LinAlg2/LinAlg2.tex

\documentclass[12pt, a4paper]{report}

\PassOptionsToPackage{dvipsnames}{xcolor}
\usepackage{tikz}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{marvosym}
\usepackage{mathtools}
\usepackage[colorlinks=true, linkcolor=magenta]{hyperref}
\usepackage{cancel}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage{harpoon}
\usetikzlibrary{tikzmark,calc,arrows,angles,math}

\title{Lineare Algebra 2}
\date{Sommersemester 2022}
\author{Philipp Grohs \\ \small \LaTeX-Satz: Anton Mosich}

\newtheoremstyle{theostyle}%
{3pt}%
{3pt}%
{}%
{}%
{\bfseries}%
{:}%
{\newline}%
{}%

\newcounter{textbox}
\def\tl{\stepcounter{textbox}\tikzmarknode{a\thetextbox}{\strut}}
\def\br{\tikzmarknode{b\thetextbox}{\strut}\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture]\draw ($(a\thetextbox.north west)+(-0.4\arraycolsep,0ex)$) rectangle ($(b\thetextbox.south east)+(0.2\arraycolsep,0ex)$);\end{tikzpicture}}
% https://tex.stackexchange.com/questions/481978/how-to-write-the-block-matrix-in-latex

\newcommand*{\vect}[1]{\overrightharp{\ensuremath{#1}}}
\newcommand\R{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand\C{\ensuremath{\mathbb{C}}}
\newcommand\K{\ensuremath{\mathbb{K}}}

\theoremstyle{theostyle}
\newtheorem{theo}{Theorem}[section]

\newtheorem{lemma}[theo]{Lemma}
\newtheorem{defin}[theo]{Definition}
\newtheorem{satz}[theo]{Satz}
\newtheorem{korollar}[theo]{Korollar}
\newtheorem{folgerung}[theo]{Folgerung}

\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
\DeclareMathOperator{\spec}{spec}
\DeclareMathOperator{\spur}{sp}
\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}
\DeclareMathOperator{\adj}{adj}
\DeclareMathOperator{\id}{id}
\DeclareMathOperator{\diag}{diag}
\DeclareMathOperator{\eig}{Eig}
\DeclareMathOperator{\nxn}{n \times n}
\DeclareMathOperator{\im}{im}

\newcommand\homkv{\Hom_\K(V, V)}
\newcommand\homk{\Hom_\K}
\newcommand\inner[2]{\langle #1, #2 \rangle}
\newcommand\norm[1]{\lVert #1 \rVert}

\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents

\chapter{Determinanten}

\section{Permutationen}

\begin{defin}
	Sei $n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}, [n] := \{1, 2, \dots, n\}$. \\
	Eine bijektive Abbildung $\pi:[n]\to[n]$ heißt \underline{Permutation} von $[n]$.
	Wir definieren die \underline{symmetrische Gruppe}
	$S_n := \{\pi\text{ Permutation von }[n]\}$
	mit der Hintereinanderausführung als Gruppenoperation.
\end{defin}

\subsubsection{Bemerkung}
\begin{itemize}
	\item $(S_n, \circ)$ ist eine Gruppe.
	\item $\pi\in S_n$ ist eindeutig durch das Tupel $(\pi(1), \dots, \pi(n))$ definiert.
	\item Fixpunkte $(\pi(i)=i)$ werden oft weggelassen.
\end{itemize}

\begin{defin}
	$\pi\in S_n$ heißt \underline{Transposition} wenn es $i, j\in [n]$ gibt mit
	\[\pi(k) = \begin{cases} k & k\notin\{i, j\}\\ i & k = j\\ j & k=i \end{cases}\]
	Wir schreiben $\pi = (ij)$.
\end{defin}

\begin{satz} \label{theo:1.1.3}
	Es gilt $\lvert S_n \rvert = n!$.
	\begin{proof}
		Vollständige Induktion
		\begin{itemize}
			\item $n=1: S_1 = \{\id\}\implies\lvert S_1\rvert = 1 = 1!$
			\item $n-1\to n:$\\ Angenommen $\lvert S_{n-1} \rvert = (n-1)!$. Dann gilt $\lvert\{\pi \in S_n: \pi(n) = n\}\rvert = (n-1)!$. Sei allgemein $i\in[n]$. Dann gilt $\pi(n)=i \iff (in)\circ\pi(n)=n$. Also gilt
			      \begin{align*}
				       & \lvert\{\pi\in S_n: \pi(n)=i\}\rvert = \lvert\{(in)\circ\pi: \pi(n)=n\}\rvert \\
				       & = \lvert\{\pi: \pi(n)=n\}\rvert = (n-1)!
			      \end{align*}
			      Weiters gilt
			      \begin{align*}
				       & S_n = \bigcup_{i\in[n]}^\bullet\{\pi\in S_n: \pi(n)=i\} \implies         \\
				       & \lvert S_n\rvert = \sum_{i\in[n]}\lvert\{\pi \in S_n: \pi(n) = i\}\rvert
				      = n\cdot(n-1)! = n!
			      \end{align*}
		\end{itemize}
	\end{proof}
\end{satz}

\begin{satz} \label{theo:1.1.4}
	Für $n\in \mathbb{N}_{\ge2}$ ist jedes $\pi \in S_n$ das Produkt von (endlich vielen) Transpositionen.
	\begin{proof}
		\begin{itemize}
			\item $n=2: S_2 = \{\id, (2 1)\}$
			\item $n-1\to n$\\
			      Sei $\pi \in S_n$. Dann gilt (siehe Beweis von Satz \ref{theo:1.1.3}) mit $i=\pi(n)$, dass
			      \[\underbrace{(i n)\pi}_{\pi_i}(n) = n\]
			      Sei $\pi_i = (\underbrace{\pi_i(1) \dots \pi_i(n-1)}_{\in S_{n-1}} n) \underset{\text{Induktions VS}}{\implies} \pi_i = (i_1 j_1) \dots (i_k j_k)$.\\
			      Außerdem gilt $\pi = (i n)\pi_i$, also $\pi = (i n)(i_1 j_1) \dots (i_k j_k)$
		\end{itemize}
	\end{proof}
\end{satz}
\subsubsection{Bemerkung}
\begin{itemize}
	\item Produktdarstellung ist nicht eindeutig, zum Beispiel:\\ $(3 1 2) = (2 1)(3 1) = (3 1)(3 2)$
	\item $f\in \mathbb{Z}[X_1, \dots, X_n], \pi \in S_n$\\$\pi f(X_1, \dots, X_n) := f(X_{\pi(1)}, \dots, X_{\pi(n)})$
\end{itemize}
\subsubsection{Beispiel}
$\pi = (2 3 1), f(X_1, X_2, X_3) = X_1-X_2+X_1X_3 \implies \pi f(X_1, X_2, X_3) = X_2 - X_3 + X_2X_1$

\begin{lemma} \label{theo:1.1.5}
	Sei $f(X_1, \dots, X_n) = \prod\limits_{\substack{i, j\in[n]\\ i < j}} (X_j-X_i)\in \mathbb{Z}[X_1, \dots, X_n]$.\\
	Dann gilt \begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item Zu jedem $\pi \in S_n$ existiert eine eindeutig Zahl $s(\pi) \in \{-1, 1\}$ mit $\pi f = s(\pi)f$.
		\item Für $\pi$ eine Transposition gilt $s(\pi) = -1$.
	\end{enumerate}
	\begin{proof}
		\begin{enumerate}[label=\alph*)]
			\item \begin{equation*}\begin{aligned}
					      \pi f(X_1, \dots, X_n) & = \prod_{i<j}(X_{\pi(j)}-X_{\pi(i)})                                                     \\
					                             & =\Bigg(\prod_{\substack{i<j                                                              \\\pi(i)<\pi(j)}}(X_{\pi(j)}-X_{\pi(i)})\Bigg)\Bigg(\prod_{\substack{i<j\\\pi(j)<\pi(i)}}(X_{\pi(i)}-X_{\pi(j)})\Bigg) \\
					                             & = (-1)^{\lvert\{(i, j)\in[n]\times[n]:i<j\land\pi(i)>\pi(j)\}\rvert}\prod_{i<j}(X_j-X_i) \\
					                             & = s(\pi)f(X_1, \dots, X_n) \text{ mit }                                                  \\
					      s(\pi)                 & = (-1)^{\lvert\{(i, j)\in[n]\times[n]:i<j\and\pi(i)>\pi(j)\}\rvert}
				      \end{aligned}\end{equation*}
			\item $\pi = (i j), i<j, k\in\{i+1, \dots, j-1\}$:
			      $\pi(i, j) = (j, i), \pi(i, k) = (j, k), \pi(k, j) = (k, i)$\\
			      Für diese Paare gilt $x<y \land \pi(x) > \pi(y)$\\
			      Für alle anderen Paare gilt $x<y \land \pi(x)<\pi(y)$\\
			      Erstere sind $2(j-i-1)+1$ Paare. Daraus folgt $\pi f=(-1)^{2(j-i-1)+1}f$, also $s(\pi)=-1$.
		\end{enumerate}
	\end{proof}
\end{lemma}

\begin{defin}
	\leavevmode
	\begin{itemize}
		\item Die durch Lemma \ref{theo:1.1.5} bestimmte Größe $s(\pi)$ heißt \underline{Signum} von $\pi \in S_n$. Wir schreiben $\sgn(\pi)$.
		\item $\pi$ heißt \underline{gerade} falls $\sgn(\pi)=1$ und \underline{ungerade} falls $\sgn(\pi)=-1$.
	\end{itemize}
\end{defin}

\begin{satz} \label{theo:1.1.7}
	Für $\pi, \sigma \in S_n$ gilt \[\sgn(\sigma\pi)=\sgn(\sigma)\sgn(\pi)\]
	\begin{proof}
		Nach Satz \ref{theo:1.1.5}(a) gilt:
		\begin{align*}
			 & f(X_1, \dots, X_n) = \prod\limits_{i<j}(X_j-X_i) \implies        \\
			 & \sigma\pi f(X_1, \dots, X_n) = \sgn(\sigma\pi)f(X_1, \dots, X_n)
		\end{align*}
		Andererseits gilt: \begin{equation*}\begin{split}\sigma\pi f(X_1, \dots, X_n) &= \sigma[\pi f(X_1, \dots, X_n)]\\
				&= \sigma[\sgn(\pi)f(X_1, \dots, X_n)] \\
				&= \sgn(\pi) \sigma f(X_1, \dots, X_n) \\
				&= \sgn(\pi)\sgn(\sigma)f(X_1, \dots, X_n)
			\end{split}
		\end{equation*}
	\end{proof}
\end{satz}

\begin{satz}
	\leavevmode
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $\sgn(\pi)=1\iff\pi$ ist Produkt gerader Anzahl Transpositionen
		\item $\pi$ Produkt von k Transpositionen $\implies \sgn(\pi)=(-1)^k$
	\end{enumerate}
	\begin{proof}
		Folgt direkt aus Satz \ref{theo:1.1.5}(b) und Satz \ref{theo:1.1.7}
	\end{proof}
\end{satz}

\begin{folgerung}
	Es gibt genau $\frac12n!$ gerade und $\frac12n!$ ungerade Permutationen in $S_n$
	\begin{proof}
		Folgt aus Satz \ref{theo:1.1.3}
	\end{proof}
\end{folgerung}

\begin{defin}
	Die geraden Permutationen bilden eine Untergruppe $A_n$ von $S_n$, die man \underline{alternierende Gruppe} nennt.
\end{defin}

\section{Multilinearformen}
\begin{defin}
	Seien $V_1, \dots, V_n, W$ \K-Vektorräume. Eine Abbildung $\varphi: V_1 \times \dots \times V_n \to W$ heißt \underline{n-linear}, wenn für alle $v_1, v'_1 \in V_1, \dots, v_n, v'_n\in V_n, i \in [n], \lambda\in\K$ gilt, dass
	\begin{itemize}
		\item $\varphi(v_1, \dots, v_i+v'_i, \dots, v_n)=\varphi(v_1, \dots, v_i, \dots, v_n)+\varphi(v_1, \dots, v'_i, \dots, v_n)$
		\item $\varphi(v_1, \dots, \lambda v_i, \dots, v_n)= \lambda\varphi(v_1, \dots, v_i, \dots, v_n)$.
	\end{itemize}
	Ist $W=\K$ und $V_1, \dots, V_n=V$, so heißt $\varphi$ \underline{n-Linearform}. ($n=2 \to$ \underline{Bilinearform})
\end{defin}

\subsubsection{Beispiel}
\[
	\varphi:
	\begin{cases}
		\K^2\times \K^2 & \to \K                              \\
		\left(\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\end{pmatrix}\right)
		                & \mapsto a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}
	\end{cases}
\]

\begin{defin} \label{theo:1.2.2}
	Eine n-Linearform von V heißt
	\begin{itemize}
		\item \underline{nicht ausgeartet}, falls
		      $(a_1, \dots, a_n)\in V\times\dots\times V$ existiert mit \\
		      $\varphi(a_1, \dots, a_n) \neq 0$.
		\item \underline{alternierend}, falls $\varphi(a_1, \dots, a_n)=0$ für $a_1, \dots, a_n$ linear abhängig.
	\end{itemize}
\end{defin}

\subsubsection{Bemerkung}
$\varphi$ alternierend und $a_i = a_j$ für $i\neq j \implies \varphi(a_1, \dots, a_n) = 0$.

\begin{lemma} \label{theo:1.2.3}
	Sei $\varphi$ alternierende n-Linearform von V und $\pi \in S_n$. Dann gilt für\\
	$a_1, \dots, a_n\in V$:
	\[\varphi(a_{\pi(1)}, \dots, a_{\pi(n)})=\sgn(\pi)\varphi(a_1, \dots, a_n)\]
	\begin{proof}
		Wegen Satz \ref{theo:1.1.4} und Satz \ref{theo:1.1.7} genügt es anzunehmen, dass $\pi$ Transposition ist. Sei also $\pi=(ij)$. Es gilt
		\begin{equation*}
			\begin{aligned}
				0 & =\varphi(a_1, \dots, \underbrace{a_i+a_j}_{i}, \dots, \underbrace{a_i+a_j}_{j}, \dots, a_n)                                              \\
				  & =\underbrace{\varphi(a_1, \dots, a_i, \dots, a_i, \dots, a_n)}_{0} + \underbrace{\varphi(a_1, \dots, a_j, \dots, a_j, \dots, a_n)}_{0}   \\ &+ \varphi(a_1, \dots, a_i, \dots, a_j, \dots, a_n) + \varphi(a_1, \dots, a_j, \dots, a_i, \dots, a_n) \\
				  & \implies \varphi(a_1, \dots, a_j, \dots, a_i, \dots, a_n)=\underbrace{(-1)}_{=\sgn{\pi}}\varphi(a_1, \dots, a_i, \dots, a_j, \dots, a_n)
			\end{aligned}
		\end{equation*}
	\end{proof}
\end{lemma}

\begin{lemma} \label{theo:1.2.4}
	Sei $V$ $\K$-VR mit $\dim(V)=n$ und $\varphi$ nicht ausgeartete und alternierende n-Linearform von V. Dann gilt
	\[a_1, \dots, a_n \text{ linear abhängig} \iff \varphi(a_1, \dots, a_n) = 0\]
	\begin{proof}
		\begin{itemize}
			\item[$\implies$]: folgt aus Definition \ref{theo:1.2.2}
			\item[$\impliedby$]: z.Z.: $\varphi(b_1, \dots, b_n)\neq0\impliedby b_1, \dots, b_n \text{ Basis von } V$. Da $\varphi$ nicht ausgeartet ist, gibt es $a_1, \dots, a_n\in V$ mit $\varphi(a_1, \dots, a_n)\neq0$.\\
			Da $b_1, \dots, b_n$ Basis gibt es $\lambda_{ij}\in\K$ mit $a_i=\sum\limits_{j=1}^n{\lambda_{ij}b_j}$\\
			Wegen n-Linearität gilt
			\[
				\begin{aligned}
					0\neq\varphi(a_1, \dots, a_n) & =\sum_{j_1=1}^n{\dots}\sum_{j_n=1}^n{\varphi(b_{j_1}, \dots, b_{j_n})\lambda_{1j_1}\cdots\lambda_{nj_n}}                                           \\
					                              & \underbrace{=}_{\varphi\text{ alternierend}}
					\sum_{\substack{j_1, \dots, j_n                                                                                                                                                    \\\text{paarweise verschieden}}}
					{\varphi(b_{j_1}, \dots, v_{j_n})\lambda_{1j_1} \cdots \lambda_{nj_n}}                                                                                                             \\
					                              & = \sum_{\pi\in S_n} \varphi(b_{\pi(1)}, \dots, b_{\pi(n)})\lambda_{1\pi(1)} \cdots \lambda_{n\pi(n)}                                               \\
					                              & \underbrace{=}_{\text{Lemma \ref{theo:1.2.3}}}\varphi(b_1, \dots, b_n)\Big(\sum_{\pi\in S_n}\sgn(\pi)\lambda_{1\pi(1)}\cdots\lambda_{n\pi(n)}\Big) \\
					                              & \implies\varphi(b_1, \dots, b_n)\neq0
				\end{aligned}
			\]
		\end{itemize}
	\end{proof}
\end{lemma}

\begin{satz} \label{theo:1.2.5}
	Sei V $\K$-VR mit $\dim(V)=n$ und Basis $a_1, \dots, a_n$.
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item Für $\varphi$ alternierende nicht ausgeartete n-Linearform gilt für\\
		      $b_i = \sum\lambda_{ij}a_j$, dass
		      \[\varphi(b_1, \dots, b_n) = \varphi(a_1, \dots, a_n)(\sum_{\pi \in S_n}\sgn(\pi)\lambda_{1\pi(1)}\cdots\lambda_{n\pi(n)})
		      \]
		\item Sei $c\in\K\setminus\{0\}$. Dann ist die Abbildung
		      \[
			      \varphi(b_1, \dots, b_n) = c(\sum_{\pi \in S_n}\sgn(\pi)\lambda_{1\pi(1)}\cdots\lambda_{n\pi(n)})
		      \]
		      eine alternierende nicht ausgeartete n-Linearform.
	\end{enumerate}
	\begin{proof}
		\begin{enumerate}[label=\alph*)]
			\item folgt aus dem Beweis von Lemma \ref{theo:1.2.4}.
			\item Man verifiziert leicht, dass $\varphi$ n-linear ist. Weiters ist $\varphi$ nicht ausgeartet, da
			      \[
				      \varphi(a_1, \ldots, a_n) = c(\sum_{\pi\in S_n}\sgn(\pi)\delta_{1\pi(1)}, \cdots, \delta_{n\pi(n)})=c\cdot1\neq0
			      \]
			      z.Z.: $\varphi$ alternierend. Seien $b_1, \dots, b_n$ linear abhängig.\\
			      O.B.d.A. $b_1=\mu_2b_2+\cdots+\mu_nb_n$. Dann gilt
			      \[\varphi(b_1, \dots, b_n) = \sum_{j=2}^{n}\mu j \varphi(b_j, b_2, \dots, b_n)\]
			      Es genügt also zu zeigen, dass $\varphi(b_1, \dots, b_n) = 0$ falls $b_1 = b_i, i\in\{2, \dots, n\}$.
			      Dann gilt aber $\lambda_{1j}=\lambda_{ij} \forall j$.
			      \[
				      \begin{aligned}
					      \varphi(b_i, \dots, b_i, \dots, b_n) & = c\cdot\sum_{\pi\in S_n} \sgn(\pi) \lambda_{i\pi(1)}\cdots\lambda_{i\pi(i)}\cdots\lambda_{n\pi(n)}                                  \\
					                                           & =c\cdot \Bigg(\sum_{\pi\in A_n}\sgn(\pi)\lambda_{i\pi(i)}\cdots\lambda_{i\pi(i)}\cdots\lambda_{n\pi(n)}                              \\
					                                           & +\sum_{\pi\in A_n}\underbrace{\sgn(\pi\circ(1i))}_{=-\sgn(\pi)}\lambda_{i\pi(i)}\cdots\lambda_{i\pi(i)}\cdots\lambda_{n\pi(n)}\Bigg) \\
					                                           & =c\cdot\sum_{\pi\in A_n}(\sgn(\pi)-\sgn(\pi)) \cdot \cdots                                                                           \\
					                                           & \cdot \cdots \lambda_{i\pi(i)}\cdots\lambda_{i\pi(i)}\cdots\lambda_{n\pi(n)}=0
				      \end{aligned}
			      \]
		\end{enumerate}
	\end{proof}
\end{satz}

