LinAlg2/LinAlg2.tex

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\title{Lineare Algebra 2}
\date{Sommersemester 2022}
\author{Philipp Grohs \\ \small \LaTeX-Satz: Anton Mosich}

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\def\br{\tikzmarknode{b\thetextbox}{\strut}\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture]
\draw ($(a\thetextbox.north west)+(-0.4\arraycolsep,0ex)$) rectangle
($(b\thetextbox.south east)+(0.2\arraycolsep,0ex)$);\end{tikzpicture}}
% https://tex.stackexchange.com/questions/481978/how-to-write-the-block-matrix-in-latex

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\begin{document}

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}


\begin{titlepage}
	\begin{tikzpicture}[remember picture, overlay]
		% Trans pride flag
		\foreach[count=\i] \col in {pastellblau,pastellrosa,weiss,pastellrosa,pastellblau}
		\node (back names) [shape=rectangle,
				fill=\col,
				minimum width=\paperwidth / 5,
				anchor=south west,
				minimum height=\paperheight] at ([xshift=(\i - 1)*(\paperwidth / 5)]current page.south west) {};
		% The Loss
		% Panel 1
		\draw[line width=.5mm, {Stealth[scale=1.3]}-] ([xshift = 85pt, yshift = -60pt]current page.north west) -- +(0, -.35\paperheight);
		% Panel 2
		\draw[line width=.5mm, {Stealth[scale=1.3]}-, -||-] ([xshift = -85pt, yshift = -.1\paperheight - 60pt] current page.north east) --
		+(0, -.25\paperheight);
		\draw[line width=.5mm, {Stealth[scale=1.3]}-, -||-] ([xshift = -185pt, yshift = -60pt]current page.north east) --
		+(0, -.35\paperheight);
		% Panel 3
		\draw[line width=.5mm, -{Stealth[scale=1.3]}, -||-] ([xshift = 40pt, yshift = 60pt] current page.south west) -- +(0, .35\paperheight);
		\draw[line width=.5mm, -{Stealth[scale=1.3]}, -||-] ([xshift = 175pt, yshift = 60pt] current page.south west) -- +(0, .35\paperheight);
		% Panel 4
		\draw[line width=.5mm, -{Stealth[scale=1.3]}] ([xshift = -175pt, yshift = 60pt] current page.south east) -- +(0, .35\paperheight);
		\draw[line width=.5mm, {Stealth[scale=1.3]}-] ([yshift = 120pt, xshift = -25pt] current page.south east) -- +(-.38\paperwidth,0);
		\draw[very thick] ([xshift = -175+40pt, yshift = 120]current page.south east)
		arc [radius=40pt, start angle=0, end angle=90];
		% Title, Author & Date
		\node at ([yshift = -.45\paperheight]current page.north) {\Huge{ \textbf{Lineare Algebra 2} }};
		\node at ([yshift = -.52\paperheight]current page.north) {\Large{Philipp Grohs}};
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	\end{tikzpicture}
\end{titlepage}

\tableofcontents

\chapter{Determinanten}

\section{Permutationen}

\begin{defin}
	Sei $n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}, [n] := \{1, 2, \dots, n\}$. \\
	Eine bijektive Abbildung $\pi:[n]\to[n]$ heißt \underline{Permutation} von $[n]$.
	Wir definieren die \underline{symmetrische Gruppe}
	$S_n := \{\pi\text{ Permutation von }[n]\}$
	mit der Hintereinanderausführung als Gruppenoperation.
\end{defin}

\subsubsection{Bemerkung}
\begin{itemize}
	\item $(S_n, \circ)$ ist eine Gruppe.
	\item $\pi\in S_n$ ist eindeutig durch das Tupel $(\pi(1), \dots, \pi(n))$ definiert.
	\item Fixpunkte $(\pi(i)=i)$ werden oft weggelassen.
\end{itemize}

\begin{defin}
	$\pi\in S_n$ heißt \underline{Transposition} wenn es $i, j\in [n]$ gibt mit
	\[\pi(k) = \begin{cases} k & k\notin\{i, j\}\\ i & k = j\\ j & k=i \end{cases}\]
	Wir schreiben $\pi = (ij)$.
\end{defin}

\begin{satz}
	\label{theo:1.1.3}
	Es gilt $\lvert S_n \rvert = n!$.
\end{satz}
\begin{proof}
	Vollständige Induktion
	\begin{itemize}
		\item $n=1: S_1 = \{\id\}\implies\lvert S_1\rvert = 1 = 1!$
		\item $n-1\to n:$\\ Angenommen $\lvert S_{n-1} \rvert = (n-1)!$.
		      Dann gilt $\lvert\{\pi \in S_n: \pi(n) = n \}\rvert = (n-1)!$. Sei allgemein $i \in [n]$.
		      Dann gilt $\pi(n)=i \iff (in)\circ\pi(n)=n$. Also gilt
		      \begin{align*}
			       & \lvert\{\pi\in S_n: \pi(n)=i\}\rvert = \lvert\{(in)\circ\pi: \pi(n)=n\}\rvert \\
			       & = \lvert\{\pi: \pi(n)=n\}\rvert = (n-1)!
		      \end{align*}
		      Weiters gilt
		      \begin{align*}
			       & S_n = \bigcup_{i\in[n]}^\bullet\{\pi\in S_n: \pi(n)=i\} \implies         \\
			       & \lvert S_n\rvert = \sum_{i\in[n]}\lvert\{\pi \in S_n: \pi(n) = i\}\rvert
			      = n\cdot(n-1)! = n!
		      \end{align*}
	\end{itemize}
\end{proof}


