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@ -43,12 +43,32 @@ Una parte importante antes de empezar es aclarar lo de las unidades, justo por l
\item Radio del átomo: $\approx 1\times 10^{-10}m$
\item Grosor de un cabello: $\approx 8\times 10^{-5}m$
\end{itemize}
Antes de hablar de las unidades a usar vale la pena mencionar los prefijos a usar para designar unidades muy grandes o muy pequeñas, algunos ya muy conocidos otros no tanto
\begin{table}[ht!]
\begin{tabular}{|lll|lll|}
\hline
Potencia & Nombre & Símbolo & Potencia & Nombre & Símbolo \\
\hline
$10^1$ & deca & da & $10^{-1}$ & deci & d \\
$10^2$ & hecto & h & $10^{-2}$ & centi & c \\
$10^3$ & kilo & k & $10^{-3}$ & mili & m \\
$10^6$ & mega & M & $10^{-6}$ & micro & $\mu$ \\
$10^9$ & giga & G & $10^{-9}$ & nano & n \\
$10^{12}$ & tera & T & $10^{-12}$ & pico & p \\
$10^{15}$ & pate & P & $10^{-15}$ & femto & f \\
$10^{18}$ & exa & E & $10^{-18}$ & atto & a \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
Las unidades a usar en estas dimensiones:
\begin{table}[ht!]
\begin{tabular}{lll}
Cantidad & Unidad & Abreviatura \\
\hline
Longitud & metro & $m$ \\
Tiempo & segundos & $s$ \\
Energía & electron volts & $eV$ \\
@ -74,6 +94,8 @@ Las unidades de electronvolt y derivadas pueden sonar raras, en el SI para la en
Que se puede convertir a $ergs$, que es una unidad que prefiero no usar, para evitar complicaciones, pero les dejo la equivalencia: $1ev=1.6\times 10^{-12}ergs$.
Antes de continuar es bueno remarcar que hasta este punto mucho de lo que han tratado en las dimensiones más pequeñas de la materia, aunque ha sido en un formalismo cuántico, por lo regular no es relativista. Las velocidades, y en consecuencia las energías, con que se mueven electrones, núcleos, protones y neutrones, están muy por debajo de los limites relativistas. Pero en la física de partículas, sobre todo en procesos más allá de la materia sí se pueden alcanzar tales energías. Por ejemplo los muones provenientes de rayos cósmicos viajan a velocidades cercanas a la de la luz, son partículas sumamente relativistas. Otro ejemplo son los cuarks, que a pesar de constituir a los protones y neutrones que no son relativistas, por su energía en reposo tan pequeña en comparación a su energía cinética, sí son partículas relativistas.
Pero ¿cómo está eso de la masa en $eV/c^2$ y momento en unidades de $eV/c$? De su curso de relatividad recordarán:
\begin{equation}
@ -355,6 +377,22 @@ Pero antes de integrar debemos meter la información de nuestro potencial tratad
Esa es la sección eficaz de Rutherford (sin correcciones cuánticas), podrían verla como el primer ladrillo en la construcción de este edificio (quizá torres gemelas y en un futuro conjunto de edificios) de la física subatómica. Lo que restaría sería integrarla para ver cuanto es la sección eficaz total, si lo intentan verán que la integral diverge, y eso se debe a que el potencial coulombiano tiene un alcance infinito, por lo tanto la sección eficaz total de una partícula cargada se extiende a todo el universo.Claro que la experiencia nos muestra que a cierta distancia el efecto de este potencial es cada vez menor.
La corrección cuántica no cambia mucho, así que este resultado se mantiene a nuestros días.
\subsection*{Sección eficaz de Mott}
Tomando en cuenta el espín del electrón en la aproximació para la dispersión, que a altas energías se vuelve relevante, la sección eficaz se corrige como:
\begin{equation}
\left( \frac{d\sigma}{d\Omega}\right)_{Mott} = \left( \frac{d\sigma}{d\Omega}\right)_{Rutherford} cos^2\frac{\theta}{2}= 4z^2Z^2\alpha^2\frac{E´2}{|q|^4}cos^2\frac{\theta}{2},
\end{equation}
$E'$ es la energía con la que sale la partícula. En el caso de Rutherford se consideró que era prácticamente la misma energía, o que la diferencia era despreciable.
