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author:
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- Física Nuclear y Subnuclear
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title: Física Nuclear I
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Introducción {#introducción .unnumbered}
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Hasta este punto hemos hablado de la dispersión de Rutherford, de las
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partículas y de los experimnentos para detectarlas, como les mencioné
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ese no es exactamente el órden histórico.
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Los experimentos de Rutherford, Geiger y Marsden mostraron que los
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átomos tienen un núcleo positivo, pero estudios posteriores para obtener
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más detalles al respecto mostraron que no sólo hay interacción
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coulombiana, hay otras fuerzas dentro, y que además de protones en el
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núcleo hay neutrones.
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En 1932 Chadwick, seguramente acompañado de un equipo más amplio de
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investigadores, descubrió el neutrón. A nivel de partículas ya
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estudiamos los dos constituyentes nucleares, ahora veamos como se
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comporta este objeto compuesto llamado núcleo.
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Propiedades del núcleo {#propiedades-del-núcleo .unnumbered}
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Etiquetado {#etiquetado .unnumbered}
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Un núcleo lo nombramos igual que al elemento que pertenece, puede se H,
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He, C, Fe, U, etc., con ligeras diferencias. Tenemos un núcleo $X$,
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además de ser identificado por el nombre, como redundancia es
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identificado por su $Z$. Lo que define a un núcleo justo es eso, su
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número atómico. Además agregamos la cantidad de nucleones que posee,
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nótese que $A$ no define que núcleo es, veamos porque.
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Tenemos nuestro núcleo ${}^AX^Z$, con $Z$ protones y $N-Z$ neutrones, de
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aquí podemos identificarlo como respecto a otro núecleo
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${}^{A'}{X'}^{Z'}$
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- *Isótopo*: núcleos con el mismo número de protones pero distinto
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número de nucleones, ${}^AX^Z$ y ${}^{A'}{X}^{Z}$ son isótopos del
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núcleo $X$.
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- *Isóbaros*: núcleos con el mismo número de nucleones pero distinto
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número de protones, ${}^AX^Z$ y ${}^{A}{X'}^{Z'}$ son isóbaros.
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- *Isómeros o resonancias*: núcleos exitados a niveles más altos de
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energía.
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Masa del núcleo {#masa-del-núcleo .unnumbered}
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Ya vimos un poco de la convención sobre como se etiqueta un núcleo y
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algunos de los términos a usar, ahora vemos las características del
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mismo.
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Si tenemos un núcleo ${}^AX^Z$ y queremos obtener su masa uno pensaría
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que es tan fácil como sumar la masa de los protones y neutrones que
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contiene:
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$$M({}^AX^Z) = M(A,Z) = Zm_p + (A-Z)m_n$$
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Pero experimentalemente se encuentra que la masa del núcleo es menor a
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la suma de las masas de sus constituyentes, es decir
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$$M(A,Z)< Zm_p + (A-Z)m_n$$
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Por ello es que los núcleones están confinados en el núcleo, es un
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estado energéticamente más favorable. Definimos el *defecto de masa*
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como
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$$\Delta M(A,Z) = M(A,Z) - Zm_p - (A-Z)m_n,$$
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que es un valor negativo, y es proporcional a la energía de enlace
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nuclear, de la forma
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$$B.E. = \Delta M(A,Z)c^2$$
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De esta forma $-B.E.$ es la cantidad de energía necesaria para liberar a
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todos los nucleones de su estado ligado como núcleo, Si $\Delta M(A,Z)$
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es negativa, y por ende $B.E.$, el núcleo es ligado, mientras más
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negativo sea el valor más ligado es.
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La energía promedio para liberar un nucleón se da por la razón
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$$\frac{B}{A} = \frac{-B.E.}{A} = \frac{-\Delta M(A,Z)c^2}{A}$$
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Este valor es útil pues pensaríamos que la energía de enlace por nucleón
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$B/A$, si todo se comportara bien, sería una constante, mas su
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comportamiento nos da más características de esta energía, como se puede
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ver en la figura [1](#fig:binding){reference-type="ref"
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reference="fig:binding"}. Para núcleos ligeros $B/A$ oscila un poco,
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aumenta rápidamente y se satura, alcanzando un pico alrededor de los
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$9\ MeV$ por nucleón, que en el eje de las $X$ corresponde a un
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$A = 60$. Para $A$ mayor $B/A$ decae lentamente. $8\ MeV$ es un valor
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promedio para estos núcleos restantes, nos sirve para ver que esperamos
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obtener.
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![Gráfica de energía de enlace por nucleón contra número de nucleones
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$A$ en el núcleo. Imagen de dominio público](binding.png){#fig:binding
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width="0.7\\linewidth"}
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¿Cómo se calcula la masa de un núcleo a partir de datos que conocemos?
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Para obtener la masa la primera opción es buscar la tabla de todos los
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isótopos, eso es complicado y muy extenso, que puede cambiar dependiendo
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del experimento. Lo siguiente sería tener el defecto de masa o la
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energía de enlace. Usaremos esta opción pero con unos valores reducidos
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llamados *excesos de masa*
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$$\delta (A,Z) = [M(Z,A)[uma] - A]keV/c^2\ c^2$$
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$M(Z,A)$ es el valor experimental, pero lo empaquetamos en un nuevo
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valor llamado exceso de masa, si queremos obtener la masa experimental
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de un núcleo basta con tener su exceso de masa y el número de nucleones.
