notas-fnys/pres7.tex

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\author{Física Nuclear y subnuclear }
\title{Física Nuclear: Radiación}
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\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

\begin{frame}{Fallos del modelo de capas}
  \begin{itemize}
  \item Momentos cuadrupolares mucho mayores que los predichos por el modelo
  \item Deformando se pueden obtener tales momento cuadrupolares
  \item Modos colectivos de excitación: oscilaciones
  \item Modelo nuclear unificado
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Momento cuadrupolar}
  \begin{equation*}
    \mathbb{Q} = Z\int d^3 r(3z^2-r^2)\rho(r)
  \end{equation*}
  Si es un elipsoide uniformemente cargado con $Ze$
  \begin{equation*}
    \mathbb{Q} = \frac{2}{5}Z(b^2-a^2),\ b\parallel z 
  \end{equation*}
  Con:
  \begin{align*}
    \overline{R} =& (1/2)(a+b)\\
    \Delta R =& b-a\\
    \delta =& \overline{R}/\Delta R\text{ tenemos }\\
    \mathbb{Q} =& \frac{4}{5}ZR^2\delta
  \end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}{Momentos cuadrupolares en el experimento}
  \begin{multicols}{2}
    \begin{align*}
      \mathbb{Q}_{red} =& \frac{\mathbb{Q}}{ZR^2}\\
      \mathbb{Q}_{red} =& \frac{4}{5}\delta
    \end{align*}
    \begin{figure}[ht!]
      \begin{center}
        \includegraphics[width=0.7\linewidth]{cuad_nuclei.jpg}
        %\caption{Momentos cuadrupolares reducidos como función del número de nucleones impar. Las flechas muestran los lugares de capa cerrada. Imagen tomada y adaptada del libro de Henley con fines educativos.}
        \label{fig:shell}
      \end{center}
    \end{figure}
  \end{multicols}
\end{frame}

\begin{frame}{Espectro rotacional}
  \begin{figure}[ht!]
    \begin{center}
      \includegraphics[width=0.5\linewidth]{rot_spectrum.jpg}
      \caption{Espectro rotacionel del núcleo deformado ${}^{170}Hf$, con valores de energía rotacionales obtenidos experimentalmente y teóricamente. Imagen tomada de \cite{Henley} con fines educativos.}
      \label{fig:rot}
    \end{center}
  \end{figure}
  \begin{equation*}
    \Delta\phi \delta L_{\phi} \geq \hbar
  \end{equation*}
\end{frame}

\begin{frame}{Rotaciones}
  \begin{multicols}{2}
    \begin{figure}[ht!]
      \begin{center}
        \includegraphics[width=0.7\linewidth]{roti.jpg}
        %\caption{Espectro rotacionel del núcleo deformado ${}^{170}Hf$, con valores de energía rotacionales obtenidos experimentalmente y teóricamente. Imagen tomada de \cite{Henley} con fines educativos.}
        \label{fig:roti}
      \end{center}
    \end{figure}
    Rotación alrededor del eje 1
    \begin{equation*}
      H_{rot}= \frac{R^2}{2\mathbb{I}}
    \end{equation*}
    Traduciendo a mecánica cuántica:
    \begin{align*}
      \hat{H}_{rot}\psi=& \frac{\hat{R}^2}{2\mathbb{I}}\psi = E\psi\\
      \hat{R}^2Y_J^M =& J(J+1)\hbar^2Y_J^M, \\ J= 0,1,2,...
    \end{align*}
    Con la paridad dada por $(-1)^J$, sólo se aceptan valore par de $J$
    \begin{equation*}
      E_J= \frac{\hbar^2}{2\mathbb{I}}J(J+1),\ J=0,1,2,...
    \end{equation*}
  \end{multicols}
\end{frame}