\begin{satz}
	\label{theo:1.1.4}
	Für $n\in \mathbb{N}_{\ge2}$ ist jedes $\pi \in S_n$ das Produkt von (endlich vielen) Transpositionen.
\end{satz}
\begin{proof}
	\begin{itemize}
		\item $n=2: S_2 = \{\id, (2 1)\}$
		\item $n-1\to n$\\
		      Sei $\pi \in S_n$. Dann gilt (siehe Beweis von Satz \ref{theo:1.1.3}) mit $i=\pi(n)$, dass
		      \[\underbrace{(i n)\pi}_{\pi_i}(n) = n\]
		      Sei $\pi_i = (\underbrace{\pi_i(1) \dots \pi_i(n-1)}_{\in S_{n-1}} n)
			      \underset{\text{Induktions VS}}{\implies} \pi_i = (i_1 j_1) \dots (i_k j_k)$.\\
		      Außerdem gilt $\pi = (i n)\pi_i$, also $\pi = (i n)(i_1 j_1) \dots (i_k j_k)$
	\end{itemize}
\end{proof}

\subsubsection{Bemerkung}
\begin{itemize}
	\item Produktdarstellung ist nicht eindeutig, zum Beispiel:\\ $(3 1 2) = (2 1)(3 1) = (3 1)(3 2)$
	\item $f\in \mathbb{Z}[X_1, \dots, X_n], \pi \in S_n$ \\
	      $\pi f(X_1, \dots, X_n) := f(X_{\pi(1)}, \dots, X_{\pi(n)})$
\end{itemize}
\subsubsection{Beispiel}
$\pi = (2 3 1), f(X_1, X_2, X_3) = X_1-X_2+X_1X_3 \implies \pi f(X_1, X_2, X_3) = X_2 - X_3 + X_2X_1$

\begin{lemma}
	\label{theo:1.1.5}
	Sei
	\[
		f(X_1, \dots, X_n) = \prod_{\substack{i, j\in[n]\\ i < j}} (X_j-X_i)\in \mathbb{Z}[X_1, \dots, X_n]
	\]
	Dann gilt \begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item Zu jedem $\pi \in S_n$ existiert eine eindeutig Zahl $s(\pi) \in \{-1, 1\}$ mit $\pi f = s(\pi)f$.
		\item Für $\pi$ eine Transposition gilt $s(\pi) = -1$.
	\end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item \begin{align*}
			      \pi f(X_1, \dots, X_n) & = \prod_{i<j}(X_{\pi(j)}-X_{\pi(i)})                                 \\
			                             & =\Bigl(\prod_{\substack{i<j                                          \\
						      \pi(i)<\pi(j)}}
				      (X_{\pi(j)}-X_{\pi(i)})\Bigr)
			      \Bigl(\prod_{\substack{i<j                                                                    \\
			      \pi(j)<\pi(i)}}(X_{\pi(i)}-X_{\pi(j)})\Bigr)                                                  \\
			                             & = (-1)^{\lvert\{(i, j)\in[n]\times[n]:i<j\land\pi(i)>\pi(j)\}\rvert}
			      \prod_{i<j}(X_j-X_i)                                                                          \\
			                             & = s(\pi)f(X_1, \dots, X_n) \text{ mit }                              \\
			      s(\pi)                 & = (-1)^{\lvert\{(i, j)\in[n]\times[n]:i<j\land\pi(i)>\pi(j)\}\rvert}
		      \end{align*}
		\item $\pi = (i j), i<j, k\in\{i+1, \dots, j-1\}$:
		      $\pi(i, j) = (j, i), \pi(i, k) = (j, k), \pi(k, j) = (k, i)$\\
		      Für diese Paare gilt $x<y \land \pi(x) > \pi(y)$\\
		      Für alle anderen Paare gilt $x<y \land \pi(x)<\pi(y)$\\
		      Erstere sind $2(j-i-1)+1$ Paare. Daraus folgt $\pi f=(-1)^{2(j-i-1)+1}f$, also $s(\pi)=-1$.
	\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{defin}
	\begin{itemize}
		\item Die durch Lemma \ref{theo:1.1.5} bestimmte Größe $s(\pi)$ heißt \underline{Signum} von $\pi \in S_n$.
		      Wir schreiben $\sgn(\pi)$.
		\item $\pi$ heißt \underline{gerade} falls $\sgn(\pi)=1$ und \underline{ungerade} falls $\sgn(\pi)=-1$.
	\end{itemize}
\end{defin}