Y en el caso ultra relativista, cuando la masa tiende a cero:
\begin{equation}
\left( \frac{d\sigma}{d\Omega}\right)_{Point} = \frac{E'}{E} \left( \frac{d\sigma}{d\Omega}\right)_{Mott} .
\end{equation}
\subsection*{Camino libre medio}

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@ -0,0 +1,277 @@
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\setcounter{finalframe}{\value{framenumber}}
}
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}
\author{Física Nuclear y subnuclear }
\title{Introducción}
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%\institute{}
%\date{}
%\subject{}
\begin{document}
\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}
%\begin{frame}{Contenido}
% \tableofcontents
%\end{frame}
\begin{frame}{Comparando unidades}
\begin{itemize}
\item Longitud de Plank: $1.6162\times 10^{-35} m$ \footnote{\url{https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?plkl}}
\item Radio de un cuark: $\leq 1\times 10^{-18}m$
\item Radio nuclear: $\approx 1\times 1\times 10^{-15}m $
\item Radio del átomo: $\approx 1\times 10^{-10}m$
\item Grosor de un cabello: $\approx 8\times 10^{-5}m$
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Prefijos para magnitudes}
\begin{table}[ht!]
\begin{tabular}{|lll|lll|}
\hline
Potencia & Nombre & Símbolo & Potencia & Nombre & Símbolo \\
\hline
$10^1$ & deca & da & $10^{-1}$ & deci & d \\
$10^2$ & hecto & h & $10^{-2}$ & centi & c \\
$10^3$ & kilo & k & $10^{-3}$ & mili & m \\
$10^6$ & mega & M & $10^{-6}$ & micro & $\mu$ \\
$10^9$ & giga & G & $10^{-9}$ & nano & n \\
$10^{12}$ & tera & T & $10^{-12}$ & pico & p \\
$10^{15}$ & pate & P & $10^{-15}$ & femto & f \\
$10^{18}$ & exa & E & $10^{-18}$ & atto & a \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
\end{frame}
\begin{frame}{Unidades}
\begin{table}[ht!]
\begin{tabular}{lll}
Cantidad & Unidad & Abreviatura \\
Longitud & metro & $m$ \\
Tiempo & segundos & $s$ \\
Energía & electron volts & $eV$ \\
Masa & & $eV/c^2$ \\
Momento & & $eV/c$
\end{tabular}
\end{table}
\end{frame}
\begin{frame}{¿$eV/c$ y $eV/c^2$?}
\begin{itemize}
\item $1 eV = 1.6\times 10^{-19}J$
\item $E^2 = p^2c^2 + m^2c^4$
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Propiedades relativistas}
Partículas dentro del formalismo cuántico y relativista
\begin{align*}
p =& \gamma mv \\
E^2 =& p^2c^2 + m^2c^4
\end{align*}
\end{frame}
\begin{frame}{Propiedades relativistas II}
\begin{align*}
E^2=& {\gamma}^2m^2v^2c^2 + m^2c^4 \\
=& {\gamma}^2m^2(\frac{v^2}{c^2})c^4 + m^2c^4 \\
=& {\gamma}^2m^2{\beta}^2c^4 + m^2c^4 \\
=& ({\gamma}^2{\beta}^2 + 1)m^2c^4 \\
=& {\gamma}^2 m^2 c^4
\end{align*}
\end{frame}
\begin{frame}{Dispersión de Rutherford}
\begin{figure}[ht!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{rutherford.jpg}
\caption{Arreglo experimental para la dispersión de Rutherford. Imagen adaptada a partir de \href{https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=36736367}{``File:Peliculafinadeouro.jpg''} por \href{https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Costa_Isa_14&action=edit&redlink=1}{Costa Isa 14} con una licencia \href{https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0?ref=ccsearch&atype=rich}{CC BY-SA 4.0}}
\label{fig:rute}
\end{center}
\end{figure}
\end{frame}
\begin{frame}{Cinemática clásica}
\begin{align*}
\frac{1}{2}m_{\alpha}v_0^2 =& \frac{1}{2}m_{\alpha}v_{\alpha}^2 + \frac{1}{2} m_t v_t^2 \\
v_0^2 =& v_{\alpha}^2 + \frac{m_t}{m_{\alpha}}v_t^2
\end{align*}
Usando $m_{\alpha}v_0 = m_{\alpha}v_{\alpha} + m_t v_t$
\begin{equation*}
v_t^2 \left( 1-\frac{m_t}{m_{\alpha}} \right) = 2\overrightarrow{v_{\alpha}} \cdot \overrightarrow{v_t}.
