semestre_2/Cálculo II/Atividade 6/Atividade 6.md

Atividade 6

Resolução dos exercícios obrigatórios, feita por Guilherme de Abreu Barreto¹.

Capítulo 12.3

Exercício 39

Determine o vetor projeção e a projeção escalar de b sobre a onde

\textbf a = \lang -5,12 \rang;\, \textbf b = \lang 4,6\rang

Resolução

\text{comp}_\textbf a \textbf b = \dfrac{\textbf a \cdot \textbf b}{|\textbf a|} = \dfrac{-5 \cdot 4 + 12 \cdot 6}{\sqrt{(-5)^2 + 12^2}} = 4

\text{proj}_\textbf a \textbf b = \dfrac{\textbf a}{|\textbf a|}\text{comp}_\textbf a \textbf b = \dfrac 4{13}\lang-5,12\rang = \left\lang\dfrac{-20}{13}, \dfrac{48}{13} \right\rang\ \blacksquare

Exercício 63

A Lei do Paralelogramo afirma que

|\textbf a + \textbf b|^2 + |\textbf a - \textbf b|^2 =
2 |\textbf a|^2 + 2|\textbf b|^2

Dê uma interpretação geométrica da Lei do Paralelogramo e a demonstre

Resolução

Considere o paralelogramo acima. É possível aferir o comprimento de suas diagonais à partir do comprimento de seus lados. De fato, podemos aferi-las separadamente usando a Lei dos Cossenos:

$|\overline{BD}|^2 = |\overline{AD}|^2 + |\overline{AB}|^2 - 2 |\overline{AD}||\overline{AB}|\cos \theta $

e

$|\overline{AC}|^2 = |\overline{AD}|^2 + |\overline{CD}|^2 - 2 |\overline{AD}||\overline{CD}|\cos(\pi - \theta) = \ |\overline{AD}|^2 + |\overline{CD}|^2 - 2 |\overline{AD}||\overline{CD}|[\cos \pi \cdot \cos \theta + \cancel{\sin \pi \cdot \sin \theta}] = \ |\overline{AD}|^2 + |\overline{CD}|^2 + 2 |\overline{AD}||\overline{CD}|\cos\theta$

Substituindo o comprimento dos lados e diagonais por sua representação vetorial (|\textbf a| = |\overline{AD}| = |\overline{BC}|, |\textbf b| = |\overline{AB}| = |\overline{CD}|, |\textbf{a + b}| = |\overline{AC}|, |\textbf a - \textbf b| = |\overline{BD}|) e somando-se as equações anteriores, temos demonstrada a Lei do Paralelogramo:

+ \begin{cases}
|\textbf a - \textbf b|^2 =
|\textbf a|^2 + |\textbf b|^2
- 2 |\textbf a||\textbf b|\cos \theta \\
|\textbf{a + b}|^2 =
|\textbf a|^2 + |\textbf b|^2
+ 2 |\textbf a||\textbf b|\cos \theta \\
\end{cases}\\\ \\ \therefore |\textbf a + \textbf b|^2 + |\textbf a - \textbf b|^2 =
2 |\textbf a|^2 + 2|\textbf b|^2\ \blacksquare

Capítulo 12.4

Exercício 37

Utilize o produto misto para mostrar que os vetores \textbf u = \textbf i + 5\textbf j - 2 \textbf k, \textbf v = 3 \textbf i - \textbf j e \textbf w = 5 \textbf i + 9 \textbf j - 4 \textbf k são coplanares.

Resolução

Conforme a definição de produto misto, dados vetores são complanares se o produto misto destes for igual à 0. Avaliemos o presente caso.

$ \textbf u (\textbf v \times \textbf w) = \left|\begin{matrix} 1 & \phantom{-}5 & -2 \ 3 & -1 & \phantom{-}0 \ 5 & \phantom{-}9 & -4 \end{matrix}\right| = 1 \left |\begin{matrix} -1 & \phantom{-}0 \ \phantom{-}9 & -4 \end{matrix}\right | - 5 \left |\begin{matrix} 3 & \phantom{-}0 \ 5 & -4 \end{matrix}\right | + (-2) \left |\begin{matrix} 3 & -1 \ 5 & \phantom{-}9 \end{matrix}\right | = \\ \ 4 - 5(-12) - 2(27 + 5) = 0\ \blacksquare $

Exercício 49

Demonstre que (\textbf a - \textbf b) \times (\textbf a + \textbf b) = 2(\textbf a \times \textbf b).

Resolução

Lembremos as seguintes propriedades:

P1. |\textbf a \times \textbf b| = |\textbf a||\textbf b| \sin \theta onde \theta é o ângulo entre a e b, 0 \le \theta \le \pi;

P2. \textbf a \times \textbf b = - \textbf b \times \textbf a;

P3. \textbf a \times (\textbf b + \textbf c) = \textbf a \times \textbf b + \textbf a \times \textbf c;

Logo,

(\textbf a - \textbf b) \times (\textbf a + \textbf b) = \underbrace{\textbf a \times (\textbf a + \textbf b) - \textbf b \times (\textbf a + \textbf b)}_{\textbf{P3}} = \\\ \\ \underbrace{\textbf a \times \textbf a}_{\textbf{P1}} + \textbf a \times \textbf b\ \underbrace{- \textbf b \times \textbf a}_{\textbf{P2}} - \underbrace{\textbf b \times \textbf b}_{\textbf{P1}} = \cancel{\textbf a^2\sin 0}\ + 2 (\textbf a \times \textbf b) - \cancel{\textbf b^2\sin 0}\ = 2 (\textbf a \times \textbf b)\ \blacksquare

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1. nUSP 12543033; Turma 04 ↩︎