\section*{Radiación nuclear}
\begin{frame}{Lo que sabemos hasta ahora}
  \begin{itemize}
  \item Los núcleos están compuestos porpprotones y neutrones
  \item Protones y neutrones sienten las fuerzas: electromagnética, nuclear fuerte y nuclear débil
  \item Núcleos de helio, electrones y fotones los hemos tratado, pero no hemos hablado más de ellos como radiación
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Decaimiento alfa}
  \begin{equation*}
    {}^AX^Z \rightarrow {}^{A-4}Y^{Z-2} + {}^4He^2
  \end{equation*}	
  
  \begin{equation*}
    M_P c^2 = M_Hc^2 + T_H + M_{\alpha}c^2 + T_{\alpha},
  \end{equation*}
\end{frame}

\begin{frame}{Análisis de energía}
  \begin{equation*}
    T_H + T_{\alpha} = (M(A,Z) - M(A-4,Z-2) - M(4,2))c^2
  \end{equation*}
	
  \begin{align*}
    T_H =& \frac{1}{2} M_H v_H^2, \notag \\
    T_{\alpha} =& \frac{1}{2} M_{\alpha} v_{\alpha}^2,
  \end{align*}
		
\end{frame}

\begin{frame}{Conservaciones}
  \begin{align*}
    M_H v_H =& M_{\alpha} v_{\alpha}, \notag \\
    \text{despejando, } v_H =& \frac{M_{\alpha}}{M_H} v_{\alpha}
    \label{ec:vel}
  \end{align*}
  Por lo regular $M_H \gg M_{\alpha}$, entonces $v_H\ll v_{\alpha}$.
	
  \begin{align*}
    T_H + T_{\alpha} =& \frac{1}{2}M_H \left( \frac{M_{\alpha}}{M_H} v_{\alpha} \right)^2 + \frac{1}{2} M_{\alpha} v_{\alpha}^2 \\
    =& \frac{1}{2} M_{\alpha} v_{\alpha}^2 \left( \frac{M_{\alpha}}{M_H} +1 \right) \\
    =& T_{\alpha}\frac{M_{\alpha} + M_H}{M_H}
  \end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}{Liberación de energía}
  \begin{align*}
    T_H &= T_{\alpha}\left( \frac{M_{\alpha} + M_H}{M_H}\right) - T_{\alpha} \\
    &= T_{\alpha}\left( \frac{M_{\alpha} + M_H}{M_H} - 1\right) \\
    &= T_{\alpha} \frac{M_{\alpha} + M_H - M_H}{M_H} = \frac{M_{\alpha}}{M_H}T_{\alpha}\ll T_{\alpha}
  \end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}{Diversas energías}
  \begin{equation*}
    {}^AX^Z \rightarrow {}^{A-4}{Y^{*}}^{Z-2} + {}^4He^2
  \end{equation*}	
  
  \begin{equation*}
    {}^{A-4}{Y^{*}}^{Z-2} \rightarrow {}^{A-4}Y^{Z-2} + \gamma
  \end{equation*}
  
  \begin{figure}[ht!]
    \begin{center}
      \includegraphics[width=0.6\linewidth]{excitados.jpg}
      \caption{Decaimineto por emisión $\alpha$ del ${}^{228}Th^{90}$ al ${}^{224}Ra^{88}$. Imagen tomada de Das y Ferbel.}
      \label{fig:excitados}
    \end{center}
  \end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Un ejemplo}
  \begin{equation*}
    {}^{240}Pu^{94} \rightarrow {}^{236}U^{92} + {}^4He^2
  \end{equation*}
\end{frame}
	
