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TeX
Executable File
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Executable File
\documentclass[12pt]{beamer}
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\newcommand{\backupbegin}{
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\setcounter{finalframe}{\value{framenumber}}
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}
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\newcommand{\backupend}{
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\setcounter{framenumber}{\value{finalframe}}
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}
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|
\author{Física Nuclear y subnuclear }
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|
\title{Experimentos en física de partículas y nuclear}
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\begin{document}
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\begin{frame}
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|
\titlepage
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\end{frame}
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|
%\begin{frame}{Contenido}
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|
% \tableofcontents
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|
%\end{frame}
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|
\section*{Paso de partículas a través de la materia}
|
|
\begin{frame}{Partículas cargadas}
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|
\begin{itemize}
|
|
\item Interacción coulombiana
|
|
\item Electrones o el núcleo
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|
\item Depositando energía
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|
\item Sufriendo dispersiones
|
|
\end{itemize}
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|
\end{frame}
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|
\begin{frame}{Partículas cargadas}
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\begin{figure}[ht!]
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|
\begin{center}
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|
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{frenamiento.png}
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|
\caption{Esquema del paso de partículas a través de la materia}
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\label{fig:frena}
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|
\end{center}
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|
\end{figure}
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\end{frame}
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|
\begin{frame}{Distribución}
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\begin{itemize}
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|
\item Suceden múltiples y pequeñas dispersiones
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|
\item Tenemos una distribución en energía y ángulo para las prtículas que salen.
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|
\item Rango $R_0$
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|
\end{itemize}
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|
Grosor
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\begin{equation}
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|
x_{\rho} = x\rho [gr/cm^2]
|
|
\end{equation}
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\end{frame}
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|
|
|
\begin{frame}{Detenciones}
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|
\begin{itemize}
|
|
\item Una fracción sale, otra es ``atrapada''
|
|
\item Camino libre medio
|
|
\end{itemize}
|
|
\begin{align*}
|
|
dN =& -N(x)\mu dx \\
|
|
N(x)=& N(0)e^{-\mu x},
|
|
\end{align*}
|
|
\end{frame}
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|
|
|
\begin{frame}{Partículas cargadas pesadas}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Colisiones inelásticas con los electrones (las más)
|
|
\item Colisiones elásticas con el núcleo (las menos)
|
|
\item Otros procesos posibles
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Radiación Cherenkov
|
|
\item Reacciones nucleares
|
|
\item Bremsstrahlung
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{La división}
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|
\begin{itemize}
|
|
\item Electrones y positrones
|
|
\item El resto de leptones, hadrones y núcleos ligeros
|
|
\item Núcleos pesados
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Poder de frenamiento}
|
|
Pérdidas por ionización
|
|
\begin{figure}[ht!]
|
|
\begin{center}
|
|
\includegraphics[width=0.65\linewidth]{bethe.png}
|
|
\caption{Poder de frenamiento másico para anti-muones en cobre como función de $\beta \gamma = p/Mc$ Tomada de PDG: P.A. Zyla et al. (Particle Data Group), to be published in Prog. Theor. Exp. Phys. 2020, 083C01 (2020).}
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|
\label{fig:bethe}
|
|
\end{center}
|
|
\end{figure}
|
|
\end{frame}
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|
|
|
\begin{frame}{Bethe-Bloch}
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|
\begin{equation*}
|
|
W_{max} = \frac{2m_e c^2 \beta^2 \gamma^2}{1 + 2\gamma\frac{m_e}{M}+\left(\frac{m_e}{M}\right)^2}
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\begin{align*}
|
|
-\frac{dE}{dx} &= (4\pi N_A r_e^2 m_e c^2) z^2 \frac{Z}{A}\frac{1}{\beta^2} \times \\
|
|
&\left[ \frac{1}{2} ln\left(\frac{2m_e c^2 \beta^2 \gamma^2 W_{max}}{I^2}\right) - \beta^2 -\frac{\delta(\beta \gamma)}{2}\right]
|
|
\end{align*}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Valores}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $N_A$, $r_e$, $m_e$ y $c$ $\rightarrow$ $K=4\pi N_A r_e^2 m_e c^2$
|
|
\item $z$ de partícula incidente
|
|
\item $Z$ y $A$ de los núcleos del medio
|
|
\item $\beta$ y $\gamma$ de la partícula incidente
|
|
\item $I$ potencial de ionización
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Ecuación de Bethe-Bloch compacta}
|
|
\begin{equation}
|
|
-\frac{dE}{dx} = K z^2 \frac{Z}{A}\frac{1}{\beta^2}\left[ ln\left(\frac{2m_e c^2 \beta^2 \gamma^2}{I}\right) - \beta^2 - \frac{\delta(\beta \gamma)}{2}\right]
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
\begin{equation*}
|
|
K= 0.3071\ MeV mol^{-1}cm^2
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\begin{equation*}
|
|
K/A= 0.3071\ MeV gr^{-1} cm^2\ (\text{con } A=1 gr/mol)
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\end{frame}
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|
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|
|
\begin{frame}{Pérdida de energía total}
|
|
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|
\begin{equation*}
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|
\Delta E_{perdida} = -\rho \int_0^d \frac{dE}{dx} dx
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\end{frame}
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|
\begin{frame}{Un ejercicio}
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|
\begin{itemize}
|
|
\item \textbf{Qué distancia recorre un protón de $10GeV$ de energía cinética en una barra de plomo de bastante grosor.}
|
|
\end{itemize}
|
|
\begin{align*}
|
|
\rho_{Pb}=& 11.34 \frac{gr}{cm^3} \\
|
|
m_p =& 0.938GeV/c^2
|
|
\end{align*}
|
|
\end{frame}
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|
|
|
\begin{frame}{Obteniendo valores relativistas I}
|
|
\begin{align*}
|
|
\gamma=& \frac{E_T}{E_R} \\
|
|
=& \frac{E_K+E_R}{E_R} \text{ ya que }E_T=E_K+E_r \\
|
|
=& \frac{E_k+m_pc^2}{m_pc^2} \text{ para el protón }E_R=M_pc^2 \\
|
|
=& \frac{E_k}{m_pc^2}+1 \text{ distribuyendo la fracción} \\
|
|
=& \frac{10GeV}{0.938GeV}+1 = \mathbf{10.6609}.
