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Improve rendering of several bracket types

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Anton Mosich 2022-06-13 10:52:46 +02:00
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commit db9c8dd607
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21
LinAlg2.tex
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@ -81,10 +81,10 @@
\newcommand\homkv{\Hom_\K(V, V)} \newcommand\homkv{\Hom_\K(V, V)}
\newcommand\homk{\Hom_\K} \newcommand\homk{\Hom_\K}
\newcommand\inner[2]{\langle #1, #2 \rangle} \newcommand\inner[2]{\left\langle #1, #2 \right\rangle}
\newcommand\norm[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand\norm[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
\newcommand\ontop[2]{\genfrac{}{}{0pt}{0}{#1}{#2}} \newcommand\ontop[2]{\genfrac{}{}{0pt}{0}{#1}{#2}}
\newcommand\abs[1]{\lvert #1 \rvert} \newcommand\abs[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
\begin{document} \begin{document}
@ -2111,6 +2111,7 @@ $V = \C^n, u = (u_1, \dots, u_n), v = (v_1, \dots, v_n)$ \\
$u \cdot v = \sum\limits_{i=1}^n u_i \overline{v_i}$ ist skalares Produkt $u \cdot v = \sum\limits_{i=1}^n u_i \overline{v_i}$ ist skalares Produkt
\par \par
Wir zeigen nun, dass jeder euklidische Vektorraum in einen unitären Vektorraum eingebettet werden kann. Wir zeigen nun, dass jeder euklidische Vektorraum in einen unitären Vektorraum eingebettet werden kann.
\newpage
\begin{defin} \begin{defin}
Sei $V$ ein \R-Vektorraum. Sei $V$ ein \R-Vektorraum.
@ -2205,9 +2206,9 @@ Auch skalare Produkte können eindeutig fortgesetzt werden.
- \frac{\inner uv \inner vu }{\inner vv } + - \frac{\inner uv \inner vu }{\inner vv } +
\frac{\cancel{\inner vv } \inner uv \inner vu } \frac{\cancel{\inner vv } \inner uv \inner vu }
{\inner{v}{v}^{\cancel{2}}} \\ {\inner{v}{v}^{\cancel{2}}} \\
& = \inner uu - \frac{\lvert \inner uv \rvert^2}{\inner vv } \\ & = \inner uu - \frac{\abs{ \inner uv }^2}{\inner vv } \\
& \implies 0 \le \inner uu \inner vv - \lvert \inner uv \rvert ^2 \\ & \implies 0 \le \inner uu \inner vv - \abs{ \inner uv } ^2 \\
& \implies \inner uu \inner vv \ge \lvert \inner uv \rvert^2. & \implies \inner uu \inner vv \ge \abs{ \inner uv }^2.
\end{align*} \end{align*}
Gleichheit gilt, wenn $\inner{u - \lambda v}{u - \lambda v} = 0$, also $u, v$ linear abhängig. Gleichheit gilt, wenn $\inner{u - \lambda v}{u - \lambda v} = 0$, also $u, v$ linear abhängig.
\end{proof} \end{proof}
@ -2347,8 +2348,7 @@ Auch skalare Produkte können eindeutig fortgesetzt werden.
\begin{align*} \begin{align*}
& \implies \tilde b_{n+1} = \mu_1 b_1 + \dots + \mu_n b_n + \mu b_{n+1} \\ & \implies \tilde b_{n+1} = \mu_1 b_1 + \dots + \mu_n b_n + \mu b_{n+1} \\
& \forall i \in [n]: 0 = \inner{\tilde b_{n+1}}{b_i} = \mu_i \implies \tilde b_{n+1} = \mu b_{n+1} \\ & \forall i \in [n]: 0 = \inner{\tilde b_{n+1}}{b_i} = \mu_i \implies \tilde b_{n+1} = \mu b_{n+1} \\
& 1 = \norm{\tilde b_{n+1}} = \lvert \mu \rvert \norm{b_{n+1}} = \lvert \mu \rvert \implies \lvert \mu & 1 = \norm{\tilde b_{n+1}} = \abs{\mu} \norm{b_{n+1}} = \abs{\mu} \implies \abs{\mu} = 1 \\
\rvert = 1 \\
& \det(\tilde M_{n+1}) = \det(M_n) \cdot \mu > 0 \implies \mu = 1 \land \tilde b_{n+1} = b_{n+1} & \det(\tilde M_{n+1}) = \det(M_n) \cdot \mu > 0 \implies \mu = 1 \land \tilde b_{n+1} = b_{n+1}
\end{align*} \end{align*}
\end{itemize} \end{itemize}
@ -3075,7 +3075,7 @@ Das sind genau die Längen- und Winkelerhaltenden Abbildungen.
\begin{enumerate}[label=\alph*)] \begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Folgt direkt aus Satz~\ref{theo:3.3.2}: \item Folgt direkt aus Satz~\ref{theo:3.3.2}:
\begin{align*} \begin{align*}
\norm{\underset{\substack{\rotatebox{90}{=} \\u+iv}}{v_\C}} \underset{\substack{\rotatebox{90}{=} \\u+iv}}{\norm{v_\C}}
= 1 & \iff \norm u^2 + \norm v^2 = 1 \\ = 1 & \iff \norm u^2 + \norm v^2 = 1 \\
& \implies \norm{\alpha_\C(v_\C)} = \norm{\alpha(u)}^2 + \norm{\alpha(v)}^2 = 1 & \implies \norm{\alpha_\C(v_\C)} = \norm{\alpha(u)}^2 + \norm{\alpha(v)}^2 = 1
\end{align*} \end{align*}
@ -4097,7 +4097,8 @@ Wir haben eine echte Verallgemeinerung.
\subsubsection{Anwendung: Methode der kleinsten Quadrate} \subsubsection{Anwendung: Methode der kleinsten Quadrate}
Sei $Ax = b$ Lineares Gleichungssystem mit $L(A,b) = \emptyset$. Versuche ein $x$ zu finden mit Sei $Ax = b$ Lineares Gleichungssystem mit $L(A,b) = \emptyset$. Versuche ein $x$ zu finden mit
$\norm{Ax-b}_{\K^m}$ minimal, $\norm{\alpha(v) - w}$ minimal. $\norm{Ax-b}_{\K^m}$ minimal, $\norm{\alpha(v) - w}$ minimal.
Sei $b_1, \dots, b_n$ Orthonormalbasis von $V$, $b_1', \dots, b_m'$ ONB von $W$. Sei $b_1, \dots, b_n$ Orthonormalbasis von $V$, \\
$b_1', \dots, b_m'$ ONB von $W$.
$\langle b_1, \dots, b_r \rangle = \ker(\alpha)^\bot, \langle b_1', \dots b_r'\rangle = \im(\alpha)$ $\langle b_1, \dots, b_r \rangle = \ker(\alpha)^\bot, \langle b_1', \dots b_r'\rangle = \im(\alpha)$
$v = \sum_{i=1}^n \lambda_i b_i \implies \alpha(v) = \sum_{i=1}^r s_i \lambda_i b_i'$ $v = \sum_{i=1}^n \lambda_i b_i \implies \alpha(v) = \sum_{i=1}^r s_i \lambda_i b_i'$
$w = \sum_{i=1}^n \mu_i b_i'$ $w = \sum_{i=1}^n \mu_i b_i'$