\begin{frame}{Ejemplo}
  \begin{align*}
    E &= (M(240,94) - M(236,92) - M(4,2))c^2 \\
    &= 94m_p + 146m_n +B.E.(240,94) -92m_p-144m_n \\ 
    &- B.E.(236,92) - 2m_p -2m_n -B.E.(4,2) \\
    &= B.E.(240,94) - B.E.(236,92) - B.E.(4,2) \\
    &= -1813.4501\ MeV + 1790.4103\ MeV + 28.2956 \\
    &\approx 5.2558\ MeV 
  \end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}{Penetración de barrera}
  \begin{itemize}
  \item Para $A\approx 200$ barrera coulombiana de $\sim 20-25\ Mev$
  \item La energía cinética del $\alpha$ es $\sim 5\ MeV$
  \item Decaimiento alfa es un fenómeno de tunelaje
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Penetración de barrera}
  \begin{equation*}
    {}^{232}Th^{90} \rightarrow {}^{228}Ra^{88} + {}^4He^2
  \end{equation*}	
  \begin{itemize}
  \item $\tau = 1.39\times 10^{10}\ \text{años}$
  \item $R=r_0(232)^{1/3} fm. \approx 7.37 \times 10^{-15}m.$
  \item 
  \end{itemize}
	
\end{frame}

\begin{frame}{Coeficiente de transmisión}
  \begin{align*}
    T =& \frac{\frac{4k_1k}{(k_1+k)^2}}{1+\left[ 1 + \left( \frac{\kappa^2 - k_1k}{\kappa(k_1+k)}\right)^2 \right]} \\
    \text{con } k_1 =& \left[ \frac{2M_{\alpha}}{\hbar^2} (E+U_0) \right]^{\frac{1}{2}} \\
    k =& \left[ \frac{2M_{\alpha}}{\hbar^2} E \right]^{\frac{1}{2}} \\		
    \kappa =& \left[ \frac{2M_{\alpha}}{\hbar^2} (V_0 - E) \right]^{\frac{1}{2}} 
  \end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}{Posibilidad de penetración de la barrera}
  De afuera hacia adentro
  \begin{equation*}
    T\approx 4\times 10^{40}
  \end{equation*}
  De adentro hacia afuera (constante de decaimiento $\lambda$)
  \begin{align*}
    P(\text{emisión }\alpha) &\approx \frac{v_{\alpha}}{R}T \approx 6\times 10^{21}\frac{1}{seg} \times 4\times 10^{-40} \\
    &\approx 2.4\times 10^{-18}seg.
  \end{align*}
  
\end{frame}

\begin{frame}{Decaimineto Beta}
  \begin{itemize}
  \item Fuerza nuclear débil
  \item Conservaciones de número bariónico y leptónico
  \item Características del neutrino
  \item Núcleo con exceso de neutrones 
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Decaimiento Beta menos}
  \begin{equation*}
    {}^AX^Z \rightarrow {}^AY^{Z+1} + e^- +\bar{\nu_e}
  \end{equation*}
	
  \begin{equation*}
    n\rightarrow p + e^- + \bar{\nu_e}
  \end{equation*}
\end{frame}

\begin{frame}{Decaimineto Beta más}
  \begin{equation*}
    {}^AX^Z \rightarrow {}^AY^{Z-1} + e^+ +\nu_e
  \end{equation*}
	
  \begin{equation*}
    p\rightarrow n+e^+ + \nu_e
  \end{equation*}
\end{frame}

\begin{frame}{Captura electrónica}
  \begin{equation*}
    {}^AX^Z + e^- \rightarrow {}^AY^{Z-1}  +\nu_e
  \end{equation*}
	
