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\documentclass[12pt]{beamer}
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}
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\author{Física Nuclear y subnuclear }
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\title{Física Nuclear I}
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\begin{document}
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\begin{frame}
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\titlepage
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\end{frame}
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%\begin{frame}{Contenido}
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% \tableofcontents
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|
%\end{frame}
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|
\section*{Física nuclear}
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\begin{frame}{Núcelo atómico}
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\begin{itemize}
|
|
\item Rutherford, Geiger y Marsden descubren el núcleo, piensan que sólo son protones
|
|
\item Tras repetir el experimento se percibe que no sólo son protones
|
|
\item 1932 Chadwick descubre el neutrón
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|
\item El núcleo es un objeto compuesto
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\end{itemize}
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\end{frame}
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\begin{frame}{Curas radiactivas}
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\begin{figure}[ht!]
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\begin{center}
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\includegraphics[width=0.5\linewidth]{revigator.jpg}
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\caption{El revigator, un envase de radón (1912) que es un emisor $\alpha$, tomado del nerdling zine}
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\label{fig:binding}
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\end{center}
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|
\end{figure}
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|
\emph{“Radioactivity prevents insanity, rouses noble emotions, retards old age, and creates a
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|
splendid youthful joyous life.”}
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\end{frame}
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\begin{frame}{Lineamientos}
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\begin{itemize}
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|
\item De 1916 a 1929
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|
\item Un mínimo nivel de radiación aceptado para estos dispositivos.
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|
\item Si la dosis era menor a 2 $\mu$Ci de radón por litro de agua en 24 horas era un fraude.
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|
\item Por suerte ni el Ravigator era así de radiactivo.
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|
\item Sábanas, corsettes, pastillas, cerveza, chocolate, respiradores, supositorios
|
|
\end{itemize}
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\end{frame}
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|
\begin{frame}{Radiación en mi pantalón}
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\begin{figure}[ht!]
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\begin{center}
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|
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{endocrino.jpg}
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|
\caption{Radioendocrinator (1930), tomado del nerdling zine}
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|
\label{fig:binding}
|
|
\end{center}
|
|
\end{figure}
|
|
POr solo 150 dólares, \emph{“which have so masterful a control over life and bodily health.”}
|
|
\end{frame}
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|
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|
\begin{frame}{Una larga vida}
|
|
\begin{figure}[ht!]
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|
\begin{center}
|
|
\includegraphics[width=0.15\linewidth]{radithor.jpg}
|
|
\caption{Radithor (1928), tomado del nerdling zine}
|
|
\label{fig:binding}
|
|
\end{center}
|
|
\end{figure}
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|
William J. Bailey, aseguraba $1\mu Ci$ de radio. Presumía haber bebido más agua irradiada que cualquier otro ser humano, murió en 1949 a los 64 años de cancer de vejiga.
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|
\end{frame}
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|
\begin{frame}{Para el deporte: radiación}
|
|
\begin{itemize}
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|
\item Radithor ``inofensivo en cualquier aspecto''
|
|
\item Eben Byers, indsutrial de Pittsburgh y campeón de golf amateur
|
|
\item Tres botellas de radithor al día
|
|
\item Dejo de tomarlo en 1930 cuando se le empezaron a caer los dientes y le apareció un hoyo en el craneo
|
|
\item Murió en 1932, a los 51 años.