\subsubsection{Bemerkung}
Es gibt also zu jedem $\K$-VR V mit $\dim(V)=n$ eine nicht ausgeartete alternierende n-Linearform.

\begin{satz} \label{theo:1.2.6}
	Sei V $\K$-VR mit $\dim(V)=n$ und $\varphi_1, \varphi_2$ nicht ausgeartete alternierende n-Linearformen. Dann existiert $c\in\K\setminus\{0\}$ mit $\varphi_2=c\cdot\varphi_1$.
	\begin{proof}
		Sei $a_1, \dots, a_n$ Basis von V. Nach Lemma \ref{theo:1.2.4} ist
		$\varphi_i(a_1, \dots, a_n)\neq0, i=1, 2$.\\
		Sei $c:=\dfrac{\varphi_1(a_1, \dots, a_n)}{\varphi_2(a_1, \dots, a_n)} \in \K\setminus\{0\}$.\\
		Sei $b_1, \dots, b_n$ mit $b_i=\sum\lambda_{ij}a_j$.\\
		Dann gilt nach Satz \ref{theo:1.2.5}(a), dass für $i=1, 2$
		\[\begin{aligned}
				 & \varphi_i(b_1, \dots, b_n) = \varphi_i(a_1, \dots, a_n)\underbrace{\sum_{\pi \in S_n}\lambda_{1\pi(1)}\cdots\lambda_{n\pi(n)}}_{\text{unabhängig von $i$!}} \\
				 & \implies \frac{\varphi_1(b_1, \dots, b_n)}{\varphi_2(b_1, \dots, b_n)}=\frac{\varphi_1(a_1, \dots, a_n)}{\varphi_2(a_1, \dots, a_n)}=c
			\end{aligned}
		\]
	\end{proof}
\end{satz}

\section{Determinanten}
\begin{defin}
	Sei $B=(a_1, \dots, a_n)$ Basis des \K-Vektorraums V.
	Sei $\varphi$ nicht ausgeartete n-Linearform und $\alpha \in \homkv$.
	Dann ist die \underline{Determinante von $\alpha$} definiert durch \[
		\det(\alpha):=\det{}_\K(\alpha)
		:=\frac{\varphi(\alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n))}{\varphi(a_1, \dots, a_n)}
	\]
\end{defin}

\begin{satz} \label{theo:1.3.2}
	$\det(\alpha)$ ist unabhängig von der Wahl der Basis B und der der Form $\varphi$.
	\begin{proof}
		\begin{itemize}
			\item[1. Fall] $\alpha$ nicht bijektiv\\ $\implies \alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n) \text{linear unabhängig} \implies \det(\alpha) = 0$
			\item[2. Fall] $\alpha$ bijektiv. Sei $B=(a_1, \dots, a_n)$.

				Dann ist auch $\alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n)$ Basis und,
				da $\varphi$ nicht ausgeartet,
				\[\varphi(\alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n))\neq0\]

				Sei $\varphi_\alpha(b_1, \dots, b_n) := \varphi(\alpha(b_1), \dots, \alpha(b_n))$.
				Dann ist $\varphi_\alpha$ alternierend und nicht ausgeartet. Wegen Satz \ref{theo:1.2.6} folgt, dass $c\in\K\setminus\{0\}$ existiert mit
				\begin{equation}\label{eq:constantphi}
					\varphi_\alpha=c\cdot\varphi
				\end{equation}
				und (durch Einsetzen von $a_1, \dots, a_n$), dass $c=\det(\alpha)$.
				Da \ref{eq:constantphi} unabhängig von B ist also $\det(\alpha)$ unabhängig von B.

				Sei nun $\psi$ eine zweite alternierende, nicht ausgeartete n-Form und
				$\psi_\alpha(b_1, \dots, b_n) := \psi(\alpha(b_1), \dots, \alpha(b_n))$.
				Dann ist $\psi_\alpha$ alternierend und nicht ausgeartet. Nach Satz \ref{theo:1.2.6}
				gibt es $d\in\K\setminus\{0\} \text{ mit }d=\frac\psi\varphi$.
				Also gilt:
				\[
					\det(\alpha)=\frac{\varphi_\alpha(a_1, \dots, a_n)}{\varphi(a_1, \dots, a_n)}=\frac{d\varphi_\alpha(a_1, \dots, a_n)}{d\varphi(a_1, \dots, a_n)}=\frac{\psi_\alpha(a_1, \dots, a_n)}{\psi(a_1, \dots, a_n)}
				\]

				also ist $\det(\alpha)$ auch von der n-Form unabhängig.
		\end{itemize}
	\end{proof}
\end{satz}

\begin{korollar} \label{theo:1.3.3}
	Sei V ein n-dimensionaler \K-Vektorraum. Dann gilt
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $\alpha\in \homkv \text{ bijektiv } \iff \det(\alpha)\neq0$
		\item $\alpha, \beta \in \homkv \implies \det(\alpha, \beta) = \det(\alpha) \det(\beta)$
		\item $\det(\id)=1$
		\item Ist $\alpha\in \homkv$ invertierbar, so gilt $\det(\alpha^{-1})=\det(\alpha)^{-1}$.
	\end{enumerate}
	\begin{proof}
		Sei $B=(a_1, \dots, a_n)$ Basis und $\varphi$ n-Form mit \[
			\det(\alpha) = \frac{\varphi(\alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n))}{\varphi(a_1, \dots, a_n)}\text{[unabhängig von $B$ und $\varphi$ nach Satz \ref{theo:1.3.2}]}
		\]
		\begin{enumerate}[label=\alph*)]
			\item $\alpha$ bijektiv $\iff \alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n) \text{ linear unabhängig}$\\
			      $\underbrace{\iff}_{\text{Lemma \ref{theo:1.2.4}}}
				      \varphi(\alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n))\neq0\iff \det(\alpha)\neq0$
			\item 2 Fälle:\begin{enumerate}[label=\arabic. Fall]
				      \item[1. Fall:] $\alpha$ oder $\beta$ ist nicht bijektiv: o.B.d.A $\alpha$ nicht bijektiv.\\
					      $\implies \det(\alpha)=0\implies \det(\alpha)\det(\alpha)=0$\\
					      Weiters folgt, dass $\alpha\beta$ nicht bijektiv, also $\det(\alpha\beta)=0$.
				      \item[2. Fall:] $\alpha, \beta$ bijektiv. Dann ist auch $(\beta(a_1), \dots, \beta(a_n))$ Basis und
					      \[
						      \begin{aligned}
							      \det(\alpha\beta) & = \frac{\varphi(\alpha(\beta(a_1)), \dots, \alpha(\beta(a_n)))}{\varphi(a_1, \dots, a_n)}                                                           \\
							                        & =\frac{\varphi(\alpha(\beta(a_1)), \dots, \alpha(\beta(a_n)))}{\varphi(\beta(a_1), \dots, \beta(a_n))}\cdot \cdots                                  \\
							                        & \cdots \frac{\varphi(\beta(a_1), \dots, \beta(a_n))}{\varphi(a_1, \dots, a_n)}\underbrace{=}_{\text{Satz \ref{theo:1.3.2}}} \det(\alpha)\det(\beta)
						      \end{aligned}
					      \]
			      \end{enumerate}
			\item $\det(\id)=\frac{\varphi(a_1, \dots, a_n)}{\varphi(a_1, \dots, a_n)}=1$
			\item $1\underbrace{=}_{\text{c)}}\det(\id)=\det(\alpha\alpha^{-1})\underbrace{=}_{\text{b)}}\det(\alpha)\det(\alpha^{-1})$
		\end{enumerate}
	\end{proof}
\end{korollar}

\begin{satz} \label{theo:1.3.4}
	Sei $\alpha\in \homkv, B=(b_1, \dots, b_n)$ Basis und $A=(a_{ij}) = {}_B M(\alpha)_B\in\K^{n\times n}$. Dann gilt
	\[\det(\alpha)=\sum_{\pi\in S_n}\sgn(\pi)a_{1\pi(1)}\cdots a_{n\pi(n)}\]
	\begin{proof}
		Es gilt $\alpha(b_i)=\sum\limits_{j=1}^na_{ij}b_j \text{ für }i=1, \dots, n$.
		Nach Satz \ref{theo:1.2.5}(a) gilt
		\[
			\varphi(\alpha(b_1), \dots, \alpha(b_n)) = \varphi(b_1, \dots, b_n)\cdot\sum_{\pi\in S_n}\sgn(\pi)a_{1\pi(1)}\cdots a_{n\pi(n)}
		\]
		und daraus folgt die Behauptung direkt.
	\end{proof}
\end{satz}

\begin{defin}
	Für $A=(a_{ij})\in\K^{n\times n}$ definieren wir die \underline{Determinante von A} als
	\[
		\det(A)=\sum_{\pi\in S_n} \sgn(\pi)a_{1\pi(1)}\cdots a_{n\pi(n)}\in\K
	\]
\end{defin}

\subsubsection{Bemerkung}
Schreibweise für $A=(a_{ij})$:
\[
	\det(A)=\begin{vmatrix}
		a_{11} & \dots  & a_{1n} \\
		\vdots & \ddots & \vdots \\
		a_{n1} & \dots  & a_{nn}
	\end{vmatrix}
\]

\section{Rechenregeln}
\begin{satz}\label{theo:1.4.1}
	Sei $A=(a_1, \dots, a_n)\in\K^{n\times n}$. Dann gilt
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $\det(A)=\det(A^T)$
		\item $\forall i, j\in[n]: i<n: \det((a_1, \dots, \underbrace{a_j}_{i}, \dots, \underbrace{a_i}_{j}, \dots, a_n))=\det(A)$
		\item $\forall i\in[n], \lambda_1, \dots, \lambda_n\in\K: \det((a_1, \dots, a_i+\sum\limits_{\substack{j=1\\j\neq i}}^n\lambda_ja_j, \dots, a_n))=\det(A)$
		\item $\forall i\in[n], \lambda\in\K: \det((a_1, \dots, \lambda a_i, \dots, a_n)) = \det(A)$
		\item $\exists i, j\in[n]: i\neq j\land a_i=a_j \implies \det(A)=0$
		\item $\forall \lambda \in \K: \det(\lambda A)=\lambda^n \det(A)$
		\item $A$ invertierbar $\implies \det(A^{-1})=\det(A)^{-1}$
		\item $\forall B \in \K^{n\times n}: \det(AB)=\det(A)\det(B)$
		\item $\det(I_n)=1$
	\end{enumerate}
	\begin{proof}
		Nur a) explizit:
		\begin{enumerate}[label=\alph*)]
			\item \begin{equation*}\begin{aligned}
					      \det(A^T) & = \sum_{\pi\in S_n}\sgn(\pi)a_{\pi(1)1}\cdots a_{\pi(n)n}          \\
					                & =\sum_{\pi\in S_n}\sgn(\pi)a_{1\pi^{-1}(1)}\cdots a_{n\pi^{-1}(n)} \\
					                & \underbrace{=}_{\substack{\sgn(\pi^{-1})=\sgn(\pi)                 \\\pi^{-1}\mapsto\pi}} \sum_{\pi\in S_n} \sgn(\pi)a_{1\pi(1)}\cdots a_{n\pi(n)}
				      \end{aligned}\end{equation*}
			\item[b) - i)] folgt daraus, dass für \[\alpha:\begin{cases}\K^n\to\K^n\\x\mapsto A\cdot x\end{cases}:
					\det(A)=\dfrac{a}{b}\text{ (Satz \ref{theo:1.3.4})}\] und, dass $\varphi$ alternierende n-Form ist, bzw. Korollar \ref{theo:1.3.3}
		\end{enumerate}
	\end{proof}
\end{satz}

\begin{satz}
	Seien $A, B\in\K^{n\times n}$ ähnlich,
	das heißt $\exists P\in\K^{n\times n}$ invertierbar mit \\
	$B=P^{-1}\cdot A\cdot P$. Dann gilt
	\[\det(A)=\det(B)\]
	Weiters ist A genau dann invertierbar wenn $\det(A)\neq0$.
	\begin{proof}
		\[\det(B)=\det(P)\underbrace{\det(P^{-1})}_{=\det(P)^{-1}}\det(A)=\det(A)\]
		Rest folgt, da $\det(A)=\det(\alpha)$ mit $\alpha:\begin{cases}\K^n\to\K^n \\x\mapsto A\cdot x
			\end{cases}$.
	\end{proof}
\end{satz}

\subsubsection{Berechnungsverfahren}
Gaußalgorithmus führt 1) Zeilenvertauschungen und 2) Additionen von\\
Vielfachen einer Zeile zu einer anderen durch. Raus kommt eine obere Dreiecksmatrix.
\begin{equation}\label{eq:dreiecksmatrix}
	B=\begin{pmatrix}
		b_{11} & \dots  & \dots  & b_{1n} \\
		0      & b_{22} & \dots  & b_{2n} \\
		\vdots &        & \ddots & \vdots \\
		0      & \dots  & \dots  & b_{nn}
	\end{pmatrix}
\end{equation}
Operationen 2) ändern die Determinante nicht, Operationen 1) ändern das Vorzeichen.

\begin{satz}
	Sei $A\in\K^{n\times n}$ und $B$ wie \ref{eq:dreiecksmatrix} das Resultat des Gaußalgorithmus auf $A$ angewendet mit $k$ Zeilenvertauschungen. Dann gilt
	\[
		\det(A)=(-1)^kb_{11}\cdot\dots\cdot b_{nn}
	\]
	\begin{proof}
		Für Matrizen der Form \ref{eq:dreiecksmatrix} ist die Determinante das Produkt der Diagonalelemente. Rest folgt aus der Definition des Gaußalgorithmus, sowie Satz \ref{theo:1.4.1}.
	\end{proof}
\end{satz}

\subsubsection{Regel von Sarrus}
Sei $A=\begin{pmatrix}
		a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
		a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
		a_{31} & a_{32} & a_{33}
	\end{pmatrix}\in\K^{3\times3}$
\[\begin{array}{ccccccccc}
		a_{11} &                              & a_{12} &                                                            & a_{13} &                                                            & a_{11} &                              & a_{12} \\
		       & \color{ForestGreen}\diagdown &        & \color{ForestGreen}\diagdown \color{red} \mathllap \diagup &        & \color{ForestGreen}\diagdown \color{red} \mathllap \diagup &        & \color{red}\diagup                    \\
		a_{21} &                              & a_{22} &                                                            & a_{23} &                                                            & a_{21} &                              & a_{22} \\
		       & \color{red} \diagup          &        & \color{ForestGreen}\diagdown \color{red} \mathllap \diagup &        & \color{ForestGreen}\diagdown \color{red} \mathllap \diagup &        & \color{ForestGreen}\diagdown          \\
		a_{31} &                              & a_{32} &                                                            & a_{33} &                                                            & a_{31} &                              & a_{32}
	\end{array} \color{ForestGreen} + + + \color{red} - - -\]

