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@ -577,7 +577,7 @@ Para mayores valores de $\ell$ esta diferencia aumenta, de tal forma que el nive
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\end{center}
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\end{figure}
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Como en el modelo de Fermi debemos considerar los efectos de la barrera de potencial coulombiano para protones, esto hace un desplazamiento en los nivleles de energía, pero las características cualitativas no se ven afectadas.
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Como en el modelo de Fermi debemos considerar los efectos de la barrera de potencial coulombiano para protones, esto hace un desplazamiento en los niveles de energía, pero las características cualitativas no se ven afectadas.
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Ya vimos bastante del armado de este modelo, ahora ¿cuáles son su logros? El más importante es que puede predecir de manera correcta el espín y la paridad de un gran número de núcleos con $A$ impar. Como hemos mencionado cada nivel se llena con un número par de protones o neutrones, cada subcapa tienen dos protones o dos neutrones como máximo, una con proyección del espín hacia arriba y otro con proyección hacia abajo, hay un fuerte apareamiento y aportando cero al momento angular total. Esto último está de acuerdo con los experimentos, los núcleos par-par tienen momento angular total cero. Pero si hay un neutrón o protón sin aparear, éste dará el valor de momento angular total del núcleo, pero sólo uno, si hay un neutrón y un protón sin aparear el modelo no puede decir nada de su espín.
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@ -629,7 +629,7 @@ El momento cuadrupolar se define como:
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\label{ec:intcuad}
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\end{equation}
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Si consideramos un elipsoide uniformemente cargado con carga $Ze$, este valor se uede aproximar como $\mathbb{Q} = (2/5)Z(b^2-a^2)$, con $b$ a lo largo del eje $z$. Como la deformación no es tanta, por lo que en lugar de decir que es elipsoidal el núcleo, decimos que es eferoidal (no llega a ser esférico, pero tampoco elipsoidal), podemos aproximar el radio por un promedio $\overline{R}=(1/2)(a+b)$, teniendo un desviación $\Delta R = b-a$, y así definimos un factor de deformación $\delta = \overline{R}/\Delta R$. El momento cuadrupolar se convierte en:
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Si consideramos un elipsoide uniformemente cargado con carga $Ze$, este valor se puede aproximar como $\mathbb{Q} = (2/5)Z(b^2-a^2)$, con $b$ a lo largo del eje $z$. Como la deformación no es tanta, por lo que en lugar de decir que es elipsoidal el núcleo, decimos que es eferoidal (no llega a ser esférico, pero tampoco elipsoidal), podemos aproximar el radio por un promedio $\overline{R}=(1/2)(a+b)$, teniendo un desviación $\Delta R = b-a$, y así definimos un factor de deformación $\delta = \overline{R}/\Delta R$. El momento cuadrupolar se convierte en:
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\begin{equation}
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\mathbb{Q}= \frac{4}{5}ZR^2\delta.
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@ -648,7 +648,7 @@ Aunque si nos ponemos formales, para obtenerlo en el formalismo de la mecánica
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\mathbb{Q}_{red} = \frac{4}{5}\delta.
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\end{equation*}
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En la figura \ref{fig:quad} pueden verse algunos de los valores obtenidos experimentalmente para núcleos con número impar de nucleones (sean protones o neutrones). El modelo de capas no logra explicar momentos cuadrupolares tan grandes como los mostrados en los picos más altos, tampoco acierta en varios de los caos en el signo.
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||||
En la figura \ref{fig:quad} pueden verse algunos de los valores obtenidos experimentalmente para núcleos con número impar de nucleones (sean protones o neutrones). El modelo de capas no logra explicar momentos cuadrupolares tan grandes como los mostrados en los picos más altos, tampoco acierta en varios de los casos en el signo.
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\begin{figure}[ht!]
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\begin{center}
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pres_nuc0.pdf
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@ -302,6 +302,16 @@ splendid youthful joyous life.”}
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\end{equation*}
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\end{frame}
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\begin{frame}{Una mención especial}
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\begin{figure}[ht!]
