notas-fnys/pres5.tex

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\author{Física Nuclear y subnuclear }
\title{Experimentos en física de partículas y nuclear}
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\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

%\begin{frame}{Contenido}
%	\tableofcontents
%\end{frame}
\section*{Paso de partículas a través de la materia}
\begin{frame}{Partículas cargadas}
  \begin{itemize}
  \item Interacción coulombiana
  \item Electrones o el núcleo
  \item Depositando energía
  \item Sufriendo dispersiones
  \end{itemize}
\end{frame}
	
\begin{frame}{Partículas cargadas}
	
  \begin{figure}[ht!]
    \begin{center}
      \includegraphics[width=0.7\linewidth]{frenamiento.png}
      \caption{Esquema del paso de partículas a través de la materia}
      \label{fig:frena}
    \end{center}
  \end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Distribución}
  \begin{itemize}
  \item Suceden múltiples y pequeñas dispersiones
  \item Tenemos una distribución en energía y ángulo para las prtículas que salen. 
  \item Rango $R_0$
  \end{itemize}
  Grosor
  \begin{equation}
    x_{\rho} = x\rho [gr/cm^2]
  \end{equation}
\end{frame}
	
\begin{frame}{Detenciones}
  \begin{itemize}
  \item Una fracción sale, otra es ``atrapada''
  \item Camino libre medio
  \end{itemize}
  \begin{align*}
    dN =& -N(x)\mu dx \\
    N(x)=& N(0)e^{-\mu x},
  \end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}{Partículas cargadas pesadas}
  \begin{itemize}
  \item Colisiones inelásticas con los electrones (las más)
  \item Colisiones elásticas con el núcleo (las menos)
  \item Otros procesos posibles
    \begin{itemize}
    \item Radiación Cherenkov
    \item Reacciones nucleares
    \item Bremsstrahlung
    \end{itemize}
  \end{itemize}  
\end{frame}
	
\begin{frame}{La división}
  \begin{itemize}
  \item Electrones y positrones
  \item El resto de leptones, hadrones y núcleos ligeros
  \item Núcleos pesados
  \end{itemize}  
\end{frame}

\begin{frame}{Poder de frenamiento}
  Pérdidas por ionización
  \begin{figure}[ht!]
    \begin{center}
      \includegraphics[width=0.65\linewidth]{bethe.png}
      \caption{Poder de frenamiento másico para anti-muones en cobre como función de $\beta \gamma = p/Mc$ Tomada de PDG: P.A. Zyla et al. (Particle Data Group), to be published in Prog. Theor. Exp. Phys. 2020, 083C01 (2020).}
      \label{fig:bethe}
    \end{center}
  \end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Bethe-Bloch}
  \begin{equation*}
    W_{max} = \frac{2m_e c^2 \beta^2 \gamma^2}{1 + 2\gamma\frac{m_e}{M}+\left(\frac{m_e}{M}\right)^2}
  \end{equation*}
	
  \begin{align*}
    -\frac{dE}{dx} &= (4\pi N_A r_e^2 m_e c^2) z^2 \frac{Z}{A}\frac{1}{\beta^2} \times \\
    &\left[ \frac{1}{2} ln\left(\frac{2m_e c^2 \beta^2 \gamma^2 W_{max}}{I^2}\right) - \beta^2 -\frac{\delta(\beta \gamma)}{2}\right]
  \end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}{Valores}
  \begin{itemize}
  \item $N_A$, $r_e$, $m_e$ y $c$ $\rightarrow$ $K=4\pi N_A r_e^2 m_e c^2$
  \item $z$ de partícula incidente
  \item $Z$ y $A$ de los núcleos del medio
  \item $\beta$ y $\gamma$ de la partícula incidente
  \item $I$ potencial de ionización
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Ecuación de Bethe-Bloch compacta}
  \begin{equation}
    -\frac{dE}{dx} = K z^2 \frac{Z}{A}\frac{1}{\beta^2}\left[ ln\left(\frac{2m_e c^2 \beta^2 \gamma^2}{I}\right) - \beta^2 - \frac{\delta(\beta \gamma)}{2}\right]
  \end{equation}
	
  \begin{equation*}
    K= 0.3071\ MeV mol^{-1}cm^2
  \end{equation*}
	
  \begin{equation*}
    K/A= 0.3071\ MeV gr^{-1} cm^2\ (\text{con } A=1 gr/mol)
  \end{equation*}	

\end{frame}
	

\begin{frame}{Pérdida de energía total}

  \begin{equation*}
    \Delta E_{perdida} = -\rho \int_0^d \frac{dE}{dx} dx
  \end{equation*}

