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\author{Física Nuclear y subnuclear }
\title{Aplicaciones}
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\begin{document}
\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}
%\begin{frame}{Contenido}
% \tableofcontents
%\end{frame}
\begin{frame}{Fisión Nuclear}
\begin{itemize}
\item Neutrones para generar isótopos
\item $A$ impar basta con neutrones térmicos $T\approx 300K$, $kT\approx 1/40\ eV$
\item $A$ par neutrones con energía por encima de los $2\ MeV$
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{${}^{235}U^{92}$}
\begin{equation}
{}^{235}U^{92} + n \rightarrow {}^{148}La^{57} + {}^{87}Br^{35} + n
\end{equation}
\begin{itemize}
\item Número de nucleones
\item Diferencia de las energías de enlace $\approx 200\ MeV$
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Modelo de la gota}
\begin{figure}[ht!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.27\linewidth]{gota.png}
\caption{Oscilaciones del núcleo tras ser colisionado por un neutrón de acuerdo al modelo de la gota. Imagen de Hullernuc con licencia \href{https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.en}{CC-BY-SA 3.0}}
\label{fig:gotas}
\end{center}
\end{figure}
\end{frame}
\begin{frame}{Modelo de la gota}
Parametrización del elipsoide
\begin{align*}
a =& R(1+\epsilon) \\
b =& \frac{R}{(1+\epsilon)^{\frac{1}{2}}}
\end{align*}
El volumen
\begin{equation*}
V=\frac{4}{3}\pi R^2 = \frac{4}{3}\pi ab^2
\end{equation*}
\end{frame}
\begin{frame}{Términos dependientes de la forma}
Tensión superficial
\begin{equation*}
a_2 A^{\frac{2}{3}} \rightarrow a_2 A^{\frac{2}{3}} \left( 1+\frac{2}{3}\epsilon^2 \right)
\end{equation*}
Término coulombiano
\begin{equation*}
a_3 \frac{Z^2}{A^{\frac{1}{3}}} \rightarrow a_3 \frac{Z^2}{A^{\frac{1}{3}}} \left( 1-\frac{1}{5}\epsilon^2 \right)
\end{equation*}
\end{frame}
\begin{frame}{Diferencias de energía}
\begin{align*}
\Delta =& B.E.(\text{elipsoide}) - B.E.(\text{esfera}) \\
=& \frac{2}{5} \epsilon^2 a_2 A^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{5}\epsilon^2 a_3 \frac{Z^2}{A^{\frac{1}{3}}} \\
=& \frac{1}{5}\epsilon^2 A^{\frac{2}{3}} \left( 2a_2 - a_3\frac{Z^2}{A^{\frac{1}{3}}} \right)
\end{align*}
\begin{align*}
\left( 2a_2 - a_3\frac{Z^2}{A^{\frac{1}{3}}} \right) >& 0 \\
\text{es decir, } \frac{Z^2}{A} <& 47
\end{align*}
\end{frame}
\begin{frame}{Diferencias de enegía núcleos hijos}
\begin{align*}
\Delta =& B.E.(A,Z) - 2B.E.(\frac{A}{2},\frac{Z}{2})\\
=& a_2 A^{\frac{2}{3}}\left( 1-2\left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{2}{3}} \right) + a_3\frac{Z^2}{A^{\frac{1}{3}}} \left( 1-2\frac{(\frac{1}{2})^2}{(\frac{1}{2})^{\frac{1}{3}}} \right) \\
\approx & 0.27 A^{\frac{2}{3}}\left( -16.5 + \frac{Z^2}{A} \right)\ MeV
\end{align*}
\end{frame}
\begin{frame}{Estabilidad}
\begin{figure}[ht!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{binding.png}
\caption{Gráfica de energía de enlace por nucleón contra número de nucleones $A$ en el núcleo. Imagen de dominio público}
\label{fig:binding}
\end{center}
\end{figure}
\end{frame}
\begin{frame}{Reacción en cadena}
${}^{235}U^{92}$ libera $\sim 200\ MeV$
\begin{equation}
{}^{235}U^{92} + n \rightarrow {}^{148}La^{57} + {}^{87}Br^{35} + n
\end{equation}
\begin{equation*}
k=\frac{\text{Número de neutrones producido en la etapa } n+1}{\text{Número de neutrones producidos en la etapa }n}
\end{equation*}
\end{frame}
\begin{frame}{Posibilidades de $k$}
\begin{enumerate}
\item $k<1$ es un proceso \emph{subcrítico}, la reacción no se mantiene y no es útil para producir energía
\item $k=1$ es un proceso \emph{crítico}, se puede tener una reacción sosntenida y constante, es lo mejor para tener energía
\item $k>1$ es un proceso \emph{supercrítico}, la reacción en cadena es incontrolable y cada vez se produce más y más energía, una explosión.