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\begin{center}
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\includegraphics[width=0.5\linewidth]{Mariano_Bauer.jpg}
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||||
\caption{Mariano Bauer Ephrussi, 1933-2024}
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\label{fig:binding}
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\end{center}
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||||
\end{figure}
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\end{frame}
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\begin{frame}{Estabilidad nuclear}
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\begin{itemize}
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\item $A\lesssim 40 \Rightarrow N=Z=A/2$
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@ -386,7 +396,7 @@ splendid youthful joyous life.”}
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\begin{align*}
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M(A,Z) =& Zm_p + (A-Z)m_n -\frac{a_1}{c^2}A \\
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&+ \frac{a_2}{c^2} + \frac{a_3}{c^@} \frac{Z^2}{A^{\frac{1}{3}}} + \frac{a_4}{c^2}\frac{(N-Z)^2}{A} \pm \frac{a_5}{c^2}A^{-\frac{3}{4}}
|
||||
&+ \frac{a_2}{c^2} + \frac{a_3}{c^2} \frac{Z^2}{A^{\frac{1}{3}}} + \frac{a_4}{c^2}\frac{(N-Z)^2}{A} \pm \frac{a_5}{c^2}A^{-\frac{3}{4}}
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||||
\end{align*}
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||||
\end{frame}
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@ -0,0 +1,576 @@
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\documentclass[12pt]{beamer}
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\usetheme{Berlin}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage[spanish]{babel}
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\usepackage{appendixnumberbeamer}
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%\setbeamerfont{page number in head}{size=\large}
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%\setbeamertemplate{footline}{Diapositiva}
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\setbeamertemplate{footline}[frame number]
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||||
\newcommand{\backupbegin}{
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||||
\newcounter{finalframe}
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\setcounter{finalframe}{\value{framenumber}}
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}
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\newcommand{\backupend}{
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||||
\setcounter{framenumber}{\value{finalframe}}
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}
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||||
\author{Física Nuclear y subnuclear }
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||||
\title{Física Nuclear: Radiación}
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||||
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||||
\begin{document}
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||||
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||||
\begin{frame}
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||||
\titlepage
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||||
\end{frame}
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||||
\begin{frame}{Fallos del modelo de capas}
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item Momentos cuadrupolares mucho mayores que los predichos por el modelo
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||||
\item Deformando se pueden obtener tales momento cuadrupolares
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||||
\item Modos colectivos de excitación: oscilaciones
|
||||
\item Modelo nuclear unificado
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||||
\end{itemize}
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||||
\end{frame}
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||||
\begin{frame}{Momento cuadrupolar}
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||||
\begin{equation*}
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||||
\mathbb{Q} = Z\int d^3 r(3z^2-r^2)\rho(r)
|
||||
\end{equation*}
|
||||
Si es un elipsoide uniformemente cargado con $Ze$
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||||
\begin{equation*}
|
||||
\mathbb{Q} = \frac{2}{5}Z(b^2-a^2),\ b\parallel z
|
||||
\end{equation*}
|
||||
Con:
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||||
\begin{align*}
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||||
\overline{R} =& (1/2)(a+b)\\
|
||||
\Delta R =& b-a\\
|
||||
\delta =& \overline{R}/\Delta R\text{ tenemos }\\
|
||||
\mathbb{Q} =& \frac{4}{5}ZR^2\delta
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
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||||
\begin{frame}{Momentos cuadrupolares en el experimento}
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{align*}
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||||
\mathbb{Q}_{red} =& \frac{\mathbb{Q}}{ZR^2}\\
|
||||
\mathbb{Q}_{red} =& \frac{4}{5}\delta
|
||||
\end{align*}
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||||
\begin{figure}[ht!]