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Para obtener la energía de enlace a partir de los exceso de masa
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$$\begin{aligned}
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B.E. =& M(A,Z) - Zm_p - (A-Z)m_n \\
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=& (\delta(A,Z) + A) - Z(\delta(1,1) + 1) - (A-Z)(\delta(1,0)+1) \\
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=& \delta(A,Z) + A -Z\delta(1,1) - Z - A\delta(1,0) - A + Z\delta(1,0) +Z \\
|
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=& \delta(A,Z) -Z\delta(1,1) - (A-Z)\delta(1,0)\end{aligned}$$
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Veamos un ejemplo. Tenemos el oxígeno estable ${}^{18}O^8$, el exceso de
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masa del núcleo es (revisando
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<https://www-nds.iaea.org/amdc/ame2016/mass16.txt>)
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$\delta(16,8) = -4737.00135\ keV$, siempre usaremos la del protón
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$\delta(1,1) = 7288.97061 keV$ y la del neutrón
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$\delta(1,0) = 8071.31713\ keV$, ahora calculemos la energía de enlace
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del núcleo:
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$$\begin{aligned}
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B.E. =& \delta(16,8) -8\delta(1,1) - 8\delta(1,0) \\
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=& -4737.0013keV - 8(7288.9706keV) - 8(8071.3171keV) \\
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=& -91619.3032 keV\end{aligned}$$
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Tamaños del núcleo {#tamaños-del-núcleo .unnumbered}
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El tamaño en un sistema cuántico se define como el valor promedio del
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operador de coordenada en un estado propio, en un átomo este valor
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promedio de coordenada se toma en el electrón más externo, pero como en
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el núcleo es difícil tener una expresión exacta de las fuerzas que
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actúan se harán otras aproximaciones.
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Pensemos en la dispersión de Rutherford, si el impacto de la partícula
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con el núcleo es frontal, la partícula será retro dispersada, la
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distancia de máxima aproximación se da como:
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$$r_0^{min} = \frac{ZZ'e^2}{E}$$
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que se obtiene sacando el mínimo en la ecuación del campo eléctrico.
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Esta distancia de mínima aproximación es frontal, la partícula (sea una
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$\alpha$) rebota y lo más cerca que está del núcleo es la primera
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aproximación al tamaños del núcleo. Es una mala aproximación pues está
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una barrera coulombiana antes de que el $\alpha$ pueda acercarse más al
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núcleo. Por ejemplo, para el oro y la plata esta aproximación da
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$R_{Au} \lesssim 3.2\times 10^{-12}cm.$ y
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$R_{Ag} \lesssim 2\times 10^{-12} cm$, que no son muy buenas
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aproximaciones (más adelante probaremos mejores).
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Si aumentamos la energía de la $\alpha$ para pasar la barrera
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coulombiana llegamos al extremo de que $r_0^{min} \rightarrow 0$. Una
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mejor manera de investigar el núcleo a altas energía es usar un
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electrón, así evitamos la acción de la interacción nuclear fuerte, con
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energía suficiente puede deducir la distribución de cargas dentro del
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núcleo, el radio de esta distribución es una mejor aproximación al radio
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nuclear. A altas energía el momento magnético del electrón también
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interfiere en la interacción. Motts amplió la teoría de Rutherford para
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incluir la cuántica y estudios sistemáticos de electrones relativistas
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chocando con el núcleo se deben a Robert Hofstadter.
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Para una distribución de cargas $\rho(\overrightarrow{r})$ podemos
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definir el factor de forma de la distribución a partir de la
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transformada de Fourier:
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$$F(\overrightarrow{q}) = \int_\text{todo el espacio} d^3 r \rho (\overrightarrow{r}) e^{\frac{i}{\hbar}\overrightarrow{q}\cdot \overrightarrow{r}}$$
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Este factor de foma altera la sección eficaz diferencial de las
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colisiones elásticas de electrones desde centros puntuales:
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$$\frac{d\sigma}{dq^2} = |F(\overrightarrow{q})|^2 \left( \frac{d\sigma}{dq^2} \right)_{Mott}$$
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que a su vez
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$$\left( \frac{d\sigma}{d\Omega} \right)_{Mott} = 4cos^2\frac{\theta}{2} \left( \frac{d\sigma}{d\Omega} \right)_{Rutherford}$$
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Que le agrega la parte cuántica a la sección eficaz de Rutherford.
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La siguiente aproximación se puede hacer con hadrones de altas energías,
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como piones y protones, rompen la barrera coulombiana pero de manera
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análoga a los electrones ahora pueden deducir la forma del núcleo pero
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sólo tomando en cuenta la fuerza nuclear fuerte.
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Todas estas aproximaciones nos dan un valor para el radio del núcleo:
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$$\begin{aligned}
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R &= r_0 A^{\frac{1}{3}} \\
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&\approx 1.2\times 10^{-13} A^{\frac{1}{3}}cm.= 1.2A^{\frac{1}{3}}fm. \end{aligned}$$
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Por ejemplo, para el ${}^{197}Au^{79}$, su radio sería
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$R\approx 1.2 (197)^{\frac{1}{3}}fm = 6.9824 fm$, un órden de magnitud
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menor que la aproximación anterior.
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Espines nucleares y momentos dipolares {#espines-nucleares-y-momentos-dipolares .unnumbered}
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Rememorando la parte de espín en partículas elementales, sabemos que los
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protones y neutrones tienen espín $\hbar/2$ y un momento angular
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(entero) asociado. La suma que ya conocemos de momento angular define el
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momento angular del núcleo, pero hay detalles. Por el momento la parte
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fenomenológica nos dice que:
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- Núcleos con número atómico par tienen espín nuclear entero
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- Núcleos con número atómico impar tienen espín nuclear semi-entero
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- Núcleos con número par de protones y número par de protones
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(par-par) tienen espín nuclear cero
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- Núcleos muy grandes tienen espín nuclear muy pequeño en su estado
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base
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- Hace pensar qu los nucleones dentro del núcleo están fuertemente
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apareados
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Por otro lado, el momento dipolar magnético para una partícula cargada
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está dado por
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$$\overrightarrow{\mu} = g\frac{e}{2mc}\overrightarrow{S},$$
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con $e$ la carga, $m$ la masa y $\overrightarrow{S}$ el espín de la
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partícula cargada; $g$ es el factor de Landé y es diferente para
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distintas partículas. Para los nucleones definimos el magnetón nuclear
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(similar al magnetón de Bohr para electrones):
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$$\mu_N = \frac{e\hbar}{2m_pc},$$
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y a partir de él se define el momento magnético del protón y en neutrón
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$$\mu_p \approx 2.79\mu_N, \ \mu_n \approx -1.91\mu_N.$$
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Son momentos magnéticos bastante grandes y anómalos, sobre todo para el
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neutrón (¡que es neutro!), lo que hizo sospechar que eran partículas
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compuestas.