\end{enumerate}
\end{frame}
\begin{frame}{Reactores}
\begin{itemize}
\item ${}^{235}U^{92} \Rightarrow t_{\frac{1}{2}} \sim 7\times 10^8 \text{ años}$
\item ${}^{238}U^{92} \Rightarrow t_{\frac{1}{2}} \sim 5\times 10^9\text{ años}$
\item ${}^{235}U^{92} : {}^{238}U^{92} \Rightarrow \sim 1:138$
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Reactor nuclear}
\begin{figure}[ht!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{reactor.jpg}
\caption{Reactor CROCUS, instalaciones nucleares del EPFL. Imagen de \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/User:Rama}{Rama}, con licencia \href{https://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/deed.en}{CC-BY-SA 2.0 Francia}}
\label{fig:reactor}
\end{center}
\end{figure}
\end{frame}
\begin{frame}{Energía liberada}
¿Cuánta energí libera $1gr$ de ${}^{235}U^{92}$? Sabemos que $200\ MeV = 2\times 10^8 eV = 3.2\times 10^{-11}J$
\begin{align*}
E &\approx (3.2\times 10^{-11}J)(2.56\times 10^{21}) \\
&\approx 8.19\times 10^{10} J \\
&\approx 1\times 10^{11} J = 1MWD
\end{align*}
En comparación 1 tonelada de carbón porduce $0.36\ MWD$.
\end{frame}
\begin{frame}{Fusión Nuclear}
\begin{itemize}
\item Partimos de nucleos ligeros a más pesados
\item Al fusionar también se libera energía
\item Los núcleos ligero son más abundantes
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Fusión Nuclear}
\begin{align*}
V_{Coulomb} &= \frac{ZZ'e^2}{R+R'} \\
&= \frac{e^2}{\hbar c} \frac{\hbar c Z Z'}{1.2[A^{\frac{1}{3}}+{A'}^{\frac{1}{3}}]fm}\\
&= \frac{1}{137} \left( \frac{197 MeV-fm}{1.2 fm} \right) \frac{ZZ'}{A^{\frac{1}{3}}+{A'}^{\frac{1}{3}}} \\
&\approx \frac{ZZ'}{{A^{\frac{1}{3}}+{A'}^{\frac{1}{3}}}} MeV \approx \frac{1}{8} A^{\frac{5}{3} MeV}
\end{align*}
\end{frame}
\begin{frame}{Temperatura}
Colisionar no es práctico, mejor elevar la tenperatura ($300K\approx 1/40\ eV$, $2\ MeV$)
\begin{equation*}
\frac{2\times 10^6 eV}{\frac{1}{40}eV}\times 300K \approx 10^10 K
\end{equation*}
Temperatura promedio del Sol $\approx 10^7 K$
\end{frame}
\begin{frame}{El Sol}
\begin{itemize}
\item Masa del Sol: $10^30 kg$
\item Principal,mente hidrogeno es el combustible
\item Tiene $\sim 10^{56}$ átomos de ${}^1H^1$
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Ciclo $p-p$}
\begin{align*}
{}^1H^1 + {}^1H^1 &\rightarrow {}^2H^1 + e^+ + \nu_e + 0.42MeV, \\
{}^1H^1 + {}^2H^1 &\rightarrow {}^3He^2 + \gamma + 5.49MeV, \\
{}^3He^2 + {}^3He^2 &\rightarrow {}^4He^2 + 2({}^1H^1) + 12.86MeV.
