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# Equações de Retas e Planos
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## Equação vetorial no espaço tridimensional
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<img src="file:///home/user/Public/USP/Sistemas%20de%20Informação/2º%20semestre/Cálculo%20II/Atividade%207/Imagens/2021-11-02-11-25-13-image.png" title="" alt="" data-align="center">
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$$
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\textbf r = \textbf r_0 + t\textbf v
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$$
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Onde:
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- $\textbf r_0 = \lang x_0, y_0, z_0 \rang$ é o vetor que parte da origem do sistemas de coordenadas $O$ e coincide com a origem do vetor $\textbf a$, $P_0$;
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- $\textbf r = \lang x, y, z \rang$ é o vetor que parte da origem do sistema de coordenadas $O$ e coincide com a extremidade oposta do vetor $\textbf a$, $P$;
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- $\textbf v = \lang a, b, c \rang$ é um vetor paralelo à $\textbf a$ partindo da origem do sistema de coordenadas, denominado **vetor diretor**;
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- $t$ é o escalar que multiplica $\textbf v$ de tal forma que este assume a mesma magnitude e sentido que $\textbf a$.
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> Assim, para diferentes valores de $t$ correspondem distintos pontos $P_0$ em $L$:
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> <img src="file:///home/user/Public/USP/Sistemas%20de%20Informação/2º%20semestre/Cálculo%20II/Atividade%207/Imagens/2021-11-02-11-36-15-image.png" title="" alt="" data-align="center">
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Explicitando os componentes na fórmula anterior, tem-se:
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$$
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\lang x, y, z \rang = \lang x_0, y_0, z_0 \rang + \lang ta, tb, tc \rang
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= \lang x_0 + ta, y_0 + tb, z_0 + tc \rang
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$$
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Desta equação derivamos as seguintes **equações paramétricas**:
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$$
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\begin{cases}x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct\end{cases}
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$$
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Podemos observar que entre estas $t$ é um fator comum. Logo, para qualquer vetor $\textbf a$ na reta $L$ em que $a,b,c \in \R^*$a seguinte igualdade é verdadeira:
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$$
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\frac{x - x_0}a = \frac{x - y_0}b = \frac{z - z_0}c
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$$
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Este conjunto de equações são denominadas **equações simétricas** de $L$.
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## Planos
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Um plano no espaço fica determinado se conhecermos um ponto $P_0(x_0, y_0, z_0)$ no plano e um vetor $\textbf n$, denominado **vetor normal**, ortogonal ao plano.
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<img src="file:///home/user/Public/USP/Sistemas%20de%20Informação/2º%20semestre/Cálculo%20II/Atividade%207/Imagens/2021-11-02-13-38-20-image.png" title="" alt="" data-align="center">
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Assim, seja $P(x, y, z)$ um ponto qualquer contido no plano tem-se que o vetor que liga $P_0$ à $P$ é $\textbf r - \textbf r_0$ tal que o produto vetorial $\textbf n \cdot (\textbf r - \textbf r_0) = 0$. Ou seja
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$$
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\textbf n \cdot \textbf r = \textbf n \cdot \textbf r_0
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$$
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Escrito de maneira a explicitar os componentes dos vetores $\textbf n = \lang a,b,c \rang$, $\textbf r = \lang x,y,z \rang$ e $\textbf r_0 = \lang x_0,y_0,z_0 \rang$ temos
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$$
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\lang a,b,c \rang \cdot \lang x - x_0, y - y_0, z - z_0 \rang =
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a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0
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$$
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a **equação escalar do plano** que passa por $P_0$ com vetor normal $\textbf n$.
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No mais, a equação anterior pode ser simplificada como:
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$$
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ax + by + cz + d = 0
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$$
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onde $d = -(ax_0 + by_0 + cz_0)$. Fórmula essa conhecida como **equação linear** em $x$, $y$, $z$. Uma importante aplicação desta equação é o cálculo da distância $D$ de um ponto com relação a um plano. Seja $x, y, z$ as coordenadas deste ponto, tem-se:
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$$
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D = \frac{|ax + by + cz + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}
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$$
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### Equações simétricas na representação de planos
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Podemos pensar na reta como a intersecção de dois planos:
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$$
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\begin{matrix} \dfrac{x - x_0}a = \dfrac{x - y_0}b & e &\dfrac{x - y_0}b = \dfrac{z - z_0}c \end{matrix}
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$$
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Por exemplo, para uma reta $L$ descrita por
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$$
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\begin{matrix} \dfrac{x - 1}5
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= \dfrac y{-2} & e & \dfrac y{-2} = \dfrac z{-3} \end{matrix}
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$$
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Tem-se o seguinte gráfico:
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<img src="file:///home/user/Public/USP/Sistemas%20de%20Informação/2º%20semestre/Cálculo%20II/Atividade%207/Imagens/2021-11-02-18-27-36-image.png" title="" alt="" data-align="center">
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## Exemplos
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### Exemplo 1
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Mostre que as retas $L_1$ e $L_2$ com equações paramétricas dadas por
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$$
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\begin{cases} \begin{matrix}
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x_1 = 1 + t & y_1 = -2 + 3t & z_1 = 4 - t \\
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x_2 = 2s & y_2 = 3 + s & z_2 = -3 + 4s
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\end{matrix} \end{cases}
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$$
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são retas **reversas**, isto é, são retas que não se interceptam e não são paralelas (não pertencendo, portanto, a um mesmo plano).