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||||
\begin{center}
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||||
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{cuad_nuclei.jpg}
|
||||
%\caption{Momentos cuadrupolares reducidos como función del número de nucleones impar. Las flechas muestran los lugares de capa cerrada. Imagen tomada y adaptada del libro de Henley con fines educativos.}
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\label{fig:shell}
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||||
\end{center}
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\end{figure}
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\end{multicols}
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\end{frame}
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||||
\begin{frame}{Espectro rotacional}
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||||
\begin{figure}[ht!]
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||||
\begin{center}
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||||
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{rot_spectrum.jpg}
|
||||
\caption{Espectro rotacionel del núcleo deformado ${}^{170}Hf$, con valores de energía rotacionales obtenidos experimentalmente y teóricamente. Imagen tomada de \cite{Henley} con fines educativos.}
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\label{fig:rot}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{figure}
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||||
\begin{equation*}
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||||
\Delta\phi \delta L_{\phi} \geq \hbar
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Rotaciones}
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{figure}[ht!]
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{roti.jpg}
|
||||
%\caption{Espectro rotacionel del núcleo deformado ${}^{170}Hf$, con valores de energía rotacionales obtenidos experimentalmente y teóricamente. Imagen tomada de \cite{Henley} con fines educativos.}
|
||||
\label{fig:roti}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{figure}
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||||
Rotación alrededor del eje 1
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||||
\begin{equation*}
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||||
H_{rot}= \frac{R^2}{2\mathbb{I}}
|
||||
\end{equation*}
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||||
Traduciendo a mecánica cuántica:
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\begin{align*}
|
||||
\hat{H}_{rot}\psi=& \frac{\hat{R}^2}{2\mathbb{I}}\psi = E\psi\\
|
||||
\hat{R}^2Y_J^M =& J(J+1)\hbar^2Y_J^M, \\ J= 0,1,2,...
|
||||
\end{align*}
|
||||
Con la paridad dada por $(-1)^J$, sólo se aceptan valore par de $J$
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
E_J= \frac{\hbar^2}{2\mathbb{I}}J(J+1),\ J=0,1,2,...
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\section*{Radiación nuclear}
|
||||
\begin{frame}{Lo que sabemos hasta ahora}
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item Los núcleos están compuestos porpprotones y neutrones
|
||||
\item Protones y neutrones sienten las fuerzas: electromagnética, nuclear fuerte y nuclear débil
|
||||
\item Núcleos de helio, electrones y fotones los hemos tratado, pero no hemos hablado más de ellos como radiación
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Decaimiento alfa}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
{}^AX^Z \rightarrow {}^{A-4}Y^{Z-2} + {}^4He^2
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
M_P c^2 = M_Hc^2 + T_H + M_{\alpha}c^2 + T_{\alpha},
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\end{frame}
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||||
|
||||
\begin{frame}{Análisis de energía}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
T_H + T_{\alpha} = (M(A,Z) - M(A-4,Z-2) - M(4,2))c^2
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
\begin{align*}
|
||||
T_H =& \frac{1}{2} M_H v_H^2, \notag \\
|
||||
T_{\alpha} =& \frac{1}{2} M_{\alpha} v_{\alpha}^2,
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Conservaciones}
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||||
\begin{align*}
|
||||
M_H v_H =& M_{\alpha} v_{\alpha}, \notag \\
|
||||
\text{despejando, } v_H =& \frac{M_{\alpha}}{M_H} v_{\alpha}
|
||||
\label{ec:vel}
|
||||
\end{align*}
|
||||
Por lo regular $M_H \gg M_{\alpha}$, entonces $v_H\ll v_{\alpha}$.