\begin{satz}
	\label{theo:1.1.7}
	Für $\pi, \sigma \in S_n$ gilt \[\sgn(\sigma\pi)=\sgn(\sigma)\sgn(\pi)\]
\end{satz}
\begin{proof}
	Nach Satz \ref{theo:1.1.5}(a) gilt:
	\begin{align*}
		 & f(X_1, \dots, X_n) = \prod\limits_{i<j}(X_j-X_i) \implies        \\
		 & \sigma\pi f(X_1, \dots, X_n) = \sgn(\sigma\pi)f(X_1, \dots, X_n)
	\end{align*}
	Andererseits gilt:
	\begin{align*}
		\sigma\pi f(X_1, \dots, X_n) & = \sigma[\pi f(X_1, \dots, X_n)]          \\
		                             & = \sigma[\sgn(\pi)f(X_1, \dots, X_n)]     \\
		                             & = \sgn(\pi) \sigma f(X_1, \dots, X_n)     \\
		                             & = \sgn(\pi)\sgn(\sigma)f(X_1, \dots, X_n)
	\end{align*}
\end{proof}

\begin{satz}
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $\sgn(\pi)=1\iff\pi$ ist Produkt gerader Anzahl Transpositionen
		\item $\pi$ Produkt von k Transpositionen $\implies \sgn(\pi)=(-1)^k$
	\end{enumerate}
\end{satz}
\begin{proof}
	Folgt direkt aus Satz \ref{theo:1.1.5}(b) und Satz \ref{theo:1.1.7}
\end{proof}

\begin{folgerung}
	Es gibt genau $\frac12n!$ gerade und $\frac12n!$ ungerade Permutationen in $S_n$
\end{folgerung}
\begin{proof}
	Folgt aus Satz \ref{theo:1.1.3}
\end{proof}

\begin{defin}
	Die geraden Permutationen bilden eine Untergruppe $A_n$ von $S_n$, die man \\
	\underline{alternierende Gruppe} nennt.
\end{defin}

\section{Multilinearformen}
\begin{defin}
	Seien $V_1, \dots, V_n, W$ \K-Vektorräume. Eine Abbildung $\varphi: V_1 \times \dots \times V_n \to W$
	heißt \underline{n-linear}, wenn für alle
	$v_1, v'_1 \in V_1, \dots, v_n, v'_n\in V_n, i \in [n], \lambda\in\K$ gilt, dass
	\begin{itemize}
		\item $\varphi(v_1, \dots, v_i+v'_i, \dots, v_n)=
			      \varphi(v_1, \dots, v_i, \dots, v_n)+\varphi(v_1, \dots, v'_i, \dots, v_n)$
		\item $\varphi(v_1, \dots, \lambda v_i, \dots, v_n)= \lambda\varphi(v_1, \dots, v_i, \dots, v_n)$.
	\end{itemize}
	Ist $W=\K$ und $V_1, \dots, V_n=V$, so heißt $\varphi$ \underline{n-Linearform}. \\
	($n=2 \to$ \underline{Bilinearform})
\end{defin}

\subsubsection{Beispiel}
\[
	\varphi:
	\begin{cases}
		\K^2\times \K^2 & \to \K                              \\
		\left(\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\end{pmatrix}\right)
		                & \mapsto a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}
	\end{cases}
\]

\begin{defin} \label{theo:1.2.2}
	Eine n-Linearform von $V$ heißt
	\begin{itemize}
		\item \underline{nicht ausgeartet}, falls
		      $(a_1, \dots, a_n)\in V\times\dots\times V$ existiert mit \\
		      $\varphi(a_1, \dots, a_n) \neq 0$.
		\item \underline{alternierend}, falls $\varphi(a_1, \dots, a_n)=0$ für $a_1, \dots, a_n$ linear abhängig.
	\end{itemize}
\end{defin}

\subsubsection{Bemerkung}
$\varphi$ alternierend und $a_i = a_j$ für $i\neq j \implies \varphi(a_1, \dots, a_n) = 0$.

\begin{lemma}
	\label{theo:1.2.3}
	Sei $\varphi$ alternierende n-Linearform von V und $\pi \in S_n$. Dann gilt für\\
	$a_1, \dots, a_n\in V$:
	\[\varphi(a_{\pi(1)}, \dots, a_{\pi(n)})=\sgn(\pi)\varphi(a_1, \dots, a_n)\]
\end{lemma}
\begin{proof}
	Wegen Satz \ref{theo:1.1.4} und Satz \ref{theo:1.1.7} genügt es anzunehmen, dass $\pi$ Transposition ist.
	Sei also $\pi=(ij)$. Es gilt
	\begin{align*}
		0 & =\varphi(a_1, \dots, \underbrace{a_i+a_j}_{i}, \dots, \underbrace{a_i+a_j}_{j}, \dots, a_n) \\
		  & =\underbrace{\varphi(a_1, \dots, a_i, \dots, a_i, \dots, a_n)}_{0} +
		\underbrace{\varphi(a_1, \dots, a_j, \dots, a_j, \dots, a_n)}_{0}                               \\
		  & \;\; + \varphi(a_1, \dots, a_i, \dots, a_j, \dots, a_n) +
		\varphi(a_1, \dots, a_j, \dots, a_i, \dots, a_n)                                                \\
		  & \implies \varphi(a_1, \dots, a_j, \dots, a_i, \dots, a_n)=
		\underbrace{(-1)}_{=\sgn{\pi}}\varphi(a_1, \dots, a_i, \dots, a_j, \dots, a_n)
	\end{align*}
\end{proof}