$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\in\K^{2\times2} \implies \det(A)=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$\\
$n>3 \to $ Gaußalgorithmus

\begin{defin}
	Sei $A\in\K^{n\times n}$ und $i, j\in[n]$. Sei $M_{ij}\in\K^{n\times n}$ die Matrix, welche durch Ersetzung der j-ten Spalte durch den i-ten Einheitsvektor $e_j$ entsteht.\\
	$A_{ij}:=\det(M_{ij})$ heißt \underline{Kofaktor} (zum Indexpaar $(i, j)$).
	\begin{equation*}
		\bordermatrix{
		&&&&j \cr
		&a_{11}&\dots &a_{1i-1}&0&a_{1i+1}&\dots&a_{1n} \cr
		&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \cr
		i&a_{ji}&\dots&a_{ji-1}&1&a_{ji+1}&\dots&a_{jn}\cr
		&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \cr
		&a_{n1}&\dots &a_{ni-1}&0&a_{ni+1}&\dots&a_{nn}
		}
		= M_{ij}=(a_{\_1}, \dots, \underbrace{e_i}_{j}, \dots, a_{\_n})
	\end{equation*}
\end{defin}

\subsubsection{Bemerkung}
Es gilt
\begin{equation}\label{crazymatrix}
	A_{ij}=\begin{vmatrix}
		a_{11} & \dots  & a_{1i-1} & 0      & a_{1i+1} & \dots  & a_{1n} \\
		\vdots & \ddots & \vdots   & \vdots & \vdots   & \ddots & \vdots \\
		a_{ji} & \dots  & a_{ji-1} & 1      & a_{ji+1} & \dots  & a_{jn} \\
		\vdots & \ddots & \vdots   & \vdots & \vdots   & \ddots & \vdots \\
		a_{n1} & \dots  & a_{ni-1} & 0      & a_{ni+1} & \dots  & a_{nn}
	\end{vmatrix}
\end{equation}
da obige Matrix aus $M_{ij}$ durch Spaltenadditionen hervorgeht.

\begin{lemma}
	Sei $\tilde{A_{ij}}\in\K^{(n-1)\times(n-1)}$ die Matrix, welche aus A durch Streichung der i-ten Spalte und j-ten Zeile hervorgeht und $D_{ij}:=\det(\tilde{A_{ij}})$. Dann gilt \[A_{ij}=(-1)^{i+j}D_{ij}\]
	\begin{proof}
		Transformiere durch ($i-1$) Spaltenvertauschungen und ($j-1$) Zeilenvertauschungen die Matrix \ref{crazymatrix} auf
		\[
			B_{ij} = \begin{pmatrix}
				1      & 0 & \dots          & 0 \\
				0      &   &                &   \\
				\vdots &   & \tilde{A_{ij}} &   \\
				0      &   &                &
			\end{pmatrix}
		\]
		Es gilt $\lvert B_{ij}\rvert=D_{ij}$ und $\lvert B_{ij}\rvert=(-1)^{(i-1)+j(-1)}A_{ij}$ woraus die Behauptung folgt.
	\end{proof}
\end{lemma}

\begin{satz}[Entwicklungssatz von Laplace]
	Sei $A\in\K^{n\times n}$ und $i, j\in[n]$. Dann gilt
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $\det(A) = \sum\limits_{l=1}^na_{il}A_{il} = \sum\limits_{l=1}^n(-1)^{l+i}a_{il}D_{il}$
		\item $\det(A) = \sum\limits_{l=1}^na_{lj}A_{lj} = \sum\limits_{l=1}^n(-1)^{l+j}a_{lj}D_{lj}$
	\end{enumerate}
	\begin{proof}
		b) \[\begin{aligned}
				\det(A) & = \det(a_{\_1}, \dots, a_{\_n})=                                                      \\
				        & =\det(a_{\_1}, \dots, \underbrace{\sum_{l=1}^na_{lj}e_l}_{=a_{\_j}}, \dots, a_{\_n})= \\
				        & =\sum_{l=1}^n a_{lj}\det(a_{\_1}, \dots, \underbrace{e_l}_{j}, \dots, a_{\_n}) =      \\
				        & = \sum_{l=1}^n a_{lj}A_{lj}
			\end{aligned}
		\]
		a) analog (angewendet auf $A^T$).
	\end{proof}
\end{satz}

\begin{satz}[Cramer'sche Regel]
	Sei $\adj(A)=(A_{ji})_{i, j\in[n]}$. Dann gilt
	\[A\cdot \adj(A) = \det(A)\cdot I_n\]
	\begin{proof}
		Sei $B=A\cdot\adj(A)\implies$
		\[\begin{aligned}
				b_{ij} & = \sum_{k=1}^n a_{ik} A_{jk}                                                                                         \\
				       & = \sum_{k=1}^n a_{ik} \det(a_{\_1}, \dots, \underbrace{e_j}_{k}, \dots, a_{\_n})                                     \\
				       & = \sum_{k=1}^n a_{ik}
				\bordermatrix{
				       &                                                                                  &        & k      &        &        \\
				       & a_{11}                                                                           & \dots  & a_{1k} & \dots  & a_{1n} \\
				       & \vdots                                                                           & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
				j      & 0                                                                                & \dots  & 1      & \dots  & 0      \\
				       & \vdots                                                                           & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
				       & a_{n1}                                                                           & \dots  & a_{nk} & \dots  & a_{nn} \\
				}                                                                                                                             \\
				       & = \det\left(\bordermatrix{                                                       &                                   \\
				       & a_{1\_}                                                                                                              \\ & \vdots \\ j \to & a_{i\_} \\ & \vdots \\ & a_{n\_}}\right) \\
				       & = \begin{cases}0& i\neq j \\ \det(A) & i=j\end{cases}
			\end{aligned}\]
	\end{proof}
\end{satz}

\begin{folgerung}
	Sei $A\in\K^{n\times n}$ invertierbar. Sei $x\in\K^n$ die eindeutige Lösung des linearen Gleichunssystems $Ax=b$. Dann gilt
	\[
		x_i= \det(A)^{-1} \det(a_{\_1}, \dots, \underbrace{b}_{i}, \dots, a_{\_n})
	\]
	\begin{proof}
		\[\begin{aligned}
				 & A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}(A_{ji})                                                                                           \\
				 & \implies \det(A)x_i=\sum_{j=1}^n A_{ji}b_j & = \sum_{j=1}^n b_j \det(a_{\_1}, \dots, \underbrace{e_j}_{i}, \dots, a_{\_n}) \\
				 &                                            & =\det(a_{\_1}, \dots, \underbrace{b}_{i}, \dots, a_{\_n})
			\end{aligned}\]
	\end{proof}
\end{folgerung}

\subsubsection{Blockmatrizen}

\begin{defin}
	$A\in\K^{n\times n}$ heißt \underline{obere Blockmatrix} wenn $\exists p\in \{1, \dots, n-1\}$ mit $a_{ij}=0$ für $p+1\le i\le n, 1\le j\le p$, d.h.
	\begin{equation}
		\label{blockmatrix}
		A=\bordermatrix{
			\ &\overbrace{}^{p} & \overbrace{}^{n-p} \cr
			p\{\ & P & D \cr % } TODO geschwungene Klammern besser machen
			n-p\{\ &0&Q} % }
	\end{equation}
	Analog sind \underline{untere Blockmatrizen} definiert.
\end{defin}

\begin{satz} \label{theo:1.4.10}
	Sei $A$ obere Blockmatrix wie in \ref{blockmatrix}. Dann gilt $\det(A)= \det(P) \det(Q)$
	\begin{proof}
		Sei $A = \begin{pmatrix} P & D \\ 0 & Q \end{pmatrix}$.\\
		Wende elementare Zeilenumformungen der ersten $p$ Zeilen an, sodass $P$ obere Dreiecksform hat
		(mit $s$ Zeilenvertauschungen) und elementare Zeilenumformungen der letzten $n-p$ Zeilen sodass
		$Q$ obere Dreiecksform hat (mit $t$ Zeilenvertauschungen).
		Bezeichne das Ergebnis mit $A'= \begin{pmatrix} P' & D \\ 0 & Q' \end{pmatrix}$, wobei $P', Q'$ obere Dreiecksform haben.\\
		Es folgt, dass $A', P', Q'$ obere Dreiecksform hat. Da die Determinante oberer Dreiecksmatrizen
		das Produkt der Diagonalelemente ist, gilt $\det(A')=\det(P')\det(Q')$.\\
		Weiters gilt $\det(A')=(-1)^{s+t} \det(A)$ (insgesamt $s+t$ Vertauschungen)
		und $\det(P')= (-1)^s \det(P), \det(Q') = (-1)^t \det(Q)$. Daraus folgt die Behauptung.
	\end{proof}
\end{satz}

\chapter{Eigenwerte und Eigenvektoren}

\section{Diagonalisierbarkeit}

\begin{defin}
	$D\in \K^{n\times n}$ heißt \underline{Diagonalmatrix} wenn $\forall i\neq j: d_{ij}=0$.
	Wir schreiben auch
	\[
		\diag(\lambda_1, \dots, \lambda_n):=\begin{pmatrix}
			\lambda_1 & 0         & \dots  & 0         \\
			0         & \lambda_2 & \dots  & 0         \\
			\vdots    & \vdots    & \ddots & \vdots    \\
			0         & 0         & \dots  & \lambda_n
		\end{pmatrix}
	\]
\end{defin}

\subsubsection{Bemerkung}
\begin{itemize}
	\item $A\in \K^{n\times m} \implies \diag(\lambda_1, \dots, \lambda_n)A = \begin{pmatrix}
			      \lambda_1 a_{1\_} \\
			      \vdots            \\
			      \lambda_n a_{n\_}\end{pmatrix}$
	\item $\diag(\lambda_1, \dots, \lambda_n)^k = \diag(\lambda_1^k, \dots, \lambda_n^k)$
\end{itemize}

\begin{defin}
	\leavevmode
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $\alpha \in \homkv, \dim(V)<\infty$ heißt \underline{diagonalisierbar} (bzgl. $B$)
		      wenn eine geordnete Basis $B$ existiert mit ${}_B M(\alpha)_B$ Diagonalmatrix
		\item $A\in\K^{n\times n}$ heißt diagonalisierbar wenn eine invertierbare Matrix $P\in\K^{n\times n}$ existiert mit $P^{-1}AP$ Diagonalmatrix.
	\end{enumerate}
\end{defin}

\begin{lemma}
	Sei $V$ $\K$-Vektorraum mit $\dim(V)=n<\infty$.
	Dann gilt für $\alpha\in\homkv$ und $C$ Basis:
	\[\alpha \text{ diagonalisierbar} \iff {}_C M(\alpha)_C \text{ diagonalisierbar}\]
	\begin{proof}
		\begin{itemize}
			\item[$\implies$] Sei $\alpha$ diagonalisierbar und $B$ eine Basis mit $_B M(\alpha)_B$ Diagonalmatrix. Dann gilt \[
					\begin{aligned} {}_B M(\alpha)_B & = {}_B M(\id)_C \cdot {}_C M(\alpha)_C \cdot {}_C M(\id)_B        \\
                                 & = {}_C M(\id)_{B^{-1}} \cdot {}_C M(\alpha)_C \cdot {}_C M(\id)_B\end{aligned}\]
				Also ist ${}_C M(\alpha)_C$ diagonalisierbar.
			\item[$\impliedby$] Sei ${}_C M(\alpha)_C$ diagonalisierbar und $P$ invertierbar mit $P^{-1}\cdot {}_C M(\alpha)_C \cdot P$ Diagonalmatrix.
				Sei $B$ Basis mit $P={}_C M(\id)_B$.
				Dann gilt ${}_B M(\alpha)_B$ ist Diagonalmatrix.
		\end{itemize}
	\end{proof}
\end{lemma}

\begin{lemma} \label{theo:2.1.4}
	\leavevmode
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $\alpha \in \homkv$ ist diagonalisierbar genau wenn es eine Basis $B=(b_1, \dots, b_n)$ und $\lambda_1, \dots, \lambda_n\in\K$ gibt mit $\forall i=1, \dots, n:\alpha(b_i)=\lambda_i b_i$.
		\item $A\in\K^{n\times n}$ ist diagonalisierbar genau wenn es eine geordnete Basis $B= (b_1, \dots, b_n)$ von $\K^n$ gibt mit $\forall i=1, \dots, n: A b_i = \lambda_i b_i$.
	\end{enumerate}
	\begin{proof}
		\begin{enumerate} [label=\alph*)]
			\item die Bedingung ist äquivalent zu ${}_B M(\alpha)_B$ diagonalisierbar.
			\item Spezialfall von a).
		\end{enumerate}
	\end{proof}
\end{lemma}

\section{Eigenwerte und Eigenvektoren}

\begin{defin} \label{theo:2.2.1}
	\leavevmode
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item Sei $\alpha \in \homkv$. $\lambda\in\K$ heißt \underline{Eigenwert} von $\alpha$ wenn es einen Vektor $v\in V\setminus\{0\}$ gibt mit $\alpha(v)=\lambda v$. $v$ heißt \underline{Eigenvektor} zu $\lambda$.\\
		      Die Menge aller Eigenwerte von $\alpha$ heißt \underline{Spektrum} von $\alpha; \spec(\alpha)$
		\item Sei $A \in \K^{n\times n}$. $\lambda\in\K$ heißt \underline{Eigenwert} von $A$ wenn es $v\in \K^n\setminus\{0\}$ gibt mit $A v = \lambda v$. $v$ heißt \underline{Eigenvektor} zu $\lambda$.\\
		      Die Menge aller Eigenwerte von $A$ heißt \underline{Spektrum} von $A; \spec(A)$
	\end{enumerate}
\end{defin}

\begin{lemma} \label{theo:2.2.2}
	\leavevmode
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $\alpha \in \homkv$ diagonalisierbar $\iff \exists$ Basis aus Eigenvektoren.
		\item $A \in \K^{n\times n}$ diagonalisierbar $\iff \exists$ Basis aus Eigenvektoren.
	\end{enumerate}
	\begin{proof}
		Folgt direkt aus Lemma \ref{theo:2.1.4} und Definition \ref{theo:2.2.1}
	\end{proof}
\end{lemma}

\begin{defin}
	\leavevmode
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item Sei $\alpha \in \homkv$ und $\lambda \in \spec(\alpha)$. Dann heißt $\eig_\alpha(\lambda):=\{v\in V: \alpha(v) = \lambda v \}$ der zugehörige \underline{Eigenraum}.
		\item Sei $A \in \K^{n\times n}$ und $\lambda \in \spec(A)$. Dann heißt $\eig_A(\lambda):=\{v\in \K^n: A v = \lambda v \}$ der zugehörige \underline{Eigenraum}.
	\end{enumerate}
\end{defin}

\begin{lemma}
	Sei $\alpha \in \homkv / A\in\K^{n\times n}$ und $\lambda \in \spec(\alpha)/\lambda\in\spec(A)$.\\
	Dann ist $\eig_\alpha(\lambda)/\eig_A(\lambda)$ ein Unterraum von $V/\K$.
	\begin{proof}
		Nur für $\alpha\in\homkv$
		\begin{itemize}
			\item $ 0 = \alpha(0) = \lambda \cdot 0 \implies 0 \in \eig_\alpha(\lambda) $
			\item $v, w\in \eig_\alpha(\lambda) \implies \alpha(v+w) = \alpha(v) + \alpha(w) = \lambda v + \lambda w = \lambda(v + w) \implies v + w \in \eig_\alpha(V)$
			\item $\mu \in \K, v \in \eig_\alpha(\lambda) \implies \alpha(\mu v) =
				      \mu \cdot \alpha(v) = \mu \cdot \lambda \cdot v =
				      \lambda \cdot (\mu \cdot v) \implies \mu \cdot v \in \eig_\alpha(\lambda)$
		\end{itemize}
	\end{proof}
\end{lemma}

\begin{satz}
	Sei $\alpha \in \homkv$ und $B$ Basis. Dann gilt
	\[\begin{aligned}
			 & \spec(\alpha) = \spec({}_B M(\alpha)_B)                           \\
			 & {}_B\Phi(\eig_\alpha(\lambda)) = \eig_{{}_B M(\alpha)_B}(\lambda)
		\end{aligned}\]
	\begin{proof}
		Sei $\lambda \in \spec(\alpha)$ und $v\in\eig_\alpha(\lambda)$. Dann gilt \[
			\alpha(v) = \lambda v \iff {}_B M(\alpha)_B \cdot {}_B v = \lambda \cdot {}_B v
		\]
	\end{proof}
\end{satz}

\begin{defin}
	\leavevmode
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item Sei $\alpha \in \homkv, \dim(V)<\infty$ und $B$ Basis. Dann heißt die Funktion \[
			      \chi_\alpha:\begin{cases}\K \to \K \\
				      \lambda \mapsto \det({}_B M(\alpha)_B - \lambda \cdot I_n)\end{cases}
		      \] \underline{charakteristisches Polynom} von $\alpha$.
		\item Sei $A \in \K^{n\times n}$. Dann heißt die Funktion \[
			      \chi_A:\begin{cases}\K \to \K \\
				      \lambda \mapsto \det(A - \lambda \cdot I_n)\end{cases}
		      \] \underline{charakteristisches Polynom} von $A$.
	\end{enumerate}
\end{defin}

