semestre_2/Matemática Discreta I/Lista 1/Lógica elementar.md

Lógica elementar

Respostas à 1ª lista de exercícios

1.

(a) (q \land \lnot r) \to p

"O céu está estrelado e não está fazendo frio, então Eva vai sair para uma caminhada"

(b) q \to (\lnot r \to p)

A proposição acima equivale à q \to (r \lor p), conforme demonstra a seguinte tabela verdade:

r	p	\lnot r \to p	r \lor p
F	F	F	F
F	V	V	V
V	F	V	V
V	V	V	V

Logo, a oração fica: "O céu está estrelado, então está fazendo frio ou Eva vai sair para uma caminhada."

Resultado diferente do sugerido pelo professor “O céu está estrelado então Eva vai sair para uma caminhada porque não está fazendo frio.” Este afirma não estar fazendo frio

(c) \lnot(p \iff (q \lor r))

Abordemos a proposição em partes:

• p \iff (q \lor r): Eva vai sair para uma caminhada se, e somente se, o céu está estrelado ou está fazendo frio.

• \lnot(p \iff (q \lor r)) (a negação da proposta anterior): Eva não vai sair para uma caminhada se, e somente se, o céu está estrelado ou está fazendo frio.

(d) p \iff q

(e) (r \land \lnot q) \to \lnot p

(f) r \land p

2.

p	q	p \to q	\lnot p \lor q
F	F	V	V
F	V	V	V
V	F	F	F
V	V	V	V

3.

Se q é uma tautologia, q \equiv V sempre. Enquanto, se r é uma contradição, r \equiv F sempre. Logo,

p	q	r	p \lor q	p \land r
V	V	F	V	F
F	V	F	V	F

4.

(a) Nota-se que o valor verdade de tais proposições são equivalentes na tabela verdade:

p	q	r	p \land (q \lor r)	(p \land q) \lor (p \land r)
F	F	F	F	F
F	V	F	F	F
F	F	V	F	F
F	V	V	F	F
V	F	F	F	F
V	V	F	V	V
V	F	V	V	V
V	V	V	V	V

(b) Tal qual anterioremente,

p	q	r	p \lor (q \land r)	(p\lor q) \land (p \lor r)
F	F	F	F	F
F	V	F	F	F
F	F	V	F	F
F	V	V	V	V
V	V	V	V	V
V	V	F	V	V
V	F	V	V	V
V	F	F	V	V

5.

Demonstração da segunda lei de Morgan:

p	q	\lnot (p \lor q)	\lnot p \land \lnot q
V	V	F	F
V	F	F	F
F	V	F	F
F	F	V	V

6.

A Lei de Morgan aplica-se de maneira equivalente na teoria dos conjuntos e na lógica proposicional. Veja que o complemento à intercessão entre dois conjuntos A e B é a união dos complementos de A e B:

Assim o sendo, para n conjuntos P tem-se que:

\left(\bigcap^n_{i = 1}P_i\right)^c = \bigcup^n_{i = 1} P_i^{\ c}

e também:

\left(\bigcup^n_{i = 1} P_i\right)^c = \bigcap^n_{i = 1} P_i^{\ c}

7.

(a) Tautologia

p	q	(p \to q) \lor p
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	V

(b) Reescrevendo a equação em termos de \land e \lor:

$(p \to (q \to r)) \to ((p \to q) \to (p \to r)) \equiv \ \lnot (\lnot p \lor (\lnot q \lor r)) \lor (\lnot(\lnot p \lor q) \lor (\lnot p \lor r)) \equiv \ (p \land \lnot (\lnot q \lor r)) \lor ((p\land q) \lor (\lnot p \lor r)) \equiv \ (p \land (q \land \lnot r)) \lor ((p \land q) \lor (\lnot p \lor r)) \equiv \ ((p \land q) \land (p \land \lnot r)) \lor ((p \land q) \lor (\lnot p \lor r)) $

p	q	r	((p \land q) \land (p \land \lnot r)) \lor ((p \land q) \lor (\lnot p \lor r))
F	F	F	(F \land F) \lor (F \lor V) \equiv V
F	V	F	(F \land F) \lor (F \lor V) \equiv V
F	F	V	(F \land F) \lor (F \lor V) \equiv V
F	V	V	(F \land F) \lor (F \lor V) \equiv V
V	V	V	(V \land F) \lor (V \lor V) \equiv V
V	V	F	(V \land V) \lor (V \lor F) \equiv V
V	F	V	(F \land F) \lor (F \lor V) \equiv V
V	F	F	(F \land V) \lor (F \lor V) \equiv V

8.

p	p \lor \lnot p	p \land \lnot p
F	F \lor V \equiv V	F \land V \equiv F
V	V \lor F \equiv V	V \land F \equiv F

9.

$p \to (q \to r) \equiv \lnot p \lor (\lnot q \lor r) \equiv \lnot (p \land q) \lor (\lnot p \lor r) \ (p \to q)\to r \equiv \lnot(\lnot p \lor q) \lor r \equiv (p \land \lnot q) \lor r \equiv (p \lor r) \land (r \lor \lnot q) $

p	q	r	\lnot (p \land q) \lor (\lnot p \lor r)	(p \lor r) \land (r \lor \lnot q)
F	F	F	V \lor V \equiv V	F \land V \equiv F
F	V	F	V \lor V \equiv V	F \land F \equiv F
F	F	V	V \lor V \equiv V	V \land V \equiv V
F	V	V	V \lor V \equiv V	V \land V \equiv V
V	V	V	F \lor V \equiv V	V \land V \equiv V
V	V	F	F \lor F \equiv F	V \land F \equiv F
V	F	V	V \lor V \equiv V	V \land V \equiv V
V	F	F	V \lor F \equiv V	V \land V \equiv V

10.