\begin{lemma}
	\label{theo:1.2.4}
	Sei $V$ ein $\K$-VR mit $\dim(V)=n$ und $\varphi$ nicht ausgeartete und alternierende n-Linearform von V.
	Dann gilt
	\[
		a_1, \dots, a_n \text{ linear abhängig} \iff \varphi(a_1, \dots, a_n) = 0
	\]
\end{lemma}
\begin{proof}
	\begin{itemize}
		\item[$\implies$]: folgt aus Definition \ref{theo:1.2.2}
		\item[$\impliedby$]: z.Z.: $\varphi(b_1, \dots, b_n)\neq0\impliedby b_1, \dots, b_n \text{ Basis von } V$.
		Da $\varphi$ nicht ausgeartet ist, gibt es $a_1, \dots, a_n\in V$ mit $\varphi(a_1, \dots, a_n)\neq0$.\\
		Da $b_1, \dots, b_n$ Basis gibt es $\lambda_{ij}\in\K$ mit $a_i=\sum\limits_{j=1}^n{\lambda_{ij}b_j}$\\
		Wegen n-Linearität gilt
		\begin{align*}
			0\neq\varphi(a_1, \dots, a_n) & =\sum_{j_1=1}^n{\dots}\sum_{j_n=1}^n{\varphi(b_{j_1}, \dots, b_{j_n})
			\lambda_{1j_1}\cdots\lambda_{nj_n}}                                                                   \\
			                              & \underbrace{=}_{\mathclap{\varphi\text{ alternierend}}}
			\sum_{\substack{j_1, \dots, j_n                                                                       \\
					\text{paarweise verschieden}}}
			{\varphi(b_{j_1}, \dots, v_{j_n})\lambda_{1j_1} \cdots \lambda_{nj_n}}                                \\
			                              & = \sum_{\pi\in S_n} \varphi(b_{\pi(1)}, \dots, b_{\pi(n)})
			\lambda_{1\pi(1)} \cdots \lambda_{n\pi(n)}                                                            \\
			                              & \underbrace{=}_{\mathclap{\text{Lemma \ref{theo:1.2.3}}}}
			\varphi(b_1, \dots, b_n)\left(\sum_{\pi\in S_n}
			\sgn(\pi)\lambda_{1\pi(1)}\cdots\lambda_{n\pi(n)}\right)                                              \\
			                              & \implies\varphi(b_1, \dots, b_n)\neq 0
		\end{align*}
	\end{itemize}
\end{proof}

\begin{satz}
	\label{theo:1.2.5}
	Sei V $\K$-VR mit $\dim(V)=n$ und Basis $a_1, \dots, a_n$.
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item Für $\varphi$ alternierende nicht ausgeartete n-Linearform gilt für\\
		      $b_i = \sum\lambda_{ij}a_j$, dass
		      \[
			      \varphi(b_1, \dots, b_n) =
			      \varphi(a_1, \dots, a_n)(\sum_{\pi \in S_n}\sgn(\pi)\lambda_{1\pi(1)}\cdots\lambda_{n\pi(n)})
		      \]
		\item Sei $c\in\K\setminus\{0\}$. Dann ist die Abbildung
		      \[
			      \varphi(b_1, \dots, b_n) = c(\sum_{\pi \in S_n}\sgn(\pi)\lambda_{1\pi(1)}\cdots\lambda_{n\pi(n)})
		      \]
		      eine alternierende nicht ausgeartete n-Linearform.
	\end{enumerate}
\end{satz}
\begin{proof}
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item folgt aus dem Beweis von Lemma \ref{theo:1.2.4}.
		\item Man verifiziert leicht, dass $\varphi$ n-linear ist. Weiters ist $\varphi$ nicht ausgeartet, da
		      \[
			      \varphi(a_1, \ldots, a_n) =
			      c(\sum_{\pi\in S_n}\sgn(\pi)\delta_{1\pi(1)}, \cdots, \delta_{n\pi(n)}) = c \cdot 1 \neq 0
		      \]
		      z.Z.: $\varphi$ alternierend. Seien $b_1, \dots, b_n$ linear abhängig.\\
		      O.B.d.A. $b_1=\mu_2b_2+\cdots+\mu_nb_n$. Dann gilt
		      \[\varphi(b_1, \dots, b_n) = \sum_{j=2}^{n}\mu j \varphi(b_j, b_2, \dots, b_n)\]
		      Es genügt also zu zeigen, dass
		      $\varphi(b_1, \dots, b_n) = 0$ falls $b_1 = b_i, i\in\{2, \dots, n\}$.
		      Dann gilt aber $\lambda_{1j}=\lambda_{ij} \forall j$.
		      \begin{align*}
			      \varphi(b_i, \dots, b_i, \dots, b_n) & = c\cdot\sum_{\pi\in S_n} \sgn(\pi) \lambda_{i\pi(1)}\cdots\lambda_{i\pi(i)}\cdots\lambda_{n\pi(n)}                                  \\
			                                           & =c\cdot \Bigg(\sum_{\pi\in A_n}\sgn(\pi)\lambda_{i\pi(i)}\cdots\lambda_{i\pi(i)}\cdots\lambda_{n\pi(n)}                              \\
			                                           & +\sum_{\pi\in A_n}\underbrace{\sgn(\pi\circ(1i))}_{=-\sgn(\pi)}\lambda_{i\pi(i)}\cdots\lambda_{i\pi(i)}\cdots\lambda_{n\pi(n)}\Bigg) \\
			                                           & =c\cdot\sum_{\pi\in A_n}(\sgn(\pi)-\sgn(\pi)) \cdot \cdots                                                                           \\
			                                           & \cdot \cdots \lambda_{i\pi(i)}\cdots\lambda_{i\pi(i)}\cdots\lambda_{n\pi(n)}=0
		      \end{align*}
	\end{enumerate}
\end{proof}