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Estabilidad de los núcleos {#estabilidad-de-los-núcleos .unnumbered}
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Ya les he contado, ya saben un poco de su experiencia, que hay núcleos
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estables y otros que decaen fácilmente en otros núcleos. Si observamos
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lo que los experimentos y observaciones nos dicen, para $A\lesssim 40$
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el número de protones y neutrones se mantiene igual (para los núcleos
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estables, recuerden), es decir $N=Z=A/2$, pero para núcleos más pesados
|
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$N\approx 1.7Z$, en promedio hay $1.7$ veces más neutrones que protones,
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casi el doble pero no llega a tanto. El exceso e neutrones evita que la
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inestabilidad por carga aumente. Una ionterpretación como islas puede
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verse en al figura [2](#fig:islas){reference-type="ref"
|
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reference="fig:islas"}.
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Las observaciones además nos dicen que los núcleos más estables más
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abundantes suelen ser par-par.
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N Z Número de núcleos estables
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Par Par $156$
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Par Impar $48$
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Impar Par $50$
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Impar Impar $5$
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------- ------- ----------------------------
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|
![Islas de estabilidad nuclear. Créditos de la imagen: [\"File:Island of
|
|
Stability.svg\"](https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=20003611)
|
|
by [InvaderXan](https://commons.wikimedia.org/wiki/User:InvaderXan) is
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3.0.](https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/?ref=openverse)
|
|
](islase.jpg){#fig:islas width="0.7\\linewidth"}
|
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|
Inestabilidad del núcleo {#inestabilidad-del-núcleo .unnumbered}
|
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------------------------
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La radiactividad fue descubierta por accidente en 1896 en el trabajo de
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Henry Becquerel, observando un efecto de radiactividad naturar en las
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sales de uranio, un núcleo bastante pesado.
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Ya hablamos de los tres tipos de radiación
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- $\alpha$, núcelos de ${}^4He^2$
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- $\beta$, electrones
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- $\gamma$, fotones de muy alta energía
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En esos primeros estudios (un poco después de Becquerel) se descubrió
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|
que para detener la radiación $\beta$ se requiere una pared de plomo,
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$3mm.$ para las energías de esta radiación de forma natural, una hoja de
|
|
papel para partículas $\alpha$, y para los $\gamma$ se requieren varios
|
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centímetros de plomo para poder detenerlos (absorberlos).
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Fuerza nuclear {#fuerza-nuclear .unnumbered}
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--------------
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Otro tópico que ya hemos tratado, sabemos que es de corto alcance, actúa
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sobre los hadrones y por ello podemos tener un núcleo formado por protón
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y neutrón (el deuterio, que a pesar de no ser estable sí existe por un
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momento).
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|
El hecho de que la energía de enlace por núcleon tienda a una constante
|
|
es muestra del corto alcance de esta fuerza, se satura. Esta fuerza a su
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vez de ser atractiva tiene un núcleo repulsivo (lo que evita que colapse
|
|
el núcleo), por ello podemos pensar esta fuerza como un pozo de
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|
potencial (como el de la figura [3](#fig:pozo){reference-type="ref"
|
|
reference="fig:pozo"}). Por ser un pozo de potencial de inmediato
|
|
sabemos que hay estados ligados cuantizados y que de ahí deriva un
|
|
modelo que se parcerá mucho al modelo de nivles atómicos, pero de eso ya
|
|
hablaremos en la próxima sección.
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|
![Esquema del potencial nuclear. Tomado del libro de Das y
|
|
Ferbel](potencial_nuclear.jpg){#fig:pozo width="0.6\\linewidth"}
|
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|
Modelos nucleares {#modelos-nucleares .unnumbered}
|
|
=================
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|
Los modelos que trataremos son fenomenológicos, por las complicadas
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|
características de la fuerza nuclear fue necesario tomar ese camino. Ya
|
|
en la sección anterior hablamos de algunas de las características que
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|
definen a estos modelos.
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|
Modelo de la gota {#modelo-de-la-gota .unnumbered}
|
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-----------------
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|
Los experimentos muestran que el núcleo parece tener una estructura
|
|
esférica, con un radio, eso es lo primero que nos hace pensar en una
|
|
gota, además de la incompresibilidad del fluido y su estructura hay
|
|
algunas características extras que asemejan a un fluido. Pero en este
|
|
modelo las características particulares de los nucleones son desechadas.
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|
|
La gota está formada por nucleones como si fueran moléculas, los del
|
|
interior están saturados, es dificil desprenderlos, y los de la orilla
|
|
no están saturados, se separan más fácil, lo que asemeja a la tension
|
|
superficial.