\subsubsection{Bemerkung}
$\genfrac{}{}{0pt}{0}{\chi_\alpha}{\chi_A}$ ist Polynom vom Grad
$\le\genfrac{}{}{0pt}{0}{\dim(V)}{n}$, da
\[\begin{aligned}
		 & \chi_A(\lambda)=\sum_{\pi \in S_n} \tilde{a}_{1\pi(1)}^{(\lambda)} \cdots \tilde{a}_{n\pi(n)}^{(\lambda)} \text{ mit} \\
		 & \tilde{a}_{ij}^{(\lambda)} = \begin{cases} a_{ij} & i\neq j \\ a_{ij}-\lambda & i=j
		                                \end{cases} \dots \text{ Polynom von Grad $0$ oder $1$}
	\end{aligned}\]

\begin{lemma} \label{theo:2.2.7}
	\leavevmode
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $\chi_\alpha$ ist unabhängig von der Wahl der Basis.
		\item $\chi_A = \chi_B$ wenn $A, B$ ähnlich (das heißt $\exists P \in \K^{n \times n}: B = P^{-1}AP$)
	\end{enumerate}
	\begin{proof}
		\begin{enumerate}[label=\alph*)]
			\item Sei C weitere Basis.\\
			      Dann gilt $\underbrace{{}_C M(\alpha)_C}_{B} = \underbrace{{}_C M(\id)_B}_{P^{-1}} \underbrace{{}_B M(\alpha)_B}_{A} \underbrace{{}_B M(\id)_C}_{P}$. \\
			      Man kann also alles auf b) zurückführen.
			\item \[\begin{aligned}
					      \chi_A(\lambda) & = \det(A-\lambda I)                        \\
					                      & = \det(P)^{-1} \det(A - \lambda I) \det(P) \\
					                      & = \det(P^{-1}) \det(A - \lambda I) \det(P) \\
					                      & = \det(P^{-1}(A - \lambda I)P)             \\
					                      & = \det(P^{-1}AP-\lambda I)                 \\
					                      & = \det(B - \lambda I)                      \\
					                      & = \chi_B(\lambda)
				      \end{aligned}\]
		\end{enumerate}
	\end{proof}
\end{lemma}

\begin{lemma}
	\leavevmode
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item Sei $\alpha\in\homkv$. Dann gilt \[\spec(\alpha) = \{\lambda \in \K: \chi_\alpha(\lambda)=0\}\]
		\item Sei $A\in \K^{\nxn}$. Dann gilt \[\spec(A) = \{\lambda \in \K: \chi_A(\lambda)=0\}\]
	\end{enumerate}
	\begin{proof}
		Nur b)
		\[\begin{aligned}
				\lambda \in \spec(A) & \iff \exists v\in V \setminus \{0\}: A v = \lambda v        \\
				                     & \iff \exists v \in V \setminus \{0\}: (A - \lambda I) v = 0 \\
				                     & \iff \ker(A - \lambda I) \neq \{0\}                         \\
				                     & \iff A - \lambda I \text{ nicht injektiv}                   \\
				                     & \iff \det(A - \lambda I) = 0
			\end{aligned}\]
	\end{proof}
\end{lemma}

\subsubsection{Beispiele}
\begin{alignat*}{3}
	 & A = \begin{pmatrix}\bar3 & \bar4 \\ \bar1 & \bar1 \end{pmatrix} \in \mathbb{Z}_5^{2\times2}        &                                              &                                                           \\
	 & \chi_A(\lambda) = \begin{vmatrix} \bar3 - \lambda & \bar4 \\ \bar1 & \bar1 - \lambda \end{vmatrix}
	 &                                                                                                    & = (\bar3 - \lambda)(\bar1 - \lambda) - \bar4                                                             \\
	 &                                                                                                    &                                              & = \bar3 - \bar4 \lambda + \lambda^2 - \bar4               \\
	 &                                                                                                    &                                              & = \bar4 - \bar4 \lambda + \lambda^2 = (\bar2 - \lambda)^2 \\
	 & \implies \spec(A) = \{2\}                                                                                                                                                                                     \\
	 & \eig_{\bar2}(A) = ?                                                                                                                                                                                           \\
	 & v \in \eig_{\bar2}(A) \iff \mathrlap{(A - \bar2 I)v = 0}                                                                                                                                                      \\
	 & \iff \mathrlap{\left(\begin{array}{c c | c}
			                        \bar3 - \bar2 & \bar4         & \bar0 \\
			                        \bar1         & \bar1 - \bar2 & \bar0
		                        \end{array}\right)}                                                                                                                                                    \\
	 & \left(\begin{array}{c c | c}
			         \bar1 & \bar4 & \bar0 \\
			         \bar1 & \bar4 & \bar0
		         \end{array}\right)                                                                                                                                                                                   \\
	 & \left(\begin{array}{c c | c}
			         \bar1 & \bar4 & \bar0 \\
			         \bar0 & \bar0 & \bar0
		         \end{array}\right)                                                                                                                                                                                   \\
	 & \implies \eig_{\bar2}(A) = \left\langle\begin{pmatrix}\bar1 \\ \bar1\end{pmatrix} \right\rangle                                                                                                               \\
	 & \implies A \mathrlap{\text{ nicht diagonalisierbar [Lemma \ref{theo:2.1.4} (b)]}}
\end{alignat*}

\begin{lemma}
	Sei $A \in \C^{n\times n}$ mit reellen Einträgen. Dann gilt:
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $\lambda \in \spec(A) \implies \overline{\lambda} \in \spec(A)$
		\item $v \in \eig_\lambda(A) \implies \overline{v} \in \eig_{\overline{\lambda}}(A)$
	\end{enumerate}
	\begin{proof}
		\begin{enumerate}[label=\alph*)]
			\item Klarerweise ist $\chi_A(\lambda)$ ein Polynom mit reellen Koeffizienten, also $\chi_A(\lambda)=a_0+a_1 \lambda + \cdots + a_n \lambda^n,  a_0, \dots, a_n\in\R$\\
			      Sei $\chi_A(\lambda)=0 \implies 0 = \overline0 = a_0 + a_1 \overline\lambda + \cdots + a_n \overline{\lambda} ^ n = \chi_A(\overline\lambda)$
			\item $v\in\eig_\lambda(A) \implies A v = \lambda v \implies \overline{A V} = \overline{\lambda v} \implies A \overline{v} = \overline\lambda \overline{v}$
		\end{enumerate}
	\end{proof}
\end{lemma}

\begin{lemma} \label{theo:2.2.10}
	Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten sind linear unabhängig.
	\begin{proof}
		Seien $v_i \in \eig_{\lambda_i}(A), i=1, \dots, r, \lambda_i \neq \lambda_j \text{ für } i\neq j$.
		Induktion nach $r$
		\begin{itemize}
			\item[$r=1$:] $v_1$ ist linear unabhängig.
			\item[$r-1\mapsto r$:] \begin{equation}\label{eq:2.2.10.1}
					\mu_1 v_1 + \cdots + \mu_1 v_1 = 0 \end{equation}
				\[ \implies A(\mu_1 v_1 + \cdots + \mu_r v_r) = 0 \]
				\begin{equation}\label{eq:2.2.10.2}
					\implies \lambda_1\mu_1 v_1 + \cdots \lambda_r \mu_r v_r = 0
				\end{equation}
				Weiters folgt durch Multiplikation von \ref{eq:2.2.10.1} mit $\lambda_r$, dass \begin{equation}\label{eq:2.2.10.3}
					\lambda_r \mu_1 v_1 + \cdots + \lambda_r \mu_r v_r = 0 \end{equation}
				\[ \begin{aligned}
						\text{\ref{eq:2.2.10.3}} - \text{\ref{eq:2.2.10.2}}
						 & \implies \underbrace{(\lambda_r - \lambda_1)}{\neq0} \mu_1 v_1 + \cdots + \underbrace{(\lambda_r - \lambda_{r-1})}{\neq0} \mu_{r-1} v_{r-1} = 0 \\
						 & \implies v_1, \dots, v_{r-1} \text{ linear abhängig. \Lightning}
					\end{aligned} \]
		\end{itemize}
	\end{proof}
\end{lemma}

\begin{lemma}
	Sei $\alpha \in \homkv, \dim(V)=n \text{ oder } A \in \K^{\nxn}$ mit $n$ verschiedenen Eigenvektoren. Dann ist $\alpha/A$ diagonalisierbar.
	\begin{proof}
		Wegen Lemma \ref{theo:2.2.10} gibt es Basis von Eigenvektoren. Daher ist $\alpha/A$ diagonalisierbar wegen Lemma \ref{theo:2.2.2}.
	\end{proof}
\end{lemma}

\begin{defin}
	Sei $\spec(A) = \{\lambda_1, \dots, \lambda_r \}$ und $(\lambda_1 - \lambda)^{k_1} \cdots (\lambda_r - \lambda)^{k_r} p \in\K[X]$ mit $p$ nicht durch Linearfaktoren teilbar (also keine Nullstellen in $\K$).\\
	$k_i$ heißt \underline{algebraische Vielfachheit} des Eigenwerts $\lambda_i$. Wir schreiben $k_i = m_a(\lambda_i)$.\\
	$\dim(\eig_A(\lambda_i))$ heißt \underline{geometrische Vielfachheit} des Eigenwerts $\lambda_i$. Wir schreiben $\dim(\eig_A(\lambda_i)) = m_g(\lambda_i)$
\end{defin}

\subsubsection{Beispiel}
\begin{itemize}
	\item $\chi_A(\lambda) = \lambda^4 - 2 \lambda^3 + 2 \lambda^2 - 2\lambda + 1 \in \R[X]$\\
	      $\implies \chi_A(\lambda) = (1 - X)^2 \underbrace{(1 + \lambda^2)}_{p(\lambda)}$ \\
	      $\implies m_a(1) = 2$
	\item Für $\K=\C$ zerfällt jedes Polynom in Linearfaktoren, also ist $p$ immer konstant.
\end{itemize}

\begin{satz}
	Sei $\mu\in\spec(A)/\spec(\alpha)$. Dann gilt \[ 1\le m_g(\mu) \le m_a(\mu) \]
	\begin{proof}
		Klarerweise gilt $1\le m_g(\mu)$ da $\mu$ Eigenwert ist. Sei $r:= m_g(\mu)$ und $b_1, \dots, b_r$ Basis von $\eig_\alpha(\mu)$. Sei $B=(b_1, \dots, b_n)$ Basis. Dann ist\\ ${}_B M(\alpha)_B =
			\bordermatrix{
				& & & & r & & \cr
				& \mu & 0 & 0 & 0 & * & \dots & * \cr
				& 0 & \mu & 0 & 0 & * & \dots & * \cr
				& \vdots &  & \ddots & \vdots & \vdots &  & \vdots \cr
				r & 0 & 0 & 0 & \mu & * & \dots & * \cr
				& \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \cr
				& 0 & 0 & 0 & 0 & * & \dots & *
			}
		$, also \[\begin{aligned}
				\chi_\alpha(\lambda) & = \left\lvert \begin{array}{c | c}
					                                     \begin{smallmatrix}\mu - \lambda & & \\ & \ddots & \\ & & \mu - \lambda\end{smallmatrix} & A \\
					                                     \hline                                                                                       \\
					                                     0                                                                                        & B
				                                     \end{array} \right\rvert \underbrace{=}_{\text{Satz \ref{theo:1.4.10}}} \det
				\begin{pmatrix}
					\mu - \lambda &        & 0             \\
					              & \ddots &               \\
					0             &        & \mu - \lambda
				\end{pmatrix} \cdot \det(B)                                                                                            \\
				                     & = (\mu - \lambda)^r \det(B)                                                                                \\
				                     & \implies r \le m_a(\mu)
			\end{aligned}\]

	\end{proof}
\end{satz}

\begin{lemma}
	Seien $A, B$ ähnlich und $\mu \in \spec(A) (=\spec(B) \text{ nach Lemma \ref{theo:2.2.7}})$. Dann stimmen die geometrischen Vielfachheiten überein, das heißt $\dim(\eig_\mu(A)) = \dim(\eig_\mu(B))$.
	\begin{proof}
		Sei $B = P^{-1} A P$. Dann gilt \[ \begin{aligned}
				\eig_{\mu}(B) & = \ker(B - \mu I) = \ker(B - \mu P^{-1} P)                                                                                                    \\
				              & = \ker(P^{-1} (A - \mu I) P)                                                                                                                  \\
				              & \underbrace{\implies}_{\mathclap{\text{Für ähnliche Matrizen stimmen die Dimensionen der Kerne überein}}} \dim(\eig_\mu(B)) = \dim\eig_\mu(A)
			\end{aligned}\]
	\end{proof}
\end{lemma}

\begin{satz}
	$A/\alpha$ diagonalisierbar $\iff$
	\begin{enumerate}[label=\roman*)]
		\item $\chi_{A/\alpha}$ zerfällt in Linearfaktoren, das heißt
		      \[\chi_{A/\alpha}(\lambda)= (\lambda_1 - \lambda)^{k_1} \cdots (\lambda_r - \lambda)^{k_r}, \sum k_i = n\]
		\item algebraische und geometrische Vielfachheiten stimmen überein, das \\
		      heißt $m_a(\lambda_i) = m_g(\lambda_i), i=1, \dots, r$
	\end{enumerate}
	\begin{proof}
		\begin{itemize}
			\item[$\impliedby$:] Aus i), ii) folgt, dass \begin{equation}\label{eq:2.2.15.1}
					\sum_{i=1}^r \underbrace{\dim(\eig_\alpha(\lambda_i))}_{=m_g(\lambda_i)=:d_i} = n \end{equation}
				Sei $b_i^1, \dots, b_i^{d_i}$ Basis von $\eig_\alpha(\lambda_i)$. Wir zeigen, dass $B=\{b_i^1, \dots, b_i^{d_i}: i=1, \dots, r\}$ Basis ist.
				\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
					\item $\lvert B \rvert = n$ folgt aus \ref{eq:2.2.15.1}
					\item Ang. $\sum\limits_{i=1}^r (\underbrace{\mu_i^1 b_i^1 + \cdots + \mu_i^{d_i} b_i^{d_i}}_{v_i}) = 0$ \\
					      $\underbrace{\implies}_{\mathclap{\substack{v_i \text{Eigenwerte zu} \\ \text{verschiedenen Eigenvektoren} \\ + \text{Lemma \ref{theo:2.2.10}}}}}
						      v_i = 0 \forall i=1, \dots, r \underbrace{\implies}_{\mathclap{\substack{b_i^1, \dots, b_i^{d_i} \\ \text{Basis von } \eig_\alpha(\lambda_i)}}} \mu_i^1, \dots, \mu_i^{d_i} = 0 \forall i=1, \dots, r$ \\
					      $ \implies B $ ist Basis aus Eigenvektoren $\underbrace{\implies}_{\mathclap{\text{Lemma \ref{theo:2.2.2}}}} \alpha $ diagonalisierbar.

				\end{enumerate}

			\item[$\implies$:] Sei $\alpha$ diagonalisierbar. \[\begin{aligned}
						 & \implies \exists \text{ Basis } \{b_1, \dots, b_n\} \text{ aus Eigenvektoren} \\
						 & \implies {}_B M(\alpha)_B = \diag(\lambda_1, \dots, \lambda_n)                \\
						 & \implies \chi_B(\lambda) = (\lambda_1 - \lambda) \cdots (\lambda_n - \lambda)
					\end{aligned}\]
		\end{itemize}
	\end{proof}
\end{satz}

\subsubsection{Diagonalisieren}
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
	\item Zerlegung in Linearfaktoren
	      \[ \chi_A(\lambda) = (\lambda_1 - \lambda)^{m_a(\lambda_1)} \cdots (\lambda_r - \lambda)^{m_a(\lambda_r)} \]
	\item Bestimme Basis $B_i$ der Eigenräume
	      \[ \eig_A(\lambda_i) = \ker(A - \lambda_i I) \]
	\item Ordne Basis $B= \bigcup\limits_{i=1}^n B_i$ zu $B= (b_1, \dots, b_n)$
	\item Mit $S = (b_1, \dots, b_n)$ gilt dann \[
		      \diag(\underbrace{\lambda_1, \dots, \lambda_n}_{
			      \mathclap{\substack{\text{Eigenwerte werden nach} \\ \text{Vielfachheit gezählt!} \\ \lambda_i \text{ ist Eigenwert von } b_i \text{!}}}
		      }) = S^{-1} A S
	      \]
\end{enumerate}

\subsubsection{Beispiel}
$A = \begin{pmatrix}
		1 & 2  & 2  \\
		2 & -2 & 1  \\
		2 & 1  & -2
	\end{pmatrix}$
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]

	\item \[\begin{aligned}
			      \chi_A(\lambda) = & \begin{vmatrix}
				                          1 -\lambda & 2           & 2           \\
				                          2          & -2 -\lambda & 1           \\
				                          2          & 1           & -2 -\lambda
			                          \end{vmatrix}                                       \\
			      \underbrace{=}_{\mathclap{\substack{\text{Entwicklung}                                           \\ \text{nach 1. Zeile}}}}
			                        & (1-\lambda) \begin{vmatrix} -2 -\lambda & 1 \\ 1 & -2 -\lambda \end{vmatrix}
			      + (-2) \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & -2-\lambda \end{vmatrix}                                     \\
			                        & + 2 \begin{vmatrix} 2 & -2 - \lambda \\ 2 & 1 \end{vmatrix}                  \\
			      =                 & \dots= -\lambda^3 - 3 \lambda^2 + 9\lambda + 27 = (3-\lambda)(-3-\lambda)^2
		      \end{aligned}\]

	\item $\lambda = 3$
	      \[\begin{aligned}
			       & \left( \begin{array}{c c c | c} 1-3 & 2 & 2 & 0 \\ 2 & -2-3 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & -2-3 & 0 \end{array} \right)
			      = \left( \begin{array}{c c c | c} -2 & 2 & 2 & 0 \\ 2 & -5 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & -5 & 0 \end{array} \right)       \\
			       & \sim \left( \begin{array}{c c c | c} -1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 3 & 0 \\ 0 & 3 & -3 & 0 \end{array} \right)
			      \sim \left( \begin{array}{c c c | c} 1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)
			      \sim \left( \begin{array}{c c c | c} 1 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)     \\
			       & \implies \eig_A(3) = \left\langle \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\rangle
		      \end{aligned}\]

	      $\lambda = -3$
	      \[\begin{aligned}
			       & \left( \begin{array}{c c c | c} 1+3 & 2 & 2 & 0 \\ 2 & -2+3 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & -2+3 & 0 \end{array} \right)
			      = \left( \begin{array}{c c c | c} 4 & 2 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right)                                      \\
			       & \sim \left( \begin{array}{c c c | c} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)                                \\
			       & \implies \eig_A(-3) = \left\langle \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \right\rangle
		      \end{aligned}\]

	\item \[\begin{aligned}
			       & S = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}                   \\
			       & \implies S^{-1} A S = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}
		      \end{aligned}\]