  \begin{equation*}
    p+e^- \rightarrow n + \nu_{e}
  \end{equation*}
	
  La constante en todos: $\Delta A = 0$ y $|\Delta Z| = 1$
\end{frame}

\begin{frame}{Conservación de energía}
  \begin{align*}
    M(A,Z)c^2 &= T_H + M(A,Z-1)c^2 + T_{e^-} + m_ec^2 + T_{\bar{\nu}_e} + m_{\bar{\nu}_e}c^2 \\
    T_H + T_{e^-} + T_{\bar{\nu}_e} =& M(A,Z)c^2 - M(A,Z-1)c^2 - m_ec^2 - m_{\bar{\nu}_e}c^2  
  \end{align*}
  De esta forma	
  \begin{align*}
    (M_P-M_H-m_{\nu_e})c^2 &\geq 0 \\
    \approx (M_P-M_H)c^2 &\geq 0. 
  \end{align*}
  Decaimineto $\beta^+$
  \begin{align*}
    E &= (M(A,Z) - M(A,Z-1) - m_e - m_{\nu})c^2 \\
    E &= (M_P - M_H - 2m_e -m_{\nu_e})c^2 \\
    &\approx (M_P - M_H - 2m_e)c^2
  \end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}{Conservación de energía}
  Captura electrónica
  \begin{align*}
    E &= (M_P + m_e - M_H - m_{\nu})c^2 \\
    E &= (M(A,Z) - M(A,Z-1)  -m_{\nu_e})c^2 \\
    &\approx (M(A,Z) - M(A,Z-1))c^2
  \end{align*}
  
  No se toman en cuenta las energías de ligadura de los electrones en las capas atómicas.
	
\end{frame}

\begin{frame}{Barrera centrífuga de potencial}
  \begin{itemize}
  \item $L=0$, decaimiento $\beta$ permitido
  \item $L>0$, decaimientos $\beta$ prohibidos ($L=1$ primero prohibido, $L=2$ segundo prohibio, etc.)
  \end{itemize}
  Un ejemplo
  \begin{equation*}
    {}^3H^1 \rightarrow {}^3He^2 + e^- + \bar{\nu_e},\ \Delta L = 1
  \end{equation*}
  
\end{frame}

\begin{frame}{Reglas de selección}
  \begin{itemize}
  \item $J_f = J_i + L$, es una transición de Fermi
  \item $J_f = J_i + L + 1$, es una transición de Gamow-Teller
  \end{itemize}
  Ejemplo
  \begin{equation*}
    {}^{14}O^6 \rightarrow {}^{14}Ni^{*7} + e^- + \bar{\nu_e},\ \Delta I = 0
  \end{equation*}
\end{frame}

\begin{frame}{Estabilidad}
  \begin{figure}[ht!]
    \begin{center}
      \includegraphics[width=0.8\linewidth]{estabilidad.png}
      \caption{Tabla de nucleones. Imagen de Hiroyuki Koura en el dominio público}
      \label{fig:excitados}
    \end{center}
  \end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Esquema de decaimientos $\beta$}
  \begin{figure}[ht!]
    \begin{center}
      \includegraphics[width=0.7\linewidth]{beta_parabola2.png}
      \caption{Excesos de masa para los isóbaros con $A= 76$ que tienen decaiminetos $\beta$. Imagen adaptada de \cite{Poves} con licencia CC-BY 3.0}
      \label{fig:parabola}
    \end{center}
  \end{figure}
\end{frame}

\section*{Decaimiento Gama}
\begin{frame}{Decaimineto $\gamma$}
  \begin{itemize}
  \item Decaimiento a núcleos excitados
  \item Regresado a estado base emitiendo $\gamma$
  \item Espacio entre niveles de $\sim 50\ keV$
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Características del decaimiento $\gamma$}
  \begin{itemize}
  \item El fotón con energía en el orden de $MeV$
  \item Puede llevarse al menos una unidad de $L$
  \item El núcleo pasa de un estado inicial $E_i$ a uno final $E_f$
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Análisis decaimiento $\gamma$}
  \begin{equation*}
    h\nu = E_i - E_f
  \end{equation*}
	 
  La energía del foton $=$ espaciamiento en niveles, pero qué sucede con la conservación de momento
  \begin{equation*}
    \frac{h\nu}{c} = Mv,
  \end{equation*}
\end{frame}

\begin{frame}{Análisis de energía}
  \begin{align*}
    E_i-E_f =& h\nu + \frac{1}{2}Mv^2 \\
    =& h\nu +\frac{1}{2M}\left( \frac{h\nu}{c} \right)^2 \\
    \text{reacomodando } h\nu =& \left( E_i - E_f - \frac{h^2 \nu^2}{2Mc^2} \right) = E_i - E_f - \Delta E_R, 
  \end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}{Niveles de energía}
  $\partial E = \Gamma$
  \begin{align*}
    \tau \Gamma &\approx \hbar \\
    \text{o diciéndolo de otra forma } \Gamma &\approx \frac{\hbar}{\tau} \approx \text{incertidumbre en }(E_i-E_f)
  \end{align*}
	
