2024-04-09 23:56:33 +02:00
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\author { Física Nuclear y subnuclear }
\title { Física Nuclear: Radiación}
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\begin { document}
\begin { frame}
\titlepage
\end { frame}
\begin { frame} { Fallos del modelo de capas}
\begin { itemize}
\item Momentos cuadrupolares mucho mayores que los predichos por el modelo
\item Deformando se pueden obtener tales momento cuadrupolares
\item Modos colectivos de excitación: oscilaciones
\item Modelo nuclear unificado
\end { itemize}
\end { frame}
\begin { frame} { Momento cuadrupolar}
\begin { equation*}
\mathbb { Q} = Z\int d^ 3 r(3z^ 2-r^ 2)\rho (r)
\end { equation*}
Si es un elipsoide uniformemente cargado con $ Ze $
\begin { equation*}
\mathbb { Q} = \frac { 2} { 5} Z(b^ 2-a^ 2),\ b\parallel z
\end { equation*}
Con:
\begin { align*}
\overline { R} =& (1/2)(a+b)\\
\Delta R =& b-a\\
\delta =& \overline { R} /\Delta R\text { tenemos } \\
\mathbb { Q} =& \frac { 4} { 5} ZR^ 2\delta
\end { align*}
\end { frame}
\begin { frame} { Momentos cuadrupolares en el experimento}
\begin { multicols} { 2}
\begin { align*}
\mathbb { Q} _ { red} =& \frac { \mathbb { Q} } { ZR^ 2} \\
\mathbb { Q} _ { red} =& \frac { 4} { 5} \delta
\end { align*}
\begin { figure} [ht!]
\begin { center}
\includegraphics [width=0.7\linewidth] { cuad_ nuclei.jpg}
%\caption{Momentos cuadrupolares reducidos como función del número de nucleones impar. Las flechas muestran los lugares de capa cerrada. Imagen tomada y adaptada del libro de Henley con fines educativos.}
\label { fig:shell}
\end { center}
\end { figure}
\end { multicols}
\end { frame}
\begin { frame} { Espectro rotacional}
\begin { figure} [ht!]
\begin { center}
\includegraphics [width=0.5\linewidth] { rot_ spectrum.jpg}
\caption { Espectro rotacionel del núcleo deformado $ { } ^ { 170 } Hf $ , con valores de energía rotacionales obtenidos experimentalmente y teóricamente. Imagen tomada de \cite { Henley} con fines educativos.}
\label { fig:rot}
\end { center}
\end { figure}
\begin { equation*}
\Delta \phi \delta L_ { \phi } \geq \hbar
\end { equation*}
\end { frame}
\begin { frame} { Rotaciones}
\begin { multicols} { 2}
\begin { figure} [ht!]
\begin { center}
\includegraphics [width=0.7\linewidth] { roti.jpg}
%\caption{Espectro rotacionel del núcleo deformado ${}^{170}Hf$, con valores de energía rotacionales obtenidos experimentalmente y teóricamente. Imagen tomada de \cite{Henley} con fines educativos.}
\label { fig:roti}
\end { center}
\end { figure}
Rotación alrededor del eje 1
\begin { equation*}
H_ { rot} = \frac { R^ 2} { 2\mathbb { I} }
\end { equation*}
Traduciendo a mecánica cuántica:
\begin { align*}
\hat { H} _ { rot} \psi =& \frac { \hat { R} ^ 2} { 2\mathbb { I} } \psi = E\psi \\
\hat { R} ^ 2Y_ J^ M =& J(J+1)\hbar ^ 2Y_ J^ M, \\ J= 0,1,2,...
\end { align*}
Con la paridad dada por $ ( - 1 ) ^ J $ , sólo se aceptan valore par de $ J $
\begin { equation*}
E_ J= \frac { \hbar ^ 2} { 2\mathbb { I} } J(J+1),\ J=0,1,2,...