\end{equation*}
\end{frame}
\begin{frame}{¿Qué nos está haciendo falta?}
Interación:
\begin{equation*}
V(r)=\frac{ZZ'e^2}{r}
\end{equation*}
\begin{figure}[ht!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{dispersion.eps}
\label{fig:disp}
\end{center}
\end{figure}
\end{frame}
\begin{frame}{Analizando}
Imaginemos muy lejos:
\begin{align*}
E =& \frac{1}{2}mv_0^2 \notag \\
v_0 =& \sqrt{\frac{2E}{m}}
\end{align*}
Conservación de momento angular
\begin{align*}
\ell =& m v_0 b \\
\frac{d\omega}{dt} =& \frac{\ell}{mr^2}
\end{align*}
\end{frame}
\begin{frame}{Energía total}
\begin{align*}
E =& \frac{1}{2}m {\left( \frac{dr}{dt} \right)}^2 + \frac{1}{2}m r^2 {\left( \frac{d\omega}{dt} \right)}^2 + V(r) \notag \\
=& \frac{1}{2}m {\left( \frac{dr}{dt} \right)}^2 + \frac{1}{2}m r^2 {\left( \frac{\ell}{mr^2} \right)}^2 + V(r) \notag \\
\frac{dr}{dt} =& -\left[ \frac{2}{m}\left( E-V(r)-\frac{\ell^2}{2mr^2}\right) \right]^{\frac{1}{2}}
\end{align*}
\end{frame}
\begin{frame}{Velocidad radial}
Introducimos la $\ell$ en términos del parámetro de impacto
\begin{equation*}
\frac{dr}{dt} = -\frac{\ell}{mrb}\left[ r^2\left( 1-\frac{V(r)}{E} \right) -b^2\right]^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}
Manipulando la velocidad angular
\begin{align}
d\omega =& \frac{\ell}{mr^2}dt = \frac{\ell}{mr^2}\frac{dt}{dr}dr \notag \\
=& -\frac{\ell}{mr^2}\frac{dr}{\frac{\ell}{mrb}\left[ r^2\left( 1-\frac{V(r)}{E}\right) -b^2\right]^{\frac{1}{2}}} \notag \\
=& -\frac{bdr}{r\left[ r^2\left( 1-\frac{V(r)}{E}\right)-b^2\right]^{\frac{1}{2}}}
\label{ec:chanch2}
\end{align}
\end{frame}
\begin{frame}{Ya casi}
Metemos la física al integrar
\begin{align}
\int_0^{\omega_0} d\omega =& -\int_{\infty}^{r_0} \frac{bdr}{r\left[ r^2\left( 1-\frac{V(r)}{E}\right)-b^2\right]^{\frac{1}{2}}} \notag \\
\omega_0 =& b \int_{r_0}^{\infty} \frac{dr}{r\left[ r^2\left( 1-\frac{V(r)}{E}\right)-b^2\right]^{\frac{1}{2}}}
\label{ec:intom}
\end{align}
El púnto de mínima distancia, donde la $\frac{dr}{dt}$ se hace cero:
\begin{align}
E-V(r)-\frac{\ell^2}{2mr^2} =& 0 \notag \\
r^2\left( 1-\frac{V(r)}{E} \right) -b^2 =& 0
\end{align}
\end{frame}
\begin{frame}{El final}
Haciendo un cambio de variable e integral
\begin{align}
\omega_0 =& b \int_{r_0}^{\infty} \frac{dr}{r\left[ r^2\left( 1-\frac{ZZ'e^2}{Er}\right)-b^2\right]^{\frac{1}{2}}} \notag \\
\theta = \pi - 2\omega =& \pi - 2b \int_{r_0}^{\infty} \frac{dr}{r\left[ r^2\left( 1-\frac{ZZ'e^2}{Er}\right)-b^2\right]^{\frac{1}{2}}},
\end{align}
Llegaremos a un término
\begin{equation*}
b = \frac{ZZ'e^2}{2E}cot\frac{\theta}{2}