  $\Delta E_R \ll \Gamma$
\end{frame}

\begin{frame}{Un caso}
  \begin{itemize}
  \item ${}^{50}Ti^{22}$
  \item $M\approx 46512.11\ MeV/c^2$
  \item $h\nu\gtrsim 100keV = 10^5 eV$
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Un caso}
  \begin{equation*}
    \Delta E_R = \frac{(h\nu)^2}{2Mc^2} = \frac{(10^5 eV)^2}{2(46.512\times 10^9 eV)} \approx 0.215\ eV 
  \end{equation*}
  Considerando $\tau = 10^{-12}seg$
  \begin{equation*}
    \Gamma \approx \frac{\hbar}{\tau} \approx \frac{6.582\times 10^{-22}MeV\cdot seg}{10^{-12}seg} = 6.582 \times 10^{-4} eV
  \end{equation*}
\end{frame}

\begin{frame}{Efecto Mössbauer}
  \begin{figure}[ht!]
    \begin{center}
      \includegraphics[width=0.4\linewidth]{Mossbauer.jpg}
      \caption{Rudolf Mössbauer}
    \end{center}
  \end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Niveles de energía y decaimiento $\gamma$}
  \begin{figure}[ht!]
    \begin{center}
      \includegraphics[width=0.6\linewidth]{nivelesse.jpg}
      \caption{Niveles de energía para el ${}^{72}Se^{34}$. Tomado de \cite{Krane}}
      \label{fig:niveles}
    \end{center}
  \end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Conversión interna}
  \begin{itemize}
  \item Sale un rayo $\gamma$ del núcelo y excita un electrón del átomo
  \item Electrón de alta energía 
  \item Espectro de energía cuantizado
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Leyes de decaimiento}
  \begin{itemize}
  \item Tres tipos de decaimientos
  \item Tiempo tratado estadísticamente
  \item Probabilidad constante de decaimiento por segundo $\lambda$
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Ley de decaimiento}
  \begin{equation*}
    dN = N(t+dt)- N(t) = -N(t)\lambda dt
  \end{equation*}
  \begin{align*}
    \frac{dN}{N} =& -\lambda dt,\\
    \int_{N_0}^N \frac{dN}{N} =& -\lambda \int_0^t dt, \\
    ln\frac{N(t)}{N_0} =& -\lambda t \\
    N(t) =& N_0 e^{-\lambda t}
  \end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}{Escala de tiempo}
  \begin{itemize}
  \item Tiempo de vida media $t_{\frac{1}{2}}$ 
  \end{itemize}
  \begin{align*}
    N(t_{\frac{1}{2}}) =& \frac{N_0}{2} = N_0e^{-\lambda t_{\frac{1}{2}}} \\
    \text{de otra forma } \lambda t_{\frac{1}{2}} =& ln2 \\
    \text{entonces } t_{\frac{1}{2}} =& \frac{ln2}{\lambda}
  \end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}{Tiempo de vida media y tiempo promedio}
  \begin{align*}
    \langle t \rangle = \tau =& \frac{\int_0^{\infty} t N(t) dt}{\int_0^{\infty} N(t) dt} \\
    =& \frac{N_0 \int_0^{\infty} t e^{-\lambda t} dt}{N_0\int_0^{\infty} e^{-\lambda t} dt} \\
    =& \frac{\lambda^{-2}}{\lambda^{-1}} = \frac{1}{\lambda}
  \end{align*}
  De esta forma $t_{\frac{1}{2}} = \tau (ln2)$.
\end{frame}