\end { equation*}
\end { multicols}
\end { frame}
\section * { Radiación nuclear}
\begin { frame} { Lo que sabemos hasta ahora}
\begin { itemize}
\item Los núcleos están compuestos porpprotones y neutrones
\item Protones y neutrones sienten las fuerzas: electromagnética, nuclear fuerte y nuclear débil
\item Núcleos de helio, electrones y fotones los hemos tratado, pero no hemos hablado más de ellos como radiación
\end { itemize}
\end { frame}
\begin { frame} { Decaimiento alfa}
\begin { equation*}
{ } ^ AX^ Z \rightarrow { } ^ { A-4} Y^ { Z-2} + { } ^ 4He^ 2
\end { equation*}
\begin { equation*}
M_ P c^ 2 = M_ Hc^ 2 + T_ H + M_ { \alpha } c^ 2 + T_ { \alpha } ,
\end { equation*}
\end { frame}
\begin { frame} { Análisis de energía}
\begin { equation*}
T_ H + T_ { \alpha } = (M(A,Z) - M(A-4,Z-2) - M(4,2))c^ 2
\end { equation*}
\begin { align*}
T_ H =& \frac { 1} { 2} M_ H v_ H^ 2, \notag \\
T_ { \alpha } =& \frac { 1} { 2} M_ { \alpha } v_ { \alpha } ^ 2,
\end { align*}
\end { frame}
\begin { frame} { Conservaciones}
\begin { align*}
M_ H v_ H =& M_ { \alpha } v_ { \alpha } , \notag \\
\text { despejando, } v_ H =& \frac { M_ { \alpha } } { M_ H} v_ { \alpha }
\label { ec:vel}
\end { align*}
Por lo regular $ M _ H \gg M _ { \alpha } $ , entonces $ v _ H \ll v _ { \alpha } $ .
\begin { align*}
T_ H + T_ { \alpha } =& \frac { 1} { 2} M_ H \left ( \frac { M_ { \alpha } } { M_ H} v_ { \alpha } \right )^ 2 + \frac { 1} { 2} M_ { \alpha } v_ { \alpha } ^ 2 \\
=& \frac { 1} { 2} M_ { \alpha } v_ { \alpha } ^ 2 \left ( \frac { M_ { \alpha } } { M_ H} +1 \right ) \\
=& T_ { \alpha } \frac { M_ { \alpha } + M_ H} { M_ H}
\end { align*}
\end { frame}
\begin { frame} { Liberación de energía}
\begin { align*}
T_ H & = T_ { \alpha } \left ( \frac { M_ { \alpha } + M_ H} { M_ H} \right ) - T_ { \alpha } \\
& = T_ { \alpha } \left ( \frac { M_ { \alpha } + M_ H} { M_ H} - 1\right ) \\
& = T_ { \alpha } \frac { M_ { \alpha } + M_ H - M_ H} { M_ H} = \frac { M_ { \alpha } } { M_ H} T_ { \alpha } \ll T_ { \alpha }
\end { align*}
\end { frame}
\begin { frame} { Diversas energías}
\begin { equation*}
{ } ^ AX^ Z \rightarrow { } ^ { A-4} { Y^ { *} } ^ { Z-2} + { } ^ 4He^ 2
\end { equation*}
\begin { equation*}
{ } ^ { A-4} { Y^ { *} } ^ { Z-2} \rightarrow { } ^ { A-4} Y^ { Z-2} + \gamma
\end { equation*}
\begin { figure} [ht!]
\begin { center}
\includegraphics [width=0.6\linewidth] { excitados.jpg}
\caption { Decaimineto por emisión $ \alpha $ del $ { } ^ { 228 } Th ^ { 90 } $ al $ { } ^ { 224 } Ra ^ { 88 } $ . Imagen tomada de Das y Ferbel.}
\label { fig:excitados}
\end { center}
\end { figure}
\end { frame}
\begin { frame} { Un ejemplo}
\begin { equation*}
{ } ^ { 240} Pu^ { 94} \rightarrow { } ^ { 236} U^ { 92} + { } ^ 4He^ 2
\end { equation*}
\end { frame}
\begin { frame} { Ejemplo}
\begin { align*}
E & = (M(240,94) - M(236,92) - M(4,2))c^ 2 \\
& = 94m_ p + 146m_ n +B.E.(240,94) -92m_ p-144m_ n \\
& - B.E.(236,92) - 2m_ p -2m_ n -B.E.(4,2) \\
& = B.E.(240,94) - B.E.(236,92) - B.E.(4,2) \\
& = -1813.4501\ MeV + 1790.4103\ MeV + 28.2956 \\
& \approx 5.2558\ MeV
\end { align*}
\end { frame}
\begin { frame} { Penetración de barrera}
\begin { itemize}
\item Para $ A \approx 200 $ barrera coulombiana de $ \sim 20 - 25 \ Mev $
\item La energía cinética del $ \alpha $ es $ \sim 5 \ MeV $