\end{frame}

\begin{frame}{Un ejercicio}
  \begin{itemize}
  \item \textbf{Qué distancia recorre un protón de $10GeV$ de energía cinética en una barra de plomo de bastante grosor.}
  \end{itemize}
  \begin{align*}
    \rho_{Pb}=& 11.34 \frac{gr}{cm^3} \\
    m_p =& 0.938GeV/c^2
  \end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}{Obteniendo valores relativistas I}
  \begin{align*}
    \gamma=& \frac{E_T}{E_R} \\
    =& \frac{E_K+E_R}{E_R} \text{ ya que }E_T=E_K+E_r \\
    =& \frac{E_k+m_pc^2}{m_pc^2} \text{ para el protón }E_R=M_pc^2 \\
    =& \frac{E_k}{m_pc^2}+1 \text{ distribuyendo la fracción} \\
    =& \frac{10GeV}{0.938GeV}+1 = \mathbf{10.6609}.
  \end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}{Obteniendo valores relativistas II}
  Para obtener $\beta=0.9963$
  \begin{equation*}
    \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}.
  \end{equation*}
\end{frame}

\begin{frame}{Calculamos la pérdida}
  \begin{align*}
    -\left\langle\frac{dE}{dx}\right\rangle = -0.3071& \frac{MeVcm^2}{gr}\ (1)^2 \frac{82}{207}\frac{1}{(0.9963)^2} \\
    &\left[ ln\left(\frac{2(5.11e5 eV/c^2) c^2 (0.9963)^2 (11.6609)^2}{820eV}\right) - (0.9963)^2 \right]
    \label{ec:bethe2fi}
  \end{align*}
  \begin{equation*}
    ln\left(\frac{2(5.11e5 eV/c^2) c^2 (0.9963)^2 (11.6609)^2}{820eV}\right) = 12.033
  \end{equation*}
  El resto
  \begin{align*}
  -\left\langle\frac{dE}{dx}\right\rangle =& -0.3071 \frac{MeVcm^2}{gr}\ (1)^2 \frac{82}{207}\frac{1}{(0.9963)^2} \left[12.033-0.9963^2 \right] \\
  =& -1.35309 \frac{MeVcm^2}{gr}
\end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}{Últimos detalles}
  \begin{equation*}
    \rho \left\langle\frac{dE}{dx}\right\rangle = (11.34\frac{gr}{cm^3})(1.3531\frac{MeVcm^2}{gr})=15.3441\frac{MeV}{cm} 
  \end{equation*}

  \begin{align*}
    R =& \int_{E_0}^0 \frac{dE}{\left\langle \frac{dE}{dx} \right\rangle}=\int_{10GeV}^0 \frac{dE}{15.3441\frac{MeV}{cm}}\\
    =& \frac{1}{15.3441\frac{MeV}{cm}}\int_{10GeV}^0 dE = \frac{1}{15.3441\frac{MeV}{cm}} (10GeV) \\
    =& \frac{10000 MeV}{15.3441\frac{MeV}{cm}} = 651.7162 cm = 6.5171 m.
  \end{align*}
  
\end{frame}

\begin{frame}{Dispersión múltiple: ángulos pequeños}
  \begin{equation}
    \theta_0 = \theta_{plano}^{rms} = \frac{1}{\sqrt{2}} \theta_{espacio}^{rms}
  \end{equation}
	
  \begin{equation}
    \theta_0 = \frac{13.6 MeV}{\beta c p} z \sqrt{\frac{x}{X_0}}\left[ 1 + 0.038 ln \left( \frac{x}{X_0} \right) \right]
  \end{equation}

\end{frame}

\begin{frame}{Longitud de radiación}
  \begin{itemize}
  \item La distancia para la cual la energía del electrón se reduce en $1/e$
  \item $7/9$ del camino libre medio de fotones para producción de pares
  \end{itemize}
	
  \begin{equation*}
    X_0 = 716.4\ \frac{gr}{cm^2} \frac{A}{Z(Z+1)ln\left({\frac{287}{\sqrt{Z}}}\right)}
  \end{equation*}

\end{frame}

\begin{frame}{Radiación Cherenkov}
  \begin{figure}[ht!]
    \begin{center}
      \includegraphics[width=0.3\linewidth]{cherenkov.jpg}
      \caption{Cono de luz de Cherenkov. Imagen de dominio público realizada por Pieter Kuiper, tomada de \url{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cherenkov2.svg}.}
      \label{fig:cherenkov}
    \end{center}
  \end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Cono de luz Cherenkov}
  \begin{equation*}
    v=\beta c = \frac{c}{n},
  \end{equation*}
  \begin{equation*}
    v_{part} > \frac{c}{n}.
  \end{equation*}
  \begin{equation}
    cos \theta_C = \frac{1}{\beta n}
    \label{cos:chen}
  \end{equation}
  Pérdida de energía $\approx 500eV/cm$.
\end{frame}

\begin{frame}{Ejercicio}
  \textbf{Ejercicio:} ¿Qué ángulo forma el cono de luz Cherenkov para protones con una energía cinética de $1GeV$ que entra a agua (índice de refracción $n=1.333$)?
  \begin{align*}
    \gamma =& \frac{E_T}{E_R}=\frac{E_K}{E_r}+1 \\
    =& \frac{E_K}{m_{p}c^2}+1 = \frac{1GeV}{0.938GeV}+1 \\
    =& 2.06609,
  \end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}{Ejercicio II}
  \begin{align*}
    \beta =& \sqrt{\frac{\gamma^2 - 1}{\gamma^2}} = \sqrt{\frac{(2.06609)^2 - 1}{(2.06609)^2}} \\
    =& 0.87506
  \end{align*}
  Sustituimos, con $n=1.333$
  \begin{equation*}
    cos\theta_c = \frac{1}{\beta n}=\frac{1}{(0.87506)(1.333)} =0.8572
  \end{equation*}
  Obtenemos el ángulo
  \begin{equation*}
    \theta_c = cos^{-1}(\frac{1}{\beta n}) = cos^{-1}(0.8572) = \mathbf{30.99^{\circ}} 
  \end{equation*}
\end{frame}