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{frame}
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|
|
|
\begin{frame}{Prohibición}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Tras la muerte de Byers se prohibieron estos productos
|
|
\item Aún en los 50s y 60s muchos de ellos se vendías, barra de uranio para aliviar dolores o base de cigarrilos de radio
|
|
\item En los 80s los deodorizadores sin fin para refrigeradores con Th radiactivo
|
|
\item Aún se vende en Japón
|
|
\end{itemize}
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|
|
\end{frame}
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|
\begin{frame}{Etiquetado}
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|
${}^AX^Z$, ($X=\text{H, C, Mg, U,...}$)
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item \emph{Isótopo}: núcleos con el mismo número de protones pero distinto número de nucleones, ${}^AX^Z$ y ${}^{A'}{X}^{Z}$ son isótopos del núcleo $X$.
|
|
\item \emph{Isóbaros}: núcleos con el mismo número de nucleones pero distinto número de protones, ${}^AX^Z$ y ${}^{A}{X'}^{Z'}$ son isóbaros.
|
|
\item \emph{Isómeros o resonancias}: núcleos exitados a niveles más altos de energía.
|
|
\end{itemize}
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|
\end{frame}
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\begin{frame}{Masa del núcleo}
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$M({}^AX^Z) = M(A,Z) = Zm_p + (A-Z)m_n$
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|
Experimentalmente aparece menos masa
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\begin{equation*}
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|
M(A,Z)< Zm_p + (A-Z)m_n
|
|
\end{equation*}
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|
|
|
\end{frame}
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|
\begin{frame}{Defecto de masa y energía de enlace}
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|
\begin{equation*}
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|
\Delta M(A,Z) = M(A,Z) - Zm_p - (A-Z)m_n,
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\begin{equation*}
|
|
B.E. = -\Delta M(A,Z)c^2
|
|
\end{equation*}
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|
\end{frame}
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|
\begin{frame}{Energía de enlace y masa}
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|
?`Qué signo tiene la energía de enlace?
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\begin{equation*}
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|
M(A,Z) = Zm_p + (A-Z)m_n + B.E.
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|
\end{equation*}
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|
?`Cuándo es más ligado el núcleo? ?`Cómo se vería para un núcleo inestable?
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|
Un término útil
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\begin{equation*}
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|
\frac{B}{A} = \frac{B.E.}{A} = \frac{-\Delta M(A,Z)c^2}{A}
|
|
\end{equation*}
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|
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|
\end{frame}
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|
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|
\begin{frame}{Energía de enlace promedio}
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|
\begin{figure}[ht!]
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|
\begin{center}
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|
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{binding.png}
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|
\caption{Gráfica de energía de enlace por nucleón contra número de nucleones $A$ en el núcleo. Imagen de dominio público}
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\label{fig:binding}
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|
\end{center}
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|
\end{figure}
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|
\end{frame}
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\begin{frame}{Exceso de masa}
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|
Un valor listado en tablas
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\begin{equation*}
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|
\delta (A,Z) = [M(Z,A)[uma] - A]keV/c^2\ c^2
|
|
\end{equation*}
|
|
La masa
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\begin{equation*}
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|
M(Z,A) = \delta (A,Z) + A[uma\rightarrow keV/c^2]
|
|
\end{equation*}
|
|
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\end{frame}
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|
\begin{frame}{Energía de enlace en términos de excesos de masa}
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|
\begin{align*}
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|
B.E. =& Zm_p + (A-Z)m_n - M(A,Z)\\
|
|
=& Z(\delta(1,1) + 1) + (A-Z)(\delta(1,0)+1) - (\delta(A,Z) + A)\\
|
|
=& Z\delta(1,1) + Z + A\delta(1,0) + A - Z\delta(1,0) -Z - \delta(A,Z) - A \\
|
|
=& Z\delta(1,1) + (A-Z)\delta(1,0) - \delta(A,Z)
|
|
\end{align*}
|
|
\end{frame}
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|
\begin{frame}{Ejemplo con ${}^{14}C^6$}
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|
Excesos de masa (de \url{https://www-nds.iaea.org/amdc/ame2016/mass16.txt})
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|
\begin{align*}
|
|
\delta(14,6) =& 3019.8927\ keV \\
|
|
\delta(1,1) =& 7288.97061\ keV \\
|
|
\delta(1,0) =& 8071.31713\ keV
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
\end{frame}
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|
|
\begin{frame}{Calculo de la energía de enlace}
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|
\begin{align*}
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|
B.E. =& 6\delta(1,1) + 8\delta(1,0) -\delta(14,6) \\
|
|
=& 6(7288.97061keV) + 8(8071.31713keV) -3019.8927keV \\
|
|
=& 105284.4680 keV
|
|
\end{align*}
|
|
Para el ${}^{12}C$, $B.E.=92161.7264 keV$
|
|
\end{frame}
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|
\begin{frame}{Energía de separación del último protón}
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|
\begin{align*}
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|
B.E.(A,Z)& - B.E.(A-1,Z-1) =\\
|
|
& Z\delta(1,1) + (A-Z)\delta(1,0) - \delta(A,Z) \\
|
|
& -(Z-1)\delta(1,1) - ((A-1)-(Z-1))\delta(1,0))\\
|
|
& + (\delta(A-1,Z-1))\\
|
|
=& \delta(1,1)+\delta(A-1,Z-1) - \delta(A,Z)
|
|
\end{align*}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Tamaño del núcleo}
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|
Al ser un sistema cuántico el tamaño es el valor promedio del operador de coordenada en un estado propio.
