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notas2.tex

@@ -224,7 +224,7 @@ De esta forma se puede continuar determinando las paridades de las demás partí
     Partícula & Paridad  \\
     \hline
     $p$ & $+$ \\
-    $n$ & $-$ \\
+    $n$ & $+$ \\
     $\pi^-$ & $-$  \\
     $\gamma$ & $-$ \\
     $W^{\pm}$ & $-$ \\
@@ -599,11 +599,11 @@ Si experimentalmente pudieramos ver un doble decaimiento beta entonces se compro
 		
 A la manera de la electrodinámica cuántica (\emph{QED}) se ha desarrollado una teoría para explicar las interaccions fuertes: la cromodinámica cuántica (\emph{QCD}). NO es que los cuarks estén relacionados con las propiedades ópticas de los materiales, si no que por la peculiaridad de ser una fuerza en la que existen tres cargas, y para llegar a un equlibrio deben estar las tres cargas juntas, se imaginó una similitud con los tres colores básicos que al juntarse dan el color blanco.
 		
-De esta forma las cargas de color son $r$, $g$ y $b$ (\emph{red, green y blue} en inglés). ¿`Porqué tres cargas? Pensemos el caso de un barión, es una partícula compuesta y sus cuarks están en un estado de equilibrio por lo regular (recordemos que hay resonancias y esas no son un estado de equilibrio), como están formadas por tres cuarks cada cuark debe tener una carga, uno tendrá carga $r$, otro carga $g$ y el tercero carga $b$ ?`Cuál tiene que carga? CUalquiera, con que se tengan las tres cargas, entonces el cuark $u$ puede venir en tres presentaciones extras, que corresponden a cada carga. 
+De esta forma las cargas de color son $r$, $g$ y $b$ (\emph{red, green y blue} en inglés). ¿`Porqué tres cargas? Pensemos el caso de un barión, es una partícula compuesta y sus cuarks están en un estado de equilibrio por lo regular (recordemos que hay resonancias y esas no son un estado de equilibrio), como están formadas por tres cuarks cada cuark debe tener una carga, uno tendrá carga $r$, otro carga $g$ y el tercero carga $b$ ?`Cuál tiene que carga? Cualquiera, con que se tengan las tres cargas, entonces el cuark $u$ puede venir en tres presentaciones extras, que corresponden a cada carga. 
 		
 De acuerdo, en un barion cada cuark tiene una carga distinta de color, así los tres cuarks forman el estado neutro de carga de color ¿`y los mesones? Ahí sólo hay dos cuarks y deben formar un estado neutro por esto de los estados estables. Lo que sucede ahí es que en un mesón el cuark posee una carga de color, digamos $g$, y el antu cuark tiene una carga $\bar{g}$. Entonces hay carga e color y anti-carga de color, de esta forma con dos cuarks se puede llegar al estado neutro.
 		
-El fotón no posee carga eléctrica, el gluón por el contrario sí tiene carga de color, tiene una carga bicolor de color y anti-color, por ejemplo $r\bar{b}$ o $\bar{g}r$. Esto implica que la teoría de la cromodinámica cuántica sea no Abeliana (no conmutativa). ado que los gluones tienen carga entonces pueden interactuar gluones con gluones, esto hace que la teoría sea no lineal y la imposibilidad de gluones libres.
+El fotón no posee carga eléctrica, el gluón por el contrario sí tiene carga de color, tiene una carga bicolor de color y anti-color, por ejemplo $r\bar{b}$ o $\bar{g}r$. Esto implica que la teoría de la cromodinámica cuántica sea no Abeliana (no conmutativa). Dado que los gluones tienen carga entonces pueden interactuar gluones con gluones, esto hace que la teoría sea no lineal y la imposibilidad de gluones libres.
 		
 Que el gluón sea cargado provoca que en las interacciones fuertes haya cambio de color entre cuarks y gluones (nunca cambio de sabor). El confinamiento de color provoca que ninguna partícula con carga de color pueda existir libremente, es decir, los cuarks y gluones no pueden existir libres, deben estar confinados en un hadrón sin color.
 		