\begin{frame}{Partículas cargadas ligeras}
  Pérdidas de energía por radiación son las más por encima de:
  \begin{equation}
    E_c \approx \frac{600 MeV}{Z}
    \label{e:cort}
  \end{equation}
  Para $N$, $Z=7$, entonces $E_c= 85.71 MeV$ 
\end{frame}

\begin{frame}{Corrección a Bethe-Bloch}
  \begin{align*}
    -\left\langle\frac{dE}{dx}\right\rangle =& (4\pi N_A r_e^2 m_e c^2) \frac{Z}{A}\frac{1}{\beta^2} \times \\
    & \times \left[ \frac{1}{2} ln\left(\frac{\tau (\tau+2)}{2(I/m_e c^2)^2}\right) + F(\tau) - \frac{\delta(\beta \gamma)}{2}\right],
    \label{ec:bethe_e}
  \end{align*}
  \noindent donde $\tau$ es la razón $E_K/m_ec^2$ y
  \begin{align*}
    F(\tau)= 1-\beta^2 + \frac{\tau^2/8 - (2\tau +1)ln(2)}{(\tau+1)^2} &\text{ para } e^- \\
    F(\tau)= 2ln(2)-\frac{\beta^2}{12}\left( 23+\frac{14}{\tau+2} +\frac{10}{(\tau+2)^2+\frac{4}{(\tau+2)^3}}  \right)  &\text{ para } e^+
  \end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}{Radiación \textit{bremsstrahlung}}
  Para electrones/positrones
  \begin{equation*}
    \sigma_{b}\propto r_e^2=(e^2/m_ec^2)^2
  \end{equation*}
  Las pérdidas por radiación para un $\mu^-\sim 40000$ veces menor\\
  Además
  \begin{itemize}
  \item Radiación sincrotrón
  \item Radiación ciclotrón
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Pérdidas por radiación en electrones/positrones}
  Bethe y Heitler hacen el tratamiento cuántico
  \begin{equation}
    N(\omega)d\omega \propto Z^2\frac{d\omega}{\omega}
  \end{equation}
  \begin{itemize}
  \item Pierde fracción $1/e$ de su energía en $X_0$
  \end{itemize}
  \begin{equation}
    -\left( \frac{dE}{dx}\right) \approx \frac{E}{X_0} \text{, es decir } E=E_0e^{-x/X_0}
  \end{equation}
  ¿Se procede igual? No es tan fácil.
\end{frame}

\begin{frame}{Fotones}
  \begin{itemize}
  \item Efecto fotoeléctrico
  \item Efecto Compton
  \item Producciones de pares ($E>2m_e c^2$)
  \end{itemize}
	
\end{frame}

\begin{frame}{Efecto fotoeléctrico}
  \begin{equation*}
    T_e = h\nu -I_B
  \end{equation*}
  \begin{figure}[ht!]
    \begin{center}
      \includegraphics[width=0.4\linewidth]{fotoelectrico.jpg}
      \caption{Diagrama del efecto fotoeléctrico. Imagen dePonor, licencia CC BY-SA 4.0 \url{https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0}, a través de Wikimedia Commons}
      \label{fig:foto}
    \end{center}
  \end{figure}      
\end{frame}

\begin{frame}{Dispersión de Compton}

\begin{figure}[ht!]
  \begin{center}
    \includegraphics[width=0.7\linewidth]{compton.png}
    \caption{Dispersión de Compton, el fotón es marcado por $\lambda = 1/\nu$. Imagen tomada de This file is licensed under the Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported license.}
    \label{fig:frena}
  \end{center}
\end{figure}

\end{frame}

\begin{frame}{Relaciones dispersión de Compton}
  
  \begin{equation}
    h\nu'=\frac{h\nu}{1+\gamma (1-cos\theta)},
  \end{equation}
	 
  \begin{equation*}
    T_e = h\nu - h\nu'= h\nu \frac{\gamma (1-cos\theta)}{1+\gamma (1-cos\theta)}
  \end{equation*}
  Límite de Compton
  \begin{equation}
    T_{max} = h\nu \left( \frac{2\gamma}{1+2\gamma} \right)
  \end{equation}

\end{frame}

\begin{frame}{Producción de pares}

  \begin{itemize}
  \item Fotón crea un par electrón-positrón
  \item Solo puede suceder dentro del medio
  \item Conservación de la energía y el momento
  \item Mínimo de energía de $2m_ec^2$
  \end{itemize}

\end{frame}

\begin{frame}{Camino libre medio para producción de pares}
  \begin{equation*}
    X_{pares} = \mu_{pares}^{-1} \approx \frac{9}{7} X_0
  \end{equation*}
  
  ?`Qué sucede con el positrón después?
	