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\begin{equation*}
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|
r_0^{min} = \frac{ZZ'e^2}{E}
|
|
\end{equation*}
|
|
\begin{equation*}
|
|
R_{Au} \lesssim 3.2\times 10^{-12}cm. \text{ y } R_{Ag} \lesssim 2\times 10^{-12} cm
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{frame}
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|
|
|
\begin{frame}{Tamaño del núcleo por electrones}
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|
Partícula pesada a mayor energía $r_0^{min} \rightarrow 0$
|
|
|
|
\begin{equation*}
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|
F(\overrightarrow{q}) = \int_\text{todo el espacio} d^3 r \rho (\overrightarrow{r}) e^{\frac{i}{\hbar}\overrightarrow{q}\cdot \overrightarrow{r}}
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\begin{equation*}
|
|
\frac{d\sigma}{dq^2} = |F(\overrightarrow{q})|^2 \left( \frac{d\sigma}{dq^2} \right)_{Mott}
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left( \frac{d\sigma}{d\Omega} \right)_{Mott} = 4cos^2\frac{\theta}{2} \left( \frac{d\sigma}{d\Omega} \right)_{Rutherford}
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\end{frame}
|
|
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|
\begin{frame}{Tamaño del núcleo por hadrones}
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|
\begin{itemize}
|
|
\item Protones y piones
|
|
\item Estructura por fuerza nuclear fuerte
|
|
\end{itemize}
|
|
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|
\begin{align*}
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|
R &= r_0 A^{\frac{1}{3}} \\
|
|
&\approx 1.2\times 10^{-13} A^{\frac{1}{3}}cm.= 1.2A^{\frac{1}{3}}fm.
|
|
\end{align*}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Un ejemplo}
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|
Núcleo de ${}^{197}Au^{79}$
|
|
\begin{align*}
|
|
R &= r_0 (197)^{\frac{1}{3}} \\
|
|
&\approx 1.2(197)^{\frac{1}{3}}fm = 6.9824 fm
|
|
\end{align*}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Espines nucleares}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $\frac{1}{2}\hbar$ para protón y neutrón
|
|
\item Momento angular orbital entero
|
|
\item Momento angulr total $\mathbf{J}$
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Núcleos con número $A$ par tienen espín nuclear entero
|
|
\item Núcleos con número $A$ impar tienen espín nuclear semi-entero
|
|
\item Núcleos con número par de protones y número par de neutrones (par-par) tienen espín nuclear cero
|
|
\item Núcleos muy grandes tienen espín nuclear muy pequeño en su estado base
|
|
\item Hace pensar que los nucleones dentro del núcleo están fuertemente apareados
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Momneto dipolar}
|
|
\begin{equation*}
|
|
\overrightarrow{\mu} = g\frac{e}{2mc}\overrightarrow{S},
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
El magnetón nuclear
|
|
\begin{equation*}
|
|
\mu_N = \frac{e\hbar}{2m_pc},
|
|
\end{equation*}
|
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|
|
Obtenemos
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|
\begin{equation*}
|
|
\mu_p \approx 2.79\mu_N, \ \mu_n \approx -1.91\mu_N.