\subsubsection{Bemerkung}
Es gibt also zu jedem $\K$-VR V mit $\dim(V)=n$ eine nicht ausgeartete alternierende n-Linearform.

\begin{satz}
	\label{theo:1.2.6}
	Sei V $\K$-VR mit $\dim(V)=n$ und $\varphi_1, \varphi_2$ nicht ausgeartete alternierende n-Linearformen.
	Dann existiert $c\in\K\setminus\{0\}$ mit $\varphi_2=c\cdot\varphi_1$.
\end{satz}
\begin{proof}
	Sei $a_1, \dots, a_n$ Basis von V. Nach Lemma \ref{theo:1.2.4} ist
	$\varphi_i(a_1, \dots, a_n)\neq0, i=1, 2$.\\
	Sei $c:=\dfrac{\varphi_1(a_1, \dots, a_n)}{\varphi_2(a_1, \dots, a_n)} \in \K\setminus\{0\}$.\\
	Sei $b_1, \dots, b_n$ mit $b_i=\sum\lambda_{ij}a_j$.\\
	Dann gilt nach Satz \ref{theo:1.2.5}(a), dass für $i=1, 2$
	\begin{align*}
		 & \varphi_i(b_1, \dots, b_n) =
		\varphi_i(a_1, \dots, a_n)\underbrace{\sum_{\pi \in S_n}\lambda_{1\pi(1)}\cdots\lambda_{n\pi(n)}}_
		{\text{unabhängig von $i$!}}                                               \\
		 & \implies \frac{\varphi_1(b_1, \dots, b_n)}{\varphi_2(b_1, \dots, b_n)}=
		\frac{\varphi_1(a_1, \dots, a_n)}{\varphi_2(a_1, \dots, a_n)}=c
	\end{align*}
\end{proof}

\section{Determinanten}
\begin{defin}
	Sei $B=(a_1, \dots, a_n)$ Basis des \K-Vektorraums V.
	Sei $\varphi$ nicht ausgeartete n-Linearform und $\alpha \in \homkv$.
	Dann ist die \underline{Determinante von $\alpha$} definiert durch \[
		\det(\alpha):=\det{}_\K(\alpha)
		:=\frac{\varphi(\alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n))}{\varphi(a_1, \dots, a_n)}
	\]
\end{defin}

\begin{satz}
	\label{theo:1.3.2}
	$\det(\alpha)$ ist unabhängig von der Wahl der Basis B und der der Form $\varphi$.
\end{satz}
\begin{proof}
	\leavevmode
	\begin{enumerate}[label=\arabic *. Fall:]
		\item $\alpha$ nicht bijektiv\\
		      $\implies \alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n) \text{linear unabhängig} \implies \det(\alpha) = 0$
		\item $\alpha$ bijektiv. Sei $B=(a_1, \dots, a_n)$.

		      Dann ist auch $\alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n)$ Basis und,
		      da $\varphi$ nicht ausgeartet,
		      \[\varphi(\alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n))\neq0\]

		      Sei $\varphi_\alpha(b_1, \dots, b_n) := \varphi(\alpha(b_1), \dots, \alpha(b_n))$.
		      Dann ist $\varphi_\alpha$ alternierend und nicht ausgeartet. Wegen Satz \ref{theo:1.2.6} folgt,
		      dass $c\in\K\setminus\{0\}$ existiert mit
		      \begin{equation}\label{eq:constantphi}
			      \varphi_\alpha=c\cdot\varphi
		      \end{equation}
		      und (durch Einsetzen von $a_1, \dots, a_n$), dass $c=\det(\alpha)$.
		      Da \ref{eq:constantphi} unabhängig von B ist also $\det(\alpha)$ unabhängig von B.