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|
A partir de estas consideraciones podemos ir aproximando la energía de
|
|
ligadura
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$$B.E. = -a_1 A + a_2 A^{\frac{2}{3}}$$
|
|
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|
El primer término se refiere a la energía en el volumen, saturada, el
|
|
segundo a la tensión superficial. Núcleos más ligeros tienen más
|
|
nucelones en la superficie que en el volumen. Explica un poco el rápido
|
|
crecimiento al inicio de la gráfica $B/A$.
|
|
|
|
Centrándonos de nuevo en esa gráfica $B/E$, vemos que a altas energías
|
|
el valor decrece, lentamente, pero decrece. Eso puede deberse a la
|
|
repulsión coulombiana entre protones
|
|
|
|
$$B.E. = -a_1 A + a_2 A^{\frac{2}{3}} + a_3 \frac{Z^2}{A^{\frac{1}{3}}}$$
|
|
|
|
Todas estas son consideraciones clásicas, pero hace falta agregar la
|
|
estabilidad del núcleo. Recordemos que lo más estable para núcleos
|
|
ligeros es $N=Z$, los núcleos par-par son más estables sin importar si
|
|
son ligeros o pesados, los núcleos par-impar ya no son tan estables, y
|
|
los impar-impar son los menos estables. Requerimos un término que
|
|
responda a ello (efectos muy probablemente cuánticos)
|
|
|
|
$$B.E. = -a_1 A + a_2 A^{\frac{2}{3}} + a_3 \frac{Z^2}{A^{\frac{1}{3}}} + a_4\frac{(N-Z)^2}{A} \pm a_5A^{-\frac{3}{4}},$$
|
|
|
|
se asume que los coeficientes $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$ y $a_5$ son
|
|
positivos, de esta forma los signos también nos dan información de la
|
|
fenomenología (cómo aportan a la energía de ligadura y por lo tanto a la
|
|
estabilidad del núcleo). El cuarto término nos asegura que si $N\neq Z$
|
|
la energía de enlace es mayor, por ende el núcleo es más inestable. Para
|
|
núcleos ligeros el tercer término no afecta tanto, y el cuarto no aporta
|
|
nada a disminuir la energía de enlace con $N=Z$. En el quinto término el
|
|
signo positivo se elige para núcleos impar-impar, negativo para los
|
|
núclos par-par y $a_5=0$ para núclos impar-par.
|
|
|
|
Los valores de los coeficientes se obtinen de ajustar el modelo a los
|
|
datos empíricos
|
|
|
|
$$\begin{aligned}
|
|
a_1\approx 15.5\ MeV, \ \ a_2 &\approx 16.8\ MeV, \ \ a_3 \approx 0.72\ MeV, \\
|
|
a_4 &\approx 23.3\ MeV, \ \ a_5 \approx 34\ MeV.\end{aligned}$$
|
|
|
|
Se puede sustituir en la fórmula para masas respecto a la energía de
|
|
ligadura
|
|
|
|
$$M(A,Z) = Zm_p + (A-Z)m_n + \frac{B.E.}{c^2}$$
|
|
|
|
y obtener una relación de la fórmula semi empírica con la masa
|
|
|
|
$$\begin{aligned}
|
|
M(A,Z) =& Zm_p + (A-Z)m_n -\frac{a_1}{c^2}A \\
|
|
&+ \frac{a_2}{c^2} + \frac{a_3}{c^2} \frac{Z^2}{A^{\frac{1}{3}}} + \frac{a_4}{c^2}\frac{(N-Z)^2}{A} \pm \frac{a_5}{c^2}A^{-\frac{3}{4}}\end{aligned}$$
|
|
|
|
ES la fórmula semi-empírica de Bethe-Weizsäcker para masas nucleares,
|
|
puede dar información sobre estabilidad de núcleos aún no conocidos (de
|
|
cualquier $A$ y $Z$), y es de mucha ayuda para entender la fisión
|
|
nuclear.
|
|
|
|
Modelo de gas de Fermi {#modelo-de-gas-de-fermi .unnumbered}
|
|
----------------------
|
|
|
|
Si queremos agregar las cuestiones cuánticas que conocemos (sobre todo
|
|
las relacionadas con el espín) el siguiente modelo es el de gas de
|
|
Fermi, el primero en implementar la parte cuántica. Considera al núcleo
|
|
un gas de protones y neutrones confinado en una región pequeña el
|
|
espacio, el núcleo. De manera análoga a los electrones en el átomo, los
|
|
nucleones llenarán niveles de energía cuantizados. Esos niveles serán
|
|
distintos para protones y para neutrones, el primero debe incluir la
|
|
repulsión coulombiana, el ancho estará dado por el radio nuclear y la
|
|
profundidad puede ajustarse de acuerdo a la energía de enlace.
|
|
|
|
El pozo se va llenando (vamos acomodando protones o neutrones) de abajo
|
|
hacia arriba, los niveles más bajos son los más estables, el último
|
|
nivel completamente lleno se le llama nivel de Fermi y se denota por la
|
|
energía $E_F$. Si más allá de ese nivel ya no hay nucleones, la energía
|
|
de enlace es $E_F$, si hay uno fuera de capa cerrada, ese mismo definen
|
|
la energía de enlace del último nucleón.
|
|
|
|
La profundidad de los pozos para protones y neutrones son distintas, de
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|
no ser así los núcleos pesados tendrían niveles de energía por arriba
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para neutrones, haciendo sólo la parte neutra más inestable con una
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energía de enlace distinta, pero eso no se observa en el experimento. Un
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esquema de los pozos se puede ver en la figura
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[4](#fig:fermi){reference-type="ref" reference="fig:fermi"}.