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{frame}
|
|
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|
\begin{frame}{Estabilidad nuclear}
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|
\begin{itemize}
|
|
\item $A\lesssim 40 \Rightarrow N=Z=A/2$
|
|
\item Núcleos más pesados $\Rightarrow N\approx 1.7Z$
|
|
\end{itemize}
|
|
\begin{table}[ht!]
|
|
\begin{tabular}{lll}
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|
N & Z & Número de núcleos estables \\
|
|
Par & Par & $156$ \\
|
|
Par & Impar & $48$ \\
|
|
Impar & Par & $50$ \\
|
|
Impar & Impar & $5$
|
|
\end{tabular}
|
|
\end{table}
|
|
\end{frame}
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|
|
\begin{frame}{Calculamos energías de enlace}
|
|
\begin{align*}
|
|
B.E.(236,92) =& 92*(7288.97061-keV) + 144*(8071.31713 keV) - 42444.644 keV\\
|
|
=& 1790410.3188 keV\\
|
|
B.E.(92,36) =& 36*(7288.97061-keV) + 56*(8071.31713 keV) + 68769.32 keV\\
|
|
=& 783166.02124 keV\\
|
|
B.E.(141,56) =& 56*(7288.97061-keV) + 85*(8071.31713 keV) + 79732.626 keV\\
|
|
=& 1182048.25334 keV\\
|
|
\end{align*}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Inestabilidad de los núcleos}
|
|
Radiactividad, descubierta por Becquerel en 1896, trabajando sales de Uranio
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $\alpha$, núcelos de ${}^4He^2$
|
|
\item $\beta$, electrones
|
|
\item $\gamma$, fotones de muy alta energía
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Fuerza nuclear}
|
|
\begin{figure}[ht!]
|
|
\begin{center}
|
|
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{potencial_nuclear.jpg}
|
|
\caption{Esquema del potencial nuclear. Tomado del libro de Das y Ferbel}
|
|
\label{fig:binding}
|
|
\end{center}
|
|
\end{figure}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Modelos nucleares}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Modelos empíricos
|
|
\item Modelos de partícula independiente
|
|
\item Modelos de interacción fuerte
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Modelo de la gota}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Modelo de interacción fuerte
|
|
\item Esfera
|
|
\item Icompresible
|
|
\item Fisión: se divide en dos gotas más pequeñas
|
|
\item Nucleones como moléculas de agua
|
|
\item Tensión superficial
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Energía de ligadura en modelo de la gota}
|
|
\begin{equation*}
|
|
B.E. = a_1 A - a_2 A^{\frac{2}{3}} - a_3 \frac{Z^2}{A^{\frac{1}{3}}} - a_4\frac{(N-Z)^2}{A} \pm a_5A^{-\frac{3}{4}},
|
|
\end{equation*}
|
|
\begin{align*}
|
|
a_1\approx 15.5\ MeV, \ \ a_2 &\approx 16.8\ MeV, \ \ a_3 \approx 0.72\ MeV, \\
|
|
a_4 &\approx 23.3\ MeV, \ \ a_5 \approx 34\ MeV.