		      Sei nun $\psi$ eine zweite alternierende, nicht ausgeartete n-Form und
		      $\psi_\alpha(b_1, \dots, b_n) := \psi(\alpha(b_1), \dots, \alpha(b_n))$.
		      Dann ist $\psi_\alpha$ alternierend und nicht ausgeartet. Nach Satz \ref{theo:1.2.6}
		      gibt es $d\in\K\setminus\{0\} \text{ mit }d=\frac\psi\varphi$.
		      Also gilt:
		      \[
			      \det(\alpha)=\frac{\varphi_\alpha(a_1, \dots, a_n)}{\varphi(a_1, \dots, a_n)}=
			      \frac{d\varphi_\alpha(a_1, \dots, a_n)}{d\varphi(a_1, \dots, a_n)}=
			      \frac{\psi_\alpha(a_1, \dots, a_n)}{\psi(a_1, \dots, a_n)}
		      \]

		      also ist $\det(\alpha)$ auch von der n-Form unabhängig.
	\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{korollar}
	\label{theo:1.3.3}
	Sei V ein n-dimensionaler \K-Vektorraum. Dann gilt
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $\alpha\in \homkv \text{ bijektiv } \iff \det(\alpha)\neq0$
		\item $\alpha, \beta \in \homkv \implies \det(\alpha, \beta) = \det(\alpha) \det(\beta)$
		\item $\det(\id)=1$
		\item Ist $\alpha\in \homkv$ invertierbar, so gilt $\det(\alpha^{-1})=\det(\alpha)^{-1}$.
	\end{enumerate}
\end{korollar}
\begin{proof}
	Sei $B=(a_1, \dots, a_n)$ Basis und $\varphi$ n-Form mit \[
		\det(\alpha) = \frac{\varphi(\alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n))}{\varphi(a_1, \dots, a_n)}
		\text{[ unabhängig von $B$ und $\varphi$ nach Satz \ref{theo:1.3.2}]}
	\]
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $\alpha$ bijektiv $\iff \alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n) \text{ linear unabhängig}$\\
		      $\underbrace{\iff}_{\mathclap{\text{Lemma \ref{theo:1.2.4}}}}
			      \varphi(\alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n))\neq0\iff \det(\alpha)\neq0$
		\item 2 Fälle:\begin{enumerate}[label=\arabic*. Fall:]
			      \item $\alpha$ oder $\beta$ ist nicht bijektiv: o.B.d.A $\alpha$ nicht bijektiv.\\
			            $\implies \det(\alpha)=0\implies \det(\alpha)\det(\alpha)=0$\\
			            Weiters folgt, dass $\alpha\beta$ nicht bijektiv, also $\det(\alpha\beta)=0$.
			      \item $\alpha, \beta$ bijektiv.
			            Dann ist auch $(\beta(a_1), \dots, \beta(a_n))$ Basis und
			            \begin{align*}
				            \det(\alpha\beta) & = \frac{\varphi(\alpha(\beta(a_1)), \dots, \alpha(\beta(a_n)))}
				            {\varphi(a_1, \dots, a_n)}                                                          \\
				                              & =\frac{\varphi(\alpha(\beta(a_1)), \dots, \alpha(\beta(a_n)))}
				            {\varphi(\beta(a_1), \dots, \beta(a_n))}\cdot \cdots                                \\
				                              & \cdots \frac{\varphi(\beta(a_1), \dots, \beta(a_n))}
				            {\varphi(a_1, \dots, a_n)}\underbrace{=}_{\text{Satz \ref{theo:1.3.2}}}
				            \det(\alpha)\det(\beta)
			            \end{align*}
		      \end{enumerate}
		\item $\det(\id)=\frac{\varphi(a_1, \dots, a_n)}{\varphi(a_1, \dots, a_n)}=1$
		\item $1\underbrace{=}_{\text{c)}}\det(\id)=\det(\alpha\alpha^{-1})\underbrace{=}_{\text{b)}}
			      \det(\alpha)\det(\alpha^{-1})$
	\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{satz}
	\label{theo:1.3.4}
	Sei $\alpha\in \homkv, B=(b_1, \dots, b_n)$ Basis und $A=(a_{ij}) = {}_B M(\alpha)_B\in\K^{n\times n}$.
	Dann gilt
	\[\det(\alpha)=\sum_{\pi\in S_n}\sgn(\pi)a_{1\pi(1)}\cdots a_{n\pi(n)}\]
\end{satz}
\begin{proof}
	Es gilt $\alpha(b_i)=\sum\limits_{j=1}^na_{ij}b_j \text{ für }i=1, \dots, n$.
	Nach Satz \ref{theo:1.2.5}(a) gilt
	\[
		\varphi(\alpha(b_1), \dots, \alpha(b_n)) =
		\varphi(b_1, \dots, b_n)\cdot\sum_{\pi\in S_n}\sgn(\pi)a_{1\pi(1)}\cdots a_{n\pi(n)}
	\]
	und daraus folgt die Behauptung direkt.
\end{proof}

\begin{defin}
	Für $A=(a_{ij})\in\K^{n\times n}$ definieren wir die \underline{Determinante von A} als
	\[
		\det(A)=\sum_{\pi\in S_n} \sgn(\pi)a_{1\pi(1)}\cdots a_{n\pi(n)}\in\K
	\]
\end{defin}

