nuclear 1
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@ -25,7 +25,7 @@ En 1932 Chadwick, seguramente acompañado de un equipo más amplio de investigad
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\section*{Propiedades del núcleo}
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\subsection*{Etiquetado}
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Un núcleo lo nombramos igual que al elemento que pertenece, puede se H, He, C, Fe, U, etc., con ligeras diferencias. Tenemos un núcleo $X$, además de ser identificado por el nombre, como redundancia es identificado por su $Z$. Lo que define a un núcleo justo es eso, su número atómico. Además agregamos la cantidad de nucleones que posee, nótese que $A$ no define que núcleo es, veamos porque.
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Un núcleo lo nombramos igual que al elemento que pertenece, puede ser H, He, C, Fe, U, etc., con ligeras diferencias. Tenemos un núcleo $X$, además de ser identificado por el nombre, como redundancia es identificado por su $Z$. Lo que define a un núcleo justo es eso, su número atómico. Además agregamos la cantidad de nucleones que posee, nótese que $A$ no define que núcleo es, veamos porque.
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Tenemos nuestro núcleo ${}^AX^Z$, con $Z$ protones y $N-Z$ neutrones, de aquí podemos identificarlo como respecto a otro núecleo ${}^{A'}{X'}^{Z'}$
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\begin{itemize}
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@ -70,7 +70,7 @@ La energía promedio para liberar un nucleón se da por la razón
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\frac{B}{A} = \frac{B.E.}{A} = \frac{-\Delta M(A,Z)c^2}{A}
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\end{equation*}
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Este valor es útil pues pensaríamos que la energía de enlace por nucleón $B/A$, si todo se comportara bien, sería una constante, mas su comportamiento nos da más características de esta energía, como se puede ver en la figura \ref{fig:binding}. Para núcleos ligeros $B/A$ oscila un poco, aumenta rápidamente y se satura, alcanzando un pico alrededor de los $9\ MeV$ por nucleón, que en el eje de las $X$ corresponde a un $A = 60$. Para $A$ mayor $B/A$ decae lentamente. $8\ MeV$ es un valor promedio para estos núcleos restantes, nos sirve para ver que esperamos obtener.
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Este valor es útil pues pensaríamos que la energía de enlace por nucleón $B/A$, si todo se comportara bien, sería una constante, mas su comportamiento nos da más características de esta energía, como se puede ver en la figura \ref{fig:binding}. Para núcleos ligeros $B/A$ oscila un poco, aumenta rápidamente y se satura, alcanzando un pico alrededor de los $9\ MeV$ por nucleón, que en el eje de las $X$ corresponde a un $A = 60$. Para $A$ mayor, $B/A$ decae lentamente. $8\ MeV$ es un valor promedio para estos núcleos restantes, nos sirve para ver que esperamos obtener.
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\begin{figure}[ht!]
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@ -167,11 +167,11 @@ Por ejemplo, para el ${}^{197}Au^{79}$, su radio sería $R\approx 1.2 (197)^{\fr
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Rememorando la parte de espín en partículas elementales, sabemos que los protones y neutrones tienen espín $\hbar/2$ y un momento angular (entero) asociado. La suma que ya conocemos de momento angular define el momento angular del núcleo, pero hay detalles. Por el momento la parte fenomenológica nos dice que:
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\begin{itemize}
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\item Núcleos con número atómico par tienen espín nuclear entero
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\item Núcleos con número atómico impar tienen espín nuclear semi-entero
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\item Núcleos con número par de protones y número par de protones (par-par) tienen espín nuclear cero
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\item Núcleos con número $A$ par tienen espín nuclear entero
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\item Núcleos con número $A$ impar tienen espín nuclear semi-entero
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\item Núcleos con número par de protones y número par de neutrones (par-par) tienen espín nuclear cero
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\item Núcleos muy grandes tienen espín nuclear muy pequeño en su estado base
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\item Hace pensar qu los nucleones dentro del núcleo están fuertemente apareados
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\item Hace pensar que los nucleones dentro del núcleo están fuertemente apareados
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\end{itemize}
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Por otro lado, el momento dipolar magnético para una partícula cargada está dado por
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@ -196,7 +196,7 @@ Son momentos magnéticos bastante grandes y anómalos, sobre todo para el neutr
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\subsection*{Estabilidad de los núcleos}
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Ya les he contado, ya saben un poco de su experiencia, que hay núcleos estables y otros que decaen fácilmente en otros núcleos. Si observamos lo que los experimentos y observaciones nos dicen, para $A\lesssim 40$ el número de protones y neutrones se mantiene igual (para los núcleos estables, recuerden), es decir $N=Z=A/2$, pero para núcleos más pesados $N\approx 1.7Z$, en promedio hay $1.7$ veces más neutrones que protones, casi el doble pero no llega a tanto. El exceso e neutrones evita que la inestabilidad por carga aumente. Una ionterpretación como islas puede verse en al figura \ref{fig:islas}.
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Ya les he contado, ya saben un poco de su experiencia, que hay núcleos estables y otros que decaen fácilmente en otros núcleos. Si observamos lo que los experimentos y observaciones nos dicen, para $A\lesssim 40$ el número de protones y neutrones se mantiene igual (para los núcleos estables, recuerden), es decir $N=Z=A/2$, pero para núcleos más pesados $N\approx 1.7Z$, en promedio hay $1.7$ veces más neutrones que protones, casi el doble pero no llega a tanto. El exceso de neutrones evita que la inestabilidad por carga aumente. Una interpretación como islas puede verse en al figura \ref{fig:islas}.
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Las observaciones además nos dicen que los núcleos más estables más abundantes suelen ser par-par.
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@ -230,13 +230,13 @@ Ya hablamos de los tres tipos de radiación
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\item $\gamma$, fotones de muy alta energía
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\end{itemize}
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En esos primeros estudios (un poco después de Becquerel) se descubrió que para detener la radiación $\beta$ se requiere una pared de plomo, $3mm.$ para las energías de esta radiación de forma natural, una hoja de papel para partículas $\alpha$, y para los $\gamma$ se requieren varios centímetros de plomo para poder detenerlos (absorberlos).
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En esos primeros estudios (un poco después de Becquerel) se descubrió que para detener la radiación $\beta$ se requiere una pared de plomo, de apenas $3mm.$ para las energías en que se encuentra esta radiación de forma natural. En cambio se requiere sólo una hoja de papel para detener partículas $\alpha$, y para los $\gamma$ se requieren varios centímetros de plomo para absorberlos.
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\subsection*{Fuerza nuclear}
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Otro tópico que ya hemos tratado, sabemos que es de corto alcance, actúa sobre los hadrones y por ello podemos tener un núcleo formado por protón y neutrón (el deuterio, que a pesar de no ser estable sí existe por un momento).
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La fuerza nuclear es un tópico que ya se ha tratado en el curso. Sabemos que es de corto alcance, actúa sobre los hadrones y por ello podemos tener un núcleo formado por protón y neutrón (el deuterio, que a pesar de no ser estable sí existe por un momento). Pero sabemos que hay dos tipos ¿porqué referirse como si fuera una sola? Ya veremos porque.
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El hecho de que la energía de enlace por núcleon tienda a una constante es muestra del corto alcance de esta fuerza, se satura. Esta fuerza a su vez de ser atractiva tiene un núcleo repulsivo (lo que evita que colapse el núcleo), por ello podemos pensar esta fuerza como un pozo de potencial (como el de la figura \ref{fig:pozo}). Por ser un pozo de potencial de inmediato sabemos que hay estados ligados cuantizados y que de ahí deriva un modelo que se parcerá mucho al modelo de nivles atómicos, pero de eso ya hablaremos en la próxima sección.
