notas-fnys/pres1.tex

\documentclass[12pt]{beamer}
\usetheme{Copenhagen}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[spanish]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{tikz}

\usepackage{appendixnumberbeamer}

%\setbeamerfont{page number in head}{size=\large}
%\setbeamertemplate{footline}{Diapositiva}
\setbeamertemplate{footline}[frame number]

\newcommand{\backupbegin}{
	\newcounter{finalframe}
	\setcounter{finalframe}{\value{framenumber}}		
}

\newcommand{\backupend}{
	\setcounter{framenumber}{\value{finalframe}}
}

\author{Física Nuclear y subnuclear }
\title{Introducción}
%\setbeamercovered{transparent} 
%\setbeamertemplate{navigation symbols}{} 
%\logo{} 
%\institute{} 
%\date{} 
%\subject{} 
\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

%\begin{frame}{Contenido}
%	\tableofcontents
%\end{frame}

\begin{frame}{Comparando unidades}
  \begin{itemize}
  \item Longitud de Plank: $1.6162\times 10^{-35} m$ \footnote{\url{https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?plkl}}
  \item Radio de un cuark: $\leq 1\times 10^{-18}m$
  \item Radio nuclear: $\approx 1\times 1\times 10^{-15}m $
  \item Radio del átomo: $\approx 1\times 10^{-10}m$
  \item Grosor de un cabello: $\approx 8\times 10^{-5}m$
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Prefijos para magnitudes}
  \begin{table}[ht!]
    \begin{tabular}{|lll|lll|}
      \hline
      Potencia & Nombre & Símbolo & Potencia & Nombre & Símbolo   \\
      \hline
      $10^1$ & deca & da & $10^{-1}$ & deci & d  \\
      $10^2$ & hecto & h & $10^{-2}$ & centi & c  \\
      $10^3$ & kilo & k & $10^{-3}$ & mili & m  \\
      $10^6$ & mega & M & $10^{-6}$ & micro & $\mu$  \\
      $10^9$ & giga & G & $10^{-9}$ & nano & n  \\
      $10^{12}$ & tera & T & $10^{-12}$ & pico & p  \\
      $10^{15}$ & pate & P & $10^{-15}$ & femto & f  \\
      $10^{18}$ & exa & E & $10^{-18}$ & atto & a  \\
      \hline
    \end{tabular}
  \end{table}
\end{frame}

\begin{frame}{Unidades}
  \begin{table}[ht!]
    \begin{tabular}{lll}
      Cantidad & Unidad & Abreviatura   \\
      Longitud & metro & $m$   \\
      Tiempo & segundos &  $s$  \\
      Energía & electron volts & $eV$  \\
      Masa &  & $eV/c^2$  \\ 
      Momento &  & $eV/c$
    \end{tabular}
  \end{table}
\end{frame}

\begin{frame}{¿$eV/c$ y $eV/c^2$?}
  \begin{itemize}
  \item $1 eV = 1.6\times 10^{-19}J$
  \item $E^2 = p^2c^2 + m^2c^4$
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Propiedades relativistas}	
  Partículas dentro del formalismo cuántico y relativista
  \begin{align*}
    p =& \gamma mv \\
    E^2 =& p^2c^2 + m^2c^4
  \end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}{Propiedades relativistas II}
  \begin{align*}
    E^2=& {\gamma}^2m^2v^2c^2 + m^2c^4 \\
    =& {\gamma}^2m^2(\frac{v^2}{c^2})c^4 + m^2c^4 \\
    =& {\gamma}^2m^2{\beta}^2c^4 + m^2c^4 \\
    =& ({\gamma}^2{\beta}^2 + 1)m^2c^4 \\
    =& {\gamma}^2 m^2 c^4
  \end{align*}	
\end{frame}