\end{frame}

\begin{frame}{Coeficiente de absorción}
  \begin{equation*}
    \mu = n\sigma
  \end{equation*}
\end{frame}

\begin{frame}{Cascadas electromagnéticas}
  \begin{figure}
    \begin{center}
      \begin{tikzpicture}
        [
          level 1/.style = {sibling distance = 10cm, level distance = 0.8cm}
          level 2/.style = {sibling distance = 2cm, level distance = 0.8cm}
          level 3/.style = {sibling distance = 1cm, level distance = 0.8cm}
        ] 
        \node {$\gamma$}
        child {node {$e^-$}
          child {node{$\gamma$}
            child {node{$e^-$}}
            child{node{$e^+$}}
            child[missing]}
          child {node{$e^-$}
            child[missing]
            child {node{$\gamma$}}
            child{node{$e^-$}}
            child[missing]}}
        child [missing]
        child {node{$e^+$}
          child{node{$e^+$}
            child[missing]
            child{node{$e^+$}}
            child{node{$\gamma$}}
            child[missing]}
          child{node{$\gamma$}
            child[missing]
            child{node{$e^-$}}
            child{node{$e^+$}}}};
        
      \end{tikzpicture}
      \caption{Árbol de generación en una cascada electromagnética.}
      \label{fig:tree1}
    \end{center}
  \end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Analizando la figura}
  \begin{itemize}
  \item La distancia entre padre e hijo es una $X_0$
  \item Suponemos cada partícula hija se lleva $E_0/2$
  \item Tras $t$ longitudes de radiación:
    \begin{itemize}
    \item $2^t$ partículas
    \item $E(t)\approx \frac{E_0}{2^t}$
    \end{itemize}
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Máxima profundidad}
  \begin{align*}
    E(t_{max})= \frac{E_0}{2^{t_{max}}}=E_c, &\text{ despejando,}\\
    2^{t_{max}} = \frac{E_0}{E_c}, &\text{ sacando logaritmo base 2, }\\
    t_{max} = log_2\left(\frac{E_0}{E_c}\right), &\text{ truco para sacarlo}\\
    t_{max} = \frac{ln\left(\frac{E_0}{E_C}\right)}{ln (2)} &\text{ ese sí}.
  \end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}{Cantidad final de partículas}
  \begin{align*}
    N_{max}\approx& 2^{t_{max}} = 2^{log_2(E_0/E_c)}\\
    \approx& \frac{E_0}{E_c}
  \end{align*}
  Apertura de la cascada
  \begin{align*}
    R_M = X_0 \frac{E_S}{E_c}, &\text{ donde} \\
    E_S= m_ec^2\sqrt{\frac{4\pi}{\alpha}} = 21.2 MeV &
  \end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}{Interacciones de neutrones}
  ¿Qué pasa con los neutrones?
  \begin{itemize}
  \item Detectores proporcionales de gas (${}^3He$, ${}^6Li$, ${}^{235}U$)
  \item Centelladores nucleares
  \item Semiconductores
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Lunch nuclear}

  \begin{figure}[ht!]
  \begin{center}
    \includegraphics[width=0.7\linewidth]{Lunch_Nuclear_080324.jpg}
    %\caption{}
    %\label{fig:frena}
  \end{center}
\end{figure}
  
  \begin{itemize}
  \item Sala Ángel Dacal del edificio colisur del IFUNAM
  \item viernes 8 de marzo, 2:00 pm, habrá comida
  \item Invitado Dr. Gustavo Medina Tanco
  \item Física espacial y radiación cósmica
  \end{itemize}
\end{frame}
	
\section*{Detectores}
\begin{frame}{Detectores de ionización}
  \begin{itemize}
  \item Funcionan en el mismo rango de Bethe-Bloch
  \item Se aplica un campo eléctrico
  \item Medio ionizable (bajo potencial de ionización) y químicamente estable (no recombina rápido)
  \item Eletrodos: ánodo y cátodo
  \end{itemize}
	
\end{frame}

\begin{frame}{Detectores de ionización }
  \begin{figure}[ht!]
    \begin{center}
      \includegraphics[width=0.6\linewidth]{regiones.jpg}
      \caption{Regiones de operación de los detectores de ionización. Imagen adaptada de la original de \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/User:Dougsim}{Doug Sim} con licencia  \href{https://en.wikipedia.org/wiki/en:Creative_Commons}{Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported}}
      \label{fig:region}
    \end{center}
  \end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Contadores de ionización}
  \begin{itemize}
  \item En la región de ionización
  \item Poco sensible a los cambios de voltaje
  \item Sin amplificación
  \item Requiere filtros
  \item Respuesta rápida
  \end{itemize}
  \begin{equation*}
    E=\frac{V}{d} \text{ placas planas, } E = \frac{V}{rln(\frac{r_c}{r_a})} 
  \end{equation*}
\end{frame}

\begin{frame}{Contadores proporcionales}
  \begin{itemize}
  \item Región proporcional
  \item Campos eléctricos intensos $\sim 10^4 V/cm$
  \item Hay amplificación $\sim 10^5$
  \item Cerca del ánodo sucede la \emph{avalancha de Townsend}
  \end{itemize}	
\end{frame}



\begin{frame}{Cámaras multilámbricas}
  \begin{itemize}
  \item Diseñadas por George Charpak en 1968
  \item Alambres de $10-50 \mu m$ separados por $2mm.$
  \item Cátodos a $1cm$ por encima y debajo
  \item Resoluciones espaciales $\approx 50-200 \mu m$
  \item Resoluciones tmeporales $\approx 2ns$
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Cámara multialámbrica}
  \begin{figure}
    \begin{center}
      \includegraphics[width=0.4\linewidth]{mwpc.png}
      \caption{Líneas de campo en cámara multialámbrica. This file is licensed under the Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported license.}
      \label{fig:frena}
    \end{center}
  \end{figure} 
\end{frame}