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||||
|
||||
\begin{align*}
|
||||
T_H + T_{\alpha} =& \frac{1}{2}M_H \left( \frac{M_{\alpha}}{M_H} v_{\alpha} \right)^2 + \frac{1}{2} M_{\alpha} v_{\alpha}^2 \\
|
||||
=& \frac{1}{2} M_{\alpha} v_{\alpha}^2 \left( \frac{M_{\alpha}}{M_H} +1 \right) \\
|
||||
=& T_{\alpha}\frac{M_{\alpha} + M_H}{M_H}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
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||||
\begin{frame}{Liberación de energía}
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||||
\begin{align*}
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||||
T_H &= T_{\alpha}\left( \frac{M_{\alpha} + M_H}{M_H}\right) - T_{\alpha} \\
|
||||
&= T_{\alpha}\left( \frac{M_{\alpha} + M_H}{M_H} - 1\right) \\
|
||||
&= T_{\alpha} \frac{M_{\alpha} + M_H - M_H}{M_H} = \frac{M_{\alpha}}{M_H}T_{\alpha}\ll T_{\alpha}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Diversas energías}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
{}^AX^Z \rightarrow {}^{A-4}{Y^{*}}^{Z-2} + {}^4He^2
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
{}^{A-4}{Y^{*}}^{Z-2} \rightarrow {}^{A-4}Y^{Z-2} + \gamma
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
\begin{figure}[ht!]
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||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[width=0.6\linewidth]{excitados.jpg}
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||||
\caption{Decaimineto por emisión $\alpha$ del ${}^{228}Th^{90}$ al ${}^{224}Ra^{88}$. Imagen tomada de Das y Ferbel.}
|
||||
\label{fig:excitados}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{figure}
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||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Un ejemplo}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
{}^{240}Pu^{94} \rightarrow {}^{236}U^{92} + {}^4He^2
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Ejemplo}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
E &= (M(240,94) - M(236,92) - M(4,2))c^2 \\
|
||||
&= 94m_p + 146m_n +B.E.(240,94) -92m_p-144m_n \\
|
||||
&- B.E.(236,92) - 2m_p -2m_n -B.E.(4,2) \\
|
||||
&= B.E.(240,94) - B.E.(236,92) - B.E.(4,2) \\
|
||||
&= -1813.4501\ MeV + 1790.4103\ MeV + 28.2956 \\
|
||||
&\approx 5.2558\ MeV
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Penetración de barrera}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Para $A\approx 200$ barrera coulombiana de $\sim 20-25\ Mev$
|
||||
\item La energía cinética del $\alpha$ es $\sim 5\ MeV$
|
||||
\item Decaimiento alfa es un fenómeno de tunelaje
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Penetración de barrera}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
{}^{232}Th^{90} \rightarrow {}^{228}Ra^{88} + {}^4He^2
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $\tau = 1.39\times 10^{10}\ \text{años}$
|
||||
\item $R=r_0(232)^{1/3} fm. \approx 7.37 \times 10^{-15}m.$
|
||||
\item
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Coeficiente de transmisión}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
T =& \frac{\frac{4k_1k}{(k_1+k)^2}}{1+\left[ 1 + \left( \frac{\kappa^2 - k_1k}{\kappa(k_1+k)}\right)^2 \right]} \\
|
||||
\text{con } k_1 =& \left[ \frac{2M_{\alpha}}{\hbar^2} (E+U_0) \right]^{\frac{1}{2}} \\
|
||||
k =& \left[ \frac{2M_{\alpha}}{\hbar^2} E \right]^{\frac{1}{2}} \\
|
||||
\kappa =& \left[ \frac{2M_{\alpha}}{\hbar^2} (V_0 - E) \right]^{\frac{1}{2}}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Posibilidad de penetración de la barrera}
|
||||
De afuera hacia adentro
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
T\approx 4\times 10^{40}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
De adentro hacia afuera (constante de decaimiento $\lambda$)
|
||||
\begin{align*}
|
||||
P(\text{emisión }\alpha) &\approx \frac{v_{\alpha}}{R}T \approx 6\times 10^{21}\frac{1}{seg} \times 4\times 10^{-40} \\
|
||||
&\approx 2.4\times 10^{-18}seg.