|
|
\end{align*}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Fórmula semi-empírica de Bethe-Weiszäcker}
|
|
\begin{equation*}
|
|
M(A,Z) = Zm_p + (A-Z)m_n - \frac{B.E.}{c^2}
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\begin{align*}
|
|
M(A,Z) =& Zm_p + (A-Z)m_n -\frac{a_1}{c^2}A \\
|
|
&+ \frac{a_2}{c^2} + \frac{a_3}{c^@} \frac{Z^2}{A^{\frac{1}{3}}} + \frac{a_4}{c^2}\frac{(N-Z)^2}{A} \pm \frac{a_5}{c^2}A^{-\frac{3}{4}}
|
|
\end{align*}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Modelo de gas de Fermi}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Modelo de partícula independiente
|
|
\item Agrega la parte cuántica
|
|
\item Gas de fermiones confinado en el núcleo
|
|
\item Niveles de energía
|
|
\item Pozos distintos para protones y neutrones
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Energía de Fermi}
|
|
\begin{figure}[ht!]
|
|
\begin{center}
|
|
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{fermi.jpg}
|
|
\caption{Esquema de los pozos de potencial en el modelo de Fermi. Figure by \href{https://flic.kr/p/6KjVBz}{MIT OpenCourseWare from Marmier and Sheldon}, con licencia \href{https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/}{CC-BY-NC-SA}}
|
|
\label{fig:binding}
|
|
\end{center}
|
|
\end{figure}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Profundidad de pozo}
|
|
\begin{equation*}
|
|
E_F = \frac{p_F^2}{2m}
|
|
\end{equation*}
|
|
\begin{equation*}
|
|
V_{p_F} = \frac{4\pi}{3} p_F^3
|
|
\end{equation*}
|
|
\begin{align*}
|
|
V_{TOT} =& V\times V_{p_F} = \frac{4\pi}{3}r_0^3A \times \frac{4\pi}{3}p_F^3 \\
|
|
=& \left( \frac{4\pi}{3} \right)^2 A (r_0 p_F)^3
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Espacio fase}
|
|
\begin{figure}[ht!]
|
|
\begin{center}
|
|
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{fase.jpg}
|
|
\caption{El espacio fase, imagen de \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/User:Brews_ohare}{Brews ohare} con licencia \href{https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.en}{CC-BY-SA}}
|
|
\label{fig:fase}
|
|
\end{center}
|
|
\end{figure}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Energía de Fermi y profundidad}
|
|
\begin{equation*}
|
|
\Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}
|
|
\end{equation*}
|
|
\begin{equation*}
|
|
V_{estado} = (2\pi \hbar)^3 = h^3
|
|
\end{equation*}
|
|
\begin{equation*}
|
|
n_F = 2\frac{V_{TOT}}{(2\pi\hbar)^3} = \frac{2}{(2\pi\hbar)^3} \left( \frac{4\pi}{3} \right)^2 A (r_0 p_F)^3 = \frac{4}{9\pi}A \left( \frac{r_0 p_F}{\hbar} \right)^3,
|
|
\end{equation*}
|
|
\begin{align*}
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|
N=Z=\frac{A}{2} =& \frac{4}{9\pi}A \left( \frac{r_0 p_F}{\hbar} \right)^3 \\
|
|
\text{despejando } p_F =& \frac{\hbar}{r_0} \left( \frac{9\pi}{8} \right)^{\frac{1}{3}}.