\item Decaimiento alfa es un fenómeno de tunelaje
\end { itemize}
\end { frame}
\begin { frame} { Penetración de barrera}
\begin { equation*}
{ } ^ { 232} Th^ { 90} \rightarrow { } ^ { 228} Ra^ { 88} + { } ^ 4He^ 2
\end { equation*}
\begin { itemize}
\item $ \tau = 1 . 39 \times 10 ^ { 10 } \ \text { años } $
\item $ R = r _ 0 ( 232 ) ^ { 1 / 3 } fm. \approx 7 . 37 \times 10 ^ { - 15 } m. $
\item
\end { itemize}
\end { frame}
\begin { frame} { Coeficiente de transmisión}
\begin { align*}
T =& \frac { \frac { 4k_ 1k} { (k_ 1+k)^ 2} } { 1+\left [ 1 + \left( \frac{\kappa^2 - k_1k}{\kappa(k_1+k)}\right)^2 \right] } \\
\text { con } k_ 1 =& \left [ \frac{2M_{\alpha}}{\hbar^2} (E+U_0) \right] ^ { \frac { 1} { 2} } \\
k =& \left [ \frac{2M_{\alpha}}{\hbar^2} E \right] ^ { \frac { 1} { 2} } \\
\kappa =& \left [ \frac{2M_{\alpha}}{\hbar^2} (V_0 - E) \right] ^ { \frac { 1} { 2} }
\end { align*}
\end { frame}
\begin { frame} { Posibilidad de penetración de la barrera}
De afuera hacia adentro
\begin { equation*}
T\approx 4\times 10^ { 40}
\end { equation*}
De adentro hacia afuera (constante de decaimiento $ \lambda $ )
\begin { align*}
P(\text { emisión } \alpha ) & \approx \frac { v_ { \alpha } } { R} T \approx 6\times 10^ { 21} \frac { 1} { seg} \times 4\times 10^ { -40} \\
& \approx 2.4\times 10^ { -18} seg.
\end { align*}
\end { frame}
\begin { frame} { Decaimineto Beta}
\begin { itemize}
\item Fuerza nuclear débil
\item Conservaciones de número bariónico y leptónico
\item Características del neutrino
\item Núcleo con exceso de neutrones
\end { itemize}
\end { frame}
\begin { frame} { Decaimiento Beta menos}
\begin { equation*}
{ } ^ AX^ Z \rightarrow { } ^ AY^ { Z+1} + e^ - +\bar { \nu _ e}
\end { equation*}
\begin { equation*}
n\rightarrow p + e^ - + \bar { \nu _ e}
\end { equation*}
\end { frame}
\begin { frame} { Decaimineto Beta más}
\begin { equation*}
{ } ^ AX^ Z \rightarrow { } ^ AY^ { Z-1} + e^ + +\nu _ e
\end { equation*}
\begin { equation*}
p\rightarrow n+e^ + + \nu _ e
\end { equation*}
\end { frame}
\begin { frame} { Captura electrónica}
\begin { equation*}
{ } ^ AX^ Z + e^ - \rightarrow { } ^ AY^ { Z-1} +\nu _ e
\end { equation*}
\begin { equation*}
p+e^ - \rightarrow n + \nu _ { e}
\end { equation*}
La constante en todos: $ \Delta A = 0 $ y $ | \Delta Z| = 1 $
\end { frame}
\begin { frame} { Conservación de energía}
\begin { align*}
M(A,Z)c^ 2 & = T_ H + M(A,Z-1)c^ 2 + T_ { e^ -} + m_ ec^ 2 + T_ { \bar { \nu } _ e} + m_ { \bar { \nu } _ e} c^ 2 \\
T_ H + T_ { e^ -} + T_ { \bar { \nu } _ e} =& M(A,Z)c^ 2 - M(A,Z-1)c^ 2 - m_ ec^ 2 - m_ { \bar { \nu } _ e} c^ 2
\end { align*}
De esta forma
\begin { align*}
(M_ P-M_ H-m_ { \nu _ e} )c^ 2 & \geq 0 \\
\approx (M_ P-M_ H)c^ 2 & \geq 0.
\end { align*}
Decaimineto $ \beta ^ + $
\begin { align*}
E & = (M(A,Z) - M(A,Z-1) - m_ e - m_ { \nu } )c^ 2 \\
E & = (M_ P - M_ H - 2m_ e -m_ { \nu _ e} )c^ 2 \\
& \approx (M_ P - M_ H - 2m_ e)c^ 2
\end { align*}
\end { frame}
\begin { frame} { Conservación de energía}
Captura electrónica
\begin { align*}
E & = (M_ P + m_ e - M_ H - m_ { \nu } )c^ 2 \\
E & = (M(A,Z) - M(A,Z-1) -m_ { \nu _ e} )c^ 2 \\
& \approx (M(A,Z) - M(A,Z-1))c^ 2
\end { align*}
No se toman en cuenta las energías de ligadura de los electrones en las capas atómicas.
