semestre_2/Cálculo II/Atividade 7/Equações de Retas e Planos.md

Equações de Retas e Planos

Equação vetorial no espaço tridimensional

\textbf r = \textbf r_0 + t\textbf v

Onde:

• \textbf r_0 = \lang x_0, y_0, z_0 \rang é o vetor que parte da origem do sistemas de coordenadas O e coincide com a origem do vetor \textbf a, P_0;

• \textbf r = \lang x, y, z \rang é o vetor que parte da origem do sistema de coordenadas O e coincide com a extremidade oposta do vetor \textbf a, P;

• \textbf v = \lang a, b, c \rang é um vetor paralelo à \textbf a partindo da origem do sistema de coordenadas, denominado vetor diretor;

• t é o escalar que multiplica \textbf v de tal forma que este assume a mesma magnitude e sentido que \textbf a.

  Assim, para diferentes valores de t correspondem distintos pontos P_0 em L:

  

Explicitando os componentes na fórmula anterior, tem-se:

\lang x, y, z \rang = \lang x_0, y_0, z_0 \rang + \lang ta, tb, tc \rang
= \lang x_0 + ta, y_0 + tb, z_0 + tc \rang

Desta equação derivamos as seguintes equações paramétricas:

\begin{cases}x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct\end{cases}

Podemos observar que entre estas t é um fator comum. Logo, para qualquer vetor \textbf a na reta L em que $a,b,c \in \R^*$a seguinte igualdade é verdadeira:

\frac{x - x_0}a = \frac{x - y_0}b = \frac{z - z_0}c

Este conjunto de equações são denominadas equações simétricas de L.

Planos

Um plano no espaço fica determinado se conhecermos um ponto P_0(x_0, y_0, z_0) no plano e um vetor \textbf n, denominado vetor normal, ortogonal ao plano.

Assim, seja P(x, y, z) um ponto qualquer contido no plano tem-se que o vetor que liga P_0 à P é \textbf r - \textbf r_0 tal que o produto vetorial \textbf n \cdot (\textbf r - \textbf r_0) = 0. Ou seja

\textbf n \cdot \textbf r = \textbf n \cdot \textbf r_0

Escrito de maneira a explicitar os componentes dos vetores \textbf n = \lang a,b,c \rang, \textbf r = \lang x,y,z \rang e \textbf r_0 = \lang x_0,y_0,z_0 \rang temos

\lang a,b,c \rang \cdot \lang x - x_0, y - y_0, z - z_0 \rang =
a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0

a equação escalar do plano que passa por P_0 com vetor normal \textbf n.

No mais, a equação anterior pode ser simplificada como:

ax + by + cz + d = 0

onde d = -(ax_0 + by_0 + cz_0). Fórmula essa conhecida como equação linear em x, y, z. Uma importante aplicação desta equação é o cálculo da distância D de um ponto com relação a um plano. Seja x, y, z as coordenadas deste ponto, tem-se:

D = \frac{|ax + by + cz + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

Equações simétricas na representação de planos

Podemos pensar na reta como a intersecção de dois planos:

\begin{matrix} \dfrac{x - x_0}a = \dfrac{x - y_0}b & e &\dfrac{x - y_0}b = \dfrac{z - z_0}c \end{matrix}

Por exemplo, para uma reta L descrita por

\begin{matrix} \dfrac{x - 1}5
= \dfrac y{-2} & e & \dfrac y{-2} = \dfrac z{-3} \end{matrix}

Tem-se o seguinte gráfico:

Exemplos

Exemplo 1

Mostre que as retas L_1 e L_2 com equações paramétricas dadas por

\begin{cases} \begin{matrix}
x_1 = 1 + t & y_1 = -2 + 3t & z_1 = 4 - t \\
x_2 = 2s & y_2 = 3 + s & z_2 = -3 + 4s
\end{matrix} \end{cases}

são retas reversas, isto é, são retas que não se interceptam e não são paralelas (não pertencendo, portanto, a um mesmo plano).