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El hecho de que la energía de enlace por nucleon tienda a una constante es muestra del corto alcance de la fuerza nuclear, se satura. Además de ser atractiva tiene un núcleo repulsivo (lo que evita que colapse el núcleo), por ello podemos pensar esta fuerza como un pozo de potencial (como el de la figura \ref{fig:pozo}). Por ser un pozo de potencial de inmediato sabemos que hay estados ligados cuantizados y que de ahí deriva un modelo que se parecerá mucho al modelo de nivles atómicos, pero de eso ya hablaremos en la próxima sección.
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\begin{figure}[ht!]
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\begin{center}
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@ -0,0 +1,701 @@
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\documentclass[12pt]{beamer}
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\newcommand{\backupbegin}{
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\setcounter{finalframe}{\value{framenumber}}
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}
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\newcommand{\backupend}{
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\setcounter{framenumber}{\value{finalframe}}
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}
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||||
\author{Física Nuclear y subnuclear }
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\title{Física Nuclear I}
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\begin{document}
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||||
\begin{frame}
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||||
\titlepage
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\end{frame}
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||||
%\begin{frame}{Contenido}
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% \tableofcontents
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%\end{frame}
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||||
\section*{Física nuclear}
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||||
\begin{frame}{Núcelo atómico}
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\begin{itemize}
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||||
\item Rutherford, Geiger y Marsden descubren el núcleo, piensan que sólo son protones
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||||
\item Tras repetir el experimento se percibe que no sólo son protones
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||||
\item 1932 Chadwick descubre el neutrón
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||||
\item El núcleo es un objeto compuesto
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\end{itemize}
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\end{frame}
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||||
\begin{frame}{Curas radiactivas}
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\begin{figure}[ht!]
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\begin{center}
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\includegraphics[width=0.5\linewidth]{revigator.jpg}
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||||
\caption{El revigator, un envase de radón (1912) que es un emisor $\alpha$, tomado del nerdling zine}
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\label{fig:binding}
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||||
\end{center}
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\end{figure}
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||||
\emph{“Radioactivity prevents insanity, rouses noble emotions, retards old age, and creates a
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||||
splendid youthful joyous life.”}
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||||
\end{frame}
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\begin{frame}{Lineamientos}
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\begin{itemize}
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\item De 1916 a 1929
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\item Un mínimo nivel de radiación aceptado para estos dispositivos.
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||||
\item Si la dosis era menor a 2 $\mu$Ci de radón por litro de agua en 24 horas era un fraude.
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||||
\item Por suerte ni el Ravigator era así de radiactivo.
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||||
\item Sábanas, corsettes, pastillas, cerveza, chocolate, respiradores, supositorios
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\end{itemize}
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\end{frame}
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||||
\begin{frame}{Radiación en mi pantalón}
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\begin{figure}[ht!]
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\begin{center}
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||||
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{endocrino.jpg}
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||||
\caption{Radioendocrinator (1930), tomado del nerdling zine}
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||||
\label{fig:binding}
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||||
\end{center}
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\end{figure}
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||||
POr solo 150 dólares, \emph{“which have so masterful a control over life and bodily health.”}
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\end{frame}
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||||
\begin{frame}{Una larga vida}
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||||
\begin{figure}[ht!]
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||||
\begin{center}
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||||
\includegraphics[width=0.15\linewidth]{radithor.jpg}
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||||
\caption{Radithor (1928), tomado del nerdling zine}
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\label{fig:binding}
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||||
\end{center}
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||||
\end{figure}
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||||
William J. Bailey, aseguraba $1\mu Ci$ de radio. Presumía haber bebido más agua irradiada que cualquier otro ser humano, murió en 1949 a los 64 años de cancer de vejiga.
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\end{frame}
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\begin{frame}{Para el deporte: radiación}
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\begin{itemize}
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\item Radithor ``inofensivo en cualquier aspecto''
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\item Eben Byers, indsutrial de Pittsburgh y campeón de golf amateur
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\item Tres botellas de radithor al día
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\item Dejo de tomarlo en 1930 cuando se le empezaron a caer los dientes y le apareció un hoyo en el craneo
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\item Murió en 1932, a los 51 años.
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||||
\end{itemize}
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||||
\end{frame}
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\begin{frame}{Prohibición}
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\begin{itemize}
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||||
\item Tras la muerte de Byers se prohibieron estos productos
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\item Aún en los 50s y 60s muchos de ellos se vendías, barra de uranio para aliviar dolores o base de cigarrilos de radio
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||||
\item En los 80s los deodorizadores sin fin para refrigeradores con Th radiactivo
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||||
\item Aún se vende en Japón
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\end{itemize}
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\end{frame}
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\begin{frame}{Etiquetado}
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||||
${}^AX^Z$, ($X=\text{H, C, Mg, U,...}$)
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item \emph{Isótopo}: núcleos con el mismo número de protones pero distinto número de nucleones, ${}^AX^Z$ y ${}^{A'}{X}^{Z}$ son isótopos del núcleo $X$.
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||||
\item \emph{Isóbaros}: núcleos con el mismo número de nucleones pero distinto número de protones, ${}^AX^Z$ y ${}^{A}{X'}^{Z'}$ son isóbaros.
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||||
\item \emph{Isómeros o resonancias}: núcleos exitados a niveles más altos de energía.
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||||
\end{itemize}
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||||
\end{frame}
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\begin{frame}{Masa del núcleo}
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$M({}^AX^Z) = M(A,Z) = Zm_p + (A-Z)m_n$
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Experimentalmente aparece menos masa
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\begin{equation*}
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||||
M(A,Z)< Zm_p + (A-Z)m_n
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\end{equation*}
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\end{frame}
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||||
\begin{frame}{Defecto de masa y energía de enlace}
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\begin{equation*}
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\Delta M(A,Z) = M(A,Z) - Zm_p - (A-Z)m_n,
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||||
\end{equation*}
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\begin{equation*}
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B.E. = -\Delta M(A,Z)c^2
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||||
\end{equation*}
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\end{frame}
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||||
\begin{frame}{Energía de enlace y masa}
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||||
?`Qué signo tiene la energía de enlace?
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\begin{equation*}
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M(A,Z) = Zm_p + (A-Z)m_n + B.E.
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\end{equation*}
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||||
?`Cuándo es más ligado el núcleo? ?`Cómo se vería para un núcleo inestable?
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||||
Un término útil
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\begin{equation*}
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\frac{B}{A} = \frac{B.E.}{A} = \frac{-\Delta M(A,Z)c^2}{A}
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||||
\end{equation*}
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||||
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\end{frame}
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||||
\begin{frame}{Energía de enlace promedio}
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||||
\begin{figure}[ht!]