\end { frame}
\begin { frame} { Barrera centrífuga de potencial}
\begin { itemize}
\item $ L = 0 $ , decaimiento $ \beta $ permitido
\item $ L> 0 $ , decaimientos $ \beta $ prohibidos ($ L = 1 $ primero prohibido, $ L = 2 $ segundo prohibio, etc.)
\end { itemize}
Un ejemplo
\begin { equation*}
{ } ^ 3H^ 1 \rightarrow { } ^ 3He^ 2 + e^ - + \bar { \nu _ e} ,\ \Delta L = 1
\end { equation*}
\end { frame}
\begin { frame} { Reglas de selección}
\begin { itemize}
\item $ J _ f = J _ i + L $ , es una transición de Fermi
\item $ J _ f = J _ i + L + 1 $ , es una transición de Gamow-Teller
\end { itemize}
Ejemplo
\begin { equation*}
{ } ^ { 14} O^ 6 \rightarrow { } ^ { 14} Ni^ { *7} + e^ - + \bar { \nu _ e} ,\ \Delta I = 0
\end { equation*}
\end { frame}
\begin { frame} { Estabilidad}
\begin { figure} [ht!]
\begin { center}
\includegraphics [width=0.8\linewidth] { estabilidad.png}
\caption { Tabla de nucleones. Imagen de Hiroyuki Koura en el dominio público}
\label { fig:excitados}
\end { center}
\end { figure}
\end { frame}
\begin { frame} { Esquema de decaimientos $ \beta $ }
\begin { figure} [ht!]
\begin { center}
\includegraphics [width=0.7\linewidth] { beta_ parabola2.png}
\caption { Excesos de masa para los isóbaros con $ A = 76 $ que tienen decaiminetos $ \beta $ . Imagen adaptada de \cite { Poves} con licencia CC-BY 3.0}
\label { fig:parabola}
\end { center}
\end { figure}
\end { frame}
\section * { Decaimiento Gama}
\begin { frame} { Decaimineto $ \gamma $ }
\begin { itemize}
\item Decaimiento a núcleos excitados
\item Regresado a estado base emitiendo $ \gamma $
\item Espacio entre niveles de $ \sim 50 \ keV $
\end { itemize}
\end { frame}
\begin { frame} { Características del decaimiento $ \gamma $ }
\begin { itemize}
\item El fotón con energía en el orden de $ MeV $
\item Puede llevarse al menos una unidad de $ L $
\item El núcleo pasa de un estado inicial $ E _ i $ a uno final $ E _ f $
\end { itemize}
\end { frame}
\begin { frame} { Análisis decaimiento $ \gamma $ }
\begin { equation*}
h\nu = E_ i - E_ f
\end { equation*}
La energía del foton $ = $ espaciamiento en niveles, pero qué sucede con la conservación de momento
\begin { equation*}
\frac { h\nu } { c} = Mv,
\end { equation*}
\end { frame}
\begin { frame} { Análisis de energía}
\begin { align*}
E_ i-E_ f =& h\nu + \frac { 1} { 2} Mv^ 2 \\
=& h\nu +\frac { 1} { 2M} \left ( \frac { h\nu } { c} \right )^ 2 \\
\text { reacomodando } h\nu =& \left ( E_ i - E_ f - \frac { h^ 2 \nu ^ 2} { 2Mc^ 2} \right ) = E_ i - E_ f - \Delta E_ R,
\end { align*}
\end { frame}
\begin { frame} { Niveles de energía}
$ \partial E = \Gamma $
\begin { align*}
\tau \Gamma & \approx \hbar \\
\text { o diciéndolo de otra forma } \Gamma & \approx \frac { \hbar } { \tau } \approx \text { incertidumbre en } (E_ i-E_ f)
\end { align*}
$ \Delta E _ R \ll \Gamma $
\end { frame}
\begin { frame} { Un caso}
\begin { itemize}
\item $ { } ^ { 50 } Ti ^ { 22 } $
\item $ M \approx 46512 . 11 \ MeV / c ^ 2 $
\item $ h \nu \gtrsim 100 keV = 10 ^ 5 eV $
\end { itemize}
\end { frame}
\begin { frame} { Un caso}
\begin { equation*}
\Delta E_ R = \frac { (h\nu )^ 2} { 2Mc^ 2} = \frac { (10^ 5 eV)^ 2} { 2(46.512\times 10^ 9 eV)} \approx 0.215\ eV
\end { equation*}
Considerando $ \tau = 10 ^ { - 12 } seg $
\begin { equation*}
\Gamma \approx \frac { \hbar } { \tau } \approx \frac { 6.582\times 10^ { -22} MeV\cdot seg} { 10^ { -12} seg} = 6.582 \times 10^ { -4} eV
\end { equation*}
\end { frame}
\begin { frame} { Efecto Mössbauer}
\begin { figure} [ht!]