\end{equation*}
\end{frame}
\begin{frame}{Sección eficaz I}
\begin{itemize}
\item No es una sola partícula, son un bonche
\item Densidad de partículas $N_0$ ($\frac{part.}{tiempo \times \text{área}}$)
\item Parámetro de impacto de $b$ a $b+db$
\item Dispersadas de $\theta$ a $\theta-d\theta$
\item Ángulo sólido $2\pi N_0bdb$ (part. dispersadas/ tiempo)
\item $\Delta \sigma = 2\pi bdb$
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Sección eficaz}
\begin{align*}
\Delta \sigma(\theta,\phi) =& b\ db\ d\phi \notag \\
\Delta \sigma(\theta,\phi) =& -\frac{d\sigma}{d\Omega} (\theta,\phi) d\Omega = -\frac{d\sigma}{d\Omega}(\theta,\phi) sen\theta d\theta d\phi.
\end{align*}
Se llega
\begin{equation*}
\frac{d\sigma}{d\Omega} (\theta) = \left( \frac{ZZ'e^2}{4E} \right)^2 \frac{1}{sen^4 \theta}
\end{equation*}
\end{frame}
\begin{frame}{Sección eficaz de Mott y Point}
\begin{equation}
\left( \frac{d\sigma}{d\Omega}\right)_{Mott} = \left( \frac{d\sigma}{d\Omega}\right)_{Rutherford} cos^2\frac{\theta}{2}= 4z^2Z^2\alpha^2\frac{E´2}{|q|^4}cos^2\frac{\theta}{2},
\end{equation}
\begin{equation}
\left( \frac{d\sigma}{d\Omega}\right)_{Point} = \frac{E'}{E} \left( \frac{d\sigma}{d\Omega}\right)_{Mott} .
\end{equation}
\end{frame}
\begin{frame}{Camino libre medio}
\newtheorem{defi}{Definición}
\begin{defi}
El camino libre medio $\lambda$ es la distancia promedio que viaja una partícula entre colisiones dentro de un medio material.
\end{defi}
\begin{equation*}
\lambda = \frac{1}{n\sigma}
\end{equation*}
Coeficiente de atenuación
\begin{equation*}
\mu = n\sigma
\end{equation*}
\end{frame}
\backupbegin
\section*{Apéndices}
\begin{frame}[noframenumbering]{}
\end{frame}
\backupend
\end{document}

268
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@ -0,0 +1,268 @@
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\author{Física Nuclear y subnuclear }
\title{Introducción}
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%\subject{}
\begin{document}
\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}
%\begin{frame}{Contenido}
% \tableofcontents
%\end{frame}
\begin{frame}{Comparando unidades}
\begin{itemize}
\item Longitud de Plank: $1.6162\times 10^{-35} m$ \footnote{\url{https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?plkl}}
\item Radio de un cuark: $\leq 1\times 10^{-18}m$
\item Radio nuclear: $\approx 1\times 1\times 10^{-15}m $
\item Radio del átomo: $\approx 1\times 10^{-10}m$
\item Grosor de un cabello: $\approx 8\times 10^{-5}m$
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Prefijos para magnitudes}
\begin{table}[ht!]