|
|
\end{align*}
|
|
\end{frame}
|
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|
\begin{frame}{Profundidad del pozo}
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\begin{align*}
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|
E_F = \frac{p_F^2}{2m} = \frac{1}{2m} \left( \frac{\hbar}{r_0} \right)^2 \left( \frac{9\pi}{8} \right)^{\frac{2}{3}}\approx 33\ MeV
|
|
\end{align*}
|
|
\begin{equation*}
|
|
V_0 = E_F + \frac{B}{A} \approx 40\ MeV
|
|
\end{equation*}
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|
\end{frame}
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|
\begin{frame}{Modelo de capas atómico}
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\begin{itemize}
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|
\item Modelo de partícula independiente
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\item Estados de energía etiquetados por $n$
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\item Degeneraciones con el número cuántico $\ell = 0,1,2,...,n-1$
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\item $2\ell +1$ subestados
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\item Espín $s$ con $2s+1$ proyecciones
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|
\item ($n$, $\ell$, $m_{\ell}$, $m_s$)
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|
\end{itemize}
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\end{frame}
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\begin{frame}{Estados degenerados}
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\begin{align*}
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n_d &= 2\sum_{\ell=0}^{n-1} (2\ell + 1) \\
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&= 2 \left( 2\sum_{\ell=0}^{n-1} \ell + \sum_{\ell=0}^{n-1} 1 \right) \\
|
|
&= 2 \left( 2 \times \frac{1}{2} n(n-1) + n \right) \\
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|
&= 2(n^2-n+n) = 2n^2
|
|
\end{align*}
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|
\end{frame}
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|
\begin{frame}{Rompimiento de la degeneración}
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\begin{itemize}
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\item Dirección preferencial del espacio
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\item Campo magnético en la dirección $z$
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\item La energía depende de $m_{\ell}$ y $m_s$
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\item Al potencial se agrega $-\overrightarrow{\mu}\cdot \overrightarrow{B}$
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|
\end{itemize}
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\end{frame}
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|
\begin{frame}{Acoplamiento espín-órbita}
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\begin{itemize}
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\item El campo magnético se debe al momento angular del núcleo
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\item Rompe otras degeneraciones
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\item Estructura fina
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\item Tengase en cuenta para física nuclear
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\end{itemize}
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|
\end{frame}
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\begin{frame}{Esquema de rompimientos}
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\begin{itemize}
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\item $n$ niveles de energía con subcapas $\ell$
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\item $\ell$ muy grande provoca átomos menos esféricos y menos estables
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\item Todas las capas y subcapas llenas
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\begin{itemize}
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\item Suma $m_{\ell}$ es cero
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\item Suma $m_s$ es cero
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\end{itemize}
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|
\item $\overrightarrow{J} = \overrightarrow{L} + \overrightarrow{S}=0$
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|
\end{itemize}
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|
\end{frame}
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|
\begin{frame}{Números mágicos}
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\begin{itemize}
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\item Atómicos: $Z=2,10, 18,36,54,$
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\item Nucleares:
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\begin{align*}
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N =& 2,8,20,28,50,82,126 \\
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Z =& 2,8,20,28,50,82.
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|
\end{align*}
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|
\item $Zn^{50}$ dies isótopos e isótonos estables, $In^{49}$ t $Sb^{51}$ tienen dos isótopos estables.
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|
\end{itemize}
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|
${}^4He^2$, ${}^{16}O^8$, ${}^{208}Pb^{82}$
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\end{frame}
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|
\begin{frame}{Ecuación de Schrödinger nuclear}
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|
\begin{itemize}
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|
\item En el núcleo a diferencia del átomo no tenemos un núcleo central que provee la energía de enlace
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|
\item Debemos considerar entonces un potencial central efectivo
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|
\item La fuerza nuclear no es tan bien entendida como la fuerza coulombiana del átomo.
|
|
\end{itemize}
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|
\end{frame}
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|
\begin{frame}{Ecuación de Schrödinger nuclear}
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|
\begin{align*}
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|
\left( -\frac{\hbar^2}{2m}\overrightarrow{\nabla}^2 + V(\overrightarrow{r}) \right) \psi(\overrightarrow{r}) =& E \psi(\overrightarrow{r}) \\
|
|
\text{ó } \left( \overrightarrow{\nabla}^2 + \frac{2m}{\hbar^2}(E-V(\overrightarrow{r})) \right) \psi(\overrightarrow{r}) =& 0,
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
\begin{equation*}
|
|
\overrightarrow{\nabla}^2 = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}r^2\frac{\partial}{\partial r} - \frac{1}{\hbar^2 r^2} \overrightarrow{L}^2,
|
|
\end{equation*}
|
|
$\hbar^2 \ell (\ell + 1)$
|
|
\end{frame}
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|
\begin{frame}{Pozo de potencial infinito}
|
|
\begin{equation*}
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|
V(\overrightarrow{r})=\begin{cases}
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|
\infty \quad &\text{si } r\geq R \\
|
|
0 \quad &\text{de otra forma,} \\
|
|
\end{cases}
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\begin{equation*}
|
|
\left( \frac{d^2}{dr^2} + \frac{2m}{\hbar^2} \left( E_{n\ell} - \frac{\hbar \ell(\ell + 1)}{2mr^2} \right) \right) u_{n\ell}(r) = 0
|
|
\end{equation*}
|
|
$u_{n\ell}(r) = j_{\ell}(k_{n\ell}r)$
|
|
|
|
\begin{equation*}
|
|
k_{n\ell} = \sqrt{\frac{2mE_{n\ell}}{\hbar^2}}.