\begin { center}
\includegraphics [width=0.4\linewidth] { Mossbauer.jpg}
\caption { Rudolf Mössbauer}
\end { center}
\end { figure}
\end { frame}
\begin { frame} { Niveles de energía y decaimiento $ \gamma $ }
\begin { figure} [ht!]
\begin { center}
\includegraphics [width=0.6\linewidth] { nivelesse.jpg}
\caption { Niveles de energía para el $ { } ^ { 72 } Se ^ { 34 } $ . Tomado de \cite { Krane} }
\label { fig:niveles}
\end { center}
\end { figure}
\end { frame}
\begin { frame} { Conversión interna}
\begin { itemize}
\item Sale un rayo $ \gamma $ del núcelo y excita un electrón del átomo
\item Electrón de alta energía
\item Espectro de energía cuantizado
\end { itemize}
\end { frame}
\begin { frame} { Leyes de decaimiento}
\begin { itemize}
\item Tres tipos de decaimientos
\item Tiempo tratado estadísticamente
\item Probabilidad constante de decaimiento por segundo $ \lambda $
\end { itemize}
\end { frame}
\begin { frame} { Ley de decaimiento}
\begin { equation*}
dN = N(t+dt)- N(t) = -N(t)\lambda dt
\end { equation*}
\begin { align*}
\frac { dN} { N} =& -\lambda dt,\\
\int _ { N_ 0} ^ N \frac { dN} { N} =& -\lambda \int _ 0^ t dt, \\
ln\frac { N(t)} { N_ 0} =& -\lambda t \\
N(t) =& N_ 0 e^ { -\lambda t}
\end { align*}
\end { frame}
\begin { frame} { Escala de tiempo}
\begin { itemize}
\item Tiempo de vida media $ t _ { \frac { 1 } { 2 } } $
\end { itemize}
\begin { align*}
N(t_ { \frac { 1} { 2} } ) =& \frac { N_ 0} { 2} = N_ 0e^ { -\lambda t_ { \frac { 1} { 2} } } \\
\text { de otra forma } \lambda t_ { \frac { 1} { 2} } =& ln2 \\
\text { entonces } t_ { \frac { 1} { 2} } =& \frac { ln2} { \lambda }
\end { align*}
\end { frame}
\begin { frame} { Tiempo de vida media y tiempo promedio}
\begin { align*}
\langle t \rangle = \tau =& \frac { \int _ 0^ { \infty } t N(t) dt} { \int _ 0^ { \infty } N(t) dt} \\
=& \frac { N_ 0 \int _ 0^ { \infty } t e^ { -\lambda t} dt} { N_ 0\int _ 0^ { \infty } e^ { -\lambda t} dt} \\
=& \frac { \lambda ^ { -2} } { \lambda ^ { -1} } = \frac { 1} { \lambda }
\end { align*}
De esta forma $ t _ { \frac { 1 } { 2 } } = \tau ( ln 2 ) $ .
\end { frame}
\begin { frame} { Actividad}
\begin { equation*}
\mathcal { A} = | \frac { dN} { dt} | = \lambda N(t) = \lambda N_ 0 e^ { -\lambda t}
\end { equation*}
\begin { itemize}
\item $ 1 $ desintegración por segundo $ = 1 Bq $
\item La actividad de $ { } ^ { 226 } Ra ^ { 88 } $ , $ 3 . 7 \times 10 ^ { 10 } \ Bq = 1 Ci $
\item Muestras con actividad en los $ mCi $ y $ \mu Ci $
\item $ 1 rd = 10 ^ 6 Bq $
\end { itemize}
\end { frame}
\begin { frame} { Varios proceso}
\begin { equation*}
\lambda = \lambda _ 1 + \lambda _ 2 + \lambda _ 3 + ...