\begin{frame}{Cámaras de deriva}
  \begin{itemize}
  \item Similar a la cámara multialámbrica, su heredera
  \item Resolución espacial y temporal
  \item Alambres adicionales para asegurar un voltaje constante
  \item Los electrones sufren una deriva
    \item Cámara Jet en DESY
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{TPC}
  \begin{itemize}
  \item Time Projection Chambers
  \item Barril cilíndrico alrededor de la tubería del haz en un acelerador
  \item En cada orilla de la cámara hay capas de contadores proporcionales
  \item Un campo Magnético paralelo y anti-paralelo al campo eléctrico
  \item La deriva es helicoidal
  \item Microstrip Gas Chambers
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Detector Geiger-Muller}
  \begin{itemize}
  \item Funciona en el límite
  \item Produce una descarga por cada partícula que produce una ionización
  \end{itemize}

\end{frame}


\begin{frame}{Detector Geiger-Müller}
  \begin{figure}
    \begin{center}
      \includegraphics[width=0.5\linewidth]{geiger.jpg}
      \caption{Detector Geiger-Müller. This file is licensed under the Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported license.}
      \label{fig:frena}
    \end{center}
  \end{figure}
\end{frame}


\begin{frame}{Detectores de centelleo}
  \begin{itemize}
  \item Excitaciones de los átomos del material
  \item Al regresar al estado base: emiten un fotón 
  \item Centelladores orgánicos: antraceno, naftaleno
  \item Centelladores inorgánicos: NaI, CsI dopados
  \item $10^4$ fotones/cm.
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{PMT}
  $100-200V$, multiplicaciones de $10^4$ a $10^7$ 
  \begin{figure}[ht!]
    \begin{center}
      \includegraphics[width=0.7\linewidth]{pmt_es.png}
      \caption{Tubo fotomultiplicador. Imagen de \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/User:Wiso}{Wiso} con licencia \href{https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.en}{Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported}}
    \end{center}
  \end{figure}
  ?`Usos de centelladores?
\end{frame}

\begin{frame}{Detector Cherenkov}
  \begin{itemize}
  \item Partículas cargadas, pero el proceso no es ionización
  \item Viaja más rápido que la luz \emph{en el medio} $v>c/n$ o $\beta>1/n$.
  \item $\cos\theta_c = \frac{1}{\beta n}$
  \item $213$ fotones/cm
  \item Ring-image Cherenkov
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Detectores semiconductores}
  \begin{itemize}
  \item Semiconductores: electrones de valencia a electrones de conducción
  \item Detectores de ionización pero electrón-hoyo en lugar de electrón-ión
  \item De germanio o silicio
  \item Para producir un par: $3-4eV$. Ionización 10 veces más, centelleo 100 veces más.
  \item $200-300 \mu m$ de grosor
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Calorímetro}
  \begin{itemize}
  \item Las partículas depositan toda su energía cinética
  \item Centelladores, contadores de ionizción o proporcionles
  \item Fotones: producción de pares
  \item Hadrones: procesos fuertes
  \item Problemáticos: neutrinos y $\pi^0$
  \item Precisión relativa en medida de energía $\Delta E /E \approx E^{1/2}$
  \item Resolución temporal $\sim 10-100ns$
  \end{itemize}

\end{frame}
	
\begin{frame}{Aceleradores}
  \begin{figure}[ht!]
    \begin{center}
      \includegraphics[width=0.7\linewidth]{tevatron.jpg}
      \caption{Foto del Tevatrón en Fermilab. Imagen de Fermilab, Reidar Hahn, del dominio público}
    \end{center}
  \end{figure}	
\end{frame}

\begin{frame}{Partículas nuevas}
  \begin{itemize}
  \item De forma natural tenemos poca variedad
  \item Partículas de mayor masa requiere mayor energía
  \item ?`Límite?: posiblemente $\hbar c/G_g\approx 1.22\times 10^20 eV/c^2$
  \end{itemize}

\end{frame}

\begin{frame}{Estudios de estructura}
  \begin{multicols}{2}
    \begin{equation*}
      \lambda = h/p
    \end{equation*}
      
    \begin{equation*}
      \bar{\lambda}= \lambda/2\pi = \hbar/p
    \end{equation*}	
      
    \begin{equation*}
      \bar{\lambda} \leq d,\ p \geq \hbar/d
    \end{equation*}
	 
    \begin{equation*}
      E_{kin} = p^2/2m_p = \hbar^2/2m_p d^2
    \end{equation*}
  
    \begin{equation*}
      \frac{E_{kin}}{m_pc^2} = \frac{1}{2d^2} \left( \frac{\hbar}{m_pc} \right)^2
    \end{equation*}
      
    \begin{align*}
      \bar{\lambda}_p =& \frac{\hbar}{m_pc} = \frac{\hbar c}{m_pc^2}\\ 
      &= \frac{197.3\ MeV\ fm}{938\ MeV} = 0.210\ fm.
    \end{align*}
      
    \begin{align*}
      \frac{E_{kin}}{m_pc^2} =& \frac{1}{2} \left( \frac{\bar{\lambda}_p}{d} \right)^2 = 0.02\\
      E_{kin} =& 0.02 m_pc^2 = 0.02\times 938 MeV
    \end{align*}
\end{multicols}
	