Resolução

As retas não são paralelas, pois os componentes de seus vetores diretores \lang 1, 3, 1 \rang e \lang 2, 1, 4 \rang não são proporcionais entre si.

As retas também não se intersectam pois, se houvesse intersecção, o seguinte sistema haveria uma solução:

\begin{cases}1 + t = 2s \\ -2 + 3t = 3 + s \\ 4- t = -3 + 4s\end{cases}

O que não é o caso para qualquer valor de t e s.

Exemplo 2

Encontre uma equação do plano que passa pelos pontos P(1, 3, 2), Q(3, -1, 6) e R(5, 2, 0).

Resolução

Os vetores a e b correspondentes a \overrightarrow{PQ} e \overrightarrow{PR} são

\begin{cases}
\textbf a = \lang 3 - 1, -1 - 3, 6 - 2 \rang = \lang 2, -4, 4 \rang \\
\textbf b = \lang 5 - 1, 2 - 3, 0 - 2 \rang = \lang 5, 2, 0 \rang
\end{cases}

Como tanto a quanto b pertencem ao plano, o produto vetorial \textbf a \times \textbf b é ortogonal ao plano e pode ser tomado como o vetor normal n. Assim,

\textbf n = \textbf a \times \textbf b = \left|\begin{matrix}
\textbf i & \textbf j & \textbf k \\
2 & -4 & 4 \\
4 & -1 & -2
\end{matrix}\right| = \left|\begin{matrix}
-4 & 4 \\
-1 & -2
\end{matrix}\right| \textbf i - \left|\begin{matrix} 
2 & 4 \\
4 & -2 \end{matrix}\right| \textbf j + \left|\begin{matrix}
2 & -4 \\
4 & -1
\end{matrix}\right| \textbf k =\\
(8 + 4) \textbf i - (-4 - 16) \textbf j + (-2 + 16) \textbf k =
\lang 12, 20, 14 \rang \equiv \lang 6, 10, 7 \rang

Com o ponto P(1, 3, 2) e o vetor normal n, uma equação do plano é

6(x - 1) + 10(y - 3) + 7(z - 2) = 0 \implies  6x + 10y + 7z = 50

Exemplo 3

a. Determine o ângulo entre os planos x + y + z = 1 e x - 2y + 3z = 1

Os vetores normais a esses planos são

\begin{matrix}
\textbf n_1 = \lang 1, 1, 1
\rang & \textbf n_2 = \lang 1, -2, 3\rang
\end{matrix}

Portanto, se \theta é o ângulo entre os dois planos,

\cos \theta = \frac{\textbf n_1 \cdot \textbf n_2}{|\textbf n_1||\textbf n_2|}
= \frac{1(1) + 1(-2) + 1(3)}{\sqrt{1 + 1 + 1} \sqrt{1 + 4 + 9}} =
\frac 2{\sqrt{42}}\\\ \\
\therefore \theta = \cos^{-1} \left(\frac 2{\sqrt{42}}\right) \approx 72\degree

b. Primeiro precisamos encontrar um ponto em L. Por exemplo, podemos achar o ponto onde a reta intercepta o plano xy tomando z = 0 na equação dos dois planos. Isso fornece as equações x + y = 1 e x - 2y = 1, cuja solução é x = 1, y = 0. Portanto, o ponto (1, 0, 0) encontra-se em L.

Observe que, como L pertence a ambos os planos, é perpendicular ao vetor normal de ambos os planos. Então, um vetor v paralelo a L é dado pelo produto vetorial

\textbf v = \textbf n_1 \times \textbf n_2 = \left|\begin{matrix}
\textbf i & \textbf j & \textbf k \\
1 & 1 & 1 \\
1 & -2 & 3
\end{matrix} \right| = 5 \textbf i - 2 \textbf j - 3 \textbf k

e assim as equações simétricas de L podem ser escritas como

\frac{x - 1}5 = \frac y{-2} = \frac z{-3}