\end{align*}
Global
\begin{align*}
6({}^1H^1) &\rightarrow {}^4He^2 + 2({}^1H^1) + 2e^+ + 2\nu_e + 2\gamma + 24.68MeV \\
4({}^1H^1) &\rightarrow {}^4He^2 + 2e^+ + 2\nu_e + 2\gamma + 24.68MeV
\end{align*}
\end{frame}
\begin{frame}{Cantidad de combustible restante}
\begin{itemize}
\item Edad del universo: $\sim 10^{10}$ años
\item Tiempo restante de combustible: $10^9$ años
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Ciclo del carbono o CNO}
\begin{equation*}
3({}^4He^2) \rightarrow {}^{12}C^6 + 7.27MeV
\end{equation*}
\begin{align*}
{}^{12}C^6 + {}^1H^1 &\rightarrow {}^{13}N^7 + \gamma + 1.95MeV \\
{}^{13}N &\rightarrow {}^{13}C^6 + e^+ + \nu_e + 1.20MeV \\
{}^{13}C^6 + {}^1H^1 &\rightarrow {}^{14}N^7 + \gamma + 7.55MeV \\
{}^{14}N^7 + {}^1H^1 &\rightarrow {}^{15}O^8 + \gamma + 7.34MeV \\
{}^{15}O^8 &\rightarrow {}^{15}N^7 + e^+ + \nu_e + 1.68MeV \\
{}^{15}N^7 + {}^1H^1 &\rightarrow {}^{12}C^6 + {}^4He^2 + 4.96MeV
\end{align*}
\end{frame}
\begin{frame}{Ciclo del carbono}
\begin{align*}
{}^{12}C^6 +4({}^1H^1) &\rightarrow {}^{12}C^6 + {}^4He^2 + 2e^+ + 2\nu_e + 3\gamma + 24.68MeV \\
4({}^1H^1) &\rightarrow {}^4He^2 + 2e^+ + 2\nu_e + 3\gamma + 24.68MeV
\end{align*}
\end{frame}
\begin{frame}{Fusión controlada}
\begin{align*}
{}^2H^1 + {}^3H^1 &\rightarrow {}^4He^2 + n + 17.6MeV \\
{}^2H^1 + {}^2 H^1 &\rightarrow {}^3He^2 + n + 3.2MeV \\
{}^2H^1 + {}^2H^1 &\rightarrow {}^3H^1 + {}^1H^1 + 4.0MeV
\end{align*}
\end{frame}
\begin{frame}{Radiactividad natural}
\begin{itemize}
\item $\sim 1000$ núcleos radiactivos artificiales
\item $60$ núcleos radiactivos encontrados en la naturaleza
\item Por lo regular $81\leq Z \leq 92$
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Islas de estabilidad otra vez}
\begin{figure}[ht!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{estabilidad.png}
\caption{Tabla de nucleones. Imagen de Hiroyuki Koura en el dominio público}
\label{fig:estabilidad}
\end{center}
\end{figure}
\end{frame}
\begin{frame}{Series de núcleos}
\begin{itemize}
\item $A=4n$ serie del Torio,
\item $A=4n+1$ serie del Neptunio,
\item $A=4n+2$ serie del Uranio-Radio,
\item $A=4n+3$ serie del Uranio-Actinio,
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Vidas medias}
\begin{itemize}
\item $t_{\frac{1}{2}}({}^{232}Th^{90})= 9.63\times 10^9$ años
\item $t_{\frac{1}{2}}({}^{237}Np^{93})= 1.5\times 10^6$ años
\item $t_{\frac{1}{2}}({}^{238}U^{92})= 3.12\times 10^9$ años
\item $t_{\frac{1}{2}}({}^{235}U^{92})= 4.96\times 10^8$ años
\end{itemize}
Estabilidad: ${}^{208}Pb^{82}$ para el Th, ${}^{206}Pb^{82}$ para el ${}^{238}U^{92}$ y ${}^{207}Pb^{82}$ para el ${}^{235}U^{92}$
\end{frame}
\begin{frame}{Datación de carbono}
\begin{itemize}
\item ${}^{12}C^6$ y el ${}^{14}N^7$ abundantes en la atmósfera
\item En particular el ${}^{12}C^6$ forma la molécula de $CO_2$
\item Rayos cósmicos atmosféricos generando interacciones
\item Neutrones lentos
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{El ${}^{14}C$}
\begin{equation*}
{}^{14}N^7 + n \rightarrow {}^{14}C^6 + p
\end{equation*}
\begin{equation*}
{}^{14}C^6 \rightarrow {}^{14}N^7 + e^- + \bar{\nu_e}