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Decaimineto Beta}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fuerza nuclear débil
|
||||
\item Conservaciones de número bariónico y leptónico
|
||||
\item Características del neutrino
|
||||
\item Núcleo con exceso de neutrones
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Decaimiento Beta menos}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
{}^AX^Z \rightarrow {}^AY^{Z+1} + e^- +\bar{\nu_e}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
n\rightarrow p + e^- + \bar{\nu_e}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Decaimineto Beta más}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
{}^AX^Z \rightarrow {}^AY^{Z-1} + e^+ +\nu_e
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
p\rightarrow n+e^+ + \nu_e
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Captura electrónica}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
{}^AX^Z + e^- \rightarrow {}^AY^{Z-1} +\nu_e
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
p+e^- \rightarrow n + \nu_{e}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
La constante en todos: $\Delta A = 0$ y $|\Delta Z| = 1$
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Conservación de energía}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
M(A,Z)c^2 &= T_H + M(A,Z-1)c^2 + T_{e^-} + m_ec^2 + T_{\bar{\nu}_e} + m_{\bar{\nu}_e}c^2 \\
|
||||
T_H + T_{e^-} + T_{\bar{\nu}_e} =& M(A,Z)c^2 - M(A,Z-1)c^2 - m_ec^2 - m_{\bar{\nu}_e}c^2
|
||||
\end{align*}
|
||||
De esta forma
|
||||
\begin{align*}
|
||||
(M_P-M_H-m_{\nu_e})c^2 &\geq 0 \\
|
||||
\approx (M_P-M_H)c^2 &\geq 0.
|
||||
\end{align*}
|
||||
Decaimineto $\beta^+$
|
||||
\begin{align*}
|
||||
E &= (M(A,Z) - M(A,Z-1) - m_e - m_{\nu})c^2 \\
|
||||
E &= (M_P - M_H - 2m_e -m_{\nu_e})c^2 \\
|
||||
&\approx (M_P - M_H - 2m_e)c^2
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Conservación de energía}
|
||||
Captura electrónica
|
||||
\begin{align*}
|
||||
E &= (M_P + m_e - M_H - m_{\nu})c^2 \\
|
||||
E &= (M(A,Z) - M(A,Z-1) -m_{\nu_e})c^2 \\
|
||||
&\approx (M(A,Z) - M(A,Z-1))c^2
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
No se toman en cuenta las energías de ligadura de los electrones en las capas atómicas.
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Barrera centrífuga de potencial}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $L=0$, decaimiento $\beta$ permitido
|
||||
\item $L>0$, decaimientos $\beta$ prohibidos ($L=1$ primero prohibido, $L=2$ segundo prohibio, etc.)
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Un ejemplo
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
{}^3H^1 \rightarrow {}^3He^2 + e^- + \bar{\nu_e},\ \Delta L = 1
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Reglas de selección}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $J_f = J_i + L$, es una transición de Fermi
|
||||
\item $J_f = J_i + L + 1$, es una transición de Gamow-Teller
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Ejemplo
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||||
\begin{equation*}
|
||||
{}^{14}O^6 \rightarrow {}^{14}Ni^{*7} + e^- + \bar{\nu_e},\ \Delta I = 0
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Estabilidad}
|
||||
\begin{figure}[ht!]
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[width=0.8\linewidth]{estabilidad.png}
|
||||
\caption{Tabla de nucleones. Imagen de Hiroyuki Koura en el dominio público}
|
||||
\label{fig:excitados}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{figure}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Esquema de decaimientos $\beta$}
|
||||
\begin{figure}[ht!]