\end { equation*}
\begin { equation*}
\frac { 1} { t_ { \frac { 1} { 2} } } = \frac { 1} { (t_ { \frac { 1} { 2} } )_ 1} + \frac { 1} { t_ { (\frac { 1} { 2} } )_ 2} + \frac { 1} { (t_ { \frac { 1} { 2} } )_ 3} + ...
\end { equation*}
\end { frame}
\begin { frame} { Decaimienots en dos pasos}
\begin { align*}
-\frac { dN_ 1} { dt} & = \lambda _ 1 N_ 1 \\
\frac { dN_ 2} { dt} & = \lambda _ 1 N_ 1 - \lambda _ 2 N_ 2
\end { align*}
\begin { align*}
N_ 1 =& N_ { 10} e^ { -\lambda _ 1 t} \\
N_ 2 =& N_ { 10} \frac { \lambda _ 1} { \lambda _ 2 - \lambda _ 1} (e^ { -\lambda _ 1 t} - e^ { -lambda_ 2 t} )
\end { align*}
$ ( t _ { \frac { 1 } { 2 } } ) _ 2 \ll ( t _ { \frac { 1 } { 2 } } ) _ 1 $
\end { frame}
\begin { frame} { Ejemplo}
\begin { itemize}
\item $ { } ^ { 226 } Ra ^ { 88 } $
\item Actividad inicial $ 3 . 7 \times 10 ^ { 10 } \ Bq $
\item Tiempo de vida media $ t _ { \frac { 1 } { 2 } } = 1600 \text { años } = 5 . 04576 \times 10 ^ { 10 } seg. $
\item Actividad tras $ 500 \text { años } = 1 . 5768 \times 10 ^ { 10 } seg. $
\end { itemize}
\end { frame}
\begin { frame} { Calculo de la actividad}
\begin { equation*}
\mathcal { A} (t=1.5768\times 10^ { 10} seg.) = \lambda N_ 0 e^ { -\lambda t}
\end { equation*}
\begin { equation*}
\mathcal { A} (t=1.5768\times 10^ { 10} seg.) = \mathcal { A} _ 0 e^ { -\lambda t}
\end { equation*}
\begin { equation*}
\mathcal { A} (t=1.5768\times 10^ { 10} seg.) = (3.7\times 10^ { 10} Bq) e^ { -\frac { ln2} { 5.04\times 10^ { 10} seg.} (1.57\times 10^ { 10} seg.)}
\end { equation*}
$ \mathcal { A } ( t = 1 . 5768 \times 10 ^ { 10 } seg. ) \approx 2 . 3 \times 10 ^ { 10 } Bq $
\end { frame}
2024-04-23 23:19:23 +02:00
\begin { frame} { Radiación natural y artificial}
\begin { itemize}
\item Alrededor de 60 núcleos radiactivos en la naturaleza
\item Alrededor de 1000 isótopos radiactivos producidos
\item Los de forma natural entre $ Z = 81 $ y $ Z = 92 $ , exceso de neutrones
\item Las series del Torio, Neptunio, Uranio-Radio y Uranio-Actinio.
\end { itemize}
\end { frame}
2024-04-09 23:56:33 +02:00
\begin { frame} { Radiación natural y artificial}
\begin { itemize}
\item $ { } ^ { 238 } U $ y $ { } ^ { 232 } Th $ con vidas medias en el orden de la edad del universo.
\item $ 4 . 5 \times 10 ^ 9 $ años y $ 1 . 4 \times 10 ^ { 10 } $ años
\item ¿Qué pasaría si tuvieran vidas medias mucho más cortas?
\item 1934 Pierre Joliot e Irene Curie bombardean $ \alpha $ 's del decaimiento del polonio bombardeando $ Al $ , producen $ { } ^ { 30 } P $
\item $ { } ^ { 30 } P $ decae por emisión de positrones con $ t _ { 1 / 2 } = 2 . 5 $ minutos.
\end { itemize}
\end { frame}
\begin { frame} { Envenenamiento por Polonio}
\begin { itemize}
\item Alexander Litvinenko, miembro de la KGB
\item 1998 acusó publicamente a sus superiores por el intento de asesinato a Boris Berezovski
\item Berezovski era doctor en matemáticas aplicadas (1983)
\item Importación de Mercedes, dueño de la cadena ORT
\item Litvinenko noviembre del 2006, $ { } ^ { 210 } Po $
\end { itemize}
\end { frame}
%\begin{frame}{Contenido}
% \tableofcontents
%\end{frame}
\end { document}