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\begin{center}
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\includegraphics[width=0.7\linewidth]{binding.png}
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||||
\caption{Gráfica de energía de enlace por nucleón contra número de nucleones $A$ en el núcleo. Imagen de dominio público}
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\label{fig:binding}
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||||
\end{center}
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||||
\end{figure}
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\end{frame}
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||||
\begin{frame}{Exceso de masa}
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||||
Un valor listado en tablas
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\begin{equation*}
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||||
\delta (A,Z) = [M(Z,A)[uma] - A]keV/c^2\ c^2
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||||
\end{equation*}
|
||||
La masa
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||||
\begin{equation*}
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||||
M(Z,A) = \delta (A,Z) + A[uma\rightarrow keV/c^2]
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||||
\end{equation*}
|
||||
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||||
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||||
\end{frame}
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||||
\begin{frame}{Energía de enlace en términos de excesos de masa}
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||||
\begin{align*}
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||||
B.E. =& Zm_p + (A-Z)m_n - M(A,Z)\\
|
||||
=& Z(\delta(1,1) + 1) + (A-Z)(\delta(1,0)+1) - (\delta(A,Z) + A)\\
|
||||
=& Z\delta(1,1) + Z + A\delta(1,0) + A - Z\delta(1,0) -Z - \delta(A,Z) - A \\
|
||||
=& Z\delta(1,1) + (A-Z)\delta(1,0) - \delta(A,Z)
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Ejemplo con ${}^{14}C^6$}
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||||
Excesos de masa (de \url{https://www-nds.iaea.org/amdc/ame2016/mass16.txt})
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\delta(14,6) =& 3019.8927\ keV \\
|
||||
\delta(1,1) =& 7288.97061\ keV \\
|
||||
\delta(1,0) =& 8071.31713\ keV
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
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||||
\begin{frame}{Calculo de la energía de enlace}
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||||
\begin{align*}
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||||
B.E. =& 6\delta(1,1) + 8\delta(1,0) -\delta(14,6) \\
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||||
=& 6(7288.97061keV) + 8(8071.31713keV) -3019.8927keV \\
|
||||
=& 105284.4680 keV
|
||||
\end{align*}
|
||||
Para el ${}^{12}C$, $B.E.=92161.7264 keV$
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Energía de separación del último protón}
|
||||
\begin{align*}
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||||
B.E.(A,Z)& - B.E.(A-1,Z-1) =\\
|
||||
& Z\delta(1,1) + (A-Z)\delta(1,0) - \delta(A,Z) \\
|
||||
& -(Z-1)\delta(1,1) - ((A-1)-(Z-1))\delta(1,0))\\
|
||||
& + (\delta(A-1,Z-1))\\
|
||||
=& \delta(1,1)+\delta(A-1,Z-1) - \delta(A,Z)
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Tamaño del núcleo}
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||||
Al ser un sistema cuántico el tamaño es el valor promedio del operador de coordenada en un estado propio.
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||||
\begin{equation*}
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||||
r_0^{min} = \frac{ZZ'e^2}{E}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
R_{Au} \lesssim 3.2\times 10^{-12}cm. \text{ y } R_{Ag} \lesssim 2\times 10^{-12} cm
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Tamaño del núcleo por electrones}
|
||||
Partícula pesada a mayor energía $r_0^{min} \rightarrow 0$
|
||||
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||||
\begin{equation*}
|
||||
F(\overrightarrow{q}) = \int_\text{todo el espacio} d^3 r \rho (\overrightarrow{r}) e^{\frac{i}{\hbar}\overrightarrow{q}\cdot \overrightarrow{r}}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\frac{d\sigma}{dq^2} = |F(\overrightarrow{q})|^2 \left( \frac{d\sigma}{dq^2} \right)_{Mott}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\left( \frac{d\sigma}{d\Omega} \right)_{Mott} = 4cos^2\frac{\theta}{2} \left( \frac{d\sigma}{d\Omega} \right)_{Rutherford}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Tamaño del núcleo por hadrones}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Protones y piones
|
||||
\item Estructura por fuerza nuclear fuerte
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\begin{align*}
|
||||
R &= r_0 A^{\frac{1}{3}} \\
|
||||
&\approx 1.2\times 10^{-13} A^{\frac{1}{3}}cm.= 1.2A^{\frac{1}{3}}fm.
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Un ejemplo}
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||||
Núcleo de ${}^{197}Au^{79}$
|
||||
\begin{align*}
|
||||
R &= r_0 (197)^{\frac{1}{3}} \\
|
||||
&\approx 1.2(197)^{\frac{1}{3}}fm = 6.9824 fm
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Espines nucleares}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $\frac{1}{2}\hbar$ para protón y neutrón
|
||||
\item Momento angular orbital entero
|
||||
\item Momento angulr total $\mathbf{J}$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Núcleos con número $A$ par tienen espín nuclear entero
|
||||
\item Núcleos con número $A$ impar tienen espín nuclear semi-entero
|
||||
\item Núcleos con número par de protones y número par de neutrones (par-par) tienen espín nuclear cero
|
||||
\item Núcleos muy grandes tienen espín nuclear muy pequeño en su estado base
|
||||
\item Hace pensar que los nucleones dentro del núcleo están fuertemente apareados
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Momneto dipolar}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\overrightarrow{\mu} = g\frac{e}{2mc}\overrightarrow{S},
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
El magnetón nuclear
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\mu_N = \frac{e\hbar}{2m_pc},
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
Obtenemos
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\mu_p \approx 2.79\mu_N, \ \mu_n \approx -1.91\mu_N.
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Estabilidad nuclear}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $A\lesssim 40 \Rightarrow N=Z=A/2$
|
||||
\item Núcleos más pesados $\Rightarrow N\approx 1.7Z$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\begin{table}[ht!]
|
||||
\begin{tabular}{lll}
|
||||
N & Z & Número de núcleos estables \\
|
||||
Par & Par & $156$ \\
|
||||
Par & Impar & $48$ \\
|
||||
Impar & Par & $50$ \\
|
||||
Impar & Impar & $5$
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{table}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Calculamos energías de enlace}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
B.E.(236,92) =& 92*(7288.97061-keV) + 144*(8071.31713 keV) - 42444.644 keV\\
|
||||
=& 1790410.3188 keV\\
|
||||
B.E.(92,36) =& 36*(7288.97061-keV) + 56*(8071.31713 keV) + 68769.32 keV\\
|
||||
=& 783166.02124 keV\\
|
||||
B.E.(141,56) =& 56*(7288.97061-keV) + 85*(8071.31713 keV) + 79732.626 keV\\
|
||||
=& 1182048.25334 keV\\
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Inestabilidad de los núcleos}
|
||||
Radiactividad, descubierta por Becquerel en 1896, trabajando sales de Uranio
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $\alpha$, núcelos de ${}^4He^2$
|
||||
\item $\beta$, electrones
|
||||
\item $\gamma$, fotones de muy alta energía
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Fuerza nuclear}
|
||||
\begin{figure}[ht!]
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{potencial_nuclear.jpg}
|
||||
\caption{Esquema del potencial nuclear. Tomado del libro de Das y Ferbel}
|
||||
\label{fig:binding}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{figure}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Modelos nucleares}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Modelos empíricos
|
||||
\item Modelos de partícula independiente
|
||||
\item Modelos de interacción fuerte
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Modelo de la gota}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Modelo de interacción fuerte
|
||||
\item Esfera
|
||||
\item Icompresible
|
||||
\item Fisión: se divide en dos gotas más pequeñas
|
||||
\item Nucleones como moléculas de agua
|
||||
\item Tensión superficial
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Energía de ligadura en modelo de la gota}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
B.E. = a_1 A - a_2 A^{\frac{2}{3}} - a_3 \frac{Z^2}{A^{\frac{1}{3}}} - a_4\frac{(N-Z)^2}{A} \pm a_5A^{-\frac{3}{4}},
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
a_1\approx 15.5\ MeV, \ \ a_2 &\approx 16.8\ MeV, \ \ a_3 \approx 0.72\ MeV, \\
|
||||
a_4 &\approx 23.3\ MeV, \ \ a_5 \approx 34\ MeV.
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Fórmula semi-empírica de Bethe-Weiszäcker}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
M(A,Z) = Zm_p + (A-Z)m_n - \frac{B.E.}{c^2}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
\begin{align*}
|
||||
M(A,Z) =& Zm_p + (A-Z)m_n -\frac{a_1}{c^2}A \\
|
||||
&+ \frac{a_2}{c^2} + \frac{a_3}{c^@} \frac{Z^2}{A^{\frac{1}{3}}} + \frac{a_4}{c^2}\frac{(N-Z)^2}{A} \pm \frac{a_5}{c^2}A^{-\frac{3}{4}}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Modelo de gas de Fermi}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Modelo de partícula independiente
|
||||
\item Agrega la parte cuántica
|
||||
\item Gas de fermiones confinado en el núcleo
|
||||
\item Niveles de energía
|
||||
\item Pozos distintos para protones y neutrones
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Energía de Fermi}
|
||||
\begin{figure}[ht!]