  
\end{frame}

\begin{frame}{Aceleración}
  \begin{itemize}
  \item $E=Fd=q|E|d = qV$
  \end{itemize}
	
  \begin{figure}[ht!]
    \begin{center}
      \includegraphics[width=0.5\linewidth]{catodicos.png}
      \caption{Foto de un cinescopio de televisión. Imagen de JMPerez~commonswiki con licencia  Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported}
    \end{center}
  \end{figure}

\end{frame}

\begin{frame}{Conceptos útiles}
  \begin{multicols}{2}
    \begin{itemize}
    \item \emph{Flujo}: la cantidad de partículas que cruzan un área unitaria perpendicular al eje del haz por unidad de tiempo
    
      \begin{equation}
        \mathcal{F} = n_i v,
      \end{equation}
    
      \begin{equation*}
        dN = \mathcal{F}N\sigma d\Omega
      \end{equation*}

      \begin{equation*}
        \sigma(\theta)d\Omega = d\sigma(\theta) \Rightarrow \sigma (\theta) = \frac{d\sigma (\theta)}{d\Omega}
      \end{equation*}
	 
    \item \emph{Luminosidad}: la cantidad de eventos por unidad de sección eficaz que tienen lugar en una sección de encuentro del haz por unidad de tiempo
      
      \begin{equation*}
        \mathcal{L} = \frac{\mathcal{N}_s}{\sigma_{tot}}=\frac{N_1 N_2 f}{A},
      \end{equation*}
	
    \end{itemize}
  \end{multicols}
\end{frame}

\begin{frame}{Generadores elestrostáticos}
  \begin{figure}[ht!]
    \begin{center}
      \includegraphics[width=0.5\linewidth]{vandegraff.jpg}
      \caption{Esquema de un generador Van de Graff. Tomado con fines educativos de Henley}
      \label{fig:vandegraff}
    \end{center}
  \end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Van de Graff}
  \begin{itemize}
  \item Llega a $30-40 MeV$
  \item Más energías con un Van de Graff tandem
  \item Un tandem en el IFUNAM
  \end{itemize}

\end{frame}

\begin{frame}{Acelerdores lineales}
  \begin{figure}[ht!]
    \begin{center}
      \includegraphics[width=0.5\linewidth]{slac.png}
      \caption{Foto del acelerador lineal de Stanford, 3 km de longitud. Imagen de Victor Blacus en dominio público}
    \end{center}
  \end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Linac}
  \begin{figure}[ht!]
    \begin{center}
      \includegraphics[width=0.6\linewidth]{linac.jpg}
      \caption{Esquema de un acelerador lineal. Imagen adaptada de Chetvorno con licencia CC0}
    \end{center}
  \end{figure}
  \begin{itemize}
  \item SLAC acelera electrones hasta $50 GeV$
  \item 3 km de longitud de este acelerador.
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Óptica del haz}
  \begin{itemize}
  \item Lentes magnéticas
  \item Dipolos pueden deflectar
  \item Cuadrupolos lo más parecido a una lente óptica
  \end{itemize}
  \begin{equation*}
    \overrightarrow{F} = q\left( \overrightarrow{E} + \frac{1}{c} \overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B} \right)
  \end{equation*}
\end{frame}

\begin{frame}{Ciclotrón}
  \begin{figure}[ht!]
    \begin{center}
      \includegraphics[width=0.7\linewidth]{ciclotron.png}
      \caption{Esquema de funcionamiento de un ciclotron. Imagen de Ernest O. Lawrence - U.S. Patent 1,948,384, de dominio público}
      \label{fig:ciclotron}
    \end{center}
  \end{figure}
  
\end{frame}

\begin{frame}{Resonancia y energía}
  \begin{equation*}
    \frac{v}{r} = \frac{qB}{m} 
  \end{equation*}
  
  \begin{equation*}
    \omega = \frac{v}{r}
  \end{equation*}
  
  \begin{equation*}
    \nu = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{qB}{2\pi m} = \frac{1}{2\pi}\left( \frac{q}{m} \right) B
  \end{equation*}
		