\end{enumerate}

\begin{lemma} \label{theo:2.2.16}
	Sei $A\in\K^{\nxn}$ und $\underbrace{\spur(A)}_{\mathclap{\color{red}\text{\dq Spur von $A$ \dq}}}
		:= \sum\limits_{i=1}^n a_{ii}$
	\[\chi_A(\lambda) = (-1)^n\lambda^n + (-1)^{n-1} \spur(A) \lambda^{n-1} + \cdots + \det(A)\]

	\begin{proof}
		$\chi_A(\lambda) = \sum\limits_{\pi \in S_n} \sgn(\pi) \prod\limits_{i=1}^n \tilde{a}_{i\pi(i)}$ mit
		$\tilde{a}_{ij} = \begin{cases} a_{ij} & i\neq j \\ a_{ij} - \lambda & i=j\end{cases}$. \\
		Wenn $\pi\neq \id$ gilt $\deg\left(\prod\limits_{i=1}^n \tilde{a}_{i\pi(i)}\right)\le n-2$,
		da mindestens zwei Elemente vertauscht werden. Die Koeffizienten von Grad $n, n-1$ kann man also aus
		$\prod\limits_{i=1}^n \tilde{a}_{ii} = \prod\limits_{i=1}^n (\tilde{a}_{ii} - \lambda)$ ablesen.
		Daraus folgt die Behauptung für die höchsten beiden Koeffizienten.
		Weiters gilt $\chi_A(0)=\det(A)$, was die Aussage für den konstanten Koeffizienten zeigt.
	\end{proof}

\end{lemma}

$\sigma_j := (-1)^j \sum\limits_{\substack{S\subset [n] \\ \lvert S \rvert = n-j}} \prod\limits_{s \in S} \lambda_s$

\begin{korollar}
	\leavevmode
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $A\sim B \implies \spur(A)=\spur(B)$
		\item A diagonalisierbar $\implies \spur(A)=\lambda_1 + \cdots + \lambda_n$ mit
		      $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ Eigenwerte von $A$, nach Vielfachheit gezählt.
		\item A diagonalisierbar $\implies \det(A)=\lambda_1 \cdot \dots \cdot \lambda_n$ mit
		      $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ Eigenwerte von $A$, nach Vielfachheit gezählt.
	\end{enumerate}
	\begin{proof}
		Folgt daraus, dass das charakteristische Polynom (und damit seine Koeffizienten) unter Ähnlichkeit invariant sind (Lemma \ref{theo:2.2.7}) und Lemma \ref{theo:2.2.16}
	\end{proof}
\end{korollar}

\begin{satz}[Cayley-Hamilton]
	\dq$\chi_A(A) = 0$\dq, das heißt sei $A\in \K^{\nxn}$ mit charakteristischem Polynom $\chi_A(\lambda)=c_n \lambda^n + c_{n-1} \lambda^{n-1} + \cdots + c_0$.
	Dann gilt
	\[
		\chi_A(A):=c_n A^n + c_{n-1} A ^{n-1} + \cdots c_0 I = 0 = \begin{pmatrix}0 &\dots &0 \\ \vdots& \ddots &\vdots \\ 0 & \dots & 0\end{pmatrix} \in \K^{\nxn}
	\]
	\begin{proof}
		Sei $B := A^T - \lambda I =
			\begin{pmatrix}
				a_{11} - \lambda & a_{21}           & \dots  & a_{n1}           \\
				a_{12}           & a_{22} - \lambda & \dots  & a_{n2}           \\
				\vdots           & \ddots           & \ddots & \vdots           \\
				a_{1n}           & a_{2n}           & \dots  & a_{nn} - \lambda
			\end{pmatrix}
			= (a_{ji} - \delta_{ij} \lambda)_{ij}$
		und $C:= \adj(B)$, sodass
		\begin{equation}
			CB = \det(B) I_n = \chi_A = I_n [\chi_A = \chi_{A^T}
			\label{eq:2.2.18.1}
		\end{equation}
		\ref{eq:2.2.18.1} heißt komponentenweise, dass
		\begin{flalign}
			  & \sum_{i=1}^{n}
			\underbrace{c_{ki}}_{\mathrlap{\text{Polynome, in die $A$ eingesetzt werden kann}}}
			\underbrace{b_{ij}}
			= \delta_{ij} \cdot \underbrace{\chi_A} \forall k, j \in [n] \nonumber            \\
			= & \sum_{i=1}^{n}c_{ki}(A) b_{ij}(A) = \delta_{jk}\chi_A (A) \label{eq:2.2.18.2}
		\end{flalign}
		Wegen $b_{ij}(A) = a_{ji} I_N - \delta_{ij}A$ gilt weiters
		\begin{equation}
			\forall i \in [n]: \sum_{j=1}^{n} b_{ij}(A) e_j = (\sum_{j=1}^{n} a_{ji} e_j) - A e_i = 0
			\label{eq:2.2.18.3}
		\end{equation}
		Es folgt $\forall k \in [n]$
		\begin{flalign*}
			\chi_A (A) e_k                                        & = \sum_{j=1}^{n} \delta_{jk} \chi(A) e_j                  & \\
			                                                      & \underbrace{=}_{\mathclap{\text{\ref{eq:2.2.18.2}}}}
			\sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{n} c_{ki}(A) b_{ij}(A) e_j &                                                             \\
			                                                      & = \sum_{i=1}^{n} c_{ki}(A) (\sum_{j=1}^{n} b_{ij(A) e_j}) & \\
			                                                      & \underbrace{=}_{\mathclap{\text{\ref{eq:2.2.18.3}}}} 0    & \\
			\implies \chi_A(A) = 0
		\end{flalign*}
	\end{proof}
\end{satz}

\subsubsection{Berechnung der Koeffizienten von $\chi_A$}
Sei $f(\lambda) \underbrace{=}_{\text{(*)}} \prod\limits_{j=1}^{n}(\lambda_j - \lambda) =
	\underbrace{c_n\lambda^n}_{=(-1)^n} + c_{n-1}\lambda ^{n-1} + \cdots + c_0$
Wie können wir $c_j$ effizient bestimmen?
\begin{itemize}
	\item [Bemerkung 1:] $\displaystyle { c_j = (-1)^{j} \sum_{\substack{S\subseteq [n] \\
					      \lvert S \rvert = n-j}} \prod_{s \in S} \lambda_s =:
			      \sigma_{n-j}^n (\lambda_1, \dots, \lambda_n)}$ \\
	      Dies folgt aus (*) durch Ausmultiplizieren \\
	      Sei nun weiters $p_j^n(\lambda_1, \dots, \lambda_n) := \sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_i^j$
	\item [Bemerkung 2:] $\sigma_j^n, p_j^n$ sind symmetrisch, das heißt
	      \[\begin{aligned}
			       & \sigma_j^n(\lambda_{\pi(1)}, \dots, \lambda_{\pi(n)}) = \sigma_{j}^n (\lambda_1, \dots, \lambda_n) \\
			       & p_j^n(\lambda_{\pi(1)}, \dots, \lambda_{\pi(n)}) = p_{j}^n (\lambda_1, \dots, \lambda_n)
		      \end{aligned} \text{ für } \pi \in S_n\]
\end{itemize}

\begin{lemma}[Newtonidentität] \label{theo:2.2.19}
	Es gilt für $k\le n$
	\[k\sigma_k^n+\sum_{j=0}^{k-1}\sigma_j^n p_{k-j}^n=0\]
	\begin{proof}
		Induktion.
		\begin{itemize}
			\item [$k=n$:] Wegen
			      \begin{equation*}
				      0= \sum_{i=1}^{n} =
				      \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=0}^n c_j \lambda_i^j =
				      \sum_{j=0}^n c_j p_j^n =
				      \sum_{j=0}^n \sigma_{n-j}^n p_j^n =
				      \sum_{j=0}^n \sigma_j^n p_{n-j}^n
			      \end{equation*}
			      folgt $\sigma_n^n p_0^n + \sum\limits_{j=0}^n \sigma_j^n p_{n-j}^n = 0$ was mit
			      $p_0^n = n$ die gewünschte Aussage liefert.
			\item [$k<n$:] Betrachte das (symmetrische) \[
				      q(\lambda_1, \dots, \lambda_n) :=
				      k \sigma_k^n + \sum_{j=0}^{k-1} \sigma_j^n p_{k-1}^n
			      \]
			      Es gilt \[q(\lambda_1, \dots, \lambda_n) =
				      \sum_{j_1, \dots, j_n} c_{j_1 \dots j_n} \lambda_1^{j_1} \cdots \lambda_n^{j_n}\]
			      und wir müssen zeigen, dass alle Koeffizienten $c_{j_1 \dots j_n}=0$ sind.
			      Dazu bemerken wir, dass $c_{j_1 \dots j_n}$ immer $0$ ist,
			      wenn mehr als $k$ $j_i$'s ungleich $0$ sind.\\
			      Sei also $c_{j_1 \dots j_n}$ ein solcher Koeffizient mit $j_{k+1}, \dots, j_n=0$.
			      Dann gilt
			      \begin{align*}
				       & \underset{\rotatebox{90}{$=$}}
				      {q(\lambda_1, \dots, \lambda_k, 0, \dots, 0)} =
				      \sum_{j_1, \dots, j_k} c_{j_1 \dots j_n 0 \dots 0}
				      \lambda_1^{j_1} \cdots \lambda_n^{j_k}                      \\
				       & k \sigma_k^n + \sum_{j=0}^{k-1} \sigma_j^k p_{k-1}^k = 0
				      \text{ nach Voraussetzung}
			      \end{align*}
			      Aufgrund der Symmetrie gilt dasselbe Argument für alle anderen Koeffizienten
			      mit höchstens $k$ vielen $j_i$'s ungleich $0$.
		\end{itemize}
	\end{proof}
\end{lemma}

\begin{satz}
	Sei $A \in \K^{\nxn}$ diagonalisierbar. Dann gilt für
	\begin{align*}
		\chi_A(\lambda) & = c_{n}\lambda^{n} + c_{n-1} \lambda ^{n-1} + \cdots + c_0 \\
		                & c_n = (-1)^n                                               \\
		                & c_{n-k} = -\frac1k \sum_{j=0}^{k-1} c_{n-j} \spur(A^{k-j})
	\end{align*}
	\begin{proof}
		Folgt direkt aus Lemma \ref{theo:2.2.19} und der Bemerkung dass für $A$ diagonalisierbar \\
		$\spur(A^k) = \lambda_1^k + \cdots + \lambda_n^k$ gilt.
	\end{proof}
\end{satz}

\subsubsection{Bemerkung}
$\underset{\mathrlap{\text{\dq fast alle Matrizen sind diagonalisierbar\dq}}}
	{\text{Gilt}}$ auch für $A$ nicht diagonalisierbar. \dq Beweis\dq Stetigkeit

\subsubsection{Triangulierbarkeit von Matrizen}

\begin{defin}
	\leavevmode
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $\alpha \in \homkv, \dim(V)=n$ heißt \underline{triangulierbar} wenn es eine Basis $B$ gibt,
		      sodass ${}_B M(\alpha)_B$ obere Dreiecksgestalt hat.
		\item $A\in\K^{\nxn}$ heißt \underline{triangulierbar} wenn es eine reguläre Matrix $P\in\K^{\nxn}$ gibt,
		      mit $P^{-1} A P$ obere Dreiecksgestalt.
	\end{enumerate}
\end{defin}

\begin{satz}
	$A \in \K^{\nxn} / \alpha$ ist triangulierbar $\iff \chi_A / \chi_\alpha$ zerfällt in Linearfaktoren.
	\begin{proof}[Beweis]
		\begin{itemize}
			\item[$\implies$:] $\chi_A$ ist invariant
				bezüglich Ähnlichkeitsumformung (Lemma \ref{theo:2.2.7}).
				Sei $P^{-1} A P = \begin{pmatrix} \lambda_1 &        & *         \\
                          & \ddots &           \\
                0         &        & \lambda_n\end{pmatrix}$
				, dann folgt\\
				$\chi_A(\lambda) = \chi_{P^{-1} A P}(\lambda)
					= \prod\limits_{i=1}^n (\lambda_i - \lambda) $
			\item[$\impliedby$:] Induktion nach $n$
				\begin{itemize}
					\item[$n=1$:] Jede $1\times1$ Matrix ist obere Dreiecksmatrix.
					\item[$n-1\mapsto n$:] Sei $\chi_A(\lambda) =
							\prod\limits_{i=1}^n (\lambda_i - \lambda)$ und sei
						$b_1 \in \eig_{\lambda_1}(\alpha)$.
						Sei $B=(b_1, \dots, b_n)$ Basis von $\K^n$. Dann gilt
						\[\begin{aligned}
								 & A
								= {}_B M(\alpha)_B
								= \begin{pmatrix}
									  \lambda_1 & a_{12} & \dots     & a_{1n} \\
									  0         & \tl    &           &        \\
									  \vdots    &        & \tilde{A} &        \\
									  0         &        &           & \br\end{pmatrix}                \\
								 & \text{Sei }\beta: \begin{cases}
									                     \overbrace{\langle b_2, \dots, b_n\rangle}^{V}
									                      & \to \langle b_2, \dots, b_n\rangle   \\
									                     b_i
									                      & \mapsto \Phi^{-1}_{\tilde{B}}(C\cdot
									                     {}_{\tilde{B}}v)
								                     \end{cases}
							\end{aligned}\]
						Es gilt $\chi_\alpha(\lambda) =
							\lambda_1 - \lambda) \cdot \chi_\beta(\lambda)$,
						daher zerfällt $\chi_\beta$ in Linearfaktoren.
						Nach Induktionsvoraussetzung existiert eine Basis $\tilde{B} =
							(\tilde{b}_2, \dots, \tilde{b}_n)$ von $\tilde{V}$ mit
						\begin{equation}
							{}_{\tilde{B}} M(\beta)_{\tilde{B}} =
							\begin{pmatrix} \lambda_2 &        & *         \\
                          & \ddots &           \\
                0         &        & \lambda_n\end{pmatrix}
							\label{eq:2.2.22.1}
						\end{equation}
						Weiters ist $\alpha(b_i) = a_{1i} b_1 + \beta(b_i), i=2, \dots, n$.
						Sei $\tilde{b}_i = \sum\limits_{j=2}^n \mu_{ij} b_j$.
						Wegen \ref{eq:2.2.22.1} gilt
						\begin{equation}
							\beta(\tilde{b}_i) \in
							\langle \tilde{b}_1, \dots, \tilde{b}_i \rangle
							\label{eq:2.2.22.2}
						\end{equation}
						Wir zeigen nun, dass für die Basis $C=(c_1, \dots, c_n)$ mit
						$c_1 = b_1, c_2 = \tilde{b}_2, \dots, c_n = \tilde{b}_i $
						die Matrix ${}_C M(\alpha)_C$ obere Dreiecksgestalt hat.
						Dies ist äquivalent zu
						\[\alpha(c_i)\in \langle c_1, \dots, c_n \rangle \forall i=1, \dots, n \]
						\begin{itemize}
							\item [$i=1$:] $\alpha(c_1) = \alpha(b_1) = \lambda_1 b_1
								      \in \langle b_1 \rangle = \langle c_1 \rangle$
							\item [$i>1$:]
							      \begin{align*}
								       & \alpha(c_i) = \alpha(\tilde{b}_i) =
								      \alpha(\sum_{j=2}^n \mu_{ij} b_j)
								      = \sum_{j=2}^n \mu_{ij} \alpha(b_j)                 \\
								       & = \sum_{j=2}^n\mu_{ij}(a_{1j} b_1 + \beta(b_j))
								      = (\underbrace{\sum_{j=2}^n \mu_{ij} a_{1j}}_
								      {\displaystyle\sigma_i})
								      + \sum_{j=2}^n \mu_{ij}\beta(b_j)                   \\
								       & = \sigma_i b_1+ \beta(\sum_{j=2}^n \mu_{ij} b_j)
								      = \sigma_i b_1 + \beta(\tilde{b}_i)                 \\
								       & \underbrace{\in}_{\text{\ref{eq:2.2.22.2}}}
								      \langle b_1,\tilde{b}_2,\dots,\tilde{b}_i\rangle
								      = \langle c_1, \dots, c_i \rangle
							      \end{align*}
						\end{itemize}
				\end{itemize}
		\end{itemize}
	\end{proof}
\end{satz}

\section{Jordan Normalform}

\begin{defin}
	Eine $m\times m$ Matrix
	\[J_m(\lambda) := \begin{pmatrix}
			\lambda & 1      & 0      & \dots  & 0       \\
			0       & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots  \\
			\vdots  & \ddots & \ddots & \ddots & 0       \\
			\vdots  & \ddots & \ddots & \ddots & 1       \\
			0       & \dots  & \dots  & 0      & \lambda
		\end{pmatrix}\]
	heißt \underline{Jordanblock} der Dimension $m$ zum Eigenwert $\lambda$.\\
	Eine Matrix $A \in \K^{\nxn}$, die als Blockdiagonalmatrix aus Jordanblöcken besteht,
	heißt \underline{Jordanmatrix}. \\
	$A \in \K^{\nxn}$ besitzt eine \underline{Jordan-Normalform} wenn $P\in\K^{\nxn}$ invertierbar existiert,
	sodass $P^{-1}AP$ Jordanmatrix ist.\\
	$\alpha \in \homkv$ besitzt eine \underline{Jordan-Normalform} wenn eine Basis $B$ von $V$ existiert,
	sodass $ {}_{B} M(\alpha)_{B} $ Jordanmatrix ist.\\
	B heißt \underline{Jordanbasis} zu $A/\alpha$.
\end{defin}

\subsubsection{Beispiel}
\begin{itemize}
	\item Jede Diagonalmatrix ist Jordanmatrix
	\item $\begin{pmatrix}1\end{pmatrix},
		      \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix},
		      \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix},
		      \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix},
		      \xcancel{\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}}$
	\item \(
	      \begin{pmatrix} \tl3\br        \\
		       & \tl2 & 1    \\
		       &      & 2\br\end{pmatrix}
	      , \begin{pmatrix}
		      \tl0 & 1               \\
		      0    & 0\br            \\
		           &      & \tl-1\br
	      \end{pmatrix}\)
\end{itemize}
Wir wollen zeigen, dass $\alpha/A$ genau dann eine Jordan-Normalform besitzt, wenn $\alpha/A$ triangulierbar ist.