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{fermi.jpg}
|
||||
\caption{Esquema de los pozos de potencial en el modelo de Fermi. Figure by \href{https://flic.kr/p/6KjVBz}{MIT OpenCourseWare from Marmier and Sheldon}, con licencia \href{https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/}{CC-BY-NC-SA}}
|
||||
\label{fig:binding}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{figure}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Profundidad de pozo}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
E_F = \frac{p_F^2}{2m}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
V_{p_F} = \frac{4\pi}{3} p_F^3
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
V_{TOT} =& V\times V_{p_F} = \frac{4\pi}{3}r_0^3A \times \frac{4\pi}{3}p_F^3 \\
|
||||
=& \left( \frac{4\pi}{3} \right)^2 A (r_0 p_F)^3
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Espacio fase}
|
||||
\begin{figure}[ht!]
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{fase.jpg}
|
||||
\caption{El espacio fase, imagen de \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/User:Brews_ohare}{Brews ohare} con licencia \href{https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.en}{CC-BY-SA}}
|
||||
\label{fig:fase}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{figure}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Energía de Fermi y profundidad}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
V_{estado} = (2\pi \hbar)^3 = h^3
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
n_F = 2\frac{V_{TOT}}{(2\pi\hbar)^3} = \frac{2}{(2\pi\hbar)^3} \left( \frac{4\pi}{3} \right)^2 A (r_0 p_F)^3 = \frac{4}{9\pi}A \left( \frac{r_0 p_F}{\hbar} \right)^3,
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
N=Z=\frac{A}{2} =& \frac{4}{9\pi}A \left( \frac{r_0 p_F}{\hbar} \right)^3 \\
|
||||
\text{despejando } p_F =& \frac{\hbar}{r_0} \left( \frac{9\pi}{8} \right)^{\frac{1}{3}}.
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Profundidad del pozo}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
E_F = \frac{p_F^2}{2m} = \frac{1}{2m} \left( \frac{\hbar}{r_0} \right)^2 \left( \frac{9\pi}{8} \right)^{\frac{2}{3}}\approx 33\ MeV
|
||||
\end{align*}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
V_0 = E_F + \frac{B}{A} \approx 40\ MeV
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Modelo de capas atómico}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Modelo de partícula independiente
|
||||
\item Estados de energía etiquetados por $n$
|
||||
\item Degeneraciones con el número cuántico $\ell = 0,1,2,...,n-1$
|
||||
\item $2\ell +1$ subestados
|
||||
\item Espín $s$ con $2s+1$ proyecciones
|
||||
\item ($n$, $\ell$, $m_{\ell}$, $m_s$)
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Estados degenerados}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
n_d &= 2\sum_{\ell=0}^{n-1} (2\ell + 1) \\
|
||||
&= 2 \left( 2\sum_{\ell=0}^{n-1} \ell + \sum_{\ell=0}^{n-1} 1 \right) \\
|
||||
&= 2 \left( 2 \times \frac{1}{2} n(n-1) + n \right) \\
|
||||
&= 2(n^2-n+n) = 2n^2
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Rompimiento de la degeneración}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Dirección preferencial del espacio
|
||||
\item Campo magnético en la dirección $z$
|
||||
\item La energía depende de $m_{\ell}$ y $m_s$
|
||||
\item Al potencial se agrega $-\overrightarrow{\mu}\cdot \overrightarrow{B}$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Acoplamiento espín-órbita}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item El campo magnético se debe al momento angular del núcleo
|
||||
\item Rompe otras degeneraciones
|
||||
\item Estructura fina
|
||||
\item Tengase en cuenta para física nuclear
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Esquema de rompimientos}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $n$ niveles de energía con subcapas $\ell$
|
||||
\item $\ell$ muy grande provoca átomos menos esféricos y menos estables
|
||||
\item Todas las capas y subcapas llenas
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Suma $m_{\ell}$ es cero
|
||||
\item Suma $m_s$ es cero
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item $\overrightarrow{J} = \overrightarrow{L} + \overrightarrow{S}=0$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Números mágicos}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Atómicos: $Z=2,10, 18,36,54,$
|
||||
\item Nucleares:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
N =& 2,8,20,28,50,82,126 \\
|
||||
Z =& 2,8,20,28,50,82.
|
||||
\end{align*}
|
||||
\item $Zn^{50}$ dies isótopos e isótonos estables, $In^{49}$ t $Sb^{51}$ tienen dos isótopos estables.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
${}^4He^2$, ${}^{16}O^8$, ${}^{208}Pb^{82}$
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Ecuación de Schrödinger nuclear}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item En el núcleo a diferencia del átomo no tenemos un núcleo central que provee la energía de enlace
|
||||
\item Debemos considerar entonces un potencial central efectivo
|
||||
\item La fuerza nuclear no es tan bien entendida como la fuerza coulombiana del átomo.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Ecuación de Schrödinger nuclear}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\left( -\frac{\hbar^2}{2m}\overrightarrow{\nabla}^2 + V(\overrightarrow{r}) \right) \psi(\overrightarrow{r}) =& E \psi(\overrightarrow{r}) \\
|
||||
\text{ó } \left( \overrightarrow{\nabla}^2 + \frac{2m}{\hbar^2}(E-V(\overrightarrow{r})) \right) \psi(\overrightarrow{r}) =& 0,
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\overrightarrow{\nabla}^2 = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}r^2\frac{\partial}{\partial r} - \frac{1}{\hbar^2 r^2} \overrightarrow{L}^2,
|
||||
\end{equation*}
|
||||
$\hbar^2 \ell (\ell + 1)$
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Pozo de potencial infinito}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
V(\overrightarrow{r})=\begin{cases}
|
||||
\infty \quad &\text{si } r\geq R \\
|
||||
0 \quad &\text{de otra forma,} \\
|
||||
\end{cases}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\left( \frac{d^2}{dr^2} + \frac{2m}{\hbar^2} \left( E_{n\ell} - \frac{\hbar \ell(\ell + 1)}{2mr^2} \right) \right) u_{n\ell}(r) = 0
|
||||
\end{equation*}
|
||||
$u_{n\ell}(r) = j_{\ell}(k_{n\ell}r)$
|
||||
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
k_{n\ell} = \sqrt{\frac{2mE_{n\ell}}{\hbar^2}}.
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Ecuación radial}
|
||||
Se hace cero en las orillas
|
||||
\begin{align*}
|
||||
u_{n\ell}(R) =& j_{\ell}(k_{n\ell}R) = 0,\\
|
||||
&\ell= 0,1,2,3,...\ y\ n=1,2,3,...\text{ para cualquier } \ell
|
||||
\end{align*}
|
||||
La degeneración está sobre $m_{\ell}$, por lo que cada nivel se puede llena con $2(2\ell + 1)$ nucleones
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\mathbf{2}, 2+6=\mathbf{8}, 8+10=\mathbf{18}, 18+14=\mathbf{32}, 32+18=\mathbf{50},...
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Oscilador armónico}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
V(r) = \frac{1}{2} m\omega^2 r^2,
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\left( \frac{d^2}{dr^2} + \frac{2m}{\hbar^2} \left( E_{n\ell} -\frac{1}{2} m\omega^2 r^2 - \frac{\hbar^2 \ell (\ell + 1)}{2mr^2} \right) \right) u_{n\ell} = 0.
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
Solución: polinomios de Laguerre
|
||||
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
E_{n\ell} = \hbar \omega \left( 2n + \ell -\frac{1}{2} \right),\ n=1,2,3,..\ y\ \ell=0,1,2,...\text{ para }n.