\begin{tabular}{|lll|lll|}
\hline
Potencia & Nombre & Símbolo & Potencia & Nombre & Símbolo \\
\hline
$10^1$ & deca & da & $10^{-1}$ & deci & d \\
$10^2$ & hecto & h & $10^{-2}$ & centi & c \\
$10^3$ & kilo & k & $10^{-3}$ & mili & m \\
$10^6$ & mega & M & $10^{-6}$ & micro & $\mu$ \\
$10^9$ & giga & G & $10^{-9}$ & nano & n \\
$10^{12}$ & tera & T & $10^{-12}$ & pico & p \\
$10^{15}$ & pate & P & $10^{-15}$ & femto & f \\
$10^{18}$ & exa & E & $10^{-18}$ & atto & a \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
\end{frame}
\begin{frame}{Unidades}
\begin{table}[ht!]
\begin{tabular}{lll}
Cantidad & Unidad & Abreviatura \\
Longitud & metro & $m$ \\
Tiempo & segundos & $s$ \\
Energía & electron volts & $eV$ \\
Masa & & $eV/c^2$ \\
Momento & & $eV/c$
\end{tabular}
\end{table}
\end{frame}
\begin{frame}{¿$eV/c$ y $eV/c^2$?}
\begin{itemize}
\item $1 eV = 1.6\times 10^{-19}J$
\item $E^2 = p^2c^2 + m^2c^4$
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Propiedades relativistas}
Partículas dentro del formalismo cuántico y relativista
\begin{align*}
p =& \gamma mv \\
E^2 =& p^2c^2 + m^2c^4
\end{align*}
\end{frame}
\begin{frame}{Propiedades relativistas II}
\begin{align*}
E^2=& {\gamma}^2m^2v^2c^2 + m^2c^4 \\
=& {\gamma}^2m^2(\frac{v^2}{c^2})c^4 + m^2c^4 \\
=& {\gamma}^2m^2{\beta}^2c^4 + m^2c^4 \\
=& ({\gamma}^2{\beta}^2 + 1)m^2c^4 \\
=& {\gamma}^2 m^2 c^4
\end{align*}
\end{frame}
\begin{frame}{Dispersión de Rutherford}
\begin{figure}[ht!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{rutherford.jpg}
\caption{Arreglo experimental para la dispersión de Rutherford. Imagen adaptada a partir de \href{https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=36736367}{``File:Peliculafinadeouro.jpg''} por \href{https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Costa_Isa_14&action=edit&redlink=1}{Costa Isa 14} con una licencia \href{https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0?ref=ccsearch&atype=rich}{CC BY-SA 4.0}}
\label{fig:rute}
\end{center}
\end{figure}
\end{frame}
\begin{frame}{Cinemática clásica}
\begin{align*}
\frac{1}{2}m_{\alpha}v_0^2 =& \frac{1}{2}m_{\alpha}v_{\alpha}^2 + \frac{1}{2} m_t v_t^2 \\
v_0^2 =& v_{\alpha}^2 + \frac{m_t}{m_{\alpha}}v_t^2
\end{align*}
Usando $m_{\alpha}v_0 = m_{\alpha}v_{\alpha} + m_t v_t$
\begin{equation*}
v_t^2 \left( 1-\frac{m_t}{m_{\alpha}} \right) = 2\overrightarrow{v_{\alpha}} \cdot \overrightarrow{v_t}.