|
|
\end{equation*}
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|
|
|
\end{frame}
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|
\begin{frame}{Ecuación radial}
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|
Se hace cero en las orillas
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|
\begin{align*}
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|
u_{n\ell}(R) =& j_{\ell}(k_{n\ell}R) = 0,\\
|
|
&\ell= 0,1,2,3,...\ y\ n=1,2,3,...\text{ para cualquier } \ell
|
|
\end{align*}
|
|
La degeneración está sobre $m_{\ell}$, por lo que cada nivel se puede llena con $2(2\ell + 1)$ nucleones
|
|
\begin{equation*}
|
|
\mathbf{2}, 2+6=\mathbf{8}, 8+10=\mathbf{18}, 18+14=\mathbf{32}, 32+18=\mathbf{50},...
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Oscilador armónico}
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|
\begin{equation*}
|
|
V(r) = \frac{1}{2} m\omega^2 r^2,
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\begin{equation}
|
|
\left( \frac{d^2}{dr^2} + \frac{2m}{\hbar^2} \left( E_{n\ell} -\frac{1}{2} m\omega^2 r^2 - \frac{\hbar^2 \ell (\ell + 1)}{2mr^2} \right) \right) u_{n\ell} = 0.
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
Solución: polinomios de Laguerre
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\begin{equation*}
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|
E_{n\ell} = \hbar \omega \left( 2n + \ell -\frac{1}{2} \right),\ n=1,2,3,..\ y\ \ell=0,1,2,...\text{ para }n.
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Oscilador armónico}
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|
$\Lambda=2n+\ell-2$
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|
\begin{equation*}
|
|
E_{n\ell} = \hbar \omega \left( \Lambda + \frac{3}{2} \right),\ con\ \Lambda = 0,1,2,...,
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\begin{equation*}
|
|
n= 2, 8, 20, 40, 70
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{frame}
|
|
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|
\begin{frame}{Potencial espín-órbita}
|
|
\begin{itemize}
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|
\item Propuesta 1949 de Maria Goeppert Mayer y Hans Jensen
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|
\item Un fuerte acoplamiento espín-órbita
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|
\item Siguiendo el ejemplo atómico
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|
\end{itemize}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Acoplamiento espín-órbita}
|
|
\begin{equation*}
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|
V_{TOT} = V(r)-f(r)\overrightarrow{L}\cdot \overrightarrow{S},
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
Rompe la degeneración en $j=\ell \pm \frac{1}{2}$
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|
|
|
\begin{align*}
|
|
\overrightarrow{J} =& \overrightarrow{L} + \overrightarrow{S} \\
|
|
\overrightarrow{J}^2 =& \overrightarrow{L}^2 + \overrightarrow{S}^2 + 2\overrightarrow{L} \cdot \overrightarrow{S} \\
|
|
\text{o despejando } \overrightarrow{L}\cdot \overrightarrow{S} =& \frac{1}{2}(\overrightarrow{J}^2 - \overrightarrow{L}^2 - \overrightarrow{S}^2),
|
|
\end{align*}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Estados esperados}
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|
\begin{align*}
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|
\langle \overrightarrow{L} \cdot \overrightarrow{S} \rangle &= \langle \frac{1}{2} (\overrightarrow{J}^2 - \overrightarrow{L}^2 - \overrightarrow{S}^2) \rangle \\
|
|
&= \frac{\hbar^2}{2} [j(j+1) - \ell(\ell + 1) - s(s+1)] \\
|
|
&= \frac{\hbar^2}{2} [j(j+1) - \ell(\ell + 1) - \frac{3}{4}] \\
|
|
&= \begin{cases}
|
|
\frac{\hbar^2}{2} \ell \quad &\text{para } j=\ell + \frac{1}{2} \\
|
|
-\frac{\hbar^2}{2}(\ell +1) \quad &\text{para } j=\ell - \frac{1}{2} \\
|
|
\end{cases}
|
|
\end{align*}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Corrimientos de energía}