\subsubsection{Bemerkung}
\begin{itemize}
	\item $\chi_{J_m(\lambda)}(\mu) = (\lambda - \mu)^m \implies \spec(J_m(\lambda)) = \{\lambda\}$ \\
	      $J_m(\lambda) - \lambda I = \begin{pmatrix}
			      0      & 1      & 0      & \dots  & 0      \\
			      0      & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
			      \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
			      \vdots &        & \ddots & \ddots & 1      \\
			      0      & \dots  & \dots  & 0      & 0
		      \end{pmatrix}$\\
	      $\implies \dim(\eig_{J_m(\lambda)}(\lambda)) = \dim(\ker(J_m(\lambda) - \lambda I)) = 1$ \\
	      $\implies m_g(\lambda) = 1$ und $m_a(\lambda) = m$.

	\item $J_m(0)^m = 0$, das heißt $J_m(0)$ ist \underline{nilpotent}.
	      \begin{align*}
		       & J_m(0)(e_i): \begin{cases} e_{i-1} & i \in \{2, \dots, m\} \\
              0       & \text{sonst}\end{cases}    \\
		       & J_m(0)^l(e_i): \begin{cases}e_{i-l} & i \in \{l+1, \dots, m\} \\
             0       & \text{sonst}\end{cases}
	      \end{align*}
\end{itemize}

\begin{defin}
	$\alpha \in \homkv$ oder $A\in \K^{\nxn}$ heißt \underline{nilpotent} (mit Index $m$) falls
	$\alpha^m = 0 / A^m = 0$ und $\forall l \in [m-1]: \alpha^l \neq 0 / A^l \neq 0$.
\end{defin}

\begin{lemma}
	\label{theo:2.3.3}
	Sei $\alpha \in \homkv, \dim(V)=n$ nilpotent mit Index $m$. Dann existiert eine Basis $B$ mit
	\begin{equation*}
		{}_B M(\alpha)_B =
		\begin{pmatrix}
			0 & \delta_1 &        &              \\
			  & \ddots   & \ddots &              \\
			  &          & \ddots & \delta_{n-1} \\
			  &          &        & 0
		\end{pmatrix}
		\text{ und } \delta_i \in \{0, 1\} \forall i \in [n-1]
	\end{equation*}
	Das heißt ${}_B M(\alpha)_B$ ist blockdiagonal mit Jordanblöcken mit Eigenwerten $0$
	\begin{proof}
		Sei $V_i := \ker(\alpha^i)$. \\
		Dies ergibt eine aufsteigende Kette von Unterräumen
		\begin{equation*}
			\underbrace{\{0\}}_{=V_0} \subseteq V_1 \subseteq \cdots \subseteq \underbrace{V_m}_{=V}
		\end{equation*}
		Wir bauen uns iterativ eine Basis für Komplemente $W_i$ mit $V_{i-1} \oplus W_i = V_i$.
		Sei also $B^{m-1}$ Basis von $V_{m-1}$. \\
		$C^m = (c_1^m, \dots, c_{r_{m}})$ Basis von $W_m$
		[das heißt $C^m$ ergänzt die Basis $B^{m-1}$ zu Basis von $V^m$]. \\
		\underline{Behauptung}
		\begin{enumerate} [label=\arabic*)]
			\item $\alpha(C^m) \subseteq V_{m-1}$
			\item $\alpha(C^m)$ linear unabhängig
			\item $\langle \alpha(C^m) \rangle \cap V_{m-2} = \{0\}$
		\end{enumerate}
		\begin{proof}[Zwischenbeweis]
			\begin{itemize}
				\item[1)] folgt aus $\alpha(V_{i+1}) \subseteq \alpha(V_i)$
				\item[3)] Sei $\sum\limits_{i}\mu_i \alpha(c_i^m) \in V_{m-2}$
					\begin{align*}
						 & \implies \alpha^{m-2}(\sum_{i}\mu_i \alpha(c_i^m)) = 0            \\
						 & \implies \alpha^{m-1} (\sum_{i} \mu_i \alpha(c_i^m)) = 0          \\
						 & \implies \sum \mu_i c_i^m \in V_{m-1}                             \\
						 & \underbrace{\implies}_{\mathclap{\substack{(c_i^m) \text{ liegen} \\
						\text{im Komplement}                                                 \\
								\text{von } V_{m-1}}}}
						\mu_i = 0, \forall i \implies \sum_{i} \mu_i \alpha(c_i^m) = 0
					\end{align*}
				\item[2)] folgt aus 3) [da $0\in V_{m-2}$]
			\end{itemize}
		\end{proof}
		Es folgt, dass \begin{align*}
			       &                         & \langle D^{m-1} \rangle\;\;                                                                      & \langle D^m \rangle \\
			       &                         & \underbrace{V_{m-2} \oplus \langle \alpha(C^m) \rangle \oplus \langle C^{m-1} \rangle}_{V_{m-1}}
			\oplus & \langle C^m \rangle = V
		\end{align*}
		Setze $D^m := C^m$ und definiere induktiv für $D^i \subseteq V_i$ die Menge
		$D^{i-1} := \alpha(D^i) \cup C^{i-1} \subseteq V_{i-1}$ sodass mit einer Basis $B^{i-2}$ von
		$V_{i-2}$ die Menge $B^{i-2} \cup D^{i-1}$ Basis von $V_{i-1}$ ist, also
		\[
			V_{i-2} \oplus \underbrace{\langle \alpha(D^i) \rangle \oplus \langle C^{i-1} \rangle}_{\langle D^i \rangle}
			= V_{i-1} \text{$\leftarrow$ das geht nach obiger Behauptung}
		\]
		Nach Konstruktion ist $(D^1, \dots, D^m)$ Basis von $V$.
		Sie besteht aus folgenden Elementen:
		\begin{align*}
			\left.
			\begin{array}{lll}
				J_m(0) \to & \alpha^{m-1}(d_1^m), \dots, \alpha(d_1^m),         & d_1^m     \\
				           &                                                    & \vdots    \\
				J_m(0) \to & \alpha^{m-1}(d_{r_m}^m), \dots, \alpha(d_{r_m}^m), & d_{r_m}^m
			\end{array}
			\right\} \in V_m     \\
			\left.
			\begin{array}{lll}
				J_{m-1}(0) \to & \alpha^{m-1}(d_1^{m-1}), \dots, \alpha(d_1^{m-1}),                 & d_1^{m-1}         \\
				               &                                                                    & \vdots            \\
				J_{m-1}(0) \to & \alpha^{m-1}(d_{r_{m-1}}^{m-1}), \dots, \alpha(d_{r_{m-1}}^{m-1}), & d_{r_{m-1}}^{m-1}
			\end{array}
			\right\} \in V_{m-1} \\
			\left. \begin{array}{lr}
				       J_1(0) \to & d_1^1     \\
				                  & \vdots    \\
				       J_1(0) \to & d_{r_1}^1
			       \end{array}
			\right\} V_1 = \ker(\alpha)
		\end{align*}
		Wenn wir die Basiselemente von links nach rechts und von oben nach unten ordnen erhalten wir
		die gewünschte Gestalt.
	\end{proof}
\end{lemma}

\subsubsection{Bemerkung}
Angenommen \(\alpha - \lambda \id: V \to V\) nilpotent. Dann besitzt \(\alpha\) nach Lemma
\ref{theo:2.3.3} Jordan-Normalform.

\begin{defin}
	\label{theo:2.3.4}
	Sei \(V \K\)-Vektorraum, \(\dim(V) < \infty, \alpha \in \homkv\) und \(\lambda \in \spec(\alpha)\).
	Für \(l \in \mathbb{N}\) definiere \(V_{l, \lambda}:= \ker((\alpha - \lambda \id)^l)\)
\end{defin}

\subsubsection{Bemerkung}
\begin{itemize}
	\item $\alpha - \lambda \id|_{V_{l, \lambda}} \in \homk(V_{l, \lambda}, V_{l, \lambda})$:
	      \begin{align*}
		      \text{zu Zeigen: } v\in V_{l, \lambda} & \implies \alpha(v) - \lambda v \in V_{l, \lambda}\text{, das heißt}           \\
		      (\alpha - \lambda \id)^l v = 0         & \implies (\alpha - \lambda \id)^{l-1} (\alpha - \lambda \id) v = 0            \\
		                                             & \implies (\alpha - \lambda \id)(v) \in V_{l, \lambda}               & \square
	      \end{align*}
	\item Nach Lemma \ref{theo:2.3.3} gibt es also Basis von $V_{l, \lambda}$ bezüglich derer
	      $\alpha - \lambda \id |_{V_{l, \lambda}}: V_{l, \lambda} \to V_{l, \lambda}$
	      Jordan-Normalform hat
\end{itemize}

\begin{lemma}
	\label{theo:2.3.5}
	Sei $V \K$-Vektorraum, $\dim(V) < \infty, \alpha \in \homkv$. Für $l\in\mathbb{N}$ sei
	$V_l := \ker(\alpha^l)$. Dann gilt $\alpha(V_l) \subseteq V_{l-1} \subseteq V_l$ für alle
	$l\in \mathbb{N}$ und es existiert genau ein $k\in \mathbb{N}_0$ mit
	\[
		\{0\} = V_0 \subseteq V_1 \subseteq \cdots \subseteq V_k = V_{k+1} \text{ und } V_{l+1} = V_l, \forall l \ge k
	\]
	\begin{proof}
		Da $\dim(V) < \infty$ muss es ein kleinstes $k$ mit $V_{k+1} = V_{k}$ geben.
		Angenommen $\exists l\ge k$ mit $V_{l+1} \neq V_l$. Sei $0\neq v\in V_{l+1} \setminus V_l$
		$\implies 0 = \alpha^{l+1}(v) = \alpha^{k+1}(\alpha^{l-k}(v))$ und $0\neq \alpha^l(v)
			= \alpha^k (\alpha^{l-k}(v)) \implies 0\neq \alpha^{l-k}(v) \in V_{k+1}\setminus V_k$
		\Lightning
	\end{proof}
\end{lemma}

\begin{defin}
	Sei $V_{l, \lambda}$ wie in Definition \ref{theo:2.3.4} und $k$ wie in Lemma \ref{theo:2.3.5}
	Dann heißt \[
		\widetilde{\eig_\alpha(\lambda)} := V_{k, \lambda} = V_{k+1, \lambda}
	\]
	\underline{verallgemeinerter Eigenraum} oder \underline{Hauptraum} von $\alpha$ zum Eigenwert
	$\lambda$. $v \in V_{l, \lambda} \setminus V_{l-1, \lambda}$ für $1 \le l \le k$ heißt
	\underline{verallgemeinerter Eigenvektor} der Ordnung $l$.
\end{defin}

\subsubsection{Idee}
\begin{itemize}
	\item $\alpha|_{\widetilde{\eig_\alpha(\lambda)}}: \widetilde{\eig_\alpha(\lambda)} \to  \widetilde{\eig_\alpha(\lambda)}$
	      hat Jordan-Normalform.
	      Zerlege \begin{equation}
		      \label{eq:2.3.6.1}
		      V:= \widetilde{\eig_\alpha(\lambda_1)} \oplus \cdots \oplus \widetilde{\eig_\alpha(\lambda_r)}
	      \end{equation}
	      dann besitzt ganz $\alpha: V\to V$ Jordan-Normalform
	\item Sei $V= V_1 \oplus \cdots \oplus V_r$ und $\alpha \in \homkv$. Falls $\alpha(V_i) \subseteq V_i$ für alle
	      $i \in [r]$, dann schreiben wir $\alpha = \alpha_1 \oplus \cdots \oplus \alpha_r$ mit $\alpha_i = \alpha|_{V_i} \forall i \in [r]$.
	      Für $v= v_1 + \cdots + v_r, v_i \in V_i, \forall i \in [r]$ gilt also $\alpha(v) = \alpha_1(v_1) + \cdots + \alpha_r(v_r)$.
	      Sei $B_i = \{b_1^i, \dots, b_{d_i}^i\}$ Basis von $V_i$ und $B = (B_1, \dots, B_r)$. Dann hat ${}_B M(\alpha)_B$
	      Blockdiagonalgestalt mit Blöcken ${}_{B_i} M(\alpha_i)_{B_i}$, das heißt \[
		      {}_B M(\alpha)_B = \begin{pmatrix}
			      \overbrace{{}_{B_1} M(\alpha_1)_{B_1}}^{\in \K^{d_1 \times d_1}} &        & 0                                                                \\
			                                                                       & \ddots &                                                                  \\
			      0                                                                &        & \underbrace{{}_{B_r} M(\alpha_r)_{B_r}}_{\in\K^{d_r \times d_r}}
		      \end{pmatrix}
	      \]
	      Insbesondere gilt $\chi_\alpha = \chi_{\alpha_1} \cdot \dots \cdots \chi_{\alpha_r}$
	\item Da wir schon wissen, dass $\alpha|_{\widetilde{\eig_\alpha(\lambda_i)}}$ Jordan-Normalform hat
	      folgt \\Jordan-Normalform für $\alpha$ wenn \ref{eq:2.3.6.1} gezeigt werden kann.
\end{itemize}

\begin{satz}
	\label{theo:2.3.7}
	Sei $V \K$-Vektorraum mit $\dim(V) < \infty$ und $\alpha \in \homkv$ sodass
	$\chi_\alpha(\lambda) = (\lambda_1 - \lambda) \cdots (\lambda_r - \lambda)$ in Linearfaktoren
	zerfällt. Dann gilt
	$V = \widetilde{\eig_\alpha(\lambda_1)} \oplus \cdots \oplus \widetilde{\eig_\alpha(\lambda_r)}$
	und insbesondere $\alpha = \alpha_1 \oplus \cdots \oplus \alpha_r$ mit
	$\alpha_i := \alpha|_{\widetilde{\eig_\alpha(\lambda_i)}} \in \homk(\widetilde{\eig_\alpha(\lambda_i)}, \widetilde{\eig_\alpha(\lambda_i)})$
	\begin{proof}
		Induktion nach $\dim(V)$.
		\begin{itemize}
			\item[$n=1$] \checkmark
			\item[$n-1 \mapsto n$] Da $\chi_A$ in Linearfaktoren zerfällt besitzt es eine Nullstelle $\lambda \in \spec(\alpha)$.
				\begin{enumerate}[label=Fall \arabic*:]
					\item $\widetilde{\eig_\alpha(\lambda)} = V$ \\
					      \underline{Behauptung:} $\spec(\alpha) = \{\lambda\}$
					      \begin{proof}[Zwischenbeweis]
						      Angenommen $\lambda' \neq \lambda$ und $\lambda' \in \spec(\alpha)$ und $v\in \eig_\alpha(\lambda')$. \\
						      $\implies (\alpha - \lambda \id) (v) = \alpha(v) - \lambda'v + (\lambda' - \lambda) v = (\lambda' - \lambda)(v)$ \\
						      $\implies (\alpha - \lambda \id)^l (v) \neq 0,\forall l \in \mathbb{N}$\Lightning \\
						      Daraus folgt das gewünschte Resultat
					      \end{proof}
					\item $\widetilde{\eig_\alpha(\lambda)} \neq V$. Sei $k$ minimal mit
					      $\ker(\alpha - \lambda - \id)^k = \widetilde{\eig_\alpha(\lambda)}$ [Lemma \ref{theo:2.3.5}]
					      Setze $V_1 := \widetilde{\eig_\alpha(\lambda)}, V_2 := \im(\alpha - \lambda \id)^k$. \\
					      \underline{Behauptung:}
					      \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
						      \item $\alpha(V_i) \subseteq V_i, i \in \{1, 2\}$
						      \item $V = V_1 \oplus V_2$
					      \end{enumerate}
					      \begin{proof}[Zwischenbeweis]
						      \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
							      \item Wir zeigen $(\alpha - \lambda \id)(V_i) \subseteq V_i$.
							            \begin{itemize}
								            \item[$i=1$:] Sei $v\in V_1 = \ker(\alpha - \lambda \id)^k$. Dann gilt klarerweise
									            $(\alpha - \lambda \id)(v) \in \ker(\alpha - \lambda \id)^k \checkmark$
								            \item[$i=2$:] Sei $v \in \im(\alpha - \lambda \id)^k$, also $v = (\alpha - \lambda \id)^k (w)$
									            $\implies (\alpha - \lambda \id)(v) = (\alpha - \lambda \id)^k (\alpha - \lambda \id)(w) \in \im(\alpha - \lambda \id)^k \checkmark$
							            \end{itemize}
							      \item Es gilt $\dim(V) = \dim(V_1) + \dim(V_2)$ nach der Dimensionsformel. Es genügt also zu zeigen, dass
							            $V_1 \cap V_2 = \{0\}$. \\ Sei $v\in V_1 \cap V_2$
							            \begin{align*}
								             & \underbrace{\implies}_{v\in V_2} \exists w\in V: v = (\alpha - \lambda \id)^k(w)                                                              \\
								             & \underbrace{\implies}_{v\in V_1} (\alpha - \lambda \id)^{2k}(w) = 0                                                                           \\
								             & \implies w \in V_{2k, \lambda} \setminus V_{k, \lambda} \underbrace{\implies}_{\mathclap{\text{Lemma \ref{theo:2.3.5}}}} w = \{0\} \checkmark
							            \end{align*}
						      \end{enumerate}
					      \end{proof}
				\end{enumerate}