@@ -611,7 +611,7 @@ Experimentalmente nunca se han visto partículas del tipo cuark-cuark o cuar-cua
 		
 \subsubsection*{Cuarks}
 		
-Al analizar las anomalos momentos magnéticos de protones y neutrones se pensó que tenían una estructura interna, para explicar este fenómeno se propuso (Gell-Mann y Zweig en 1964) la composición de cuarks de los hadrones. A finales de la decada de los sesentas en el SLAC al estudiar la dispersión de electrones en núcleos ligeros aparecieron espectros que se podían explicar si protones y neutrones estaban formados por partículas con cargas de $-e/3$ y $2e/3$ (Frieman, Kendall y Taylor). Se deduja la existencia de partículas puntuales, llamadas cuarks o partones.
+Al analizar las anomalías en los momentos magnéticos de protones y neutrones se pensó que tenían una estructura interna, para explicar este fenómeno se propuso (Gell-Mann y Zweig en 1964) la composición de cuarks de los hadrones. A finales de la decada de los sesentas, en el \emph{SLAC}\footnote{\emph{Stanford Linear Accelerator Center}, ahora Laboratorio Nacional de Aceleradores en los Estados Unidos}, al estudiar la dispersión de electrones en núcleos ligeros aparecieron espectros que se podían explicar si protones y neutrones estaban formados por partículas con cargas de $-e/3$ y $2e/3$ (Frieman, Kendall y Taylor). Se deduja la existencia de partículas puntuales, llamadas cuarks o partones.
 		
 \begin{equation}
   \begin{pmatrix}
@@ -637,11 +637,11 @@ Si en este punto hemos visto que con el cuark $s$ se forman nuevas partículas,
 
 Por otra parte los bariones al ser fermiones requieren ser formados por un número impar de cuarks, las propiedades se ajustan a que baste con tres cuarks en su composición.
 		
-Ya hemos visto algunos ejemplos, sólo faltaría mencionar que de asignarle un número bariónico a cada cuark sería como hemos mencionado antes fraccionario y de signo contrario para anticuarks, pero esto es un derivado de asociar número bariónico a la partícula conjunta.
+Ya hemos visto algunos ejemplos, sólo faltaría mencionar que de asignarle un número bariónico a cada cuark sería como hemos mencionado antes fraccionario y de signo contrario para anti-cuarks, pero esto es un derivado de asociar número bariónico a la partícula conjunta.
 		
 \subsubsection*{Necesidad de color}
 		
-Hay un barión muy peculiar, el $\Delta^{++}$, no tiene extrañeza asociada (no tien un cuark $s$ en su constitución), su carga es de $2e$ y su espín de $3/2$. Estas propieddes se pueden ver ya que está constituido como:
+Hay un barión muy peculiar, el $\Delta^{++}$, no tiene extrañeza asociada (no tiene un cuark $s$ en su constitución), su carga es de $2e$ y su espín de $3/2$. Estas propiedades se pueden ver ya que está constituido como:
 		
 \begin{equation*}
   \Delta^{++} = uuu.
@@ -673,16 +673,86 @@ De igual forma explica la existencia del barión
 \end{equation*}
 		
 \subsubsection*{Valencia y mar de cuarks en hadrones}
-El modelo de cuarks en bariones y mesones debemos pensarlo como cuarks de valencia, en realidad los hadrones tienen muchos más cuark constituyéndolos (un mar de cuarks), que por su disposición se van acoplando y al final aportan poco o casi nada salvo a la masa al hadrón. Los cuarks que dan sus caracteristicas a cada hadrón son los de valencia, de forma similar a como los electrones de valencia dan muchas de las caractrística del átomo, sobre todo externas.
+El modelo de cuarks en bariones y mesones debemos pensarlo como cuarks de valencia, en realidad los hadrones tienen muchos más cuarks constituyéndolos (un mar de cuarks), que por su disposición se van acoplando y al final aportan poco o casi nada salvo a la masa al hadrón. Los cuarks que dan sus características a cada hadrón son los de valencia, de forma similar a como los electrones de valencia dan muchas de las característica del átomo, sobre todo externas.
 		
 Así los bariones son caracterizados por tres cuarks de valencia y los mesones por dos cuarks de valencia. El contenido interior queda amurallado por acoplamientos en espín y color; en ese mar también hay dispersos gluones pero no hay gluones de valencia.
 		
