3}}} + \frac{a_4}{c^2}\frac{(N-Z)^2}{A} \pm \frac{a_5}{c^2}A^{-\frac{3}{4}}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Modelo de gas de Fermi}
|
||||
\begin{itemize}
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||||
\item Modelo de partícula independiente
|
||||
\item Agrega la parte cuántica
|
||||
\item Gas de fermiones confinado en el núcleo
|
||||
\item Niveles de energía
|
||||
\item Pozos distintos para protones y neutrones
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Modelo de partícula independiente
|
||||
\item Agrega la parte cuántica
|
||||
\item Gas de fermiones confinado en el núcleo
|
||||
\item Niveles de energía
|
||||
\item Pozos distintos para protones y neutrones
|
||||
\end{itemize}
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||||
\end{frame}
|
||||
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||||
\begin{frame}{Energía de Fermi}
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||||
\begin{figure}[ht!]
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\begin{center}
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||||
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{fermi.jpg}
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||||
\caption{Esquema de los pozos de potencial en el modelo de Fermi. Figure by \href{https://flic.kr/p/6KjVBz}{MIT OpenCourseWare from Marmier and Sheldon}, con licencia \href{https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/}{CC-BY-NC-SA}}
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||||
\label{fig:binding}
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||||
\end{center}
|
||||
\end{figure}
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||||
\begin{figure}[ht!]
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||||
\begin{center}
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||||
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{fermi.jpg}
|
||||
\caption{Esquema de los pozos de potencial en el modelo de Fermi. Figure by \href{https://flic.kr/p/6KjVBz}{MIT OpenCourseWare from Marmier and Sheldon}, con licencia \href{https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/}{CC-BY-NC-SA}}
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||||
\label{fig:binding}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{figure}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Profundidad de pozo}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
E_F = \frac{p_F^2}{2m}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
V_{p_F} = \frac{4\pi}{3} p_F^3
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
V_{TOT} =& V\times V_{p_F} = \frac{4\pi}{3}r_0^3A \times \frac{4\pi}{3}p_F^3 \\
|
||||
=& \left( \frac{4\pi}{3} \right)^2 A (r_0 p_F)^3
|
||||
\end{align*}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
E_F = \frac{p_F^2}{2m}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
V_{p_F} = \frac{4\pi}{3} p_F^3
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
V_{TOT} =& V\times V_{p_F} = \frac{4\pi}{3}r_0^3A \times \frac{4\pi}{3}p_F^3 \\
|
||||
=& \left( \frac{4\pi}{3} \right)^2 A (r_0 p_F)^3
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Espacio fase}
|
||||
\begin{figure}[ht!]
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{fase.jpg}
|
||||
\caption{El espacio fase, imagen de \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/User:Brews_ohare}{Brews ohare} con licencia \href{https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.en}{CC-BY-SA}}
|
||||
\label{fig:fase}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{figure}
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||||
\begin{figure}[ht!]
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\begin{center}
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||||
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{fase.jpg}
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||||
\caption{El espacio fase, imagen de \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/User:Brews_ohare}{Brews ohare} con licencia \href{https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.en}{CC-BY-SA}}
|
||||
\label{fig:fase}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{figure}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Energía de Fermi y profundidad}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
V_{estado} = (2\pi \hbar)^3 = h^3
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
n_F = 2\frac{V_{TOT}}{(2\pi\hbar)^3} = \frac{2}{(2\pi\hbar)^3} \left( \frac{4\pi}{3} \right)^2 A (r_0 p_F)^3 = \frac{4}{9\pi}A \left( \frac{r_0 p_F}{\hbar} \right)^3,
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
N=Z=\frac{A}{2} =& \frac{4}{9\pi}A \left( \frac{r_0 p_F}{\hbar} \right)^3 \\
|
||||
\text{despejando } p_F =& \frac{\hbar}{r_0} \left( \frac{9\pi}{8} \right)^{\frac{1}{3}}.
|
||||
\end{align*}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
V_{estado} = (2\pi \hbar)^3 = h^3
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
n_F = 2\frac{V_{TOT}}{(2\pi\hbar)^3} = \frac{2}{(2\pi\hbar)^3} \left( \frac{4\pi}{3} \right)^2 A (r_0 p_F)^3 = \frac{4}{9\pi}A \left( \frac{r_0 p_F}{\hbar} \right)^3,
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
N=Z=\frac{A}{2} =& \frac{4}{9\pi}A \left( \frac{r_0 p_F}{\hbar} \right)^3 \\
|
||||
\text{despejando } p_F =& \frac{\hbar}{r_0} \left( \frac{9\pi}{8} \right)^{\frac{1}{3}}.