\begin{frame}{Dispersión de Rutherford}
  \begin{figure}[ht!]
    \begin{center}
      \includegraphics[width=0.7\linewidth]{rutherford.jpg}
      \caption{Arreglo experimental para la dispersión de Rutherford. Imagen adaptada a partir de \href{https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=36736367}{``File:Peliculafinadeouro.jpg''} por \href{https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Costa_Isa_14&action=edit&redlink=1}{Costa Isa 14} con una licencia \href{https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0?ref=ccsearch&atype=rich}{CC BY-SA 4.0}}
      \label{fig:rute}
    \end{center}
  \end{figure}	
\end{frame}

\begin{frame}{Cinemática clásica}
  \begin{align*}
    \frac{1}{2}m_{\alpha}v_0^2 =& \frac{1}{2}m_{\alpha}v_{\alpha}^2 + \frac{1}{2} m_t v_t^2 \\
    v_0^2 =& v_{\alpha}^2 + \frac{m_t}{m_{\alpha}}v_t^2  
  \end{align*}
	
  Usando $m_{\alpha}v_0 = m_{\alpha}v_{\alpha} + m_t v_t$
	
  \begin{equation*}
    v_t^2 \left( 1-\frac{m_t}{m_{\alpha}} \right) = 2\overrightarrow{v_{\alpha}} \cdot \overrightarrow{v_t}.
  \end{equation*}		
\end{frame}

\begin{frame}{¿Qué nos está haciendo falta?}
  Interación:
  \begin{equation*}
    V(r)=\frac{ZZ'e^2}{r}
  \end{equation*}
	
  \begin{figure}[ht!]
    \begin{center}
      \includegraphics[width=0.7\linewidth]{dispersion.eps}
      \label{fig:disp}
    \end{center}
  \end{figure}	
\end{frame}

\begin{frame}{Analizando}
  Imaginemos muy lejos:
  \begin{align*}
    E =& \frac{1}{2}mv_0^2 \notag \\
    v_0 =& \sqrt{\frac{2E}{m}}
  \end{align*}
  Conservación de momento angular
  \begin{align*}
    \ell =& m v_0 b \\
    \frac{d\omega}{dt} =& \frac{\ell}{mr^2} 
  \end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}{Energía total}
  \begin{align*}
    E =& \frac{1}{2}m {\left( \frac{dr}{dt} \right)}^2 + \frac{1}{2}m r^2 {\left( \frac{d\omega}{dt} \right)}^2 + V(r) \notag \\
    =& \frac{1}{2}m {\left( \frac{dr}{dt} \right)}^2 + \frac{1}{2}m r^2 {\left( \frac{\ell}{mr^2} \right)}^2 + V(r) \notag \\
    \frac{dr}{dt} =& -\left[ \frac{2}{m}\left( E-V(r)-\frac{\ell^2}{2mr^2}\right) \right]^{\frac{1}{2}}
  \end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}{Velocidad radial}
  Introducimos la $\ell$ en términos del parámetro de impacto
  \begin{equation*}
    \frac{dr}{dt} = -\frac{\ell}{mrb}\left[ r^2\left( 1-\frac{V(r)}{E} \right) -b^2\right]^{\frac{1}{2}}
  \end{equation*}

  Manipulando la velocidad angular
  \begin{align}
    d\omega =& \frac{\ell}{mr^2}dt = \frac{\ell}{mr^2}\frac{dt}{dr}dr \notag \\
    =& -\frac{\ell}{mr^2}\frac{dr}{\frac{\ell}{mrb}\left[ r^2\left( 1-\frac{V(r)}{E}\right) -b^2\right]^{\frac{1}{2}}} \notag \\
    =& -\frac{bdr}{r\left[ r^2\left( 1-\frac{V(r)}{E}\right)-b^2\right]^{\frac{1}{2}}}
    \label{ec:chanch2}
  \end{align}