\subsubsection{Bemerkung}
Schreibweise für $A=(a_{ij})$:
\[
	\det(A)=\begin{vmatrix}
		a_{11} & \dots  & a_{1n} \\
		\vdots & \ddots & \vdots \\
		a_{n1} & \dots  & a_{nn}
	\end{vmatrix}
\]

\section{Rechenregeln}
\begin{satz}
	\label{theo:1.4.1}
	Sei $A=(a_1, \dots, a_n)\in\K^{n\times n}$. Dann gilt
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $\det(A)=\det(A^T)$
		\item $\forall i, j\in[n]: i<n:
			      \det((a_1, \dots, \underbrace{a_j}_{i}, \dots, \underbrace{a_i}_{j}, \dots, a_n))=\det(A)$
		\item $\forall i\in[n]: \lambda_1, \dots, \lambda_n\in\K: \det((a_1, \dots, a_i+
			      \sum\limits_{\substack{j=1\\j\neq i}}^n\lambda_ja_j, \dots, a_n))=\det(A)$
		\item $\forall i\in[n]: \lambda\in\K: \det((a_1, \dots, \lambda a_i, \dots, a_n)) = \det(A)$
		\item $\exists i, j\in[n]: i\neq j\land a_i=a_j \implies \det(A)=0$
		\item $\forall \lambda \in \K: \det(\lambda A)=\lambda^n \det(A)$
		\item $A$ invertierbar $\implies \det(A^{-1})=\det(A)^{-1}$
		\item $\forall B \in \K^{n\times n}: \det(AB)=\det(A)\det(B)$
		\item $\det(I_n)=1$
	\end{enumerate}
\end{satz}
\begin{proof}
	Nur a) explizit:
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item \begin{equation*}\begin{aligned}
				      \det(A^T) & = \sum_{\pi\in S_n}\sgn(\pi)a_{\pi(1)1}\cdots a_{\pi(n)n}          \\
				                & =\sum_{\pi\in S_n}\sgn(\pi)a_{1\pi^{-1}(1)}\cdots a_{n\pi^{-1}(n)} \\
				                & \underbrace{=}_{\substack{\sgn(\pi^{-1})=\sgn(\pi)                 \\
					      \pi^{-1}\mapsto\pi}} \sum_{\pi\in S_n} \sgn(\pi)a_{1\pi(1)}\cdots a_{n\pi(n)}
			      \end{aligned}\end{equation*}
		\item[b) - i)] folgt daraus, dass für \[\alpha:\begin{cases}\K^n\to\K^n\\x\mapsto A\cdot x\end{cases}:
				\det(A)=\dfrac{a}{b}\text{ (Satz \ref{theo:1.3.4})}\] und, dass $\varphi$ alternierende n-Form ist,
			beziehungsweise Korollar \ref{theo:1.3.3}
	\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{satz}

	Seien $A, B\in\K^{n\times n}$ ähnlich,
	das heißt $\exists P\in\K^{n\times n}$ invertierbar mit \\
	$B=P^{-1}\cdot A\cdot P$. Dann gilt
	\[\det(A)=\det(B)\]
	Weiters ist A genau dann invertierbar wenn $\det(A)\neq0$.
\end{satz}
\begin{proof}
	\[\det(B)=\det(P)\underbrace{\det(P^{-1})}_{=\det(P)^{-1}}\det(A)=\det(A)\]
	Rest folgt, da $\det(A)=\det(\alpha)$ mit $\alpha:\begin{cases}\K^n\to\K^n \\x\mapsto A\cdot x
		\end{cases}$.
\end{proof}

\subsubsection{Berechnungsverfahren}
Gaußalgorithmus führt 1) Zeilenvertauschungen und 2) Additionen von\\
Vielfachen einer Zeile zu einer anderen durch. Raus kommt eine obere Dreiecksmatrix.
\begin{equation}\label{eq:dreiecksmatrix}
	B=\begin{pmatrix}
		b_{11} & \dots  & \dots  & b_{1n} \\
		0      & b_{22} & \dots  & b_{2n} \\
		\vdots &        & \ddots & \vdots \\
		0      & \dots  & \dots  & b_{nn}
	\end{pmatrix}
\end{equation}
Operationen 2) ändern die Determinante nicht, Operationen 1) ändern das Vorzeichen.