-Por sus carcteristicas de color los gluones, aunque no pueden estar sólos, si pueden unirse con otros gluones y formar \emph{glueballs} (en español las traducen como bolas de gluones). Teóricamente puede existir, hay una evidenci que apunta a su existencia pero aún no podemos decir que exista.
+Por sus características de color los gluones, aunque no pueden estar sólos, si pueden unirse con otros gluones y formar \emph{glueballs} (en español las traducen como bolas de gluones). Teóricamente puede existir, hay una evidencia que apunta a su existencia pero aún no podemos decir que exista.
 		
-De igual forma otros de esos animales imaginarios en el zoologico de partículas son los mesones formados por dos pares cuark-anticuark o mesones híbridos con un par cuark-anticuark y un gluón. La teoría no impide que existan, pero no se han encontrado, de enciontrarse quizá sea abran más preguntas en otras áreas.
+De igual forma otros de esos animales imaginarios en el zoológico de partículas son los mesones formados por dos pares cuark-anticuark o mesones híbridos con un par cuark-anticuark y un gluón. La teoría no impide que existan, pero no se han encontrado, de encontrarse quizá sea abran más preguntas en otras áreas.
 		
-El pentaquark es otra de esas posibles partículas hadrónicas, que se dice detectada en algunos experimentos, pero no se han podido reproducir. Tienen cinco cuarks de valencia, tres muy similares a los de un barión, y un par cuark anticuark. Hay estudiso muy recientes en esta área que apuntan a su existencia, esta es una parte del curso que necesitará su actualización de un momento a otro. 
-	
+El pentaquark es otra de esas posibles partículas hadrónicas, que se dice detectada en algunos experimentos, pero no se han podido reproducir. Tienen cinco cuarks de valencia, tres muy similares a los de un barión, y un par cuark anticuark. Hay estudios muy recientes en esta área que apuntan a su existencia, esta es una parte del curso que necesitará su actualización de un momento a otro. 
+
+\section*{Invariancia de norma y mecanismo de Higgs}
+
+Se cree que todas las fuerzas pueden expresarse como teorías de norma, que a su vez son invariantes con respecto a la norma. Es un hecho que todas las teorías de campo para fuerzas básicas son teorías de norma. La conservación de carga, que es una conservación aditiva, es derivada de una invariancia ante una transformación global de norma, pero al agregar la dependencia para una carga no estática la ecuación de Schrödinger sigue siendo invariante incluso para una transformación local de norma. Si recuerdan esta invariancia se asocia a la libertad parcial de elegir el potencial electromagnético.
+
+LA invariancia de norma dicta la forma de la interacción y campos vectoriales sin masa. Para que la ecuación de Shrödinger se mantenga invariante ante transformaciones de norma requiere de un potencial vectorial $(A_0,mathbf{A})$. Para verlo más claro para una transformación de norma local se define una norma covariante (derivacione covariantes):
+
+\begin{align}
+  D_{\mu}=& (D_0,\mathbf{D})\\
+  D_0 =& \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t} + \frac{iqA_0}{\hbar c}\\
+  \mathbf{D} =& \nabla - \frac{iq\mathbf{A}}{\hbar c}
+\end{align}
+
+En principio estas nuevas derivadas deben mantener la invariancia. Consideramos las ecuaciones de movimiento para los campos vectoriales
+
+\begin{align*}
+  \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 A_0}{\partial t^2} -\nabla A_0 =& \rho = \psi^* q \psi \\
+  \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 A_i}{\partial t^2} -\nabla A_i =& \frac{j_i}{c} = \psi^* \frac{q\vec{v}_i}{c} \psi
+\end{align*}
+
+Estas ecuaciones son invariantes bajo la transformación de norma si se impone la condición:
+
+\begin{equation}