|
|
\end{align*}
|
|
\end{frame}
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|
|
\begin{frame}{Obteniendo valores relativistas II}
|
|
Para obtener $\beta=0.9963$
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|
\begin{equation*}
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|
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}.
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{frame}
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|
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|
\begin{frame}{Calculamos la pérdida}
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|
\begin{align*}
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|
-\left\langle\frac{dE}{dx}\right\rangle = -0.3071& \frac{MeVcm^2}{gr}\ (1)^2 \frac{82}{207}\frac{1}{(0.9963)^2} \\
|
|
&\left[ ln\left(\frac{2(5.11e5 eV/c^2) c^2 (0.9963)^2 (11.6609)^2}{820eV}\right) - (0.9963)^2 \right]
|
|
\label{ec:bethe2fi}
|
|
\end{align*}
|
|
\begin{equation*}
|
|
ln\left(\frac{2(5.11e5 eV/c^2) c^2 (0.9963)^2 (11.6609)^2}{820eV}\right) = 12.033
|
|
\end{equation*}
|
|
El resto
|
|
\begin{align*}
|
|
-\left\langle\frac{dE}{dx}\right\rangle =& -0.3071 \frac{MeVcm^2}{gr}\ (1)^2 \frac{82}{207}\frac{1}{(0.9963)^2} \left[12.033-0.9963^2 \right] \\
|
|
=& -1.35309 \frac{MeVcm^2}{gr}
|
|
\end{align*}
|
|
\end{frame}
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|
|
\begin{frame}{Últimos detalles}
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|
\begin{equation*}
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|
\rho \left\langle\frac{dE}{dx}\right\rangle = (11.34\frac{gr}{cm^3})(1.3531\frac{MeVcm^2}{gr})=15.3441\frac{MeV}{cm}
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\begin{align*}
|
|
R =& \int_{E_0}^0 \frac{dE}{\left\langle \frac{dE}{dx} \right\rangle}=\int_{10GeV}^0 \frac{dE}{15.3441\frac{MeV}{cm}}\\
|
|
=& \frac{1}{15.3441\frac{MeV}{cm}}\int_{10GeV}^0 dE = \frac{1}{15.3441\frac{MeV}{cm}} (10GeV) \\
|
|
=& \frac{10000 MeV}{15.3441\frac{MeV}{cm}} = 651.7162 cm = 6.5171 m.
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
\end{frame}
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|
|
|
\begin{frame}{Dispersión múltiple: ángulos pequeños}
|
|
\begin{equation}
|
|
\theta_0 = \theta_{plano}^{rms} = \frac{1}{\sqrt{2}} \theta_{espacio}^{rms}
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
\begin{equation}
|
|
\theta_0 = \frac{13.6 MeV}{\beta c p} z \sqrt{\frac{x}{X_0}}\left[ 1 + 0.038 ln \left( \frac{x z^2}{X_0 \beta^2} \right) \right]
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
\end{frame}
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|
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|
\begin{frame}{Longitud de radiación}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item La distancia para la cual la energía del electrón se reduce en $1/e$
|
|
\item $7/9$ del camino libre medio de fotones para producción de pares
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
\begin{equation*}
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|
X_0 = 716.4\ \frac{gr}{cm^2} \frac{A}{Z(Z+1)ln\left({\frac{287}{\sqrt{Z}}}\right)}
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Radiación Cherenkov}
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|
\begin{figure}[ht!]
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|
\begin{center}
|
|
\includegraphics[width=0.3\linewidth]{cherenkov.jpg}
|
|
\caption{Cono de luz de Cherenkov. Imagen de dominio público realizada por Pieter Kuiper, tomada de \url{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cherenkov2.svg}.}
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|
\label{fig:cherenkov}
|
|
\end{center}
|
|
\end{figure}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Cono de luz Cherenkov}
|
|
\begin{equation*}
|
|
v=\beta c = \frac{c}{n},
|
|
\end{equation*}
|
|
\begin{equation*}
|
|
v_{part} > \frac{c}{n}.
|
|
\end{equation*}
|
|
\begin{equation}
|
|
cos \theta_C = \frac{1}{\beta n}
|
|
\label{cos:chen}
|
|
\end{equation}
|
|
Pérdida de energía $\approx 500eV/cm$.
