semestre_2/Matrizes, Vetores e Geometria Analítica/06 - Dimensão.md

Dimensão

Sendo V um espaço vetorial finitamente gerado.

Proposição 1: Teorema da invariância

Para quaisquer bases B que V possa vir a ter, estas possuem um mesmo número de vetores. Esta quantidade invariável de vetores denomina-se a dimensão (finita) de V (notação: \dim V).

Decorre da definição que:

• \dim \R^2 = 2

• \dim \R^n = n

• \dim M_{m \times n}(\R) = m \cdot n

• \dim P_n(\R) = n + 1

• \dim {e} = 0

Proposição 2: Teorema do completamento

Seja a dimensão de V um valor n \ge 1, e S um subconjunto de V contendo r < n vetores u. Então existem n - r vetores em V que necessitam ser acrescidos à S para que este subconjunto possa descrever uma base B = \{u_1, \dots, u_r, \dots, u_n\} de V.

Proposição 3

Todo sub-espaço vetorial de um espaço finitamente gerado também é finitamente gerado.

Proposição 4

Seja W um sub-espaço vetorial de V. Se \dim W = \dim V, então W = V.