\end{equation*}
\end{frame}
\begin{frame}{¿Qué nos está haciendo falta?}
Interación:
\begin{equation*}
V(r)=\frac{ZZ'e^2}{r}
\end{equation*}
\begin{figure}[ht!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{dispersion.eps}
\label{fig:disp}
\end{center}
\end{figure}
\end{frame}
\begin{frame}{Analizando}
Imaginemos muy lejos:
\begin{align*}
E =& \frac{1}{2}mv_0^2 \notag \\
v_0 =& \sqrt{\frac{2E}{m}}
\end{align*}
Conservación de momento angular
\begin{align*}
\ell =& m v_0 b \\
\frac{d\omega}{dt} =& \frac{\ell}{mr^2}
\end{align*}
\end{frame}
\begin{frame}{Energía total}
\begin{align*}
E =& \frac{1}{2}m {\left( \frac{dr}{dt} \right)}^2 + \frac{1}{2}m r^2 {\left( \frac{d\omega}{dt} \right)}^2 + V(r) \notag \\
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\frac{dr}{dt} =& -\left[ \frac{2}{m}\left( E-V(r)-\frac{\ell^2}{2mr^2}\right) \right]^{\frac{1}{2}}
\end{align*}
\end{frame}
\begin{frame}{Velocidad radial}
Introducimos la $\ell$ en términos del parámetro de impacto
\begin{equation*}
\frac{dr}{dt} = -\frac{\ell}{mrb}\left[ r^2\left( 1-\frac{V(r)}{E} \right) -b^2\right]^{\frac{1}{2}}
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Manipulando la velocidad angular
\begin{align}
d\omega =& \frac{\ell}{mr^2}dt = \frac{\ell}{mr^2}\frac{dt}{dr}dr \notag \\
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\begin{frame}{Ya casi}
Metemos la física al integrar
\begin{align}
\int_0^{\omega_0} d\omega =& -\int_{\infty}^{r_0} \frac{bdr}{r\left[ r^2\left( 1-\frac{V(r)}{E}\right)-b^2\right]^{\frac{1}{2}}} \notag \\
\omega_0 =& b \int_{r_0}^{\infty} \frac{dr}{r\left[ r^2\left( 1-\frac{V(r)}{E}\right)-b^2\right]^{\frac{1}{2}}}
\label{ec:intom}
\end{align}
El púnto de mínima distancia, donde la $\frac{dr}{dt}$ se hace cero:
\begin{align}
E-V(r)-\frac{\ell^2}{2mr^2} =& 0 \notag \\
r^2\left( 1-\frac{V(r)}{E} \right) -b^2 =& 0
\end{align}
\end{frame}
\begin{frame}{El final}
Haciendo un cambio de variable e integral
\begin{align}
\omega_0 =& b \int_{r_0}^{\infty} \frac{dr}{r\left[ r^2\left( 1-\frac{ZZ'e^2}{Er}\right)-b^2\right]^{\frac{1}{2}}} \notag \\
\theta = \pi - 2\omega =& \pi - 2b \int_{r_0}^{\infty} \frac{dr}{r\left[ r^2\left( 1-\frac{ZZ'e^2}{Er}\right)-b^2\right]^{\frac{1}{2}}},
\end{align}
Llegaremos a un término
\begin{equation*}
b = \frac{ZZ'e^2}{2E}cot\frac{\theta}{2}
\end{equation*}
\end{frame}
\begin{frame}{Sección eficaz I}
\begin{itemize}
\item No es una sola partícula, son un bonche
\item Densidad de partículas $N_0$ ($\frac{part.}{tiempo \times \text{área}}$)
\item Parámetro de impacto de $b$ a $b+db$
\item Dispersadas de $\theta$ a $\theta-d\theta$
\item Ángulo sólido $2\pi N_0bdb$ (part. dispersadas/ tiempo)
\item $\Delta \sigma = 2\pi bdb$
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Sección eficaz}
\begin{align*}
\Delta \sigma(\theta,\phi) =& b\ db\ d\phi \notag \\
\Delta \sigma(\theta,\phi) =& -\frac{d\sigma}{d\Omega} (\theta,\phi) d\Omega = -\frac{d\sigma}{d\Omega}(\theta,\phi) sen\theta d\theta d\phi.
\end{align*}
Se llega
\begin{equation*}
\frac{d\sigma}{d\Omega} (\theta) = \left( \frac{ZZ'e^2}{4E} \right)^2 \frac{1}{sen^4 \theta}
\end{equation*}
\end{frame}
\begin{frame}{Camino libre medio}
\newtheorem{defi}{Definición}
\begin{defi}
El camino libre medio $\lambda$ es la distancia promedio que viaja una partícula entre colisiones dentro de un medio material.
\end{defi}
\begin{equation*}
\lambda = \frac{1}{n\sigma}
\end{equation*}
Coeficiente de atenuación
\begin{equation*}
\mu = n\sigma
\end{equation*}
\end{frame}
\backupbegin
\section*{Apéndices}
\begin{frame}[noframenumbering]{}
\end{frame}
\backupend
\end{document}