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|
\begin{align*}
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|
\Delta E_{n\ell}\left( j=\ell + \frac{1}{2} \right) =& -\frac{\hbar^2 \ell}{2} \int d^3r |\psi_{n\ell}(\overrightarrow{r})|^2 f(r) \\
|
|
\Delta E_{n\ell}\left( j=\ell - \frac{1}{2} \right) =& \frac{\hbar^2 (\ell+1)}{2} \int d^3r |\psi_{n\ell}(\overrightarrow{r})|^2 f(r)
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
\begin{align*}
|
|
\Delta =& \Delta E_{n\ell}\left( j=\ell - \frac{1}{2} \right) - \Delta E_{n\ell}\left( j=\ell + \frac{1}{2} \right) \\
|
|
=& \hbar^2 \left( \ell + \frac{1}{2} \right) \int d^3r |\psi_{n\ell}(\overrightarrow{r})|^2 f(r)
|
|
\end{align*}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Niveles de energía}
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\begin{figure}[ht!]
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|
\begin{center}
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|
\includegraphics[width=0.3\linewidth]{shells.png}
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|
\caption{Diagrama de niveles para el modelo de capas, imagen de \href{https://en.wikipedia.org/wiki/User:Bakken}{Bakken} con licencia \href{https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0}{CC-BY-SA-3.0}}
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|
\label{fig:shell}
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|
\end{center}
|
|
\end{figure}
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|
\end{frame}
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|
|
\begin{frame}{Predicciones}
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|
\begin{itemize}
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|
\item Espín nuclear $j$
|
|
\item Paridad $\pi=(-1)^{\ell}$
|
|
\item Momento dipolar
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|
\end{itemize}
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|
\end{frame}
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|
\begin{frame}{Un ejemplo}
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|
Los núcleos espejo ${}^{13}C^6$ y ${}^{13}Ni^7$
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\begin{equation*}
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|
(1S_{\frac{1}{2}})^2 (1P_{\frac{3}{2}})^4 (1P_{\frac{1}{2}})^1
|
|
\end{equation*}
|
|
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|
\end{frame}
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|
|
|
\begin{frame}{Niveles de energía}
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|
\begin{figure}[ht!]
|
|
\begin{center}
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|
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{shells.png}
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|
\caption{Diagrama de niveles para el modelo de capas, imagen de \href{https://en.wikipedia.org/wiki/User:Bakken}{Bakken} con licencia \href{https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0}{CC-BY-SA-3.0}}
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\label{fig:shell}
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\end{center}
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|
\end{figure}
|
|
\end{frame}
|
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|
\begin{frame}{Modelo colectivo}
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|
\begin{equation*}
|
|
ax^2 + by^2 +\frac{z^2}{ab} = R^2
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\begin{equation*}
|
|
V(x,y,z)=\begin{cases}
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|
0 \quad &\text{para } ax^2 + by^2 +\frac{z^2}{ab} \leq R^2 \\
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|
\infty \quad &\text{de otra forma,} \\
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|
\end{cases}
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{frame}
|
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|
\end{document}
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