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Ejercicio}
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|
\textbf{Ejercicio:} ¿Qué ángulo forma el cono de luz Cherenkov para protones con una energía cinética de $1GeV$ que entra a agua (índice de refracción $n=1.333$)?
|
|
\begin{align*}
|
|
\gamma =& \frac{E_T}{E_R}=\frac{E_K}{E_r}+1 \\
|
|
=& \frac{E_K}{m_{p}c^2}+1 = \frac{1GeV}{0.938GeV}+1 \\
|
|
=& 2.06609,
|
|
\end{align*}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Ejercicio II}
|
|
\begin{align*}
|
|
\beta =& \sqrt{\frac{\gamma^2 - 1}{\gamma^2}} = \sqrt{\frac{(2.06609)^2 - 1}{(2.06609)^2}} \\
|
|
=& 0.87506
|
|
\end{align*}
|
|
Sustituimos, con $n=1.333$
|
|
\begin{equation*}
|
|
cos\theta_c = \frac{1}{\beta n}=\frac{1}{(0.87506)(1.333)} =0.8572
|
|
\end{equation*}
|
|
Obtenemos el ángulo
|
|
\begin{equation*}
|
|
\theta_c = cos^{-1}(\frac{1}{\beta n}) = cos^{-1}(0.8572) = \mathbf{30.99^{\circ}}
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Partículas cargadas ligeras}
|
|
Pérdidas de energía por radiación son las más por encima de:
|
|
\begin{equation}
|
|
E_c \approx \frac{600 MeV}{Z}
|
|
\label{e:cort}
|
|
\end{equation}
|
|
Para $N$, $Z=7$, entonces $E_c= 85.71 MeV$
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Corrección a Bethe-Bloch}
|
|
\begin{align*}
|
|
-\left\langle\frac{dE}{dx}\right\rangle =& (4\pi N_A r_e^2 m_e c^2) \frac{Z}{A}\frac{1}{\beta^2} \times \\
|
|
& \times \left[ \frac{1}{2} ln\left(\frac{\tau (\tau+2)}{2(I/m_e c^2)^2}\right) + F(\tau) - \frac{\delta(\beta \gamma)}{2}\right],
|
|
\label{ec:bethe_e}
|
|
\end{align*}
|
|
\noindent donde $\tau$ es la razón $E_K/m_ec^2$ y
|
|
\begin{align*}
|
|
F(\tau)= 1-\beta^2 + \frac{\tau^2/8 - (2\tau +1)ln(2)}{(\tau+1)^2} &\text{ para } e^- \\
|
|
F(\tau)= 2ln(2)-\frac{\beta^2}{12}\left( 23+\frac{14}{\tau+2} +\frac{10}{(\tau+2)^2+\frac{4}{(\tau+2)^3}} \right) &\text{ para } e^+
|
|
\end{align*}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Radiación \textit{bremsstrahlung}}
|
|
Para electrones/positrones
|
|
\begin{equation*}
|
|
\sigma_{b}\propto r_e^2=(e^2/m_ec^2)^2
|
|
\end{equation*}
|
|
Las pérdidas por radiación para un $\mu^-\sim 40000$ veces menor\\
|
|
Además
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Radiación sincrotrón
|
|
\item Radiación ciclotrón
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Pérdidas por radiación en electrones/positrones}
|
|
Bethe y Heitler hacen el tratamiento cuántico
|
|
\begin{equation}
|
|
N(\omega)d\omega \propto Z^2\frac{d\omega}{\omega}
|
|
\end{equation}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Pierde fracción $1/e$ de su energía en $X_0$
|
|
\end{itemize}
|
|
\begin{equation}
|
|
-\left( \frac{dE}{dx}\right) \approx \frac{E}{X_0} \text{, es decir } E=E_0e^{-x/X_0}
|
|
\end{equation}
|
|
¿Se procede igual? No es tan fácil.
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Fotones}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Efecto fotoeléctrico
|
|
\item Efecto Compton
|
|
\item Producciones de pares ($E>2m_e c^2$)
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Efecto fotoeléctrico}
|
|
\begin{equation*}
|
|
T_e = h\nu -I_B
|
|
\end{equation*}
|
|
\begin{figure}[ht!]
|
|
\begin{center}
|
|
\includegraphics[width=0.4\linewidth]{fotoelectrico.jpg}
|
|
\caption{Diagrama del efecto fotoeléctrico. Imagen dePonor, licencia CC BY-SA 4.0 \url{https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0}, a través de Wikimedia Commons}
|
|
\label{fig:foto}
|
|
\end{center}
|
|
\end{figure}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Dispersión de Compton}
|
|
|
|
\begin{figure}[ht!]