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Oscilador armónico}
|
||||
$\Lambda=2n+\ell-2$
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
E_{n\ell} = \hbar \omega \left( \Lambda + \frac{3}{2} \right),\ con\ \Lambda = 0,1,2,...,
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
n= 2, 8, 20, 40, 70
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Potencial espín-órbita}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Propuesta 1949 de Maria Goeppert Mayer y Hans Jensen
|
||||
\item Un fuerte acoplamiento espín-órbita
|
||||
\item Siguiendo el ejemplo atómico
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Acoplamiento espín-órbita}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
V_{TOT} = V(r)-f(r)\overrightarrow{L}\cdot \overrightarrow{S},
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
Rompe la degeneración en $j=\ell \pm \frac{1}{2}$
|
||||
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\overrightarrow{J} =& \overrightarrow{L} + \overrightarrow{S} \\
|
||||
\overrightarrow{J}^2 =& \overrightarrow{L}^2 + \overrightarrow{S}^2 + 2\overrightarrow{L} \cdot \overrightarrow{S} \\
|
||||
\text{o despejando } \overrightarrow{L}\cdot \overrightarrow{S} =& \frac{1}{2}(\overrightarrow{J}^2 - \overrightarrow{L}^2 - \overrightarrow{S}^2),
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Estados esperados}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\langle \overrightarrow{L} \cdot \overrightarrow{S} \rangle &= \langle \frac{1}{2} (\overrightarrow{J}^2 - \overrightarrow{L}^2 - \overrightarrow{S}^2) \rangle \\
|
||||
&= \frac{\hbar^2}{2} [j(j+1) - \ell(\ell + 1) - s(s+1)] \\
|
||||
&= \frac{\hbar^2}{2} [j(j+1) - \ell(\ell + 1) - \frac{3}{4}] \\
|
||||
&= \begin{cases}
|
||||
\frac{\hbar^2}{2} \ell \quad &\text{para } j=\ell + \frac{1}{2} \\
|
||||
-\frac{\hbar^2}{2}(\ell +1) \quad &\text{para } j=\ell - \frac{1}{2} \\
|
||||
\end{cases}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Corrimientos de energía}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\Delta E_{n\ell}\left( j=\ell + \frac{1}{2} \right) =& -\frac{\hbar^2 \ell}{2} \int d^3r |\psi_{n\ell}(\overrightarrow{r})|^2 f(r) \\
|
||||
\Delta E_{n\ell}\left( j=\ell - \frac{1}{2} \right) =& \frac{\hbar^2 (\ell+1)}{2} \int d^3r |\psi_{n\ell}(\overrightarrow{r})|^2 f(r)
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\Delta =& \Delta E_{n\ell}\left( j=\ell - \frac{1}{2} \right) - \Delta E_{n\ell}\left( j=\ell + \frac{1}{2} \right) \\
|
||||
=& \hbar^2 \left( \ell + \frac{1}{2} \right) \int d^3r |\psi_{n\ell}(\overrightarrow{r})|^2 f(r)
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Niveles de energía}
|
||||
\begin{figure}[ht!]
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[width=0.3\linewidth]{shells.png}
|
||||
\caption{Diagrama de niveles para el modelo de capas, imagen de \href{https://en.wikipedia.org/wiki/User:Bakken}{Bakken} con licencia \href{https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0}{CC-BY-SA-3.0}}
|
||||
\label{fig:shell}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{figure}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Predicciones}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Espín nuclear $j$
|
||||
\item Paridad $\pi=(-1)^{\ell}$
|
||||
\item Momento dipolar
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Un ejemplo}
|
||||
Los núcleos espejo ${}^{13}C^6$ y ${}^{13}Ni^7$
|
||||
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
(1S_{\frac{1}{2}})^2 (1P_{\frac{3}{2}})^4 (1P_{\frac{1}{2}})^1
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Niveles de energía}
|
||||
\begin{figure}[ht!]
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{shells.png}
|
||||
\caption{Diagrama de niveles para el modelo de capas, imagen de \href{https://en.wikipedia.org/wiki/User:Bakken}{Bakken} con licencia \href{https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0}{CC-BY-SA-3.0}}
|
||||
\label{fig:shell}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{figure}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Modelo colectivo}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
ax^2 + by^2 +\frac{z^2}{ab} = R^2
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
V(x,y,z)=\begin{cases}
|
||||
0 \quad &\text{para } ax^2 + by^2 +\frac{z^2}{ab} \leq R^2 \\
|
||||
\infty \quad &\text{de otra forma,} \\
|
||||
\end{cases}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
|
@ -0,0 +1,734 @@
|
|||
\documentclass[12pt]{beamer}
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\newcommand{\backupbegin}{
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||||
\newcounter{finalframe}
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||||
\setcounter{finalframe}{\value{framenumber}}
|
||||
}
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||||
\newcommand{\backupend}{
|
||||
\setcounter{framenumber}{\value{finalframe}}
|
||||
}
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||||
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||||
\author{Física Nuclear y subnuclear }
|
||||
\title{Física Nuclear I}
|
||||
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\begin{document}
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||||
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||||
\begin{frame}
|
||||
\titlepage
|
||||
\end{frame}
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||||
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||||
%\begin{frame}{Contenido}
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||||
% \tableofcontents
|
||||
%\end{frame}
|
||||
\section*{Física nuclear}
|
||||
\begin{frame}{Núcelo atómico}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Rutherford, Geiger y Marsden descubren el núcleo, piensan que sólo son protones
|
||||
\item Tras repetir el experimento se percibe que no sólo son protones
|
||||
\item 1932 Chadwick descubre el neutrón
|
||||
\item El núcleo es un objeto compuesto
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Curas radiactivas}
|
||||
\begin{figure}[ht!]
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{revigator.jpg}
|
||||
\caption{El revigator, un envase de radón (1912) que es un emisor $\alpha$, tomado del nerdling zine}
|
||||
\label{fig:binding}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{figure}
|
||||
\emph{“Radioactivity prevents insanity, rouses noble emotions, retards old age, and creates a
|
||||
splendid youthful joyous life.”}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Lineamientos}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item De 1916 a 1929
|
||||
\item Un mínimo nivel de radiación aceptado para estos dispositivos.
|
||||
\item Si la dosis era menor a 2 $\mu$Ci de radón por litro de agua en 24 horas era un fraude.
|
||||
\item Por suerte ni el Ravigator era así de radiactivo.
|
||||
\item Sábanas, corsettes, pastillas, cerveza, chocolate, respiradores, supositorios
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Radiación en mi pantalón}
|
||||
\begin{figure}[ht!]
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{endocrino.jpg}
|
||||
\caption{Radioendocrinator (1930), tomado del nerdling zine}
|
||||
\label{fig:binding}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{figure}
|
||||
POr solo 150 dólares, \emph{“which have so masterful a control over life and bodily health.”}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Una larga vida}
|
||||
\begin{figure}[ht!]
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[width=0.15\linewidth]{radithor.jpg}
|
||||
\caption{Radithor (1928), tomado del nerdling zine}
|
||||
\label{fig:binding}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{figure}
|
||||
William J. Bailey, aseguraba $1\mu Ci$ de radio. Presumía haber bebido más agua irradiada que cualquier otro ser humano, murió en 1949 a los 64 años de cancer de vejiga.