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Profundidad del pozo}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
E_F = \frac{p_F^2}{2m} = \frac{1}{2m} \left( \frac{\hbar}{r_0} \right)^2 \left( \frac{9\pi}{8} \right)^{\frac{2}{3}}\approx 33\ MeV
|
||||
\end{align*}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
V_0 = E_F + \frac{B}{A} \approx 40\ MeV
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
E_F = \frac{p_F^2}{2m} = \frac{1}{2m} \left( \frac{\hbar}{r_0} \right)^2 \left( \frac{9\pi}{8} \right)^{\frac{2}{3}}\approx 33\ MeV
|
||||
\end{align*}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
V_0 = E_F + \frac{B}{A} \approx 40\ MeV
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Modelo de capas atómico}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Modelo de partícula independiente
|
||||
\item Estados de energía etiquetados por $n$
|
||||
\item Degeneraciones con el número cuántico $\ell = 0,1,2,...,n-1$
|
||||
\item $2\ell +1$ subestados
|
||||
\item Espín $s$ con $2s+1$ proyecciones
|
||||
\item ($n$, $\ell$, $m_{\ell}$, $m_s$)
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Modelo de partícula independiente
|
||||
\item Estados de energía etiquetados por $n$
|
||||
\item Degeneraciones con el número cuántico $\ell = 0,1,2,...,n-1$
|
||||
\item $2\ell +1$ subestados
|
||||
\item Espín $s$ con $2s+1$ proyecciones
|
||||
\item ($n$, $\ell$, $m_{\ell}$, $m_s$)
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Estados degenerados}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
n_d &= 2\sum_{\ell=0}^{n-1} (2\ell + 1) \\
|
||||
&= 2 \left( 2\sum_{\ell=0}^{n-1} \ell + 1 \right) \\
|
||||
&= 2 \left( 2 \times \frac{1}{2} n(n-1) + n \right) \\
|
||||
&= 2(n^2-n+n) = 2n^2
|
||||
\end{align*}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
n_d &= 2\sum_{\ell=0}^{n-1} (2\ell + 1) \\
|
||||
&= 2 \left( 2\sum_{\ell=0}^{n-1} \ell + \sum_{\ell=0}^{n-1} 1 \right) \\
|
||||
&= 2 \left( 2 \times \frac{1}{2} n(n-1) + n \right) \\
|
||||
&= 2(n^2-n+n) = 2n^2
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Rompimiento de la degeneración}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Dirección preferencial del espacio
|
||||
\item Campo magnético en la dirección $z$
|
||||
\item La energía depenede de $m_{\ell}$ y $m_s$
|
||||
\item Al potencial se agrega $-\overrightarrow{\mu}\cdot \overrightarrow{B}$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Dirección preferencial del espacio
|
||||
\item Campo magnético en la dirección $z$
|
||||
\item La energía depende de $m_{\ell}$ y $m_s$
|
||||
\item Al potencial se agrega $-\overrightarrow{\mu}\cdot \overrightarrow{B}$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Acoplamiento espín-órbita}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item El campo magnético se debe al momento angular del núcleo
|
||||
\item Rompe otras degeneraciones
|
||||
\item Estructura fina
|
||||
\item Tengase en cuenta para física nuclear
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item El campo magnético se debe al momento angular del núcleo
|
||||
\item Rompe otras degeneraciones
|
||||
\item Estructura fina
|
||||
\item Tengase en cuenta para física nuclear
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Esquema de rompimientos}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $n$ niveles de energía con subcapas $\ell$
|
||||
\item $\ell$ muy grande provoca átomos menos esféricos y menos estables
|
||||
\item Todas las capas y subcapas llenas
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Suma $m_{\ell}$ es cero
|
||||
\item Suma $m_s$ es cero
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item $\overrightarrow{J} = \overrightarrow{L} + \overrightarrow{S}=0$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $n$ niveles de energía con subcapas $\ell$
|
||||
\item $\ell$ muy grande provoca átomos menos esféricos y menos estables
|
||||
\item Todas las capas y subcapas llenas
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Suma $m_{\ell}$ es cero
|
||||
\item Suma $m_s$ es cero
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item $\overrightarrow{J} = \overrightarrow{L} + \overrightarrow{S}=0$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Números mágicos}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Atómicos: $Z=2,10, 18,36,54,$
|
||||
\item Nucleares:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
N =& 2,8,20,28,50,82,126 \\
|
||||
Z =& 2,8,20,28,50,82.