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{beta_parabola2.png}
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||||
\caption{Excesos de masa para los isóbaros con $A= 76$ que tienen decaiminetos $\beta$. Imagen adaptada de \cite{Poves} con licencia CC-BY 3.0}
|
||||
\label{fig:parabola}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{figure}
|
||||
\end{frame}
|
||||
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||||
\section*{Decaimiento Gama}
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||||
\begin{frame}{Decaimineto $\gamma$}
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||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Decaimiento a núcleos excitados
|
||||
\item Regresado a estado base emitiendo $\gamma$
|
||||
\item Espacio entre niveles de $\sim 50\ keV$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Características del decaimiento $\gamma$}
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||||
\begin{itemize}
|
||||
\item El fotón con energía en el orden de $MeV$
|
||||
\item Puede llevarse al menos una unidad de $L$
|
||||
\item El núcleo pasa de un estado inicial $E_i$ a uno final $E_f$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Análisis decaimiento $\gamma$}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
h\nu = E_i - E_f
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
La energía del foton $=$ espaciamiento en niveles, pero qué sucede con la conservación de momento
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\frac{h\nu}{c} = Mv,
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Análisis de energía}
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||||
\begin{align*}
|
||||
E_i-E_f =& h\nu + \frac{1}{2}Mv^2 \\
|
||||
=& h\nu +\frac{1}{2M}\left( \frac{h\nu}{c} \right)^2 \\
|
||||
\text{reacomodando } h\nu =& \left( E_i - E_f - \frac{h^2 \nu^2}{2Mc^2} \right) = E_i - E_f - \Delta E_R,
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Niveles de energía}
|
||||
$\partial E = \Gamma$
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\tau \Gamma &\approx \hbar \\
|
||||
\text{o diciéndolo de otra forma } \Gamma &\approx \frac{\hbar}{\tau} \approx \text{incertidumbre en }(E_i-E_f)
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
$\Delta E_R \ll \Gamma$
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Un caso}
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||||
\begin{itemize}
|
||||
\item ${}^{50}Ti^{22}$
|
||||
\item $M\approx 46512.11\ MeV/c^2$
|
||||
\item $h\nu\gtrsim 100keV = 10^5 eV$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Un caso}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\Delta E_R = \frac{(h\nu)^2}{2Mc^2} = \frac{(10^5 eV)^2}{2(46.512\times 10^9 eV)} \approx 0.215\ eV
|
||||
\end{equation*}
|
||||
Considerando $\tau = 10^{-12}seg$
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\Gamma \approx \frac{\hbar}{\tau} \approx \frac{6.582\times 10^{-22}MeV\cdot seg}{10^{-12}seg} = 6.582 \times 10^{-4} eV
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Efecto Mössbauer}
|
||||
\begin{figure}[ht!]
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[width=0.4\linewidth]{Mossbauer.jpg}
|
||||
\caption{Rudolf Mössbauer}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{figure}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Niveles de energía y decaimiento $\gamma$}
|
||||
\begin{figure}[ht!]
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[width=0.6\linewidth]{nivelesse.jpg}
|
||||
\caption{Niveles de energía para el ${}^{72}Se^{34}$. Tomado de \cite{Krane}}
|
||||
\label{fig:niveles}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{figure}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Conversión interna}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Sale un rayo $\gamma$ del núcelo y excita un electrón del átomo
|
||||
\item Electrón de alta energía
|
||||
\item Espectro de energía cuantizado
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Leyes de decaimiento}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Tres tipos de decaimientos
|
||||
\item Tiempo tratado estadísticamente
|
||||
\item Probabilidad constante de decaimiento por segundo $\lambda$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Ley de decaimiento}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
dN = N(t+dt)- N(t) = -N(t)\lambda dt
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\frac{dN}{N} =& -\lambda dt,\\
|
||||
\int_{N_0}^N \frac{dN}{N} =& -\lambda \int_0^t dt, \\
|
||||
ln\frac{N(t)}{N_0} =& -\lambda t \\
|
||||
N(t) =& N_0 e^{-\lambda t}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Escala de tiempo}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Tiempo de vida media $t_{\frac{1}{2}}$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
N(t_{\frac{1}{2}}) =& \frac{N_0}{2} = N_0e^{-\lambda t_{\frac{1}{2}}} \\
|
||||
\text{de otra forma } \lambda t_{\frac{1}{2}} =& ln2 \\
|
||||
\text{entonces } t_{\frac{1}{2}} =& \frac{ln2}{\lambda}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Tiempo de vida media y tiempo promedio}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\langle t \rangle = \tau =& \frac{\int_0^{\infty} t N(t) dt}{\int_0^{\infty} N(t) dt} \\
|
||||
=& \frac{N_0 \int_0^{\infty} t e^{-\lambda t} dt}{N_0\int_0^{\infty} e^{-\lambda t} dt} \\
|
||||
=& \frac{\lambda^{-2}}{\lambda^{-1}} = \frac{1}{\lambda}
|
||||
\end{align*}
|
||||
De esta forma $t_{\frac{1}{2}} = \tau (ln2)$.