+  \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\epsilon(\vec{x},t)}{\partial t^2} - \nabla^2 \epsilon(\vec{x},t) = 0
+\end{equation}
+
+No los voy a marear con todo el desarrollo, pero lo relevante de esto es que al final aparece que esta invariancia de toda la teoría ante las transformaciones de norma sólo sucede sí los bosones de norma no tienen masa.
+
+De esta invariancia local se extiende a la invariancia global, por ello podemos decir que la fase en una función de onda siempre es arbitraria, pero debe ser la misma fase en todos los puntos del espacio tiempo. Por ello estos potenciales vectoriales obtienen una realidad física en la teoría cuántica. Y hay una comprobación experimental de este efecto.
+
+\subsection{El efecto Aharanov-Bohm}
+
+En ausencia de campo electromagnético la ecuación de onda estacionaria no relativista es:
+
+\begin{equation}
+  -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi_0 = E\psi_0,
+\end{equation}
+
+\noindent cuya solución es una onda plana con una fase dada por $\vec{p}\cdot\vec{x}/\hbar$, $\psi_0=exp(\frac{i\vec{p}\cdot\vec{x}}{\hbar})$.
+
+En presencia de un campo vectorial electromagnético estático, la ecuación estacionaria de Schrödinger se vuelve:
+
+\begin{equation}
+  -\frac{\hbar^2}{2m}\mathbf{D}^2\psi= -\frac{\hbar^2}{2m} \left( \nabla + \frac{ie\mathbf{A}(\vec{x})}{\hbar c}\right)^2 \psi
+\end{equation}
+
+\begin{figure}[ht!]
+  \begin{center}
+    \includegraphics[width=0.5\linewidth]{bohm_aharanov.jpg}
+    \caption{Imagen del experomento de Aharanov-Bohm. Imagen con licencia CC-BY-SA toma de wikipedia}
+    \label{fig:bohm}
+  \end{center}
+\end{figure}
+
+Imaginemos un experimento donde un haz de electrones se hace pasar por dos rendijas creando nuestro ya conocido patrón de difracción. Pero una vez que salen de la rendija se encuentran con un selenoide con campo magnético $\vec{B}(I)$. Lo que se verá en el patrón de difracción es que con el cambio de la corriente el patrón cambiará, porque las fases dependen del potencial vectorial $\vec{A}$.
+
+\subsection{Invariancia de norma y teorías no abelianas}
+
+?`Qué sucede para el campo débil, donde los bosones de norma pueden tener carga y además masa? Se propone un potencial vectorial con grados de libertad internos. Esto puede darnos algunas propiedades que buscamos en la teoría, pero sigue sin ser invariante de norma.
+
+Lo mismo sucede con la cromodinámica cuántica, que aunque el bosón mediador no tiene masa sí tiene carga. 
+
+De quedarse así habría montones de problemas para el desarrollo de la teoría, lo que se propone es un rompimiento espontáneo de las simetrías.
+
+\subsection{Mecanismo de Higgs}
+
+Hay dos tipos de rompimiento de simetría, uno es como el caso del isoespín, donde es una \textit{simetría aproximada} que se rompe para interacciones débiles y electromagnéticas, pero si nos quedamos con la parte de interacción fuerte del hamiltoniano no parece romperse nada. El otro tipo es el \textit{rompimiento espontáneo de simetría}, donde el Hamiltoniano completo si mantiene la simetría, pero el estado base la rompe esto sucede si el estado base del hamiltoniano es degenerado. Elegir un estado de estos sobre los demás rompe la simetría. Un ejemplo es el ferromagneto, el hamiltoniano que lo describe es invariante rotacionalmente, pero al darnos cuenta que los espines del ferromagneto podrían apuntar en cualquier dirección y que en la realidad están alienados, la simetría se rompe. A esto se le llama una simetría escondida.
+
+
+
+
 \begin{thebibliography}{10}
 \bibitem{Henley}Henley, Ernest M., García, Alejandro ``Subatomic Physics'', Tercera edición, World Scientific Publishing Co., 2007.
 \bibitem{DasFerbel}Das, A., Ferbel, T. ``Introduction to Nuclear and Particle Physics'', Segunda edición, World Scientific Publishing Co., 2003.	