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
${}^4He^2$, ${}^{16}O^8$, ${}^{208}Pb^{82}$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Atómicos: $Z=2,10, 18,36,54,$
|
||||
\item Nucleares:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
N =& 2,8,20,28,50,82,126 \\
|
||||
Z =& 2,8,20,28,50,82.
|
||||
\end{align*}
|
||||
\item $Zn^{50}$ dies isótopos e isótonos estables, $In^{49}$ t $Sb^{51}$ tienen dos isótopos estables.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
${}^4He^2$, ${}^{16}O^8$, ${}^{208}Pb^{82}$
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Ecuación de Schrödinger nuclear}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item En el núcleo a diferencia del átomo no tenemos un núcleo central que provee la energía de enlace
|
||||
\item Debemos considerar entonces un potencial central efectivo
|
||||
\item La fuerza nuclear no es tan bien entendida como la fuerza coulombiana del átomo.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item En el núcleo a diferencia del átomo no tenemos un núcleo central que provee la energía de enlace
|
||||
\item Debemos considerar entonces un potencial central efectivo
|
||||
\item La fuerza nuclear no es tan bien entendida como la fuerza coulombiana del átomo.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Ecuación de Schrödinger nuclear}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\left( -\frac{\hbar^2}{2m}\overrightarrow{\nabla}^2 + V(\overrightarrow{r}) \right) \psi(\overrightarrow{r}) =& E \psi(\overrightarrow{r}) \\
|
||||
\text{ó } \left( \overrightarrow{\nabla}^2 + \frac{2m}{\hbar^2}(E-V(\overrightarrow{r})) \right) \psi(\overrightarrow{r}) =& 0,
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\overrightarrow{\nabla}^2 = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}r^2\frac{\partial}{\partial r} - \frac{1}{\hbar^2 r^2} \overrightarrow{L}^2,
|
||||
\end{equation*}
|
||||
$\hbar^2 \ell (\ell + 1)$
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\left( -\frac{\hbar^2}{2m}\overrightarrow{\nabla}^2 + V(\overrightarrow{r}) \right) \psi(\overrightarrow{r}) =& E \psi(\overrightarrow{r}) \\
|
||||
\text{ó } \left( \overrightarrow{\nabla}^2 + \frac{2m}{\hbar^2}(E-V(\overrightarrow{r})) \right) \psi(\overrightarrow{r}) =& 0,
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\overrightarrow{\nabla}^2 = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}r^2\frac{\partial}{\partial r} - \frac{1}{\hbar^2 r^2} \overrightarrow{L}^2,
|
||||
\end{equation*}
|
||||
$\hbar^2 \ell (\ell + 1)$
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Pozo de potencial infinito}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
V(\overrightarrow{r})=\begin{cases}
|
||||
\infty \quad &\text{si } r\geq R \\
|
||||
0 \quad &\text{de otra forma,} \\
|
||||
\end{cases}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\left( \frac{d^2}{dr^2} + \frac{2m}{\hbar^2} \left( E_{n\ell} - \frac{\hbar \ell(\ell + 1)}{2mr^2} \right) \right) u_{n\ell}(r) = 0
|
||||
\end{equation*}
|
||||
$u_{n\ell}(r) = j_{\ell}(k_{n\ell}r)$
|
||||
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
k_{n\ell} = \sqrt{\frac{2mE_{n\ell}}{\hbar^2}}.
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
V(\overrightarrow{r})=\begin{cases}
|
||||
\infty \quad &\text{si } r\geq R \\
|
||||
0 \quad &\text{de otra forma,} \\
|
||||
\end{cases}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\left( \frac{d^2}{dr^2} + \frac{2m}{\hbar^2} \left( E_{n\ell} - \frac{\hbar \ell(\ell + 1)}{2mr^2} \right) \right) u_{n\ell}(r) = 0
|
||||
\end{equation*}
|
||||
$u_{n\ell}(r) = j_{\ell}(k_{n\ell}r)$
|
||||
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
k_{n\ell} = \sqrt{\frac{2mE_{n\ell}}{\hbar^2}}.
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
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