|
|
\begin{center}
|
|
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{compton.png}
|
|
\caption{Dispersión de Compton, el fotón es marcado por $\lambda = 1/\nu$. Imagen tomada de This file is licensed under the Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported license.}
|
|
\label{fig:frena}
|
|
\end{center}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Relaciones dispersión de Compton}
|
|
|
|
\begin{equation}
|
|
h\nu'=\frac{h\nu}{1+\gamma (1-cos\theta)},
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
\begin{equation*}
|
|
T_e = h\nu - h\nu'= h\nu \frac{\gamma (1-cos\theta)}{1+\gamma (1-cos\theta)}
|
|
\end{equation*}
|
|
Límite de Compton
|
|
\begin{equation}
|
|
T_{max} = h\nu \left( \frac{2\gamma}{1+2\gamma} \right)
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Producción de pares}
|
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Fotón crea un par electrón-positrón
|
|
\item Solo puede suceder dentro del medio
|
|
\item Conservación de la energía y el momento
|
|
\item Mínimo de energía de $2m_ec^2$
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Camino libre medio para producción de pares}
|
|
\begin{equation*}
|
|
X_{pares} = \mu_{pares}^{-1} \approx \frac{9}{7} X_0
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
?`Qué sucede con el positrón después?
|
|
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Coeficiente de absorción}
|
|
\begin{equation*}
|
|
\mu = n\sigma
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Cascadas electromagnéticas}
|
|
\begin{figure}
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
[
|
|
level 1/.style = {sibling distance = 10cm, level distance = 0.8cm}
|
|
level 2/.style = {sibling distance = 2cm, level distance = 0.8cm}
|
|
level 3/.style = {sibling distance = 1cm, level distance = 0.8cm}
|
|
]
|
|
\node {$\gamma$}
|
|
child {node {$e^-$}
|
|
child {node{$\gamma$}
|
|
child {node{$e^-$}}
|
|
child{node{$e^+$}}
|
|
child[missing]}
|
|
child {node{$e^-$}
|
|
child[missing]
|
|
child {node{$\gamma$}}
|
|
child{node{$e^-$}}
|
|
child[missing]}}
|
|
child [missing]
|
|
child {node{$e^+$}
|
|
child{node{$e^+$}
|
|
child[missing]
|
|
child{node{$e^+$}}
|
|
child{node{$\gamma$}}
|
|
child[missing]}
|
|
child{node{$\gamma$}
|
|
child[missing]
|
|
child{node{$e^-$}}
|
|
child{node{$e^+$}}}};
|
|
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\caption{Árbol de generación en una cascada electromagnética.}
|
|
\label{fig:tree1}
|
|
\end{center}
|
|
\end{figure}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Analizando la figura}
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|
\begin{itemize}
|
|
\item La distancia entre padre e hijo es una $X_0$
|
|
\item Suponemos cada partícula hija se lleva $E_0/2$
|
|
\item Tras $t$ longitudes de radiación:
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $2^t$ partículas
|
|
\item $E(t)\approx \frac{E_0}{2^t}$
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Máxima profundidad}
|
|
\begin{align*}
|
|
E(t_{max})= \frac{E_0}{2^{t_{max}}}=E_c, &\text{ despejando,}\\
|
|
2^{t_{max}} = \frac{E_0}{E_c}, &\text{ sacando logaritmo base 2, }\\
|
|
t_{max} = log_2\left(\frac{E_0}{E_c}\right), &\text{ truco para sacarlo}\\
|
|
t_{max} = \frac{ln\left(\frac{E_0}{E_C}\right)}{ln (2)} &\text{ ese sí}.
|
|
\end{align*}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Cantidad final de partículas}
|
|
\begin{align*}
|
|
N_{max}\approx& 2^{t_{max}} = 2^{log_2(E_0/E_c)}\\
|
|
\approx& \frac{E_0}{E_c}
|
|
\end{align*}
|
|
Apertura de la cascada
|
|
\begin{align*}
|
|
R_M = X_0 \frac{E_S}{E_c}, &\text{ donde} \\
|
|
E_S= m_ec^2\sqrt{\frac{4\pi}{\alpha}} = 21.2 MeV &
|
|
\end{align*}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Interacciones de neutrones}
|
|
¿Qué pasa con los neutrones?
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Lunch nuclear}
|
|
|
|
\begin{figure}[ht!]
|
|
\begin{center}
|
|
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{Lunch_Nuclear_220923.jpg}
|
|
%\caption{}
|
|
%\label{fig:frena}
|
|
\end{center}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Sala Ángel Dacal del edificio colisur del IFUNAM
|
|
\item viernes 22 de septiembre, 2:00 pm, habrá comida
|
|
\item Invitado Dr. Julio Herrera
|
|
\item Física de plasmas y fusión nuclear
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\section*{Detectores}
|
|
\begin{frame}{Detectores de ionización}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Funcionan en el mismo rango de Bethe-Bloch
|
|
\item Se aplica un campo eléctrico
|
|
\item Medio ionizable (bajo potencial de ionización) y químicamente estable (no recombina rápido)
|
|
\item Eletrodos: ánodo y cátodo
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Detectores de ionización }
|
|
\begin{figure}[ht!]