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#### Resolução
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As retas não são paralelas, pois os componentes de seus vetores diretores $\lang 1, 3, 1 \rang$ e $\lang 2, 1, 4 \rang$ não são proporcionais entre si.
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As retas também não se intersectam pois, se houvesse intersecção, o seguinte sistema haveria uma solução:
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$$
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\begin{cases}1 + t = 2s \\ -2 + 3t = 3 + s \\ 4- t = -3 + 4s\end{cases}
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$$
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O que não é o caso para qualquer valor de $t$ e $s$.
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### Exemplo 2
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Encontre uma equação do plano que passa pelos pontos $P(1, 3, 2)$, $Q(3, -1, 6)$ e $R(5, 2, 0)$.
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#### Resolução
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Os vetores **a** e **b** correspondentes a $\overrightarrow{PQ}$ e $\overrightarrow{PR}$ são
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$$
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\begin{cases}
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\textbf a = \lang 3 - 1, -1 - 3, 6 - 2 \rang = \lang 2, -4, 4 \rang \\
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\textbf b = \lang 5 - 1, 2 - 3, 0 - 2 \rang = \lang 5, 2, 0 \rang
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\end{cases}
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$$
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Como tanto **a** quanto **b** pertencem ao plano, o produto vetorial $\textbf a \times \textbf b$ é ortogonal ao plano e pode ser tomado como o vetor normal **n**. Assim,
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$$
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\textbf n = \textbf a \times \textbf b = \left|\begin{matrix}
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\textbf i & \textbf j & \textbf k \\
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2 & -4 & 4 \\
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4 & -1 & -2
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\end{matrix}\right| = \left|\begin{matrix}
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-4 & 4 \\
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-1 & -2
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\end{matrix}\right| \textbf i - \left|\begin{matrix}
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2 & 4 \\
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4 & -2 \end{matrix}\right| \textbf j + \left|\begin{matrix}
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2 & -4 \\
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4 & -1
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\end{matrix}\right| \textbf k =\\
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(8 + 4) \textbf i - (-4 - 16) \textbf j + (-2 + 16) \textbf k =
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\lang 12, 20, 14 \rang \equiv \lang 6, 10, 7 \rang
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$$
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Com o ponto $P(1, 3, 2)$ e o vetor normal **n**, uma equação do plano é
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$$
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6(x - 1) + 10(y - 3) + 7(z - 2) = 0 \implies 6x + 10y + 7z = 50
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$$
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### Exemplo 3
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**a.** Determine o ângulo entre os planos $x + y + z = 1$ e $x - 2y + 3z = 1$
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Os vetores normais a esses planos são
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$$
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\begin{matrix}
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\textbf n_1 = \lang 1, 1, 1
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\rang & \textbf n_2 = \lang 1, -2, 3\rang
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\end{matrix}
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$$
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Portanto, se $\theta$ é o ângulo entre os dois planos,
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$$
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\cos \theta = \frac{\textbf n_1 \cdot \textbf n_2}{|\textbf n_1||\textbf n_2|}
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= \frac{1(1) + 1(-2) + 1(3)}{\sqrt{1 + 1 + 1} \sqrt{1 + 4 + 9}} =
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\frac 2{\sqrt{42}}\\\ \\
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\therefore \theta = \cos^{-1} \left(\frac 2{\sqrt{42}}\right) \approx 72\degree
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$$
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**b.** Primeiro precisamos encontrar um ponto em $L$. Por exemplo, podemos achar o ponto onde a reta intercepta o plano $xy$ tomando $z = 0$ na equação dos dois planos. Isso fornece as equações $x + y = 1$ e $x - 2y = 1$, cuja solução é $x = 1$, $y = 0$. Portanto, o ponto $(1, 0, 0)$ encontra-se em $L$.
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Observe que, como $L$ pertence a ambos os planos, é perpendicular ao vetor normal de ambos os planos. Então, um vetor **v** paralelo a $L$ é dado pelo produto vetorial
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$$
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\textbf v = \textbf n_1 \times \textbf n_2 = \left|\begin{matrix}
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\textbf i & \textbf j & \textbf k \\
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1 & 1 & 1 \\
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1 & -2 & 3
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\end{matrix} \right| = 5 \textbf i - 2 \textbf j - 3 \textbf k
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$$
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e assim as equações simétricas de $L$ podem ser escritas como
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$$
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\frac{x - 1}5 = \frac y{-2} = \frac z{-3}
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