pres4.tex

@@ -510,31 +510,102 @@
   \end{itemize}
 \end{frame}
 
-\begin{frame}
+\begin{frame}{Invariancia de norma}
+  \begin{itemize}
+  \item Todas las fuerzas pueden expresarse como teorías de norma
+  \item Son invariantes ante la transformación de norma
+  \item La conservación de carga (conservación aditiva) es invariante ante una transformación global
+  \item AL agregar la dependencia para una carga no estática se mantiene la invariancia incluso en transformación local.
+  \end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Invariancia de norma - Grados de libertad}
+  \begin{itemize}
+  \item Libertad parcial de elegir el potencial electromagnético
+  \item Parecía una teoría con cabos sueltos, o sólo una peculiaridad matemática
+  \item La invariancia de norma dicta la forma d ela interacción y los campos vectoriales sin masa.
+  \end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Potenciales vectoriales y normas covariantes}
+  $(A_0,\mathbf{A})$
+  \begin{align}
+    D_{\mu}=& (D_0,\mathbf{D})\\
+    D_0 =& \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t} + \frac{iqA_0}{\hbar c}\\
+    \mathbf{D} =& \nabla - \frac{iq\mathbf{A}}{\hbar c}
+  \end{align}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Movimiento de los campos vectoriales}
+  \begin{align*}
+    \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 A_0}{\partial t^2} -\nabla A_0 =& \rho = \psi^* q \psi \\
+    \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 A_i}{\partial t^2} -\nabla A_i =& \frac{j_i}{c} = \psi^* \frac{q\vec{v}_i}{c} \psi
+  \end{align*}
+  Con la condición para su invariancia de norma:
   \begin{equation}
-    \begin{pmatrix}
-      d' \\
-      s' \\
-      b'
-    \end{pmatrix} = 
-    \begin{pmatrix}
-      V_{ud} & V_{us} & V_{ub} \\
-      V_{cd} & V_{cs} & V_{cb} \\
-      V_{td} & V_{ts} & V_{tb}
-    \end{pmatrix} 
-    \begin{pmatrix}
-      d \\
-      s \\
-      b
-    \end{pmatrix}
+    \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\epsilon(\vec{x},t)}{\partial t^2} - \nabla^2 \epsilon(\vec{x},t) = 0
   \end{equation}
 \end{frame}
 
+\begin{frame}{Bosones sin masa}
+  \begin{itemize}
+  \item Aparece la necesidad de que los bosones de norma no tengan masa
+  \item La invariancia local se extiende a la global
+  \item La fase en una función de onda es arbitraria
+  \item Pero siempre debe ser la misma fase en todos los puntos del espacio tiempo.
+  \end{itemize}
+\end{frame}
 
+\begin{frame}{Sentido físico de los potenciales vectoriales}
+  \begin{itemize}
+  \item Aparece en la teoría cuántica
+  \end{itemize}
+  
+  En ausencia de campo electromagnético, la ecuación estacionaria de Schrödinger:
+  \begin{equation}
+    -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi_0 = E\psi_0,
+  \end{equation}
+\end{frame}
 
+\begin{frame}{Ecuación de Schrödinger con campo vectorial electromagnético estático}
+  \begin{equation}
+    -\frac{\hbar^2}{2m}\mathbf{D}^2\psi= -\frac{\hbar^2}{2m} \left( \nabla + \frac{ie\mathbf{A}(\vec{x})}{\hbar c}\right)^2 \psi
+  \end{equation}
+  \begin{figure}[ht!]
+    \begin{center}
+      \includegraphics[width=0.5\linewidth]{bohm_aharanov.jpg}
+      \caption{Imagen del experomento de Aharanov-Bohm. Imagen con licencia CC-BY-SA toma de wikipedia}
+      \label{fig:bohm}
+    \end{center}
+  \end{figure}
+\end{frame}
 
+\begin{frame}{Invariancia de norma y teorías no abelianas}
+  \begin{itemize}
+  \item La invariancia pide campos vectoriales sin masa
+  \item Bosones de interacción débil con masa y cargados
+  \item Bosones de interacción fuerte sin masa, pero cargados
+  \item Problemas por ejemplo en teoría de perturbaciones
+  \end{itemize}
+\end{frame}
 
+\begin{frame}{Mecanismo de Higgs}
+  \begin{itemize}
+  \item Rompimiento de simetría aproximada
+  \item Rompimiento de simetría espontáneo
+  \item Simetrías escondidas por ejemplo en los ferromagnetos
+  \end{itemize}
+\end{frame}
 
-
+\begin{frame}{Bosón de Higgs}
+  \begin{itemize}
+  \item Campo escalar complejo invariante de norma, $\phi$ y $\phi^*$
+  \item Representan mesones escalares $H^+$ y $H^-$
+    \begin{equation*}
+      \phi = \frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_1 + i \phi_2)
+    \end{equation*}
+    \item Obedecen a la ecuación de Klein-Gordon 
+  \end{itemize}
+\end{frame}
 
 \end{document}