  \begin{align*}
    T_{max}=& \frac{1}{2}mv_{max}^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 R^2 \\
    =& \frac{1}{2} m \left( \frac{qB}{m} \right)^2 R^2 = \frac{(qBR)^2}{2m}
  \end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}{Sincrotrón}
  \begin{figure}[ht!]
    \begin{center}
      \includegraphics[width=0.7\linewidth]{sincrotron.jpg}
      \caption{Modelo de un acelerador sincrotrón. Imagen de EPSIM 3D/JF Santarelli, Synchrotron Soleil}
      \label{fig:ciclotron}
    \end{center}
  \end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Sincrotrón y su necesidad}
  \begin{itemize}
  \item Un \emph{linac} de $1 TeV$ necesitaría $60 km$ (de aquí a Cuernavaca más o menos).
  \item McMillan y Veksler en 1945.
  \item Inyectan partículas con energía $E_i$, momento $\rho_i$ y se sustenta un radio de curvatura $\rho$.
  \item Cavidades $rf$ con frecuencia $\omega$
  \item El radio del anillo $R$ es mayor a $\rho$.
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Análisis}
  \begin{itemize}
  \item $rf$ aún no se enciende.
    \begin{equation*}
      T=\frac{2\pi R}{v} = \frac{2\pi R E_i}{p_ic^2} \text{, ya que } \beta = \frac{pc}{E}
    \end{equation*}
  \item La frecuencia circular
    \begin{equation*}
      \Omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{p_ic^2}{RE_i}
    \end{equation*}
  \item El campo magnético necesario
    \begin{equation*}
      B=\frac{p_ic}{|q|\rho}
    \end{equation*}
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Prendemos el sincrotrón}
  \begin{align*}
    \omega =& k\Omega = \frac{kc}{R}\frac{pc}{E} \overset{E=pc}{\rightarrow} \frac{kc}{R}
  \end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}{Método Monte Carlo}
  \begin{itemize}
  \item Tratamiento estadístico en experimentos
  \item Integración numérica
  \item Optimización
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Áreas por Monte Carlo}
  \begin{figure}[ht!]
    \begin{center}
      \includegraphics[width=0.5\linewidth]{area.png}
      \caption{Ejemplo del cálculo de una área con Montecarlo. Imagen de Mysid Yoderj con licencia  Creative Commons CC0 1.0 Universal Public Domain Dedication}
      \label{fig:ciclotron}
    \end{center}
  \end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Generando a partir de distribución estadística}
  \begin{itemize}
  \item Valores al azar pero bajo cierta distribución
  \end{itemize}
  \begin{figure}[ht!]
    \begin{center}
      \includegraphics[width=0.5\linewidth]{montecarlo1.png}
      \caption{Ejemplo de integración Monte Carlo. Imagen de Femizban con licencia  Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 International}
      \label{fig:ciclotron}
    \end{center}
  \end{figure}
  
\end{frame}

\begin{frame}{Números pseudo-aleatorios}
  \begin{itemize}
  \item Para acercarnos a la naturaleza necesitamos lo más aleatorio
  \item Las computadoras no pueden generar números aleatorios
  \item Mecanismos pseudo-aleatorios
  \item Complementos verdadero-aleatorios
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Un ejemplo}
  \begin{figure}[ht!]
    \begin{center}
      \includegraphics[width=0.7\linewidth]{azarin.jpg}
      \caption{Puntos generados por la fórmula \ref{ec:azar}.}
      \label{fig:azarin}
    \end{center}
  \end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{El código}
  \lstinputlisting[basicstyle=\ttfamily\scriptsize,firstline=1,lastline=16,language=python]{azarin.py}
\end{frame}

\begin{frame}{Algoritmo Mersenne twister}
  \begin{itemize}
  \item Makoto Matsumoto y Takuji Nishimura en 1996, mejora en 2002
  \item Perido: $2^{19937}-1$
  \item Propiedad de equidistribución de $623$-dimensiones\footnote{Una secuencia de números reales es equidistribuida o uniformemente distribuida si la proporción de términos que caen en un subintervalo es proporcional a la longitud de tal subintervalo.}.
  \item Uso eficiente de la memoria, consume sólo un espacio de trabajo de 624 palabras (la implementación en C).
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Uso del algoritmo Mersenne twister}
  \begin{itemize}
  \item Un valor inicial: semilla ($x=1$ en el ejemplo anterior)
  \item Opción con distinto peso: generar uniformemente en $[0,1]$ y dar pesos.
  \end{itemize}
  \lstinputlisting[basicstyle=\ttfamily\scriptsize,firstline=1,lastline=16,language=python]{axarinp.py}
\end{frame}

\begin{frame}{Decaimiento radiactivo}
  Ley de deacímiento
  \begin{equation*}
    N(t)= N(0)2^{-t/\tau},
  \end{equation*}
  Probabilidad de decaimiento
  \begin{equation*}
    p(t)=1-2^{-t/\tau}
  \end{equation*}
  Consideramos $1000$ núcleos de ${}^{208}Tl$
  \begin{itemize}
  \item $\tau_{{}^{208}Tl}=3.053$ minutos
  \item Decae a ${}^{208}Pb$
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Simulemos}
  \begin{itemize}
  \item Generamos uniformemente
  \item si cae entre 0 y $p(t)$ decae, de lo contrario no
  \item Similar al águila o Sol contamos si es ${}^{208}Tl$ o si es ${}^{208}Pb$
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Programa I}
  \lstinputlisting[basicstyle=\ttfamily\scriptsize,firstline=1,lastline=17,language=python]{decaa.py}
\end{frame}

\begin{frame}{Programa II}
  \lstinputlisting[basicstyle=\ttfamily\scriptsize,firstline=17,lastline=37,language=python]{decaa.py}
\end{frame}