|
|
\begin{center}
|
|
\includegraphics[width=0.6\linewidth]{regiones.jpg}
|
|
\caption{Regiones de operación de los detectores de ionización. Imagen adaptada de la original de \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/User:Dougsim}{Doug Sim} con licencia \href{https://en.wikipedia.org/wiki/en:Creative_Commons}{Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported}}
|
|
\label{fig:region}
|
|
\end{center}
|
|
\end{figure}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Contadores de ionización}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item En la región de ionización
|
|
\item Poco sensible a los cambios de voltaje
|
|
\item Sin amplificación
|
|
\item Requiere filtros
|
|
\item Respuesta rápida
|
|
\end{itemize}
|
|
\begin{equation*}
|
|
E=\frac{V}{d} \text{ placas planas, } E = \frac{V}{rln(\frac{r_c}{r_a})}
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Contadores proporcionales}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Región proporcional
|
|
\item Campos eléctricos intensos $\sim 10^4 V/cm$
|
|
\item Hay amplificación $\sim 10^5$
|
|
\item Cerca del ánodo sucede la \emph{avalancha de Townsend}
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{frame}{Cámaras multilámbricas}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Diseñadas por George Charpak en 1968
|
|
\item Alambres de $10-50 \mu m$ separados por $2mm.$
|
|
\item Cátodos a $1cm$ por encima y debajo
|
|
\item Resoluciones espaciales $\approx 50-200 \mu m$
|
|
\item Resoluciones tmeporales $\approx 2ns$
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Cámara multialámbrica}
|
|
\begin{figure}
|
|
\begin{center}
|
|
\includegraphics[width=0.4\linewidth]{mwpc.png}
|
|
\caption{Líneas de campo en cámara multialámbrica. This file is licensed under the Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported license.}
|
|
\label{fig:frena}
|
|
\end{center}
|
|
\end{figure}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Cámaras de deriva}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Similar a la cámara multialámbrica, su heredera
|
|
\item Resolución espacial y temporal
|
|
\item Alambres adicionales para asegurar un voltaje constante
|
|
\item Los electrones sufren una deriva
|
|
\item Cámara Jet en DESY
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{TPC}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Time Projection Chambers
|
|
\item Barril cilíndrico alrededor de la tubería del haz en un acelerador
|
|
\item En cada orilla de la cámara hay capas de contadores proporcionales
|
|
\item Un campo Magnético paralelo y anti-paralelo al campo eléctrico
|
|
\item La deriva es helicoidal
|
|
\item Microstrip Gas Chambers
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Detector Geiger-Muller}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Funciona en el límite
|
|
\item Produce una descarga por cada partícula que produce una ionización
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
|
|
\begin{frame}{Detector Geiger-Müller}
|
|
\begin{figure}
|
|
\begin{center}
|
|
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{geiger.jpg}
|
|
\caption{Detector Geiger-Müller. This file is licensed under the Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported license.}
|
|
\label{fig:frena}
|
|
\end{center}
|
|
\end{figure}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
|
|
\begin{frame}{Detectores de centelleo}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Excitaciones de los átomos del material
|
|
\item Al regresar al estado base: emiten un fotón
|
|
\item Centelladores orgánicos: antraceno, naftaleno
|
|
\item Centelladores inorgánicos: NaI, CsI dopados
|
|
\item $10^4$ fotones/cm.
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{PMT}
|
|
$100-200V$, multiplicaciones de $10^4$ a $10^7$
|
|
\begin{figure}[ht!]
|
|
\begin{center}
|
|
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{pmt_es.png}
|
|
\caption{Tubo fotomultiplicador. Imagen de \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/User:Wiso}{Wiso} con licencia \href{https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.en}{Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported}}
|
|
\end{center}
|
|
\end{figure}
|
|
?`Usos de centelladores?
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Detector Cherenkov}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Partículas cargadas, pero el proceso no es ionización
|
|
\item Viaja más rápido que la luz \emph{en el medio} $v>c/n$ o $\beta>1/n$.
|
|
\item $\cos\theta_c = \frac{1}{\beta n}$
|
|
\item $213$ fotones/cm
|
|
\item Ring-image Cherenkov
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Detectores semiconductores}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Semiconductores: electrones de valencia a electrones de conducción
|
|
\item Detectores de ionización pero electrón-hoyo en lugar de electrón-ión
|
|
\item De germanio o silicio
|
|
\item Para producir un par: $3-4eV$. Ionización 10 veces más, centelleo 100 veces más.
|
|
\item $200-300 \mu m$ de grosor
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Calorímetro}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Las partículas depositan toda su energía cinética
|
|
\item Centelladores, contadores de ionizción o proporcionles
|
|
\item Fotones: producción de pares
|
|
\item Hadrones: procesos fuertes
|
|
\item Problemáticos: neutrinos y $\pi^0$
|
|
\item Precisión relativa en medida de energía $\Delta E /E \approx E^{1/2}$
|
|
\item Resolución temporal $\sim 10-100ns$
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Aceleradores}
|
|
\begin{figure}[ht!]