				Es folgt $V = \underbrace{\widetilde{\eig(\lambda)}}_{V_1} \oplus V_2, \dim(V_2) < n$ und \\
				$\alpha = \alpha_1 \oplus \alpha_2, \alpha_i := \alpha|_{V_i}, i\in\{1, 2\}$.
				Es folgt $\chi_\alpha = \chi_{\alpha_1} \cdot \chi_{\alpha_2}$, also zerfällt $\chi_{\alpha_2}$
				in Linearfaktoren. Daher können wir die Induktionsvorraussetzung anwenden, was das gewünschte Resultat lierfert.
		\end{itemize}
	\end{proof}
\end{satz}

\begin{satz}
	Sei $V \K$-Vektorraum, $\dim(V) < \infty$ und $\alpha \in \homkv$ sodass $\chi_A$ in
	Linearfaktoren zerfällt. Dann besitzt $\alpha$ Jordan-Normalform.
	\begin{proof}
		Zerlege nach Satz \ref{theo:2.3.7}
		$V = \widetilde{\eig_\alpha(\lambda_1)} \oplus \cdots \oplus \widetilde{\eig_\alpha(\lambda_r)}$
		und \\
		$\alpha = \alpha \oplus \cdots \oplus \alpha_r$.
		Da $\widetilde{\eig_\alpha(\lambda_i)} = \ker(\alpha - \lambda_i \id)^{k_i}$ ist
		$\alpha_i - \lambda_i \id := \alpha|_{\widetilde{\eig_\alpha(\lambda_i)}} - \lambda
			\id|_{\widetilde{\eig_\alpha(\lambda_i)}} $ nilpotent. Nach Lemma \ref{theo:2.3.3} gibt es eine Basis
		$B_i$ von $\widetilde{\eig_\alpha(\lambda_i)}$ sodass ${}_{B_i} M(\alpha_i)_{B_i}$ Jordan-Normalform
		hat. Es folgt mit $B= (B_1, \dots, B_r)$ dass ${}_B M(\alpha)_B = \begin{pmatrix}
				{}_{B_1} M(\alpha_1)_{B_1} &        &                           \\
				                           & \ddots &                           \\
				                           &        & {}_{B_r}M(\alpha_r)_{B_r}
			\end{pmatrix}$ Jordanmatrix ist.
	\end{proof}
\end{satz}

\subsubsection{Berechnung der Jordan-Normalform}
\begin{enumerate}
	\item Berechne $\spec(\alpha) = \{ \lambda_1, \dots, \lambda_r \}$
	\item
	      \begin{enumerate}[label=\alph*)]
		      \item Haupträume berechnen: Finde $k$ minimal mit \[
			            \ker(\alpha - \lambda \id)^{k+1} = \ker(\alpha - \lambda \id)^k =: V_\lambda
		            \]
		      \item Für $1 \le l \le k$ bestimme $B_l = \{ b_1^l, \dots, b_{r_l}^l\}$, sodass $(B_1, \dots, B_l)$
		            Basis von $\ker(\alpha - \lambda \id)^l$.
	      \end{enumerate}
	\item
	      \begin{enumerate}[label=\alph*)]
		      \item Setze zunächst $v_i^k = b_i^k, i = 1, \dots, r_k$. $D_k := (v_1^k, \dots, v_{r_k}^k)$ \\
		            Setze $v_i^{k-1} := (\alpha - \lambda \id)(v_i^k) \in \langle B_{k-1} \rangle, i = 1, \dots, r_k$ \\
		            Ergänze gegebenenfalls $(v_1^{k-1}, \dots, v_{r_k}^{k-1},
			            v_{r_{k+1}}^{k-1}, \dots, v_{r_{k-1}}^{k-1})=:D_{k-1}$, sodass
		            $\langle D_{k-1} \rangle = \langle B_{k-1} \rangle$
		      \item Führe 3a) iterativ aus. \\
		            Setze $v_i^{l-1} := (\alpha - \lambda \id)(v_i^l), i = 1, \dots, r_l$ \\
		            Ergänze gegebenenfalls $v_1^{l-1}, \dots, v_{r_l}^{l-1}, v_{r_{l+1}}^{l-1}, \dots, v_{r_{l-1}}^{l-1}
			            =:D_{l-1}$, sodass $\langle D_{l-1} \rangle = \langle B_{l-1} \rangle$
	      \end{enumerate}
	\item Sei $B_\lambda = (D_1, \dots, D_k) \implies {}_{B_\lambda} M(\alpha|_{v_\lambda})_{B_\lambda}$ hat
	      Jordan-Normalform mit Eigenwert $\lambda$.
	\item Setze $B = (B_{\lambda_1}, \dots, B_{\lambda_r}) \implies {}_B M(\alpha)_B$ hat Jordan-Normalform.
\end{enumerate}

\subsubsection{Beispiel}
\begin{align*}
	 & A= \begin{pmatrix}
		      1 & 0 & 2 & 3  & 4  \\
		      0 & 1 & 0 & -2 & -3 \\
		      0 & 0 & 1 & 0  & 2  \\
		      0 & 0 & 0 & 1  & -1 \\
		      0 & 0 & 0 & 0  & 1
	      \end{pmatrix}
	, \chi_A(\lambda) = (\lambda - 1)^5                                                                 \\
	 & (A - 1\cdot I) = \begin{pmatrix}
		                    0 & 0 & 2 & 3  & 4  \\
		                    0 & 0 & 0 & -2 & -3 \\
		                    0 & 0 & 0 & 0  & 2  \\
		                    0 & 0 & 0 & 0  & -1 \\
		                    0 & 0 & 0 & 0  & 0
	                    \end{pmatrix}
	\implies \ker(A - I) = \langle ( \underbrace{e_1, e_2}_{B_1} ) \rangle                              \\
	 & (A-I)^2 = \begin{pmatrix}
		             0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
		             0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\
		             0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
		             0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
		             0 & 0 & 0 & 0 & 0
	             \end{pmatrix}
	\implies \ker((A-I)^2) = \langle (\underbrace{e_1, e_2}_{B_1}, \underbrace{e_3, e_4}_{B_2}) \rangle \\
	 & (A-I)^3 = 0 \implies \ker((A-I)^3) =
	\langle(\underbrace{e_1, e_2}_{B_1}, \underbrace{e_3, e_4}_{B_2}, \underbrace{e_5}_{B_3}) \rangle   \\
	 & B_1 = (e_1, e_2), B_2 = (e_3, e_4), B_3 = (e_5)
\end{align*}
\begin{align*}
	\begin{rcases}
		v_1^3 = e_5
	\end{rcases}
	D_3 \\
	\begin{rcases}
		v_1^2 = (A-1I)(v_1^3) = \begin{pmatrix}-4 \\ -3 \\ 2 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix} \\
		v_2^2 = e_4
	\end{rcases}
	D_2 \\
	\begin{rcases}
		v_1^1 = (A - I)(v_1^2) = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\
		v_2^1 = (A - I)(v_2^2) = \begin{pmatrix}3 \\ -2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
	\end{rcases}
	D_1
\end{align*}
\begin{align*}
	(\overset{\mathrlap{\rotatebox{30}{\scriptsize$\in\ker(A-I)$}}}{v_1^1}
	\underset{\mathclap{\substack{\rotatebox{180}{$\curvearrowright$} \\ A-I}}}{,}
	v_1^2
	\underset{\mathclap{\substack{\rotatebox{180}{$\curvearrowright$} \\ A-I}}}{,}
	v_1^3,
	\overset{\mathrlap{\rotatebox{30}{\scriptsize$\in\ker(A-I)$}}}{v_1^1}
	\underset{\mathclap{\substack{\rotatebox{180}{$\curvearrowright$} \\ A-I}}}{,}
	v_2^2) = B, {}_B M(A)_B =
	\begin{pmatrix}
		1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
		0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
		0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
		0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
		0 & 0 & 0 & 0 & 1
	\end{pmatrix}                                                 \\
	P =
	\begin{pmatrix}
		1 & 4  & 0 & 3  & 0 \\
		2 & -3 & 0 & -2 & 0 \\
		0 & 2  & 0 & 0  & 0 \\
		0 & 1  & 0 & 0  & 1 \\
		0 & 0  & 1 & 0  & 0
	\end{pmatrix}
	\implies P^{-1} A P =
	\begin{pmatrix}
		\tl1 & 1 & 0    & 0    & 0    \\
		0    & 1 & 1    & 0    & 0    \\
		0    & 0 & 1\br & 0    & 0    \\
		0    & 0 & 0    & \tl1 & 1    \\
		0    & 0 & 0    & 0    & 1\br
	\end{pmatrix}
\end{align*}

\chapter{Euklidische und Unitäre Vektorräume}
\subsubsection{Motivation}
Wir wollen Geometrie betreiben und Längen beziehungsweise Winkel messen können.
\subsubsection{Länge}
\begin{tikzpicture}[scale=4]
	\draw [-latex, very thick] (0, 0) -- (1.3, 1);
	\draw [dashed] (0, 0) -- (1.3, 0) -- (1.3, 1);
	\node [below] at (0.65, 0) {$x_2 - x_1$};
	\node [right] at (1.3, 0.5) {$y_2 - y_1$};
	\node [below left] at (0, 0) {$(x_1, y_1)$};
	\node [above right] at (1.3, 1) {$(x_2, y_2)$};
	\draw (1.1, 0) -- (1.1, 0.2) -- (1.3, 0.2);
	\draw [fill] (0, 0) circle [radius=0.02];
\end{tikzpicture}

\( \R^2: P_1 = (x_1, y_1), P_2 = (x_2, y_2) \) \\
\( d(P_1, P_2) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \lvert \vect{P_1P_2} \rvert  \)

\subsubsection{Winkel}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
	\coordinate (a) at (0, 0);
	\coordinate (b) at (5, 6);
	\coordinate (c) at (8, 4);
	\draw [fill] (a) circle [radius=0.07];
	\draw [very thick, ->] (a) -- (b);
	\draw [very thick, ->] (a) -- (c);
	\node [below left] at (a) {$p$};
	\node [right] at (b) {$v_2$};
	\node [right] at (c) {$v_2$};
	\draw pic [draw, thick, angle radius=3cm, pic text=$\alpha$] {angle=c--a--b};
\end{tikzpicture} \\
$v_1 = (u_1, w_1), v_2 = (u_2, w_2), v= (u, w)$ \\
$\cos(\alpha) = \dfrac{u_1 u_2 + w_1 w_2}{\lvert w_1 \rvert \lvert w_2 \rvert}$
$\lvert v \rvert = \sqrt{u^2 + w^2}$ \\
$v_1 \cdot v_2 = u_1 u_2 + w_1 w_2$ skalares Produkt \\
$\implies d(P_1, P_2) = \sqrt{\vect{P_1 P_2} \cdot \vect{P_1 P_2}}, \cos(\sphericalangle{v_1 v_2}) =
	\dfrac{v_1 v_2}{\lvert v_1 \rvert \lvert v_2 \rvert}$

\section[Skalarprodukte und Hermitesche Formen]{Skalarprodukte und Hermitesche \\ Formen}
Zunächst sei \( \K = \R \)

\begin{defin}
	Sei $v$ ein $\R$-Vektorraum und $\beta: V \times V \to \R$.
	$\beta$ heißt
	\begin{itemize}
		\item \underline{bilinear} (Bilinearform) wenn $\forall u, v, w\in V, \lambda \in \R$:
		      \begin{align*}
			      \beta(u+v, w) = \beta(u, w) + \beta(v, w), \\
			      \beta(u, v+w)=\beta(u, v) + \beta(u, w),   \\
			      \beta(\lambda u, v) = \lambda \beta(u, v) = \beta(u, \lambda v)
		      \end{align*}
		\item \underline{symmetrisch} wenn $\forall u, v \in V: \beta(u, v) = \beta(v, u)$
		\item \underline{positiv definit} wenn $\forall v \ V\setminus\{0\}: \beta(v, v) > 0$
		\item \underline{skalares Produkt} wenn $\beta$ symmetrisch, positiv definit (spd) und bilinear ist.
	\end{itemize}
\end{defin}

\subsubsection{Bemerkung}
$v=0\in V \implies 0 \cdot v = v \implies \beta(v, v) = \beta(0 \cdot v, v) = 0 \cdot \beta(v, v) = 0$

\subsubsection{Beispiele}
\begin{itemize}
	\item Sei $V = \R^n$ und $v= (v_1, \dots, v_n), w= (w_1, \dots, w_n)$ \\
	      $\beta_1(v, w) = \sum\limits_{i=1}^n v_1 w_1= v^Tw$ ist symmetrische positiv definite Bilinearform.
	\item Sei $\dim(V) = n$ und $B=(b_1, \dots, b_n)$ Basis \\
	      Sei für $v, w \in V: \begin{cases} {}_B \Phi(v) = (v_1, \dots, v_n) \\
			      {}_B \Phi(w) = (w_1, \dots, w_n)\end{cases}$ \\
	      $\beta_2(v, w) = \sum\limits_{i=1}^n v_i w_i = \beta_1({}_B \Phi(v), {}_B \Phi(w))$ ist spd.
	\item $V= \R^2, v= \begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix},
		      w= \begin{pmatrix}w_1\\w_2\end{pmatrix}, A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$ \\
	      $\beta_3(v, w) = v^T A w \in \R$ \\
	      symmetrisch, weil
	      \[
		      \beta_3(v, w) = \beta_3(v, w)^T = (v^T A w)^T = w^T A^T v = w^T A v = \beta_3(w, v) \checkmark
	      \]
	      $\beta_3(u, v) = 4v_1w_1 - 2v_1w_2 - 2v_2w_1 + 3v_2 w_2 \implies \beta(v, v) = (2 v_1 - v_2)^2 + 2 v_2^2 = 0
		      \implies v_2 = 0 \implies (2v_1)^2 = 0 \implies v_1 = 0$
	\item Sei $a, b \in \R, a < b, V = \{f:[a, b] \to \R: f \text{ stetig}\}$ \\
	      Sei $h \in V: h(t) > 0 \forall t \in [a, b]$
	      \begin{align*}
		       & \beta_4(f, g) = \int_a^b f(t) g(t) h(t) dt \text{ bilinear, symmetrisch} \\
		       & \beta_4(f, f) = \int_a^b \lvert f(t) \rvert ^2 h(t) dt = 0 \implies f= 0
	      \end{align*}
\end{itemize}

\begin{defin}
	Ein Vektorraum mit skalarem Produkt heißt \underline{Euklidischer Raum}.\\
	Man schreibt oft $u \cdot v, \inner uv$ anstatt $\beta(u, v)$.
\end{defin}

Nun sei $\K = \C$

\begin{defin}
	Sei $V$ ein \C-Vektorraum und $\beta: V \times V \to \C$. $\beta$ heißt \underline{hermitesche Form} wenn für
	alle $u, v, w \in V, \lambda \in \C$:
	\begin{enumerate}[label=\roman*)]
		\item $\beta(u + v, w) = \beta(u, w) + \beta(v, w)$
		\item $\beta(\lambda u, v) = \lambda \beta(u, v)$
		\item $\beta(u, v) = \overline{\beta(u, v)}$
	\end{enumerate}
\end{defin}

\begin{lemma}
	\label{theo:3.1.4}
	Sei $\beta$ hermitesche Form
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $\beta(u, v + w) = \beta(u, v) + \beta(u, w)$
		\item $\beta(u, \lambda v) = \overline{\lambda} \beta(u, v)$
		\item $\beta(u, u) \in \R$
	\end{enumerate}
	\begin{proof}
		\begin{enumerate}[label=\alph*)]
			\item $\beta(u, v+w) \overset{\text{iii}}{=} \overline{\beta(v+ w, u)} \overset{\text{i}}{=}
				      \overline{\beta(v, u)} + \overline{\beta(w, u)} \overset{\text{iii}}{=}\beta(u, v) + \beta(u, w) \checkmark$
			\item $\beta(u, \lambda v) \overset{\text{iii}}{=} \overline{\beta(\lambda v, u)} \overset{\text{ii}}{=}
				      \overline{\lambda}\cdot\overline{\beta(v, u)} \overset{\text{iii}}{=} \overline{\lambda} \beta(u, v)$
			\item $z = \overline{z} \iff z \in \R$ \\
			      $\beta(u, u) \overset{\text{iii}}{=} \overline{\beta(u, u)} \implies \beta(u, u) \in \R$
		\end{enumerate}
	\end{proof}
\end{lemma}

\begin{defin}
	Sei $\beta$ hermitesche Form.
	\begin{itemize}
		\item $\beta$ heißt \underline{positiv definit} wenn $\forall v \in V\setminus\{0\}:
			      \underbrace{\beta(v, v)}_{\in\R} > 0$
		\item Eine positiv definite hermitesche Form heißt \underline{skalares Produkt}
		\item Ein komplexer Vektorraum mit einem skalaren Produkt heißt \underline{unitärer} \underline{Raum}.
	\end{itemize}
\end{defin}

\subsubsection{Beispiel}
$V = \C^n, u = (u_1, \dots, u_n), v = (v_1, \dots, v_n)$ \\
$u \cdot v = \sum\limits_{i=1}^n u_i \overline{v_i}$ ist skalares Produkt
\par
Wir zeigen nun, dass jeder euklidische Vektorraum in einen unitären Vektorraum eingebettet werden kann.

\begin{defin}
	Sei $V$ ein \R-Vektorraum.
	\begin{align*}
		 & V_\C := \{ (u, v): u, v\in V \} \text{
		[Schreibe $(u, v) =: u + \overset{\mathclap{\substack{i^2 = -1                                             \\ |}}}{i} \cdot v$]} \\
		 & (u_1, v_1) + (u_2, v_2) := (u_1 + u_2, v_1 + v_2) \text{ Addition}                                      \\
		 & \lambda = (\gamma + i \delta) \in \C, \lambda \cdot (u, v) = (\gamma u - \delta v, \delta u + \gamma v)
		\text{ skalare Multiplikation}                                                                             \\
		 & \lambda(u + iv) = (\gamma + i \delta) (u + iv) = \gamma u + i \gamma v + i \delta u - \delta v          \\
		 & \; \; =(\gamma u - \delta v) + i (\gamma v + \delta u)                                                  \\
		 & \implies (V_\C, +, \cdot) \text{ ist \C-Vektorraum}
	\end{align*}
	$V_\C$ heißt die \underline{komplexe Erweiterung von V}.
\end{defin}