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Para el deporte: radiación}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Radithor ``inofensivo en cualquier aspecto''
|
||||
\item Eben Byers, indsutrial de Pittsburgh y campeón de golf amateur
|
||||
\item Tres botellas de radithor al día
|
||||
\item Dejo de tomarlo en 1930 cuando se le empezaron a caer los dientes y le apareció un hoyo en el craneo
|
||||
\item Murió en 1932, a los 51 años.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Prohibición}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Tras la muerte de Byers se prohibieron estos productos
|
||||
\item Aún en los 50s y 60s muchos de ellos se vendías, barra de uranio para aliviar dolores o base de cigarrilos de radio
|
||||
\item En los 80s los deodorizadores sin fin para refrigeradores con Th radiactivo
|
||||
\item Aún se vende en Japón
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Etiquetado}
|
||||
${}^AX^Z$, ($X=\text{H, C, Mg, U,...}$)
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item \emph{Isótopo}: núcleos con el mismo número de protones pero distinto número de nucleones, ${}^AX^Z$ y ${}^{A'}{X}^{Z}$ son isótopos del núcleo $X$.
|
||||
\item \emph{Isóbaros}: núcleos con el mismo número de nucleones pero distinto número de protones, ${}^AX^Z$ y ${}^{A}{X'}^{Z'}$ son isóbaros.
|
||||
\item \emph{Isómeros o resonancias}: núcleos exitados a niveles más altos de energía.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Masa del núcleo}
|
||||
$M({}^AX^Z) = M(A,Z) = Zm_p + (A-Z)m_n$
|
||||
Experimentalmente aparece menos masa
|
||||
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
M(A,Z)< Zm_p + (A-Z)m_n
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Defecto de masa y energía de enlace}
|
||||
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\Delta M(A,Z) = M(A,Z) - Zm_p - (A-Z)m_n,
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
B.E. = \Delta M(A,Z)c^2
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Energía de enlace y masa}
|
||||
?`Qué signo tiene la energía de enlace?
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
M(A,Z) = Zm_p + (A-Z)m_n + B.E.
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
?`Cuándo es más ligado el núcleo? ?`Cómo se vería para un núcleo inestable?
|
||||
|
||||
Un término útil
|
||||
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\frac{B}{A} = \frac{-B.E.}{A} = \frac{-\Delta M(A,Z)c^2}{A}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Energía de enlace promedio}
|
||||
\begin{figure}[ht!]
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{binding.png}
|
||||
\caption{Gráfica de energía de enlace por nucleón contra número de nucleones $A$ en el núcleo. Imagen de dominio público}
|
||||
\label{fig:binding}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Exceso de masa}
|
||||
Un valor listado en tablas
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\delta (A,Z) = [M(Z,A)[uma] - A]keV/c^2\ c^2
|
||||
\end{equation*}
|
||||
La masa
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
M(Z,A) = \delta (A,Z) + A[uma\rightarrow keV/c^2]
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Energía de enlace en términos de excesos de masa}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
B.E. =& M(A,Z) - Zm_p - (A-Z)m_n \\
|
||||
=& (\delta(A,Z) + A) - Z(\delta(1,1) + 1) - (A-Z)(\delta(1,0)+1) \\
|
||||
=& \delta(A,Z) + A -Z\delta(1,1) - Z - A\delta(1,0) - A + Z\delta(1,0) +Z \\
|
||||
=& \delta(A,Z) -Z\delta(1,1) - (A-Z)\delta(1,0)
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Ejemplo con ${}^{14}C^6$}
|
||||
Excesos de masa (de \url{https://www-nds.iaea.org/amdc/ame2016/mass16.txt})
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\delta(14,6) =& 3019.8927\ keV \\
|
||||
\delta(1,1) =& 7288.97061\ keV \\
|
||||
\delta(1,0) =& 8071.31713\ keV
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Calculo de la energía de enlace}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
B.E. =& \delta(14,6) -6\delta(1,1) - 8\delta(1,0) \\
|
||||
=& 3019.8927keV - 6(7288.97061keV) - 8(8071.31713keV) \\
|
||||
=& -105284.4680 keV
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Energía de separación del último protón}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
B.E.(A,Z)& - B.E.(A-1,Z-1) =\\
|
||||
& \delta(A,Z) -Z\delta(1,1) - (A-Z)\delta(1,0)\\
|
||||
& - (\delta(A-1,Z-1) -(Z-1)\delta(1,1)\\
|
||||
& - ((A-1)-(Z-1))\delta(1,0)) \\
|
||||
=& \delta(A,Z)-\delta(A-1,Z-1) - \delta(1,1)
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Tamaño del núcleo}
|
||||
Al ser un sistema cuántico el tamaño es el valor promedio del operador de coordenada en un estado propio.
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
r_0^{min} = \frac{ZZ'e^2}{E}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
R_{Au} \lesssim 3.2\times 10^{-12}cm. \text{ y } R_{Ag} \lesssim 2\times 10^{-12} cm
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Tamaño del núcleo por electrones}
|
||||
Partícula pesada a mayor energía $r_0^{min} \rightarrow 0$
|
||||
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
F(\overrightarrow{q}) = \int_\text{todo el espacio} d^3 r \rho (\overrightarrow{r}) e^{\frac{i}{\hbar}\overrightarrow{q}\cdot \overrightarrow{r}}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\frac{d\sigma}{dq^2} = |F(\overrightarrow{q})|^2 \left( \frac{d\sigma}{dq^2} \right)_{Mott}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\left( \frac{d\sigma}{d\Omega} \right)_{Mott} = 4cos^2\frac{\theta}{2} \left( \frac{d\sigma}{d\Omega} \right)_{Rutherford}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Tamaño del núcleo por hadrones}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Protones y piones
|
||||
\item Estructura por fuerza nuclear fuerte
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\begin{align*}
|
||||
R &= r_0 A^{\frac{1}{3}} \\
|
||||
&\approx 1.2\times 10^{-13} A^{\frac{1}{3}}cm.= 1.2A^{\frac{1}{3}}fm.
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Un ejemplo}
|
||||
Núcleo de ${}^{197}Au^{79}$
|
||||
\begin{align*}
|
||||
R &= r_0 (197)^{\frac{1}{3}} \\
|
||||
&\approx 1.2(197)^{\frac{1}{3}}fm = 6.9824 fm
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Espines nucleares}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $\frac{1}{2}\hbar$ para protón y neutrón
|
||||
\item Momento angular orbital entero
|
||||
\item Momento angulr total $\mathbf{J}$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Núcleos con número atómico par tienen espín nuclear entero
|
||||
\item Núcleos con número atómico impar tienen espín nuclear semi-entero
|
||||
\item Núcleos con número par de protones y número par de protones (par-par) tienen espín nuclear cero
|
||||
\item Núcleos muy grandes tienen espín nuclear muy pequeño en su estado base
|
||||
\item Hace pensar que los nucleones dentro del núcleo están fuertemente apareados
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Momneto dipolar}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\overrightarrow{\mu} = g\frac{e}{2mc}\overrightarrow{S},
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
El magnetón nuclear
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\mu_N = \frac{e\hbar}{2m_pc},
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
Obtenemos
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\mu_p \approx 2.79\mu_N, \ \mu_n \approx -1.91\mu_N.
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Estabilidad nuclear}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $A\lesssim 40 \Rightarrow N=Z=A/2$
|
||||
\item Núcleos más pesados $\Rightarrow N\approx 1.7Z$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\begin{table}[ht!]
|
||||
\begin{tabular}{lll}
|
||||
N & Z & Número de núcleos estables \\
|
||||
Par & Par & $156$ \\
|
||||
Par & Impar & $48$ \\
|
||||
Impar & Par & $50$ \\
|
||||
Impar & Impar & $5$
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{table}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Tratemos de aclarar lo del signo}
|
||||
Primero veamos qué pasa con los excesos de masa:
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
{}^{236}U → {}^{92}Kr + {}^{141}Ba + 3 n
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\delta(236,92) =& 42444.644 keV\\
|
||||
\delta(92,36) =& -68769.320 keV\\
|
||||
\delta(141,56) =& -79732.626 keV\\
|
||||
\delta(0,1) =& 8071.31713 keV \\
|
||||
\delta(1,1) =& 7288.97061 keV\ \text{por si acaso}
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Calculamos energías de enlace}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
B.E.(236,92) =& 42444.644 keV - 92*(7288.97061-keV)-144*(8071.31713 keV)\\
|
||||
=& -1790410.31884 keV\\
|
||||
B.E.(92,36) =& -68769.32 keV - 36*(7288.97061-keV)-56*(8071.31713 keV)\\
|
||||
=& -783166.02124 keV\\
|
||||
B.E.(141,56) =& -79732.626 keV - 56*(7288.97061-keV)-85*(8071.31713 keV)\\
|
||||
=& -1182048.25334 keV\\
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{¡Les he fallado!}
|
||||
\begin{figure}[ht!]