|
|
\begin{center}
|
|
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{tevatron.jpg}
|
|
\caption{Foto del Tevatrón en Fermilab. Imagen de Fermilab, Reidar Hahn, del dominio público}
|
|
\end{center}
|
|
\end{figure}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Partículas nuevas}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item De forma natural tenemos poca variedad
|
|
\item Partículas de mayor masa requiere mayor energía
|
|
\item ?`Límite?: posiblemente $\hbar c/G_g\approx 1.22\times 10^20 eV/c^2$
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Estudios de estructura}
|
|
\begin{multicols}{2}
|
|
\begin{equation*}
|
|
\lambda = h/p
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\begin{equation*}
|
|
\bar{\lambda}= \lambda/2\pi = \hbar/p
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\begin{equation*}
|
|
\bar{\lambda} \leq d,\ p \geq \hbar/d
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\begin{equation*}
|
|
E_{kin} = p^2/2m_p = \hbar^2/2m_p d^2
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\begin{equation*}
|
|
\frac{E_{kin}}{m_pc^2} = \frac{1}{2d^2} \left( \frac{\hbar}{m_pc} \right)^2
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\begin{align*}
|
|
\bar{\lambda}_p =& \frac{\hbar}{m_pc} = \frac{\hbar c}{m_pc^2}\\
|
|
&= \frac{197.3\ MeV\ fm}{938\ MeV} = 0.210\ fm.
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
\begin{align*}
|
|
\frac{E_{kin}}{m_pc^2} =& \frac{1}{2} \left( \frac{\bar{\lambda}_p}{d} \right)^2 = 0.02\\
|
|
E_{kin} =& 0.02 m_pc^2 = 0.02\times 938 MeV
|
|
\end{align*}
|
|
\end{multicols}
|
|
|
|
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Aceleración}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $E=Fd=q|E|d = qV$
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
\begin{figure}[ht!]
|
|
\begin{center}
|
|
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{catodicos.png}
|
|
\caption{Foto de un cinescopio de televisión. Imagen de JMPerez~commonswiki con licencia Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported}
|
|
\end{center}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Conceptos útiles}
|
|
\begin{multicols}{2}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item \emph{Flujo}: la cantidad de partículas que cruzan un área unitaria perpendicular al eje del haz por unidad de tiempo
|
|
|
|
\begin{equation}
|
|
\mathcal{F} = n_i v,
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
\begin{equation*}
|
|
dN = \mathcal{F}N\sigma d\Omega
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\begin{equation*}
|
|
\sigma(\theta)d\Omega = d\sigma(\theta) \Rightarrow \sigma (\theta) = \frac{d\sigma (\theta)}{d\Omega}
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\item \emph{Luminosidad}: la cantidad de eventos por unidad de sección eficaz que tienen lugar en una sección de encuentro del haz por unidad de tiempo
|
|
|
|
\begin{equation*}
|
|
\mathcal{L} = \frac{\mathcal{N}_s}{\sigma_{tot}}=\frac{N_1 N_2 f}{A},
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{multicols}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Generadores elestrostáticos}
|
|
\begin{figure}[ht!]
|
|
\begin{center}
|
|
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{vandegraff.jpg}
|
|
\caption{Esquema de un generador Van de Graff. Tomado con fines educativos de Henley}
|
|
\label{fig:vandegraff}
|
|
\end{center}
|
|
\end{figure}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Van de Graff}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Llega a $30-40 MeV$
|
|
\item Más energías con un Van de Graff tandem
|
|
\item Un tandem en el IFUNAM
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Acelerdores lineales}
|
|
\begin{figure}[ht!]
|
|
\begin{center}
|
|
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{slac.png}
|
|
\caption{Foto del acelerador lineal de Stanford, 3 km de longitud. Imagen de Victor Blacus en dominio público}
|
|
\end{center}
|
|
\end{figure}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Linac}
|
|
\begin{figure}[ht!]
|
|
\begin{center}
|
|
\includegraphics[width=0.6\linewidth]{linac.jpg}
|
|
\caption{Esquema de un acelerador lineal. Imagen adaptada de Chetvorno con licencia CC0}
|
|
\end{center}
|
|
\end{figure}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Óptica del haz}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Lentes magnéticas
|
|
\item Dipolos pueden deflectar
|
|
\item Cuadrupolos lo más parecido a una lente óptica
|
|
\end{itemize}
|
|
\begin{equation*}
|
|
\overrightarrow{F} = q\left( \overrightarrow{E} + \frac{1}{c} \overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B} \right)
|
|
\end{equation*}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Ciclotrón}
|
|
\begin{figure}[ht!]
|
|
\begin{center}
|
|
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{ciclotron.png}
|
|
\caption{Esquema de funcionamiento de un ciclotron. Imagen de Ernest O. Lawrence - U.S. Patent 1,948,384, de dominio público}
|
|
\label{fig:ciclotron}
|
|
\end{center}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Resonancia y energía}
|
|
\begin{equation*}
|
|
\frac{v}{r} = \frac{qB}{m}
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\begin{equation*}
|
|
\omega = \frac{v}{r}
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\begin{equation*}
|
|
\nu = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{qB}{2\pi m} = \frac{1}{2\pi}\left( \frac{q}{m} \right) B
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\begin{align*}
|
|
T_{max}=& \frac{1}{2}mv_{max}^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 R^2 \\
|
|
=& \frac{1}{2} m \left( \frac{qB}{m} \right)^2 R^2 = \frac{(qBR)^2}{2m}
|
|
\end{align*}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Sincrotrón}
|
|
\begin{figure}[ht!]