\end{equation*}
$t_{\frac{1}{2}}({}^{14}C^6) = 5730\text{ años}$ por decaimiento $\beta^-$
\end{frame}
\begin{frame}{Seres vivos}
\begin{itemize}
\item Ambos isótopos forman $CO_2$
\item Los seres vivos absorben $CO_2$ constantemente
\item Una razón de ${}^{14}C^6/{}^{12}C^6\approx 1.3\times 10^{-12}$ en materia orgánica viva
\item Ya sea medir la razón o la actividad y comparar con la inicial
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Un ejemplo}
Un pedazo de madera de $50gr$, con una actividad de $320$ desintegraciones por minuto, sabemos que la actividad de una planta viva es de $12$ dsintegraciones/minuto/gramo y $t_{\frac{1}{2}}=5730$ años
\end{frame}
\begin{frame}{Un ejemplo II}
\begin{equation*}
\lambda = \frac{ln(2)}{t_{\frac{1}{2}}} = \frac{ln(2)}{1.8\times 10^{11} seg} = 3.83\times 10^{-12} \frac{1}{seg.}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\mathcal{A}_0 = 0.2Bq/gr \times 50gr. = 10 Bq
\end{equation*}
\begin{equation*}
\mathcal{A}(t=?) = 5.34Bq/
\end{equation*}
\end{frame}
\begin{frame}{Un ejemplo III}
\begin{align*}
\mathcal{A}(t) =& \mathcal{A}_0 e^{-\lambda t}\\
\text{reacomodando } \frac{\mathcal{A}(t)}{\mathcal{A}_0} =& e^{-\lambda t}\\
\text{despejando } t=& \frac{1}{\lambda}ln\left( \frac{\mathcal{A}_0}{\mathcal{A}(t)} \right)
\end{align*}
\end{frame}
\begin{frame}{Un ejemplo IV}
\begin{align*}
t &= \frac{1}{\lambda}ln\left( \frac{\mathcal{A}_0}{\mathcal{A}(t)} \right) \approx \frac{1}{3.83\times 10^{-12} \frac{1}{seg.}}ln\left( \frac{10Bq}{5.34Bq} \right) \\
&\approx 1.64 \times 10^{11} seg \approx 5194\text{ años}
\end{align*}
La pieza de madera tienen alrededor de 5194 años, debe ser un fósil.
\end{frame}
\begin{frame}{Dosimetría}
\begin{itemize}
\item No tenemos detectores naturales de radiación ionizante
\item El principal daño se debe a la ionización o la energía depositada
\item Hay fuentes de manera natural y artificial
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Roentgen}
La unidad más antigua de exposición
\begin{align*}
1\text{ Roentgen} =& \text{ la cantidad de rayos X que producen una ionización de }\\
&1\ esu/cm^3 \\
=& 2.58 coul./kg \text{ para aire en STP}
\end{align*}
Solo rayos $X$ y $\gamma$ en el aire. Ionización por electrones.
\end{frame}
\begin{frame}{Razón de exposición}
Radiación isotrópica de un punto y despreciando atenuación
\begin{equation*}
\text{Razón de exposición } = \frac{\Gamma \mathcal{A}}{d^2},
\end{equation*}
\begin{table}[ht!]
\begin{tabular}{|p{0.3\textwidth} p{0.3\textwidth}|}
\hline
Fuente & $\Gamma [R\cdot cm^2/(hr\cdot mCi)]$ \\
\hline
${}^{137}Ce$ & 3.3 \\
${}^{57}Co$ & 13.2 \\
${}^{22}Na$ & 12.0 \\
${}^{60}Co$ & 13.2 \\
${}^{222}Ra$ & 8.25 \\
\hline
\end{tabular}
\label{tab:razon}
\end{table}
\end{frame}
\begin{frame}{Dosis absorbida}
\begin{align*}
1rad &= 100erg/gr \\
1Gray &= 1 Joule/kg = 100rad
\end{align*}
No diferencia entre funtes
\end{frame}
\begin{frame}{Un ejemplo}
Calcula la dosis absorbida en el aire para 1 Roentgen de rayos $\gamma$. Asume que para electrones, la energía promedio necesaria para producir un par ión-electrón es de $32eV$.