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{te-he-fallado-oppi.jpg}
|
||||
\caption{Meme con finalidad didáctica}
|
||||
\label{fig:islas}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{figure}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Calculamos energías de enlace, \textbf{ahora sí de forma correcta}}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
B.E.(236,92) =& 92*(7288.97061-keV) + 144*(8071.31713 keV) - 42444.644 keV\\
|
||||
=& 1790410.3188 keV\\
|
||||
B.E.(92,36) =& 36*(7288.97061-keV) + 56*(8071.31713 keV) + 68769.32 keV\\
|
||||
=& 783166.02124 keV\\
|
||||
B.E.(141,56) =& 56*(7288.97061-keV) + 85*(8071.31713 keV) + 79732.626 keV\\
|
||||
=& 1182048.25334 keV\\
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Inestabilidad de los núcleos}
|
||||
Radiactividad, descubierta por Becquerel en 1896, trabajando sales de Uranio
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $\alpha$, núcelos de ${}^4He^2$
|
||||
\item $\beta$, electrones
|
||||
\item $\gamma$, fotones de muy alta energía
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Fuerza nuclear}
|
||||
\begin{figure}[ht!]
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{potencial_nuclear.jpg}
|
||||
\caption{Esquema del potencial nuclear. Tomado del libro de Das y Ferbel}
|
||||
\label{fig:binding}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{figure}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Modelos nucleares}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Modelos empíricos
|
||||
\item Modelos de partícula independiente
|
||||
\item Modelos de interacción fuerte
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Modelo de la gota}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Modelo de interacción fuerte
|
||||
\item Esfera
|
||||
\item Icompresible
|
||||
\item Fisión: se divide en dos gotas más pequeñas
|
||||
\item Nucleones como moléculas de agua
|
||||
\item Tensión superficial
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Energía de ligadura en modelo de la gota}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
B.E. = a_1 A - a_2 A^{\frac{2}{3}} - a_3 \frac{Z^2}{A^{\frac{1}{3}}} - a_4\frac{(N-Z)^2}{A} \pm a_5A^{-\frac{3}{4}},
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
a_1\approx 15.5\ MeV, \ \ a_2 &\approx 16.8\ MeV, \ \ a_3 \approx 0.72\ MeV, \\
|
||||
a_4 &\approx 23.3\ MeV, \ \ a_5 \approx 34\ MeV.
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Fórmula semi-empírica de Bethe-Weiszäcker}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
M(A,Z) = Zm_p + (A-Z)m_n - \frac{B.E.}{c^2}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
\begin{align*}
|
||||
M(A,Z) =& Zm_p + (A-Z)m_n -\frac{a_1}{c^2}A \\
|
||||
&+ \frac{a_2}{c^2} + \frac{a_3}{c^@} \frac{Z^2}{A^{\frac{1}{3}}} + \frac{a_4}{c^2}\frac{(N-Z)^2}{A} \pm \frac{a_5}{c^2}A^{-\frac{3}{4}}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Modelo de gas de Fermi}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Modelo de partícula independiente
|
||||
\item Agrega la parte cuántica
|
||||
\item Gas de fermiones confinado en el núcleo
|
||||
\item Niveles de energía
|
||||
\item Pozos distintos para protones y neutrones
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Energía de Fermi}
|
||||
\begin{figure}[ht!]
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{fermi.jpg}
|
||||
\caption{Esquema de los pozos de potencial en el modelo de Fermi. Figure by \href{https://flic.kr/p/6KjVBz}{MIT OpenCourseWare from Marmier and Sheldon}, con licencia \href{https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/}{CC-BY-NC-SA}}
|
||||
\label{fig:binding}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{figure}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Profundidad de pozo}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
E_F = \frac{p_F^2}{2m}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
V_{p_F} = \frac{4\pi}{3} p_F^3
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
V_{TOT} =& V\times V_{p_F} = \frac{4\pi}{3}r_0^3A \times \frac{4\pi}{3}p_F^3 \\
|
||||
=& \left( \frac{4\pi}{3} \right)^2 A (r_0 p_F)^3
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Espacio fase}
|
||||
\begin{figure}[ht!]
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{fase.jpg}
|
||||
\caption{El espacio fase, imagen de \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/User:Brews_ohare}{Brews ohare} con licencia \href{https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.en}{CC-BY-SA}}
|
||||
\label{fig:fase}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{figure}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Energía de Fermi y profundidad}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
V_{estado} = (2\pi \hbar)^3 = h^3
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
n_F = 2\frac{V_{TOT}}{(2\pi\hbar)^3} = \frac{2}{(2\pi\hbar)^3} \left( \frac{4\pi}{3} \right)^2 A (r_0 p_F)^3 = \frac{4}{9\pi}A \left( \frac{r_0 p_F}{\hbar} \right)^3,
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
N=Z=\frac{A}{2} =& \frac{4}{9\pi}A \left( \frac{r_0 p_F}{\hbar} \right)^3 \\
|
||||
\text{despejando } p_F =& \frac{\hbar}{r_0} \left( \frac{9\pi}{8} \right)^{\frac{1}{3}}.
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Profundidad del pozo}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
E_F = \frac{p_F^2}{2m} = \frac{1}{2m} \left( \frac{\hbar}{r_0} \right)^2 \left( \frac{9\pi}{8} \right)^{\frac{2}{3}}\approx 33\ MeV
|
||||
\end{align*}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
V_0 = E_F + \frac{B}{A} \approx 40\ MeV
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Modelo de capas atómico}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Modelo de partícula independiente
|
||||
\item Estados de energía etiquetados por $n$
|
||||
\item Degeneraciones con el número cuántico $\ell = 0,1,2,...,n-1$
|
||||
\item $2\ell +1$ subestados
|
||||
\item Espín $s$ con $2s+1$ proyecciones
|
||||
\item ($n$, $\ell$, $m_{\ell}$, $m_s$)
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Estados degenerados}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
n_d &= 2\sum_{\ell=0}^{n-1} (2\ell + 1) \\
|
||||
&= 2 \left( 2\sum_{\ell=0}^{n-1} \ell + \sum_{\ell=0}^{n-1} 1 \right) \\
|
||||
&= 2 \left( 2 \times \frac{1}{2} n(n-1) + n \right) \\
|
||||
&= 2(n^2-n+n) = 2n^2
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Rompimiento de la degeneración}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Dirección preferencial del espacio
|
||||
\item Campo magnético en la dirección $z$
|
||||
\item La energía depende de $m_{\ell}$ y $m_s$
|
||||
\item Al potencial se agrega $-\overrightarrow{\mu}\cdot \overrightarrow{B}$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Acoplamiento espín-órbita}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item El campo magnético se debe al momento angular del núcleo
|
||||
\item Rompe otras degeneraciones
|
||||
\item Estructura fina
|
||||
\item Tengase en cuenta para física nuclear
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Esquema de rompimientos}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $n$ niveles de energía con subcapas $\ell$
|
||||
\item $\ell$ muy grande provoca átomos menos esféricos y menos estables
|
||||
\item Todas las capas y subcapas llenas
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Suma $m_{\ell}$ es cero
|
||||
\item Suma $m_s$ es cero
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item $\overrightarrow{J} = \overrightarrow{L} + \overrightarrow{S}=0$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Números mágicos}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Atómicos: $Z=2,10, 18,36,54,$
|
||||
\item Nucleares:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
N =& 2,8,20,28,50,82,126 \\
|
||||
Z =& 2,8,20,28,50,82.