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Actividad}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\mathcal{A} = | \frac{dN}{dt} | = \lambda N(t) = \lambda N_0 e^{-\lambda t}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $1$ desintegración por segundo $= 1 Bq$
|
||||
\item La actividad de ${}^{226}Ra^{88}$, $3.7 \times 10^{10}\ Bq = 1Ci$
|
||||
\item Muestras con actividad en los $mCi$ y $\mu Ci$
|
||||
\item $1rd=10^6Bq$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Varios proceso}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\lambda = \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 + ...
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\frac{1}{t_{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{(t_{\frac{1}{2}})_1} + \frac{1}{t_{(\frac{1}{2}})_2}+ \frac{1}{(t_{\frac{1}{2}})_3} + ...
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Decaimienots en dos pasos}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
-\frac{dN_1}{dt} &= \lambda_1 N_1 \\
|
||||
\frac{dN_2}{dt} &= \lambda_1 N_1 - \lambda_2 N_2
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\begin{align*}
|
||||
N_1 =& N_{10}e^{-\lambda_1 t}\\
|
||||
N_2 =& N_{10}\frac{\lambda_1}{\lambda_2 - \lambda_1} (e^{-\lambda_1 t} - e^{-lambda_2 t})
|
||||
\end{align*}
|
||||
$(t_{\frac{1}{2}})_2 \ll (t_{\frac{1}{2}})_1$
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Ejemplo}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item ${}^{226}Ra^{88}$
|
||||
\item Actividad inicial $3.7 \times 10^{10}\ Bq$
|
||||
\item Tiempo de vida media $t_{\frac{1}{2}} = 1600\text{ años} = 5.04576\times 10^{10}seg.$
|
||||
\item Actividad tras $500\text{ años} = 1.5768\times 10^{10} seg.$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Calculo de la actividad}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\mathcal{A}(t=1.5768\times 10^{10}seg.) = \lambda N_0 e^{-\lambda t}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\mathcal{A}(t=1.5768\times 10^{10}seg.) = \mathcal{A}_0 e^{-\lambda t}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\mathcal{A}(t=1.5768\times 10^{10}seg.) = (3.7\times 10^{10} Bq) e^{-\frac{ln2}{5.04\times 10^{10}seg.} (1.57\times 10^{10} seg.)}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
$\mathcal{A}(t=1.5768\times 10^{10}seg.) \approx 2.3\times 10^{10}Bq$
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Radiación natural y artificial}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item ${}^{238}U$ y ${}^{232}Th$ con vidas medias en el orden de la edad del universo.
|
||||
\item $4.5\times 10^9$ años y $1.4\times 10^{10}$ años
|
||||
\item ¿Qué pasaría si tuvieran vidas medias mucho más cortas?
|
||||
\item 1934 Pierre Joliot e Irene Curie bombardean $\alpha$'s del decaimiento del polonio bombardeando $Al$, producen ${}^{30}P$
|
||||
\item ${}^{30}P$ decae por emisión de positrones con $t_{1/2}= 2.5$ minutos.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{frame}
|
||||
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||||
\begin{frame}{Envenenamiento por Polonio}
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item Alexander Litvinenko, miembro de la KGB
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||||
\item 1998 acusó publicamente a sus superiores por el intento de asesinato a Boris Berezovski
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||||
\item Berezovski era doctor en matemáticas aplicadas (1983)
|
||||
\item Importación de Mercedes, dueño de la cadena ORT
|
||||
\item Litvinenko noviembre del 2006, ${}^{210}Po$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{frame}
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%\begin{frame}{Contenido}
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% \tableofcontents
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%\end{frame}
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\end{document}
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