\begin{equation}
1 R = 1 esu/cm^3 = \frac{1}{3.33\times 10^{-10}coul/esu}
\end{equation}
\begin{equation*}
\text{dosis absorbida} = \frac{1}{3.33\times 10^{-10}coul/esu} \times 32eV/\text{ión-electrón} \times \frac{1}{\rho}
\end{equation*}
\end{frame}
\begin{frame}{Efectividad biológica relativa y dosis equivalente}
La ionizacipon depende de la trasferencia de energía lineal ($dE/dx$)
\begin{table}[ht!]
\begin{tabular}{|p{0.1\textwidth} p{0.1\textwidth} p{0.1\textwidth} p{0.1\textwidth} p{0.1\textwidth} p{0.1\textwidth} p{0.1\textwidth}|}
\hline
& $\gamma$ & $\beta$ & $p$ & $\alpha$ & $n$ rap. & $n$ term. \\
\hline
RBE & $1$ & $1$ & $10$ & $20$ & $10$ & $3$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
\begin{align*}
\text{rem} &= \text{RBE} \times rad \\
\text{Sievert}(Sv) &= \text{RBE} \times Gray\ (1Sv=100rem)
\end{align*}
\end{frame}
\begin{frame}{Dosis típicas}
\begin{table}[ht!]
\begin{tabular}{|p{0.4\textwidth} p{0.4\textwidth} |}
\hline
Fuentes naturales & \\
\hline
Rayos cósmicos & $28mrem/\text{año}$ \\
Fondo natural (U, Th, Ra) & $26mrem/\text{año}$ \\
Fuentes radiactivas dentro del cuerpo (${}^{40}K$, ${}^{14}C$) & $26mrem/\text{año}$ \\
\hline
Fuentes ambientales & \\
\hline
Debidas a la tecnología & $4mrem/\text{año}$ \\
Contaminación radiactiva global & $4mrem/\text{año}$ \\
Energía nuclear & $0.3mrem/\text{año}$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
\end{frame}
\begin{frame}{Dosis típicas II}
\begin{table}[ht!]
\begin{tabular}{|p{0.4\textwidth} p{0.4\textwidth} |}
\hline
Fuentes médicas & \\
\hline
Diagnostico & $78mrem/\text{año}$ \\
Rayos X & $100-200mrem/\text{año}$ \\
Fármacos & $14mrem/\text{año}$ \\
Ocupacional & $1mrem/\text{año}$ \\
Productos (TV) & $5mrem/\text{año}$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
\end{frame}
\begin{frame}{Física nuclear y de partículas en la astrofísica}
\begin{table}[ht!]
\begin{tabular}{|p{0.18\textwidth} p{0.15\textwidth} p{0.15\textwidth} p{0.18\textwidth} p{0.18\textwidth}|}
\hline
Edad & Temperatura (K) & Energia (eV) & Transición & Era \\
\hline
$1.4\times 10^{10}$ años & $2.7$ & $\sim 10^{-4}$ & & Epoca actual, estrellas \\
\hline
$4\times 10^{5}$ años & $3\times 10^3$ & $\sim 10^{-1}$ & Plasma a átomos & Fotón \\
\hline
3 minutos & $10^9$ & $\sim 10^{5}$ & Nucleosíntesis & Particulas \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
\end{frame}
\begin{frame}{Física nuclear y de partículas en la astrofísica}
\begin{table}[ht!]
\begin{tabular}{|p{0.18\textwidth} p{0.15\textwidth} p{0.15\textwidth} p{0.18\textwidth} p{0.18\textwidth}|}
\hline
Edad & Temperatura (K) & Energia (eV) & Transición & Era \\
\hline
$10^{-6}$ seg. & $10^{12}$ & $\sim 10^8$ & Cuarks (hadronización) & Cuark \\
\hline
$10^{-10}$ seg. & $10^{15}$ & $\sim 10^{11}$ & Unificación electrodébil & Electrodébil \\
\hline
$10^{-33}$ seg. & $10^{28}$¿? & $\sim 10^{24}$ & Inflación & Inflación \\
\hline
$10^{-43}$ seg. & $10^{32}$ & $\sim 10^{28}$ & Todas las fuerzas unificadas & SUSY, Planck \\
\hline
0 & & & Vacío a materia & \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
\end{frame}
\end{document}
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