\begin{frame}{Actividad}
  \begin{equation*}
    \mathcal{A} = | \frac{dN}{dt} | = \lambda N(t) = \lambda N_0 e^{-\lambda t}
  \end{equation*}
  \begin{itemize}
  \item $1$ desintegración por segundo $= 1 Bq$
  \item La actividad de ${}^{226}Ra^{88}$, $3.7 \times 10^{10}\ Bq = 1Ci$
  \item Muestras con actividad en los $mCi$ y $\mu Ci$
  \item $1rd=10^6Bq$ 
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Varios proceso}
  \begin{equation*}
    \lambda = \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 + ... 
  \end{equation*}	
  \begin{equation*}
    \frac{1}{t_{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{(t_{\frac{1}{2}})_1} + \frac{1}{t_{(\frac{1}{2}})_2}+ \frac{1}{(t_{\frac{1}{2}})_3} + ... 
  \end{equation*}	 
\end{frame}

\begin{frame}{Decaimienots en dos pasos}
  \begin{align*}
    -\frac{dN_1}{dt} &= \lambda_1 N_1 \\
    \frac{dN_2}{dt} &= \lambda_1 N_1 - \lambda_2 N_2
  \end{align*}
  
  \begin{align*}
    N_1 =& N_{10}e^{-\lambda_1 t}\\
    N_2 =& N_{10}\frac{\lambda_1}{\lambda_2 - \lambda_1} (e^{-\lambda_1 t} - e^{-lambda_2 t})
  \end{align*}
  $(t_{\frac{1}{2}})_2 \ll (t_{\frac{1}{2}})_1$
\end{frame}

\begin{frame}{Ejemplo}
  \begin{itemize}
  \item ${}^{226}Ra^{88}$
  \item Actividad inicial $3.7 \times 10^{10}\ Bq$
  \item Tiempo de vida media $t_{\frac{1}{2}} = 1600\text{ años} = 5.04576\times 10^{10}seg.$
  \item Actividad tras $500\text{ años} = 1.5768\times 10^{10} seg.$
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Calculo de la actividad}
  \begin{equation*}
    \mathcal{A}(t=1.5768\times 10^{10}seg.) = \lambda N_0 e^{-\lambda t}
  \end{equation*}
  \begin{equation*}
    \mathcal{A}(t=1.5768\times 10^{10}seg.) = \mathcal{A}_0 e^{-\lambda t}
  \end{equation*}
  \begin{equation*}
    \mathcal{A}(t=1.5768\times 10^{10}seg.) = (3.7\times 10^{10} Bq) e^{-\frac{ln2}{5.04\times 10^{10}seg.} (1.57\times 10^{10} seg.)}
  \end{equation*}
  $\mathcal{A}(t=1.5768\times 10^{10}seg.) \approx 2.3\times 10^{10}Bq$
\end{frame}

\begin{frame}{Radiación natural y artificial}
  \begin{itemize}
  \item ${}^{238}U$ y ${}^{232}Th$ con vidas medias en el orden de la edad del universo.
  \item $4.5\times 10^9$ años y $1.4\times 10^{10}$ años
  \item ¿Qué pasaría si tuvieran vidas medias mucho más cortas?
  \item 1934 Pierre Joliot e Irene Curie bombardean $\alpha$'s del decaimiento del polonio bombardeando $Al$, producen ${}^{30}P$
  \item ${}^{30}P$ decae por emisión de positrones con $t_{1/2}= 2.5$ minutos.
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Envenenamiento por Polonio}
  \begin{itemize}
  \item Alexander Litvinenko, miembro de la KGB
  \item 1998 acusó publicamente a sus superiores por el intento de asesinato a Boris Berezovski
  \item Berezovski era doctor en matemáticas aplicadas (1983)
  \item Importación de Mercedes, dueño de la cadena ORT
  \item Litvinenko noviembre del 2006, ${}^{210}Po$
  \end{itemize}
\end{frame}
  
%\begin{frame}{Contenido}
%	\tableofcontents
%\end{frame}

\end{document}