\begin{frame}{Resultado}
  \begin{figure}[ht!]
    \begin{center}
      \includegraphics[width=0.7\linewidth]{decay.jpg}
      \caption{Simulación del decaimiento del ${}^{208}Tl$ (azul) en ${}^{208}Pb$ (amarillo).}
      \label{fig:decay}
    \end{center}
  \end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Números aleatorios no uniformes}
  La probabilidad de decaimiento diferencial
  \begin{align*}
    dp=& 1-2^{-dt/\tau} \\
    =& 1-exp(ln(2^{-dt/\tau})) \\
    =& 1-exp(\frac{-dt}{\tau}ln(2)) \\
    =& 1-(1-\frac{dt}{\tau}ln(2)) \text{, aproximando a primer orden la exponencial}\\
    =& \frac{dt}{\tau}ln(2)
  \end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}{Distribución de probabilidad}
  La probabilidad de que un núcleo se mantenga sin decaer tras un tiempo $t$
  \begin{equation}
    P(t)=2^{-t/\tau}\frac{ln(2)}{\tau} dt
  \end{equation}
  Ya no es constante, conforme pasa $t$ cambia
\end{frame}

\begin{frame}{Método de transformación}
  \begin{itemize}
  \item Distribución de probabilidad genera $z$ con pobabilidad $q(x)$
  \item Probabilidad de generar un número entre $z$ y $z+dz$: $q(z)dz$
  \item Función $x=x(z)$, con $p(x)$
  \end{itemize}
  \begin{equation*}
    p(x)dx=q(z)dz
    \label{ec:igual}
  \end{equation*}
\end{frame}

\begin{frame}{Determinar $x(z)$}
  \begin{itemize}
  \item Sea $q(z)$ la distribución uniforme:
    \begin{equation}
      q(z)=
      \begin{cases}
        1 & \text{si } z \in [0,1]\\
        0 & \text{en cualquier otro caso } 
      \end{cases}
    \end{equation}
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Transformando}
  Integramos la igualdad entre las distribuciones
  \begin{equation}
    \int^{x(z)}_{-\infty} p(x')dx' = \int_0^z (1) dz' = z
  \end{equation}
  Por suerte el lado derecho es integrable
  \begin{align*}
    z=& \int^{t(z)}_{-\infty} p(t')dt'\\
    =& \int^{t(z)}_{-\infty} \frac{ln(2)}{\tau}2^{-t'/\tau}dt'\\
    =& ln(2)(1-e^{-t/\tau})
  \end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}{Resultado transformación}
  \begin{equation}
    t= -\tau ln\left( 1-\frac{z}{ln(2)}\right).
  \end{equation}
\end{frame}

\begin{frame}{El programa}
  \lstinputlisting[basicstyle=\ttfamily\scriptsize,firstline=1,lastline=22,language=python]{deca2.py}
\end{frame}

\begin{frame}{Histograma}
  \begin{figure}[ht!]
    \begin{center}
      \includegraphics[width=0.7\linewidth]{decay2.jpg}
      \caption{Simulación del decaimiento del ${}^{208}Tl$, histograma de tiempos.}
      \label{fig:decay2}
    \end{center}
  \end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Distribución Gaussiana}
  \begin{equation*}
    p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}exp\left( -\frac{x^2}{2\sigma^2}\right)
  \end{equation*}
  ¿La podemos integrar?
  \begin{itemize}
    \item Hacemos cambio de variable
  \end{itemize}
  \begin{align*}
    p(x)dx \times p(y)dy =& \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}exp\left( -\frac{x^2}{2\sigma^2}\right)dx \times \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}exp\left( -\frac{y^2}{2\sigma^2}\right)dy \\
    =& \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}exp\left( -\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}\right)dxdy,
  \end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}{En coordenadas polares}
  \begin{align*}
    p(r,\theta)drd\theta =& \frac{1}{2\pi\sigma^2}exp\left(-\frac{r^2}{2\sigma^2}\right)rdrd\theta \\
    =& \frac{r}{\sigma^2}exp\left(-\frac{r^2}{2\sigma^2}\right)dr \times\frac{d\theta}{2\pi}
  \end{align*}
  Se obtienen los generadores
  \begin{align*}
    r=& \sqrt{-2\sigma^2 ln(1-z)} \\
    \theta =& 2\pi z \text{, de ambos se obtiene}\\
    x=& rcos\theta \\
    y=& rsen\theta
  \end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}{Integración Montecarlo}
  \begin{equation*}
    I=\int_0^2 sin^2 \left[ \frac{1}{x(2-x)}\right]dx.
    \label{ec:inte}
  \end{equation*}
  \begin{figure}[ht!]
    \begin{center}
      \includegraphics[width=0.7\linewidth]{inte.jpg}
      \caption{Gráfica de la función a integrar en la ecuación \ref{ec:inte}}
      \label{fig:int}
    \end{center}
  \end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Esquema de la integración}
  \begin{align*}
    \frac{I}{A} \approx& \frac{\#\text{\{puntos que caen en I\}}}{\#\text{\{puntos en total generados\}}} \\
    I \approx& \frac{\#\text{\{puntos que caen en I\}}}{\#\text{\{puntos en total generados\}}}\times A
  \end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}{El programa}
  \lstinputlisting[basicstyle=\ttfamily\scriptsize,firstline=1,lastline=23,language=python]{inte.py}
\end{frame}

\begin{frame}{Paso de partículas a través de la materia}
  \begin{itemize}
  \item Los valores calculados por pedazos
  \item Propagación de la partícula por diversos procesos
  \item Comparación con el experimento
  \end{itemize}
\end{frame}




\end{document}