|
|
\begin{center}
|
|
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{sincrotron.jpg}
|
|
\caption{Modelo de un acelerador sincrotrón. Imagen de EPSIM 3D/JF Santarelli, Synchrotron Soleil}
|
|
\label{fig:ciclotron}
|
|
\end{center}
|
|
\end{figure}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Método Monte Carlo}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Tratamiento estadístico en experimentos
|
|
\item Integración numérica
|
|
\item Optimización
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Áreas por Monte Carlo}
|
|
\begin{figure}[ht!]
|
|
\begin{center}
|
|
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{area.png}
|
|
\caption{Ejemplo del cálculo de una área con Montecarlo. Imagen de Mysid Yoderj con licencia Creative Commons CC0 1.0 Universal Public Domain Dedication}
|
|
\label{fig:ciclotron}
|
|
\end{center}
|
|
\end{figure}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Generando a partir de distribución estadística}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Valores al azar pero bajo cierta distribución
|
|
\end{itemize}
|
|
\begin{figure}[ht!]
|
|
\begin{center}
|
|
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{montecarlo1.png}
|
|
\caption{Ejemplo de integración Monte Carlo. Imagen de Femizban con licencia Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 International}
|
|
\label{fig:ciclotron}
|
|
\end{center}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Números pseudo-aleatorios}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Para acercarnos a la naturaleza necesitamos lo más aleatorio
|
|
\item Las computadoras no pueden generar números aleatorios
|
|
\item Mecanismos pseudo-aleatorios
|
|
\item Complementos verdadero-aleatorios
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Un ejemplo}
|
|
\begin{figure}[ht!]
|
|
\begin{center}
|
|
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{azarin.jpg}
|
|
\caption{Puntos generados por la fórmula \ref{ec:azar}.}
|
|
\label{fig:azarin}
|
|
\end{center}
|
|
\end{figure}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{El código}
|
|
\lstinputlisting[basicstyle=\ttfamily\scriptsize,firstline=1,lastline=16,language=python]{azarin.py}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Algoritmo Mersenne twister}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Makoto Matsumoto y Takuji Nishimura en 1996, mejora en 2002
|
|
\item Perido: $2^{19937}-1$
|
|
\item Propiedad de equidistribución de $623$-dimensiones\footnote{Una secuencia de números reales es equidistribuida o uniformemente distribuida si la proporción de términos que caen en un subintervalo es proporcional a la longitud de tal subintervalo.}.
|
|
\item Uso eficiente de la memoria, consume sólo un espacio de trabajo de 624 palabras (la implementación en C).
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Uso del algoritmo Mersenne twister}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Un valor inicial: semilla ($x=1$ en el ejemplo anterior)
|
|
\item Opción con distinto peso: generar uniformemente en $[0,1]$ y dar pesos.
|
|
\end{itemize}
|
|
\lstinputlisting[basicstyle=\ttfamily\scriptsize,firstline=1,lastline=16,language=python]{axarinp.py}
|
|
\end{frame}
|
|
|
|
\begin{frame}{Decaimiento radiactivo}
|
|
Ley de deacímiento
|
|
\begin{equation*}
|
|
N(t)= N(0)2^{-t/\tau},
|
|
\end{equation*}
|
|
Probabilidad de decaimiento
|
|
\begin{equation*}
|
|
p(t)=1-2^{-t/\tau}
|
|
\end{equation*}
|
|
Consideramos $1000$ núcleos de ${}^{208}Tl$
|
|
\begin{itemize}
|
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\item $tau_{{}^{208}Tl}=3.053$ minutos
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\item Decae a ${}^{208}Pb$
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\end{itemize}
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\end{frame}
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\begin{frame}{Simulemos}
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\begin{itemize}
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\item Generamos uniformemente
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\item si cae entre 0 y $p(t)$ decae, de lo contrario no
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\item Similar al águila o Sol contamos si es ${}^{208}Tl$ o si es ${}^{208}Pb$
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\end{itemize}
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\end{frame}
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\begin{frame}{Programa I}
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\lstinputlisting[basicstyle=\ttfamily\scriptsize,firstline=1,lastline=17,language=python]{decaa.py}
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\end{frame}
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\begin{frame}{Programa II}
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\lstinputlisting[basicstyle=\ttfamily\scriptsize,firstline=17,lastline=37,language=python]{decaa.py}
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\end{frame}
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\begin{frame}{Resultado}
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\begin{figure}[ht!]