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![Esquema de los pozos de potencial en el modelo de Fermi. Figure by
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[MIT OpenCourseWare from Marmier and Sheldon](https://flic.kr/p/6KjVBz),
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con licencia
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[CC-BY-NC-SA](https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/)](fermi.jpg){#fig:fermi
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width="0.7\\linewidth"}
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Hagamos un cálculo sencillo de la energía de Fermi. La relación del
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momento y la energía de Fermi
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$$E_F = \frac{p_F^2}{2m}$$
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Ignorando fermiones más allá de este nivel tenemos el volumen de estados
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en el espacio de momentos
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$$V_{p_F} = \frac{4\pi}{3} p_F^3$$
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Si $V$ es el volumen físico del núcleo entonces el volumen total de
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estados, o *espacio fase* está dado por
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$$\begin{aligned}
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V_{TOT} =& V\times V_{p_F} = \frac{4\pi}{3}r_0^3A \times \frac{4\pi}{3}p_F^3 \\
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=& \left( \frac{4\pi}{3} \right)^2 A (r_0 p_F)^3 \end{aligned}$$
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Que es proporcional a la cantidad total de estados cuánticos del sistema
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(están bien ordenados y cubren el volumen). Recordando la incertidumbre
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de Heisenberg
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$$\Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}$$
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![El espacio fase, imagen de [Brews
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ohare](https://commons.wikimedia.org/wiki/User:Brews_ohare) con licencia
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[CC-BY-SA](https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.en)](fase.jpg){#fig:fase
|
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width="0.5\\linewidth"}
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Que a su vez nos dice el mínimo volumen que se le puede asociar a un
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estado físico en el espacio fase
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$$V_{estado} = (2\pi \hbar)^3 = h^3$$
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Entonces el número de fermiones que pueden llenar los estados
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$$n_F = 2\frac{V_{TOT}}{(2\pi\hbar)^3} = \frac{2}{(2\pi\hbar)^3} \left( \frac{4\pi}{3} \right)^2 A (r_0 p_F)^3 = \frac{4}{9\pi}A \left( \frac{r_0 p_F}{\hbar} \right)^3,$$
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el 2 se debe al principio de exclusión de Pauli, cada estado puede estar
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ocupado por dos fermiones de espín contrario.
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Supongamos que $N=Z$ (para núcleos ligeros es completamente válido, para
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más pesados es una aproximación) y además suponemos que el estado de
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Fermi está lleno
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$$\begin{aligned}
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N=Z=\frac{A}{2} =& \frac{4}{9\pi}A \left( \frac{r_0 p_F}{\hbar} \right)^3 \\
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\text{despejando } p_F =& \frac{\hbar}{r_0} \left( \frac{9\pi}{8} \right)^{\frac{1}{3}}.\end{aligned}$$
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Ese momento de Fermi depende de puras constantes, es independiente del
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número de nucleones, ahora
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$$\begin{aligned}
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E_F = \frac{p_F^2}{2m} = \frac{1}{2m} \left( \frac{\hbar}{r_0} \right)^2 \left( \frac{9\pi}{8} \right)^{\frac{2}{3}}\approx 33\ MeV\end{aligned}$$
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Si tomamos $B/A\approx 8\ MeV$ será la profundidad a la que ajustaremos
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nuestro pozo para tomar en cuenta la energía de enlace, entonces
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$$V_0 = E_F + \frac{B}{A} \approx 40\ MeV$$
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Valor que se ajusta con lo obtenido por otros métodos. Este modelo es
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útil al hablar de estados excitados del núcleo y justifica el termino
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$a_4$ de la fórmula semi-empírica.
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Modelo de capas {#modelo-de-capas .unnumbered}
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El modelo de capas es un modelo de partícula independiente, a diferencia
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de gas de Fermi ahora tratamos de identificar el potencial. Para ello
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recordemos un poco el modelo de capas atómico.
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Las energías están cuantificadas, cada nivel energético es etiquetado
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por el número principal cuántico $n$ con valores enteros. Para cada
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valor de $n$ hay estados degenerados en energía con momento angular
|
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orbital $\ell$, también con valores enteros desde $0$ hasta $n-1$.
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Para cada número $\ell$ a su vez hay $2\ell + 1$ subestados que
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corresponden a las distintas proyecciones del momento angular orbital.
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Debido a la simetría rotacional todos los estados de proyección de
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momento angular están degenerados en energía. A su vez las partículas
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tienen un momento angular intrínseco $s$ entero o semi-entero que tiene
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$2s+1$ proyecciones.
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Así cada estado de un electrón en el átomo está dado por el conjunto de
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números cuánticos ($n$, $\ell$, $m_{\ell}$, $m_s$). En total de estados
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degenerados se tienen:
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$$\begin{aligned}
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n_d &= 2\sum_{\ell=0}^{n-1} (2\ell + 1) \\
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&= 2 \left( 2\sum_{\ell=0}^{n-1} \ell + \sum_{\ell=0}^{n-1} 1 \right) \\
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&= 2 \left( 2 \times \frac{1}{2} n(n-1) + n \right) \\
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&= 2(n^2-n+n) = 2n^2\end{aligned}$$
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Si hay una dirección preferida del espacio, por ejemplo cuando se pone
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un campo magnético a lo largo del eje $z$, se rompe la degeneración, y
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entonces para cada combinación de números cuánticos tenemos estados
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distintos de energía, es decir, la energía depende también de $m_{\ell}$
|
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y $m_s$.
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A nivel de potencial este rompimiento de la degeneración sucede al
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agregar al término del potencial coulombiano el producto vectorial
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$-\overrightarrow{\mu}\cdot \overrightarrow{B}$.
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Interacciones debidas al acoplamiento espín-orbita (en este caso el
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campo magnético que afecta al espín del electrón es el derivado del
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momento angular órbital del núcleo) puede romper otras degeneraciones,
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derivando en la estructura fina que es estudiada como tema muy
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particular de la física atómica, rara vez vista en un curso básico. Pero
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estos acoplamientos también son útiles para describir características
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del núcleo.
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Podemos ir viendo el sistema cuántico por niveles de degeneración, sin
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tomar en cuenta estructura fina el átomo tiene $n$ niveles de energía
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donde acomodar electrones, cada uno de estos niveles de energía tienen
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|
subcapas etiquetadas por el valor de $\ell$. Al introducir la
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|
interacción coulombiana electrón-electrón cada nivel $n$ se divide en
|
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varios niveles, de acuerdo al valor de $\ell$. Si $\ell$ es muy grande
|
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el átomo se vuelve menos esférico y hace al átomo menos estable. Si
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todas las capas y subcapas están llenas sabemos que la suma de los
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números cuánticos $m_{\ell}$ y $m_s$ son cero, es decir que hay un
|
|
apareamiento muy fuerte para capas cerradas, en esos casos
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$\overrightarrow{L}=0=\overrightarrow{S}$ y por tanto
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$\overrightarrow{J} = \overrightarrow{L} + \overrightarrow{S}=0$.