|
||||
\end{align*}
|
||||
\item $Zn^{50}$ dies isótopos e isótonos estables, $In^{49}$ t $Sb^{51}$ tienen dos isótopos estables.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
${}^4He^2$, ${}^{16}O^8$, ${}^{208}Pb^{82}$
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Ecuación de Schrödinger nuclear}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item En el núcleo a diferencia del átomo no tenemos un núcleo central que provee la energía de enlace
|
||||
\item Debemos considerar entonces un potencial central efectivo
|
||||
\item La fuerza nuclear no es tan bien entendida como la fuerza coulombiana del átomo.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Ecuación de Schrödinger nuclear}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\left( -\frac{\hbar^2}{2m}\overrightarrow{\nabla}^2 + V(\overrightarrow{r}) \right) \psi(\overrightarrow{r}) =& E \psi(\overrightarrow{r}) \\
|
||||
\text{ó } \left( \overrightarrow{\nabla}^2 + \frac{2m}{\hbar^2}(E-V(\overrightarrow{r})) \right) \psi(\overrightarrow{r}) =& 0,
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\overrightarrow{\nabla}^2 = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}r^2\frac{\partial}{\partial r} - \frac{1}{\hbar^2 r^2} \overrightarrow{L}^2,
|
||||
\end{equation*}
|
||||
$\hbar^2 \ell (\ell + 1)$
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Pozo de potencial infinito}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
V(\overrightarrow{r})=\begin{cases}
|
||||
\infty \quad &\text{si } r\geq R \\
|
||||
0 \quad &\text{de otra forma,} \\
|
||||
\end{cases}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\left( \frac{d^2}{dr^2} + \frac{2m}{\hbar^2} \left( E_{n\ell} - \frac{\hbar \ell(\ell + 1)}{2mr^2} \right) \right) u_{n\ell}(r) = 0
|
||||
\end{equation*}
|
||||
$u_{n\ell}(r) = j_{\ell}(k_{n\ell}r)$
|
||||
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
k_{n\ell} = \sqrt{\frac{2mE_{n\ell}}{\hbar^2}}.
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Ecuación radial}
|
||||
Se hace cero en las orillas
|
||||
\begin{align*}
|
||||
u_{n\ell}(R) =& j_{\ell}(k_{n\ell}R) = 0,\\
|
||||
&\ell= 0,1,2,3,...\ y\ n=1,2,3,...\text{ para cualquier } \ell
|
||||
\end{align*}
|
||||
La degeneración está sobre $m_{\ell}$, por lo que cada nivel se puede llena con $2(2\ell + 1)$ nucleones
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\mathbf{2}, 2+6=\mathbf{8}, 8+10=\mathbf{18}, 18+14=\mathbf{32}, 32+18=\mathbf{50},...
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Oscilador armónico}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
V(r) = \frac{1}{2} m\omega^2 r^2,
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\left( \frac{d^2}{dr^2} + \frac{2m}{\hbar^2} \left( E_{n\ell} -\frac{1}{2} m\omega^2 r^2 - \frac{\hbar^2 \ell (\ell + 1)}{2mr^2} \right) \right) u_{n\ell} = 0.
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
Solución: polinomios de Laguerre
|
||||
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
E_{n\ell} = \hbar \omega \left( 2n + \ell -\frac{1}{2} \right),\ n=1,2,3,..\ y\ \ell=0,1,2,...\text{ para }n.
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Oscilador armónico}
|
||||
$\Lambda=2n+\ell-2$
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
E_{n\ell} = \hbar \omega \left( \Lambda + \frac{3}{2} \right),\ con\ \Lambda = 0,1,2,...,
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
n= 2, 8, 20, 40, 70
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Potencial espín-órbita}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Propuesta 1949 de Maria Goeppert Mayer y Hans Jensen
|
||||
\item Un fuerte acoplamiento espín-órbita
|
||||
\item Siguiendo el ejemplo atómico
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Acoplamiento espín-órbita}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
V_{TOT} = V(r)-f(r)\overrightarrow{L}\cdot \overrightarrow{S},
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
Rompe la degeneración en $j=\ell \pm \frac{1}{2}$
|
||||
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\overrightarrow{J} =& \overrightarrow{L} + \overrightarrow{S} \\
|
||||
\overrightarrow{J}^2 =& \overrightarrow{L}^2 + \overrightarrow{S}^2 + 2\overrightarrow{L} \cdot \overrightarrow{S} \\
|
||||
\text{o despejando } \overrightarrow{L}\cdot \overrightarrow{S} =& \frac{1}{2}(\overrightarrow{J}^2 - \overrightarrow{L}^2 - \overrightarrow{S}^2),
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Estados esperados}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\langle \overrightarrow{L} \cdot \overrightarrow{S} \rangle &= \langle \frac{1}{2} (\overrightarrow{J}^2 - \overrightarrow{L}^2 - \overrightarrow{S}^2) \rangle \\
|
||||
&= \frac{\hbar^2}{2} [j(j+1) - \ell(\ell + 1) - s(s+1)] \\
|
||||
&= \frac{\hbar^2}{2} [j(j+1) - \ell(\ell + 1) - \frac{3}{4}] \\
|
||||
&= \begin{cases}
|
||||
\frac{\hbar^2}{2} \ell \quad &\text{para } j=\ell + \frac{1}{2} \\
|
||||
-\frac{\hbar^2}{2}(\ell +1) \quad &\text{para } j=\ell - \frac{1}{2} \\
|
||||
\end{cases}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Corrimientos de energía}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\Delta E_{n\ell}\left( j=\ell + \frac{1}{2} \right) =& -\frac{\hbar^2 \ell}{2} \int d^3r |\psi_{n\ell}(\overrightarrow{r})|^2 f(r) \\
|
||||
\Delta E_{n\ell}\left( j=\ell - \frac{1}{2} \right) =& \frac{\hbar^2 (\ell+1)}{2} \int d^3r |\psi_{n\ell}(\overrightarrow{r})|^2 f(r)
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\Delta =& \Delta E_{n\ell}\left( j=\ell - \frac{1}{2} \right) - \Delta E_{n\ell}\left( j=\ell + \frac{1}{2} \right) \\
|
||||
=& \hbar^2 \left( \ell + \frac{1}{2} \right) \int d^3r |\psi_{n\ell}(\overrightarrow{r})|^2 f(r)
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Niveles de energía}
|
||||
\begin{figure}[ht!]
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[width=0.3\linewidth]{shells.png}
|
||||
\caption{Diagrama de niveles para el modelo de capas, imagen de \href{https://en.wikipedia.org/wiki/User:Bakken}{Bakken} con licencia \href{https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0}{CC-BY-SA-3.0}}
|
||||
\label{fig:shell}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{figure}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Predicciones}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Espín nuclear $j$
|
||||
\item Paridad $\pi=(-1)^{\ell}$
|
||||
\item Momento dipolar
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Un ejemplo}
|
||||
Los núcleos espejo ${}^{13}C^6$ y ${}^{13}Ni^7$
|
||||
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
(1S_{\frac{1}{2}})^2 (1P_{\frac{3}{2}})^4 (1P_{\frac{1}{2}})^1
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Niveles de energía}
|
||||
\begin{figure}[ht!]
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{shells.png}
|
||||
\caption{Diagrama de niveles para el modelo de capas, imagen de \href{https://en.wikipedia.org/wiki/User:Bakken}{Bakken} con licencia \href{https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0}{CC-BY-SA-3.0}}
|
||||
\label{fig:shell}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{figure}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}{Modelo colectivo}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
ax^2 + by^2 +\frac{z^2}{ab} = R^2
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
V(x,y,z)=\begin{cases}
|
||||
0 \quad &\text{para } ax^2 + by^2 +\frac{z^2}{ab} \leq R^2 \\
|
||||
\infty \quad &\text{de otra forma,} \\
|
||||
\end{cases}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
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