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# Dimensão
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Sendo V um espaço vetorial finitamente gerado.
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## Proposição 1: Teorema da invariância
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Para quaisquer bases $B$ que $V$ possa vir a ter, estas possuem um mesmo número de vetores. Esta quantidade invariável de vetores denomina-se a *dimensão* (finita) de $V$ (notação: $\dim V$).
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Decorre da definição que:
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- $\dim \R^2 = 2$
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- $\dim \R^n = n$
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- $\dim M_{m \times n}(\R) = m \cdot n$
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- $\dim P_n(\R) = n + 1$
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- $\dim {e} = 0$
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## Proposição 2: Teorema do completamento
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Seja a dimensão de $V$ um valor $n \ge 1$, e $S$ um subconjunto de $V$ contendo $r < n$ vetores $u$. Então existem $n - r$ vetores em $V$ que necessitam ser acrescidos à $S$ para que este subconjunto possa descrever uma base $B = \{u_1, \dots, u_r, \dots, u_n\}$ de $V$.
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## Proposição 3
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Todo sub-espaço vetorial de um espaço finitamente gerado também é finitamente gerado.
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### Proposição 4
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Seja $W$ um sub-espaço vetorial de $V$. Se $\dim W = \dim V$, então $W = V$.
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