\end{frame}

\begin{frame}{Ya casi}
  Metemos la física al integrar
  \begin{align}
    \int_0^{\omega_0} d\omega =& -\int_{\infty}^{r_0} \frac{bdr}{r\left[ r^2\left( 1-\frac{V(r)}{E}\right)-b^2\right]^{\frac{1}{2}}} \notag \\
  \omega_0 =& b \int_{r_0}^{\infty} \frac{dr}{r\left[ r^2\left( 1-\frac{V(r)}{E}\right)-b^2\right]^{\frac{1}{2}}}
  \label{ec:intom}
  \end{align}

  El púnto de mínima distancia, donde la $\frac{dr}{dt}$ se hace cero:
  \begin{align}
    E-V(r)-\frac{\ell^2}{2mr^2} =& 0 \notag \\
    r^2\left( 1-\frac{V(r)}{E} \right) -b^2 =& 0
  \end{align}

\end{frame}

\begin{frame}{El final}

  Haciendo un cambio de variable e integral
  \begin{align}
  \omega_0 =& b \int_{r_0}^{\infty} \frac{dr}{r\left[ r^2\left( 1-\frac{ZZ'e^2}{Er}\right)-b^2\right]^{\frac{1}{2}}} \notag \\
  \theta = \pi - 2\omega =& \pi - 2b \int_{r_0}^{\infty} \frac{dr}{r\left[ r^2\left( 1-\frac{ZZ'e^2}{Er}\right)-b^2\right]^{\frac{1}{2}}},
  \end{align}
  
  Llegaremos a un término
  \begin{equation*}
    b = \frac{ZZ'e^2}{2E}cot\frac{\theta}{2}
  \end{equation*}
\end{frame}

\begin{frame}{Sección eficaz I}
  \begin{itemize}
  \item No es una sola partícula, son un bonche
  \item Densidad de partículas $N_0$ ($\frac{part.}{tiempo \times \text{área}}$)
  \item Parámetro de impacto de $b$ a $b+db$
  \item Dispersadas de $\theta$ a $\theta-d\theta$
  \item Ángulo sólido $2\pi N_0bdb$ (part. dispersadas/ tiempo)
    \item $\Delta \sigma = 2\pi bdb$
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Sección eficaz}
  \begin{align*}
    \Delta \sigma(\theta,\phi) =& b\ db\ d\phi \notag \\ 
    \Delta \sigma(\theta,\phi) =& -\frac{d\sigma}{d\Omega} (\theta,\phi) d\Omega = -\frac{d\sigma}{d\Omega}(\theta,\phi) sen\theta d\theta d\phi.
  \end{align*}
		
  Se llega
  
  \begin{equation*}
    \frac{d\sigma}{d\Omega} (\theta) = \left( \frac{ZZ'e^2}{4E} \right)^2 \frac{1}{sen^4 \theta}
  \end{equation*}
	
\end{frame}

\begin{frame}{Sección eficaz de Mott y Point}
  \begin{equation}
    \left( \frac{d\sigma}{d\Omega}\right)_{Mott} = \left( \frac{d\sigma}{d\Omega}\right)_{Rutherford} cos^2\frac{\theta}{2}= 4z^2Z^2\alpha^2\frac{E´2}{|q|^4}cos^2\frac{\theta}{2},
  \end{equation}
  \begin{equation}
    \left( \frac{d\sigma}{d\Omega}\right)_{Point} = \frac{E'}{E} \left( \frac{d\sigma}{d\Omega}\right)_{Mott} .
  \end{equation}
\end{frame}

\begin{frame}{Camino libre medio}
  \newtheorem{defi}{Definición}
  \begin{defi}
    El camino libre medio $\lambda$ es la distancia promedio que viaja una partícula entre colisiones dentro de un medio material.
  \end{defi}
  \begin{equation*}
    \lambda = \frac{1}{n\sigma}
  \end{equation*}
  Coeficiente de atenuación
  \begin{equation*}
    \mu = n\sigma
  \end{equation*}
\end{frame}



\backupbegin
\section*{Apéndices}

\begin{frame}[noframenumbering]{}
	

\end{frame}



\backupend

\end{document}