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¿Qué átomos terminan en capa cerrada? Los gases nobles, que son inertes.
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Tienen números atómicos: $Z=2,10, 18,36,54,$ que son los números mágicos
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de física atómica.
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En física nuclear también existe evidencia de números mágicos nucleares,
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para este número de protones o neutrones el núcleo es más estable, estos
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valores son
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$$\begin{aligned}
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N =& 2,8,20,28,50,82,126 \\
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Z =& 2,8,20,28,50,82.\end{aligned}$$
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|
Los núcleos con alguno de esos valores en $Z$ o $N$ son muy estables y
|
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se llaman núclos mágicos, los que tienen $N$ y $Z$ con valores mágicos,
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|
ambos, son núcleos doblemente mágicos, aún más estables (${}^4He^2$,
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${}^{16}O^8$, ${}^{208}Pb^{82}$).
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Además los núcleos mágicos tienen más isótopos e isótonos (mismo número
|
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de neutrones, distinto de protones) estables que sus vecinos no mágicos
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($Sn$, con $Z=50$, tiene diez isótopos estables, mientras que $In$ con
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$Z=49$ y $Sb$ con $Z=51$ sólo tienen dos isótopos estables), esto, los
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números mágicos, el hecho de que para núcleos mágicos el momento
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cuadrupolar se haga cero, nos hace pensar de una estructura de capas en
|
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el núcleo.
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Listo, hagamos un modelo de capas como en el átomo. Pero no, tenemos
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problemas
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- En el núcleo a diferencia del átomo no tenemos un núcleo central que
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provee la energía de enlace
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- Debemos considerar entonces un potencial central efectivo
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- La fuerza nuclear no es tan bien entendida como la fuerza
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coulombiana del átomo.
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A pesar de estos problemas consideremos que hay un potencial central, la
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ecuación de Schrödinger para eso:
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$$\begin{aligned}
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\left( -\frac{\hbar^2}{2m}\overrightarrow{\nabla}^2 + V(\overrightarrow{r}) \right) \psi(\overrightarrow{r}) =& E \psi(\overrightarrow{r}) \\
|
|
\text{ó } \left( \overrightarrow{\nabla}^2 + \frac{2m}{\hbar^2}(E-V(\overrightarrow{r})) \right) \psi(\overrightarrow{r}) =& 0, \end{aligned}$$
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|
$E$ es el valor propio de energía, y dado que el potencial se considera
|
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con simetría esférica, los estados propios de energía también son
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estados propios del operador de momento angular (el operador de momento
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angular conmuta con el Hamiltoniano, hay simetría esférica). Usemos
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coordenadas esféricas y etiquetemos los estados propios de energía por
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los números cuánticos de momento angular
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$$\overrightarrow{\nabla}^2 = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}r^2\frac{\partial}{\partial r} - \frac{1}{\hbar^2 r^2} \overrightarrow{L}^2,$$
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para $\overrightarrow{L}^2$ con estados propios los armónicos esféricos
|
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y sus valores propios $\hbar^2 \ell (\ell + 1)$. Podemos dividir la
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ecuación de Schrödinger en su parte radial y la parte esférica, ya saben
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como van las funciones para la parte radial y el número cuántico
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asociado.
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Pero para sacar más información debemos definir un potencial, dos casos
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populares es el pozo infinito y el oscilador armónico (es un potencial
|
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central). Ambos casos no son realistas pues no toman en cuenta la
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posibilidad del tunelaje cuántico (cómo si sucedería en un pozo finito,
|
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pero este sólo da soluciones numéricas que no nos dicen mucho de las
|
|
características del núcleo), pero para un estudio cualitativo sirven muy
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bien.
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### Pozo infinito de potencial {#pozo-infinito-de-potencial .unnumbered}
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Definimos el potencial como
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$$V(\overrightarrow{r})=\begin{cases}
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\infty \quad &\text{si } r\geq R \\
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0 \quad &\text{de otra forma,} \\
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\end{cases}$$
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con $R$ el radio nuclear. La ecuación radial para $0\leq r\leq R$ toma
|
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la forma
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$$\left( \frac{d^2}{dr^2} + \frac{2m}{\hbar^2} \left( E_{n\ell} - \frac{\hbar \ell(\ell + 1)}{2mr^2} \right) \right) u_{n\ell}(r) = 0$$
|
|
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con soluciones regulares en el origen dadas por las funciones
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oscilatorias Bessel esféricas $u_{n\ell}(r) = j_{\ell}(k_{n\ell}r)$, con
|
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$$k_{n\ell} = \sqrt{\frac{2mE_{n\ell}}{\hbar^2}}.$$
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Como el pozo es infinito los nucloenes no pueden escapar, la función
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radial debe hacerse cero en las fronteras
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$$u_{n\ell}(R) = j_{\ell}(k_{n\ell}R) = 0, \ \ \ell= 0,1,2,3,...\ y\ n=1,2,3,...\text{ para cualquier } \ell$$
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donde las funciones Bessel esféricas tienen varios ceros. La única
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degeneración aquí correspone a las proyecciones $m_{\ell}$, por ello
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cada nivel puede llenarse con $2(2\ell + 1)$ protones o neutrones (por
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el espín tenemos el doble de capacidad). De esta forma las capas
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cerradas suceden, para $n=1$,
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$$\mathbf{2}, 2+6=\mathbf{8}, 8+10=\mathbf{18}, 18+14=\mathbf{32}, 32+18=\mathbf{50},...$$
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Y casi lo logramos, pero fallamos en obtener el $20$ y el $28$, y les
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|
adelanto que ni el $82$ ni $126$. Aquí tomamos $n=1$, para otro valor de
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$n$ se obtineen otros valores, pero no mejor. No es que hayamos hecho
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todo esto en vano, sino que nos da una idea de como aproximarnos, pero
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en definitiva este potencial no reproduce los números.