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\begin{center}
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\includegraphics[width=0.7\linewidth]{decay.jpg}
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\caption{Simulación del decaimiento del ${}^{208}Tl$ (azul) en ${}^{208}Pb$ (amarillo).}
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\label{fig:decay}
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\end{center}
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\end{figure}
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\end{frame}
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\begin{frame}{Números aleatorios no uniformes}
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La probabilidad de decaimiento diferencial
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\begin{align*}
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dp=& 1-2^{-dt/\tau} \\
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=& 1-exp(ln(2^{-dt/\tau})) \\
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=& 1-exp(\frac{-dt}{\tau}ln(2)) \\
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=& 1-(1-\frac{dt}{\tau}ln(2)) \text{, aproximando a primer orden la exponencial}\\
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=& \frac{dt}{\tau}ln(2)
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\end{align*}
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\end{frame}
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\begin{frame}{Distribución de probabilidad}
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La probabilidad de que un núcleo se mantenga sin decaer tras un tiempo $t$
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\begin{equation}
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P(t)=2^{-t/\tau}\frac{ln(2)}{\tau} dt
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\end{equation}
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Ya no es constante, conforme pasa $t$ cambia
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\end{frame}
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\begin{frame}{Método de transformación}
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\begin{itemize}
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\item Distribución de probabilidad genera $z$ con pobabilidad $q(x)$
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\item Probabilidad de generar un número entre $z$ y $z+dz$: $q(z)dz$
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\item Función $x=x(z)$, con $p(x)$
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\end{itemize}
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\begin{equation*}
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p(x)dx=q(z)dz
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\label{ec:igual}
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\end{equation*}
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\end{frame}
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\begin{frame}{Determinar $x(z)$}
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\begin{itemize}
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\item Sea $q(z)$ la distribución uniforme:
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\begin{equation}
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q(z)=
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\begin{cases}
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1 & \text{si } z \in [0,1]\\
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0 & \text{en cualquier otro caso }
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\end{cases}
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\end{equation}
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\end{itemize}
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\end{frame}
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\begin{frame}{Transformando}
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Integramos la igualdad entre las distribuciones
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\begin{equation}
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\int^{x(z)}_{-\infty} p(x')dx' = \int_0^z (1) dz' = z
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\end{equation}
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Por suerte el lado derecho es integrable
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\begin{align*}
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z=& \int^{t(z)}_{-\infty} p(t')dt'\\
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=& \int^{t(z)}_{-\infty} \frac{ln(2)}{\tau}2^{-t'/\tau}dt'\\
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=& ln(2)(1-e^{-t/\tau})
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\end{align*}
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\end{frame}
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\begin{frame}{Resultado transformación}
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\begin{equation}
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t= -\tau ln\left( 1-\frac{z}{ln(2)}\right).
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\end{equation}
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\end{frame}
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\begin{frame}{El programa}
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\lstinputlisting[basicstyle=\ttfamily\scriptsize,firstline=1,lastline=22,language=python]{deca2.py}
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\end{frame}
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\begin{frame}{Histograma}
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\begin{figure}[ht!]
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\begin{center}
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\includegraphics[width=0.7\linewidth]{decay2.jpg}
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\caption{Simulación del decaimiento del ${}^{208}Tl$, histograma de tiempos.}
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\label{fig:decay2}
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\end{center}
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\end{figure}
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\end{frame}
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\begin{frame}{Distribución Gaussiana}
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\begin{equation*}
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p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}exp\left( -\frac{x^2}{2\sigma^2}\right)
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\end{equation*}
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¿La podemos integrar?
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\begin{itemize}
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\item Hacemos cambio de variable
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\end{itemize}
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\begin{align*}
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p(x)dx \times p(y)dy =& \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}exp\left( -\frac{x^2}{2\sigma^2}\right)dx \times \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}exp\left( -\frac{y^2}{2\sigma^2}\right)dy \\
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=& \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}exp\left( -\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}\right)dxdy,
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\end{align*}
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\end{frame}
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\begin{frame}{En coordenadas polares}
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\begin{align*}
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p(r,\theta)drd\theta =& \frac{1}{2\pi\sigma^2}exp\left(-\frac{r^2}{2\sigma^2}\right)rdrd\theta \\
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=& \frac{r}{\sigma^2}exp\left(-\frac{r^2}{2\sigma^2}\right)dr \times\frac{d\theta}{2\pi}
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\end{align*}
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Se obtienen los generadores
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\begin{align*}
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r=& \sqrt{-2\sigma^2 ln(1-z)} \\
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\theta =& 2\pi z \text{, de ambos se obtiene}\\
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x=& rcos\theta \\
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y=& rsen\theta
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\end{align*}
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\end{frame}
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\begin{frame}{Integración Montecarlo}
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\begin{equation*}
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I=\int_0^2 sin^2 \left[ \frac{1}{x(2-x)}\right]dx.
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\label{ec:inte}
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\end{equation*}
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\begin{figure}[ht!]
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\begin{center}
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\includegraphics[width=0.7\linewidth]{inte.jpg}
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\caption{Gráfica de la función a integrar en la ecuación \ref{ec:inte}}
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\label{fig:int}
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\end{center}
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\end{figure}
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\end{frame}
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\begin{frame}{Esquema de la integración}
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\begin{align*}
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\frac{I}{A} \approx& \frac{\#\text{\{puntos que caen en I\}}}{\#\text{\{puntos en total generados\}}} \\
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I \approx& \frac{\#\text{\{puntos que caen en I\}}}{\#\text{\{puntos en total generados\}}}\times A
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\end{align*}
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\end{frame}
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\begin{frame}{El programa}
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\lstinputlisting[basicstyle=\ttfamily\scriptsize,firstline=1,lastline=23,language=python]{inte.py}
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\end{frame}
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\begin{frame}{Paso de partículas a través de la materia}
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\begin{itemize}
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\item Los valores calculados por pedazos
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\item Propagación de la partícula por diversos procesos
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\item Comparación con el experimento
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\end{itemize}
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\end{frame}
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\end{document}
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