Conforme a seguinte tabela verdade, isso pode ser feito de duas formas: reunindo-se apenas com o representante turco ou, senão, apenas com os representantes turco e russo.

a	t	r	(a \land \lnot t) \lor (\lnot a \land t)	(r \lor t)	\lnot (a \land r)
F	F	F	F	F	V
F	V	F	V	V	V
F	F	V	F	V	V
F	V	V	V	V	V
V	V	V	F	V	F
V	V	F	F	V	V
V	F	V	V	V	F
V	F	F	V	F	V

11.

O princípio da equivalência descreve que para quaisquer proposições p e q equivalentes entre si que contenham os conectivos \lnot, \land ou \lor, mas não necessariamente todos, as proposições duais destas (proposições obtidas pela substituição de cada \land por \lor e vice-versa; e de cada constante V por F e vice versa) também são equivalentes entre si.

Por exemplo,

p \land (p \lor p) \iff p

Como, por hipótese, temos que p \equiv q, então

p \land (p \lor q) \iff p

Podemos ainda adicionar à formulação anterior o elemento neutro \lor\ F:

(p \lor F) \land (p \lor q) \iff p

E então simplificá-la:

$\underbrace{p \lor \underbrace{(F \land q)}{\text{Identidade}}}{\text{Distributiva}} \iff p \\ \ p \lor F \iff p \ p \iff p $

Consideremos agora a formulação dual deste mesmo teorema: $p \lor (p \land q) \iff p \ (p \land V) \lor (p \land q) \iff p \ p \land (V \lor q) \iff p \ p \land V \iff p \ p \iff p $

Fica demonstrado que realizando as substituições propostas, "duais", alcançamos resultados equivalentes.

12.

Podemos descrever o XOR em termos de conjunção e disjunção da seguinte forma:

p\ \underline \lor\ q \equiv (p \land \lnot q) \lor (\lnot p \land q)

Assim, para este temos a seguinte tabela verdade:

p	q	(p \land \lnot q) \lor (\lnot p \land q)
F	V	V
F	F	F
V	V	F
V	F	V

13.

(a) Vamos simplificar a proposição e admitir que esta seja falsa:

(p \iff (\neg q \lor r)) \to (\neg p \to q) \equiv
(p \iff (\neg q \lor r)) \to (p \lor q) \equiv F

Analizemos a tabela verdade para identificar os valores de (p \iff (\neg q \lor r)) e (p \lor q) que levam a este resultado:

(p \iff (\neg q \lor r))	(p \lor q)	(p \iff (\neg q \lor r)) \to (p \lor q)
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Apenas quando (p \iff (\neg q \lor r)) \equiv V e (p \lor q) \equiv F obtêm-se tal resultado. Para (p \lor q) \equiv F, p \equiv q \equiv F. Substituindo estes valores, temos:

$(F \iff (\neg F \lor r)) \equiv V \ (F \iff (V \lor r)) \equiv V \ F \iff V \equiv V $

Chegamos a um absurdo. Assim o sendo, não é possível que esta expressão seja falsa: trata-se de uma tautologia.

(b) (p \to (q \lor r)) \lor (p \lor q) \equiv (p \to q) \lor (p \to r)\ \cancel{\lor\ (p \to q)}\ \equiv p \to (q \lor r) \equiv F

Para produzir esse resultado bastaria que p \equiv V e q \equiv r \equiv F. Qualquer outra configuração não produziria resultado verdadeiro. Não se reduziu ao absurdo, esta não se trata de uma tautologia ou contradição.

14.

(a) p \land q \equiv \neg(\neg p \lor \neg q)

(b) p \to q \equiv \neg p \lor q

(c) p \to q \equiv \neg(p \land \neg q)

(d) p \land q \equiv \neg (p \to \neg q)

(e) p \lor q \equiv \neg p \to q

15.

(a)

p	q	p \uparrow q	\neg p \uparrow \neg q
V	V	F	V
V	F	V	V
F	V	V	V
F	F	V	F

(b)

\neg p \iff p \uparrow p

p \land q \iff (p \uparrow q) \uparrow (p \uparrow q)

p \lor q \iff (p \uparrow p) \uparrow (q \uparrow q)

(c)

(p \to q) \iff p \uparrow (q \uparrow q) \iff p \uparrow (p \uparrow q)

(p \iff q) \iff (p \uparrow q) \uparrow ((p \uparrow p) \uparrow (q \uparrow q))

16.

(a) $(p \iff (((\neg q) \lor r) \to p)) \equiv \ p \iff ((\neg q \lor r) \to p) \equiv \ (p \iff \neg q \lor r) \to (p \iff p) \equiv \ p \iff \neg q \lor r\ \underbrace{\to p}_{\text{redundante}} \equiv \ p \iff \neg q \lor r $

(b) Como assim? O próprio enunciado demonstrou.