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### Oscilador armónico {#oscilador-armónico .unnumbered}
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La ecuación radial de un oscilador armónico en tres dimensiones
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$$V(r) = \frac{1}{2} m\omega^2 r^2,$$
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la ecuación de Schrödinger toma la forma
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$$\left( \frac{d^2}{dr^2} + \frac{2m}{\hbar^2} \left( E_{n\ell} -\frac{1}{2} m\omega^2 r^2 - \frac{\hbar^2 \ell (\ell + 1)}{2mr^2} \right) \right) u_{n\ell} = 0.$$
|
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Las soluciones son polinomios de Laguerre con valores propios dados por
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$$E_{n\ell} = \hbar \omega \left( 2n + \ell -\frac{1}{2} \right),\ n=1,2,3,..\ y\ \ell=0,1,2,...\text{ para cualquier }n.$$
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Si definimos $\Lambda=2n+\ell-2$, entonces los valores propios de la
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energía
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$$E_{n\ell} = \hbar \omega \left( \Lambda + \frac{3}{2} \right),\ con\ \Lambda = 0,1,2,...,$$
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teniendo en cuenta que el estado base, para $\Lambda = 0$ no tienen
|
|
energía cero. Haciendo el mismo análisis del caso anterios, viendo las
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|
degeneraciones y la cantidad de neutrones o protones que llenan cada
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|
capa podemos saber como se cierra capa en este caso, pero cabe mencionar
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que además de la degeneración en $m_{\ell}$ hay una degeneración extra
|
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pues ciertas combinaciones de $n$ y $\ell$ dan el mismo valor de
|
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$\Lambda$.
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Las capas se cierran con
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$$n= 2, 8, 20, 40, 70$$
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De nueva cuenta tenemos unos pocos, pero no todos.
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### Potencial espín-órbita {#potencial-espín-órbita .unnumbered}
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En 1949 Maria Goeppert Mayer y Hans Jensen propusieron, para corregir
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estos problemas, siguiendo el ejemplo del modelo atómico, que había un
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fuerte acoplamiento espín-órbita responsable de esta diferencia
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$$V_{TOT} = V(r)-f(r)\overrightarrow{L}\cdot \overrightarrow{S},$$
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con los operadores de momento angular orbital y de espín, $f(r)$ es una
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función arbitraria de la coordenada radial. En física atómica esta
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|
interacción rompe la degenaración $j=\ell \pm \frac{1}{2}$ en dos
|
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niveles, lo mismo sucede en física nuclear, aunque ahora con una función
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de $r$.
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El operador de momento angular
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$$\begin{aligned}
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|
\overrightarrow{J} =& \overrightarrow{L} + \overrightarrow{S} \\
|
|
\overrightarrow{J}^2 =& \overrightarrow{L}^2 + \overrightarrow{S}^2 + 2\overrightarrow{L} \cdot \overrightarrow{S} \\
|
|
\text{o despejando } \overrightarrow{L}\cdot \overrightarrow{S} =& \frac{1}{2}(\overrightarrow{J}^2 - \overrightarrow{L}^2 - \overrightarrow{S}^2),\end{aligned}$$
|
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|
ambos operadores conmutan, por ello podemos definir así el cuadrado de
|
|
ambos operadores. Si definimos un estado por sus números cuánticos
|
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$\ell$, $s$, $j$, $m_j$, nos quedamos con los primeros tres y obtenemos
|
|
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$$\begin{aligned}
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|
\langle \overrightarrow{L} \cdot \overrightarrow{S} \rangle &= \langle \frac{1}{2} (\overrightarrow{J}^2 - \overrightarrow{L}^2 - \overrightarrow{S}^2) \rangle \\
|
|
&= \frac{\hbar^2}{2} [j(j+1) - \ell(\ell + 1) - s(s+1)] \\
|
|
&= \frac{\hbar^2}{2} [j(j+1) - \ell(\ell + 1) - \frac{3}{4}] \\
|
|
&= \begin{cases}
|
|
\frac{\hbar^2}{2} \ell \quad &\text{para } j=\ell + \frac{1}{2} \\
|
|
-\frac{\hbar^2}{2}(\ell +1) \quad &\text{para } j=\ell - \frac{1}{2} \\
|
|
\end{cases}\end{aligned}$$
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|
|
|
De aquí se obtienen los corrimientos en energía
|
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$$\begin{aligned}
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\Delta E_{n\ell}\left( j=\ell + \frac{1}{2} \right) =& -\frac{\hbar^2 \ell}{2} \int d^3r |\psi_{n\ell}(\overrightarrow{r})|^2 f(r) \\
|
|
\Delta E_{n\ell}\left( j=\ell - \frac{1}{2} \right) =& \frac{\hbar^2 (\ell+1)}{2} \int d^3r |\psi_{n\ell}(\overrightarrow{r})|^2 f(r)\end{aligned}$$
|
|
|
|
La diferencia entre estos dos corrimientos
|
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|
$$\begin{aligned}
|
|
\Delta =& \Delta E_{n\ell}\left( j=\ell - \frac{1}{2} \right) - \Delta E_{n\ell}\left( j=\ell + \frac{1}{2} \right) \\
|
|
=& \hbar^2 \left( \ell + \frac{1}{2} \right) \int d^3r |\psi_{n\ell}(\overrightarrow{r})|^2 f(r)\end{aligned}$$
|
|
|
|
Para mayores valores de $\ell$ esta diferencia aumenta, de tal forma que
|
|
el nivel desdoblado se cruce con uno de energía menor, pero además
|
|
notemos que para una $j$ mayor el nivel se desdobla hacia abajo, como se
|
|
puede ver en la figura [6](#fig:shell){reference-type="ref"
|
|
reference="fig:shell"}.