Einbettung
\[
	\iota: \begin{cases}V \to V_\C \\ v \mapsto (v, 0) = v + i\cdot 0 \end{cases}
\]

\begin{lemma}
	\leavevmode
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $V$ ist durch die Einbettung $v \overset{\iota_V}{\mapsto} (v, 0)$ \dq in $V_\C$ enthalten\dq, das heißt
		      $\iota_V$ ist injektiv.
		\item Seien $V, W$ \R-Vektorräume, $\alpha \in \Hom_\R(V, W)$. Dann existiert eine eindeutige komplexe
		      Erweiterung $\alpha_\C \in \Hom_\C(V_\C, W_\C)$ mit
		      \[
			      \forall v \in V: \alpha_\C(\iota_V(v)) = \iota_W(\alpha(v))
		      \]
	\end{enumerate}
	\begin{proof}
		\begin{enumerate}[label=\alph*)]
			\item $\iota_V$ ist linear \checkmark \\
			      $\iota_V(v) = (0, 0) \implies v = 0$ (injektiv)
			\item Sei $\alpha_\C$ so eine Fortsetzung \\
			      $\alpha_\C(u + iv) = \alpha_\C(u) + i \alpha_\C(v) = \alpha(u) + i\alpha(v)$ \\
			      $\alpha_\C((u, v)) = (\alpha(u), \alpha(v))$ Dadurch ist $\alpha_\C$ eindeutig bestimmt!
		\end{enumerate}
	\end{proof}
\end{lemma}

\begin{defin}
	$\alpha_\C$ heißt die komplexe Forsetzung von $\alpha$
\end{defin}

Auch skalare Produkte können eindeutig fortgesetzt werden.

\begin{satz}
	Sei $(V, \beta)$ euklidischer \R-Vektorraum. Dann existiert genau eine hermitesche Form $\beta_\C$ auf $V_\C$,
	welche $\beta$ fortsetzt:
	\[
		\forall v, w \in V: \beta_\C(\iota_V(v), \iota_V(w)) = \beta(v, w)
	\]
	\begin{proof}
		Ein solches $\beta_\C$ muss erfüllen, dass
		\begin{align*}
			\beta_\C(u_1 + i v_1, u_2 + i v_2) & = \beta_\C(u_1, u_2 + i v_2) + i \beta_\C(v_1, u_2+iv_2)                   \\
			                                   & = \beta_\C(u_1, u_2) + i \beta_\C(v_1, u_2)
			\underset{\mathclap{\substack{|                                                                                 \\\text{\ref{theo:3.1.4} b)}}}}{-}
			i \beta_\C(u_1, v_2) + \beta_\C(v_1, v_2)                                                                       \\
			                                   & = \beta(u_1, u_2) + \beta(v_1, v_2) + i(\beta(v_1, u_2) - \beta(u_1, v_2))
		\end{align*}
		und dadurch ist $\beta_\C$ eindeutig bestimmt.
	\end{proof}
\end{satz}

\begin{satz}[Cauchy-Schwarz]
	\label{theo:3.1.10}
	Für $u, v$ in einem euklidischen/unitären Vektorraum $V$ gilt
	\[
		\lvert \inner uv \rvert ^2 \le \inner uu \inner vv
	\]
	Gleichheit gilt genau wenn $u, v$ linear abhängig sind.
	\begin{proof}
		$v=0 \checkmark$ \\
		$v \neq 0 \implies \inner vv >0$ \\
		Sei $\lambda \in \C \implies$
		\begin{align*}
			0 & \le \inner{u - \lambda v}{ u - \lambda v  }                      \\
			  & = \inner u {u - \lambda v} - \lambda \inner v {u-\lambda v}      \\
			  & = \inner uu - \overline{\lambda} \inner uv - \lambda \inner vu +
			\underbrace{\lambda \overline{\lambda}}_{=\lvert\lambda\rvert^2} \inner vv
		\end{align*}
		Sei $\lambda := \dfrac{\inner uv}{\inner vv}, \overline{\lambda} =
			\dfrac{\overline{\inner uv }}{\overline{\inner vv }}
			=\dfrac{\inner vu}{\inner vv}$, so folgt
		\begin{align*}
			0 & \le \inner uu - \frac{\inner vu \inner uv }{\inner vv }
			- \frac{\inner uv \inner vu }{\inner vv } +
			\frac{\cancel{\inner vv } \inner uv \inner vu }
			{\inner{v}{v}^{\cancel{2}}}                                         \\
			  & = \inner uu - \frac{\lvert \inner uv \rvert^2}{\inner vv }      \\
			  & \implies 0 \le \inner uu \inner vv - \lvert \inner uv \rvert ^2 \\
			  & \implies \inner uu \inner vv \ge \lvert \inner uv \rvert^2.
		\end{align*}
		Gleichheit gilt, wenn $\inner{u - \lambda v}{u - \lambda v} = 0$, also $u, v$ linear abhängig.
	\end{proof}
\end{satz}

\begin{defin}
	Man nennt
	\begin{itemize}
		\item $\norm v := \sqrt{\inner vv }$ die \underline{Länge} oder die \underline{Norm} von
		      $v \in V$.
		\item $\cos(\sphericalangle v w) := \dfrac{\inner vw }{\norm v \norm w }$ der
		      Kosinus des \underline{Winkels} zwischen $v, w \in V$. \\
		      (Wegen Satz \ref{theo:3.1.10} ist $\cos(\sphericalangle v w) \le 1$ und damit auch $\sphericalangle v w$
		      wohldefiniert!)
		\item $v\in V$ heißt \underline{normiert} wenn $\norm v = 1$
	\end{itemize}
\end{defin}

\begin{satz}
	$\norm \cdot $ ist eine \underline{Norm}, das heißt
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $\norm v \ge 0$
		\item $\norm v = 0 \implies v = 0$
		\item $\norm {\lambda v} = \lvert \lambda \rvert \norm v $
		\item $\norm {v + w} \le \norm v + \norm w $ (Dreiecksungleichung)
	\end{enumerate}
	\begin{proof}
		\begin{enumerate}[label=\alph*)]
			\item $\norm v = (\underbrace{\inner vv }_{\in [0, \infty)})^\frac12 \ge 0$
			\item $\norm v = 0 \implies \norm{v}^2 = 0 \implies \inner vv = 0 \implies v = 0$
			\item $\norm{\lambda v}^2 = \inner{\lambda v}{\lambda v}= \norm{\lambda}^2
				      \inner vv = \lvert \lambda \rvert^2 \norm{v}^2$
			\item \begin{align*}
				      \norm{u + v}^2 & = \inner{u + v}{u +v}                                       \\
				                     & = \inner u{u+v} + \inner v{u+v} = \inner uu + \inner uv +
				      \inner vu + \inner v, v                                                      \\
				                     & = \inner uu + \inner uv + \overline{\inner uv } + \inner vv \\
				                     & = \inner uu + 2 \Re(\inner uv ) + \inner vv                 \\
				                     & \le \inner uu + 2 \lvert \inner uv \rvert + \inner vv       \\
				                     & \le \inner uu 2 \norm u \norm v + \inner vv                 \\
				                     & = \norm{u}^2 + 2 \norm u \norm v + \norm{v}^2
				      = (\norm u + \norm v )^2
			      \end{align*}
		\end{enumerate}
	\end{proof}
\end{satz}

\begin{defin}
	Sei $V = (v_1, \dots, v_k)$ mit $\forall i \in [k]: v_i \neq 0$.
	\begin{itemize}
		\item $v, w$ heißen \underline{orthogonal}, wenn $\inner vw = 0$ [schreibe auch $v \bot w$]
		\item $V$ heißt \underline{Orthogonalsystem} (OS), wenn
		      $\forall i, j \in [k], i\neq j: v_i \bot v_j$
		\item $V$ heißt \underline{Orthonormalsystem} (ONS), wenn $V$ ein Orthogonalsystem ist
		      und $\forall i \in [k]: \norm{v_i}= 1$
		\item $V$ heißt \underline{Orthogonalbasis} (OB), wenn $V$ ein Orthogonalsystem und eine Basis ist.
		\item $V$ heißt \underline{Orthonormalbasis} (ONB), wenn $V$ ein Orthonormalsystem und eine Basis ist.
	\end{itemize}
\end{defin}

\begin{satz}
	Sei $(v_1, \dots, v_k)$ ein Orthogonalsystem. Dann ist $(v_1, \dots, v_k)$ linear \\unabhängig.
	\begin{proof}
		Angenommen $\lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_k v_k = 0$
		\[
			\forall i \in [k]: 0 = \lambda_1 \underbrace{\inner {v_1}{v_i}}_{=0} + \dots +
			\lambda_i \underbrace{\inner {v_i}{v_i}}_{=0} + \dots +
			\lambda_k \underbrace{\inner {v_k}{v_i}}_{=0}
			= \lambda_i \underbrace{\norm{v_i}^2}_{\neq 0}
		\]
		$\implies \lambda_i = 0$
	\end{proof}
\end{satz}

\begin{satz}
	Sei $B=(b_1, \dots, b_n)$ Orthonormalbasis von $V, n\in \mathbb{N}\cup \{\infty\}$.
	Dann gilt für alle $v, w \in V$ und $(\lambda_1, \dots, \lambda_n) = {}_B \Phi(v), (\mu_1, \dots, \mu_n)
		= {}_B\Phi(w)$:
	\[
		\inner vw = \sum_{i=1}^n \lambda_i \overline{\mu_i}
	\]
	Weiters gilt $\lambda_i = \inner{v}{b_i}, b_i^*(v) = \inner v {b_i}$
	\begin{proof}
		\begin{align*}
			 & \inner{b_i}{b_j} = \delta_{ij}                                                                        \\
			 & \begin{rcases}v = \sum_{i=1}^n \lambda_i b_i \\
				   w = \sum_{i=1}^n \mu_i b_i\end{rcases} \implies \inner vw
			= \sum_{i, j = 1}^n \inner{\lambda_i b_i}{\mu_j b_j} = \sum_{i, j = 1}^n \lambda_i \overline{\mu_j}
			\inner{b_i}{b_j} = \sum_{i=1}^n \lambda_i \overline{\mu_i}                                               \\
			 & {}_B \Phi(b_i) = (0, \dots, \overset{i}{1}, \dots, 0) \implies \inner v{b_i} = \sum_{j=1}^n \lambda_j
			\delta_{1j} = \lambda_1
		\end{align*}
	\end{proof}
\end{satz}

\begin{satz}[Gram-Schmidt Orthonormalisierungsverfahren]
	\label{theo:3.1.16}
	Sei $(a_1, a_2, \dots) \subseteq V$ linear unabhängig. Dann existiert genau ein Orthonormalsystem
	$(b_1, b_2, \dots)$ mit
	\begin{enumerate}[label=\roman*)]
		\item $\forall k: \langle a_1, \dots, a_k \rangle = \langle b_1, \dots b_k \rangle =: U_k$
		\item Die Basistransformationsmatrix $M_k$ zwischen der Basen $(a_1, \dots, a_k)$ und $(b_1, \dots, b_k)$
		      von $U_k$ hat positive Determinante.
	\end{enumerate}
	\begin{proof}
		$b_1, b_2, \dots$ werden induktiv definiert.
		\begin{itemize}
			\item $b_1 = \frac{a_1}{\norm{a_1}}, M_1 = \begin{pmatrix}\frac{1}{\norm{a_1}}\end{pmatrix}$ \\
			      Eindeutigkeit: Sei $\tilde b_1$ mit i), ii) $\implies \tilde b_1 = c \cdot a_1, 1 = \norm{\tilde b_1}
				      = \norm{c \cdot a_1} = \lvert c \rvert \norm{a_1}$ \\
			      $ \implies \lvert c \rvert = \dfrac{1}{\norm{a_1}} \implies \tilde M_k =(c)$
			\item $(b_1, \dots, b_n)$ schon konstruiert mit i), ii) \\
			      Sei $c_{n+1} := a_{n+1} - \sum\limits_{j=1}^n \inner{a_{n+1}}{b_j} b_j$
			      \begin{align*}
				       & \forall i \in [n]: \inner{c_{n+1}}{b_i} = \inner{a_{n+1}}{b_i} -
				      \sum\limits_{j=1}^n \inner{a_{n+1}}{b_j} \underbrace{\inner{b_j}{b_i}}_{\delta_{ij}} \\
				       & = \inner{a_{n+1}}{b_i}
				      - \inner{a_{n+1}}{b_i} = 0 \implies c_{n+1} \bot \langle b_1, \dots, b_n \rangle
			      \end{align*}
			      $b_{n+1} = \dfrac{c_{n+1}}{\norm{c_{n+1}}} \implies (b_1, \dots, b_{n+1})$ Orthonormalsystem mit \\
			      $\langle b_1, \dots, \rangle = \langle a_1, \dots, a_n \rangle$
			      \begin{align*}
				       & b_1 = \mu_{11} a_1                                                                      \\
				       & b_2 = \mu_{21} a_1 + \mu_{22} a_2                                                       \\
				       & b_3 = \mu_{31} a_1 + \mu_{32} a_2 + \mu_{33} a_3                                        \\
				       & \vdots                                                                                  \\
				       & b_n = \mu_{n1} a_1 + \dots + \mu_{nn} a_n                                               \\
				       & b_{n+1} = \mu_{n+1 1} a_1 + \dots + \mu_{n+1 n} a_n + \dfrac{1}{\norm{c_{n+1}}} a_{n+1} \\
				       & \implies \det(\mu_{ij}) = \det(M_n) \cdot \dfrac{1}{\norm{c_{n+1}}} > 0
			      \end{align*}
			      Eindeutigkeit: Sei $\tilde b_{n+1}$ ein weiterer Vektor mit i), ii)
			      \begin{align*}
				       & \implies \tilde b_{n+1} = \mu_1 b_1 + \dots + \mu_n b_n + \mu b_{n+1}                                \\
				       & \forall i \in [n]: 0 = \inner{\tilde b_{n+1}}{b_i} = \mu_i \implies \tilde b_{n+1} = \mu b_{n+1}     \\
				       & 1 = \norm{\tilde b_{n+1}} = \lvert \mu \rvert \norm{b_{n+1}} = \lvert \mu \rvert \implies \lvert \mu
				      \rvert = 1                                                                                              \\
				       & \det(\tilde M_{n+1}) = \det(M_n) \cdot \mu > 0 \implies \mu = 1 \land \tilde b_{n+1} = b_{n+1}
			      \end{align*}
		\end{itemize}
	\end{proof}
\end{satz}

\begingroup
\allowdisplaybreaks

\subsubsection{Veranschaulichung im $\R^2$}
\begin{tikzpicture}[scale=3]
	\tikzmath{
		\a1 = 3;
		\a2 = 1;
		\a3 = 2;
		\a4 = 2;
		\norma1 = sqrt(\a1^2 + \a2^2);
		\normeda1 = \a1 / \norma1;
		\normeda2 = \a2 / \norma1;
		\innerprod = \normeda1 * \a3 + \normeda2 * \a4;
		\c1 = \a3 - (\innerprod * \normeda1);
		\c2 = \a4 - (\innerprod * \normeda2);
		\t1 = (\innerprod * \normeda1);
		\t2 = (\innerprod * \normeda2);
		\normc = sqrt(\c1^2 + \c2^2);
		\b3 = \c1 / \normc;
		\b4 = \c2 / \normc;
	}
	\draw [->] (0, 0) --node[below]{$a_1$} (\a1, \a2);
	\draw [->] (0, 0) --node[above]{$a_2$} (\a3, \a4);
	\draw [->, blue, thick] (0, 0) --node[below right]{$\inner{a_2}{b_1}b_1$} (\t1, \t2);
	\draw [->, violet, very thick] (0, 0) --node[below right]{$\frac{a_1}{\norm{a_1}}=:b_1$} (\normeda1, \normeda2);
	\draw [->, magenta, thick] (0, 0) --node[left]{$c_2:=a_2 - \inner{a_2}{b_1}b_1$} (\c1, \c2);
	\draw [->, teal, very thick] (0, 0) --node[right]{$\frac{c_2}{\norm{c_2}}=:b_2$} (\b3, \b4);
\end{tikzpicture}

\subsubsection{Beispiel}
$V = \R^4, a_1 = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix},
	a_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -4 \\ -5 \end{pmatrix},
	a_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ -2 \\ -5 \end{pmatrix}$
\begin{align*}
	 & b_1 = \frac{1}{\norm{a_1}} a_1 ,\; \norm{a_1} = (4^2 + 2^2 + 2^2 + 1^2)^{\frac 12} = \sqrt{25} = 5   \\
	 & = \frac 15 \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} ,\;
	\inner{a_2}{b_1} = \frac 15 \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -4 \\ -5 \end{pmatrix} \cdot
	\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} = \frac 15 (8 + 4 + 8 + 5)^\frac 12 = \frac{25}5       \\
	 & c_2 = a_2 - \underbrace{\inner{a_2}{b_1}}_5 b_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -4 \\ -5 \end{pmatrix} -
	\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix}    \\
	 & \norm c_2 = (4 + 4 + 16) = \sqrt{24}                                                                 \\
	 & \implies b_2 = \frac{1}{\sqrt{24}} \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix}                 \\
	 & c_3 = a_3 - \inner{a_3}{b_1} b_1 - \inner{a_3,b_2} b_2 = \dots =
	\begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix}                                                          \\
	 & \norm{c_3} = (4 + 36 + 4)^\frac 12 = \sqrt{44}                                                       \\
	 & \implies b_3 = \frac 1{\sqrt{44}} \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}
\end{align*}

\endgroup

\begin{satz}
	Sei $V$ euklidischer/unitärer Vektorraum mit höchstens abzählbarer Dimension.
	Dann kann jedes Orthonormalsystem zu einer Orthogonalbasis von $V$ ergänzt werden.
	\begin{proof}
		Sei $(b_1, \dots, b_k)$ ein Orthonormalsystem, $(b_1, \dots, b_k, a_{k+1}, \dots)$ eine Basis.
		Satz \ref{theo:3.1.16} $\implies \exists b_{k+1}, b_{k+2}, \dots$ mit $(b_1, \dots, b_k, b_{k+1}, \dots)$
		Orthonormalbasis.
	\end{proof}
\end{satz}

\end{document}