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|
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|
![Diagrama de niveles para el modelo de capas, imagen de
|
|
[Bakken](https://en.wikipedia.org/wiki/User:Bakken) con licencia
|
|
[CC-BY-SA-3.0](https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)](shells.png){#fig:shell
|
|
width="0.5\\linewidth"}
|
|
|
|
Como en el modelo de Fermi debemos considerar los efectos de la barrera
|
|
de potencial coulombiano para protones, esto hace un desplazamiento en
|
|
los nivleles de energía, pero las características cualitativas no se ven
|
|
afectadas.
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|
Ya vimos bastante del armado de este modelo, ahora ¿cuáles son su
|
|
logros? El más importante es que puede predecir de manera correcta el
|
|
espín y la paridad de un gran número de núcleos con $A$ impar. Como
|
|
hemos mencionado cada nivel se llena con un número par de protones o
|
|
neutrones, cada subcapa tienen dos protones o dos neutrones como máximo,
|
|
una con proyección del espín hacia arriba y otro con proyección hacia
|
|
abajo, hay un fuerte apareamiento y aportando cero al momento angular
|
|
total. Esto último está de acuerdo con los experimentos, los núcleos
|
|
par-par tienen momento angular total cero. Pero si hay un neutrón o
|
|
protón sin aparear, éste dará el valor de momento angular total del
|
|
núcleo, pero sólo uno, si hay un neutrón y un protón sin aparear el
|
|
modelo no puede decir nada de su espín.
|
|
|
|
Además nos puede dar la paridad de estos mismo núcleos, consideramos los
|
|
isóbaros ${}^{13}C^6$ y ${}^{13}Ni^7$ (núcleos espejo). Los $6$ protones
|
|
de ${}^13C^6$ y los 6 neutrones de ${}^13Ni^7$ están apareados, de esos
|
|
no nos ocupamos, lo que queremos ver es la configuración de los
|
|
neutrones en ${}^13C^6$ y la de los protones en ${}^13Ni^7$, de manera
|
|
análoga se acomodarán
|
|
|
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$$(1S_{\frac{1}{2}})^2 (1P_{\frac{3}{2}})^4 (1P_{\frac{1}{2}})^1$$
|
|
|
|
El último nucleón no apareado cae en la capa $1P_{\frac{1}{2}}$,
|
|
entonces ambos núcleos tienen un espín de $\frac{1}{2}$ y una paridad de
|
|
$(-1)^{\ell=P=1}=-1$, entonces para ambos núcleos damos su paridad y
|
|
espín como $\frac{1}{2}^-$, que es el valor experimental.
|
|
|
|
Este modelo también es útil para calcular momentos magnéticos de los
|
|
núcleos. Sólo en núcleos pesados las predicciones no son buenas.
|
|
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|
Modelo colectivo {#modelo-colectivo .unnumbered}
|
|
----------------
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Las predicciones del modelo de capas fallan en núcleos pesados, no sólo
|
|
en espín y paridad pero sobre todo en momentos dipolares magnéticos, aún
|
|
para núcleos pesados con doble capa cerrada en los que parece que todo
|
|
ajusta de maravilla se tienen discrepancias en el momento cuadrupolar.
|
|
El problema como apunta esta última y significativa diferencia parece
|
|
radicar en la suposición de que el núcleo es esférico, mientras más
|
|
pesado menos lo es.
|
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|
El modelo colectivo es de interacción fuerte, de manera análoga al
|
|
modelo de la gota. Propuesto por Aage Bohr, Ben Mottelson y James
|
|
Rainwater, las propiedades se asocian a un movimiento superficial de la
|
|
"gota" nuclear, las propiedades de núcleos pesados se podían obtener
|
|
suponiendo que la gota no tenía una forma esférica.
|
|
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|
El modelo de capas funciona bastante bien ¿debemos desecharlo? No,
|
|
debemos encontrar un punto de contacto entre los modelos. El modelo de
|
|
la gota da más peso al movimiento colectivo de los nucleones, el modelo
|
|
de gas de Fermi y de capas piensa en partículas independientes. El punto
|
|
de conexión entre estos modelos está en el modelo colectivo, se
|
|
considera un núcleo de nucleones fuertemente ligado, y una capa con los
|
|
nucleones de valencia que se comportan como las moleculas superficiales
|
|
de una gota de agua. Este movimiento rompe la esfericidad del núcleo, se
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puede ver como una perturbación que provoca que los nucleones de
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valencia pasen de un estado sin perturbar en el modelo de capas a un
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estado perturbado en el modelo colectivo.
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El modelo colectivo puede pensarse como un modelo de capas pero con
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potencial no esférico, esta no esfericidad rompe las simetrías
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rotacionales, dando distintas propiedades y estados ante rotaciones y
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vibraciones.
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Consideramos el núcleo como un elipsoide
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$$ax^2 + by^2 +\frac{z^2}{ab} = R^2$$
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El potencial medio del movimiento nuclear
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$$V(x,y,z)=\begin{cases}
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0 \quad &\text{para } ax^2 + by^2 +\frac{z^2}{ab} \leq R^2 \\
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\infty \quad &\text{de otra forma,} \\
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\end{cases}$$
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Como puede verse, los cálculos se volverán más complejos, no entraremos
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en los detalles sólo nos quedaremos con las predicciones. Ahora se
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agregan niveles de libertad rotacional y vibracional, tendremos un
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momento rotacional $I$ asociado
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10 Das, A., Ferbel, T. "Introduction to Nuclear and Particle Physics",
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Segunda edición, World Scientific Publishing Co., 2003.
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Henley, Ernest M., García, Alejandro "Subatomic Physics", Tercera
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edición, World Scientific Publishing Co., 2007.
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