\begin{satz}

	Sei $A\in\K^{n\times n}$ und $B$ wie \ref{eq:dreiecksmatrix} das Resultat des Gaußalgorithmus auf $A$
	angewendet mit $k$ Zeilenvertauschungen. Dann gilt
	\[
		\det(A)=(-1)^kb_{11}\cdot\dots\cdot b_{nn}
	\]
\end{satz}
\begin{proof}
	Für Matrizen der Form \ref{eq:dreiecksmatrix} ist die Determinante das Produkt der Diagonalelemente.
	Rest folgt aus der Definition des Gaußalgorithmus, sowie Satz \ref{theo:1.4.1}.
\end{proof}

\subsubsection{Regel von Sarrus}
Sei $A=\begin{pmatrix}
		a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
		a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
		a_{31} & a_{32} & a_{33}
	\end{pmatrix}\in\K^{3\times3}$
\[
	\begin{array}{ccccccccc}
		a_{11} &                              & a_{12} &                                                            & a_{13} &                                                            & a_{11} &                              & a_{12} \\
		       & \color{ForestGreen}\diagdown &        & \color{ForestGreen}\diagdown \color{red} \mathllap \diagup &        & \color{ForestGreen}\diagdown \color{red} \mathllap \diagup &        & \color{red}\diagup                    \\
		a_{21} &                              & a_{22} &                                                            & a_{23} &                                                            & a_{21} &                              & a_{22} \\
		       & \color{red} \diagup          &        & \color{ForestGreen}\diagdown \color{red} \mathllap \diagup &        & \color{ForestGreen}\diagdown \color{red} \mathllap \diagup &        & \color{ForestGreen}\diagdown          \\
		a_{31} &                              & a_{32} &                                                            & a_{33} &                                                            & a_{31} &                              & a_{32}
	\end{array} \color{ForestGreen} + + + \color{red} - - -
\]

$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}
	\in\K^{2\times2} \implies \det(A)=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$\\
$n>3 \to $ Gaußalgorithmus

\begin{defin}
	Sei $A\in\K^{n\times n}$ und $i, j\in[n]$. Sei $M_{ij}\in\K^{n\times n}$ die Matrix,
	welche durch Ersetzung der j-ten Spalte durch den i-ten Einheitsvektor $e_j$ entsteht.\\
	$A_{ij}:=\det(M_{ij})$ heißt \underline{Kofaktor} (zum Indexpaar $(i, j)$).
	\begin{equation*}
		\bordermatrix{
		&&&&j \cr
		&a_{11}&\dots &a_{1i-1}&0&a_{1i+1}&\dots&a_{1n} \cr
		&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \cr
		i&a_{ji}&\dots&a_{ji-1}&1&a_{ji+1}&\dots&a_{jn}\cr
		&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \cr
		&a_{n1}&\dots &a_{ni-1}&0&a_{ni+1}&\dots&a_{nn}
		}
		\genfrac{}{}{0pt}{0}{= M_{ij}}{=(a_{\_1}, \dots, \underbrace{e_i}_{j}, \dots, a_{\_n})}
	\end{equation*}
\end{defin}

\subsubsection{Bemerkung}
Es gilt
\begin{equation}\label{eq:1.4.4.1}
	A_{ij}=\begin{vmatrix}
		a_{11} & \dots  & a_{1i-1} & 0      & a_{1i+1} & \dots  & a_{1n} \\
		\vdots & \ddots & \vdots   & \vdots & \vdots   & \ddots & \vdots \\
		a_{ji} & \dots  & a_{ji-1} & 1      & a_{ji+1} & \dots  & a_{jn} \\
		\vdots & \ddots & \vdots   & \vdots & \vdots   & \ddots & \vdots \\
		a_{n1} & \dots  & a_{ni-1} & 0      & a_{ni+1} & \dots  & a_{nn}
	\end{vmatrix}
\end{equation}
da obige Matrix aus $M_{ij}$ durch Spaltenadditionen hervorgeht.

\begin{lemma}

	Sei $\tilde{A_{ij}}\in\K^{(n-1)\times(n-1)}$ die Matrix, welche aus A durch Streichung der i-ten Spalte und
	j-ten Zeile hervorgeht und $D_{ij}:=\det(\tilde{A_{ij}})$. Dann gilt \[A_{ij}=(-1)^{i+j}D_{ij}\]
\end{lemma}
\begin{proof}
	Transformiere durch ($i-1$) Spaltenvertauschungen und ($j-1$) Zeilenvertauschungen die Matrix
	\ref{eq:1.4.4.1} auf
	\[
		B_{ij} = \begin{pmatrix}
			1      & 0 & \dots          & 0 \\
			0      &   &                &   \\
			\vdots &   & \tilde{A_{ij}} &   \\
			0      &   &                &
		\end{pmatrix}
	\]
	Es gilt $\lvert B_{ij}\rvert=D_{ij}$ und $\lvert B_{ij}\rvert=(-1)^{(i-1)+j(-1)}A_{ij}$,
	woraus die Behauptung folgt.
\end{proof}

\begin{satz}
	[Entwicklungssatz von Laplace]
	Sei $A\in\K^{n\times n}$ und $i, j\in[n]$. Dann gilt
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $\det(A) = \sum\limits_{l=1}^na_{il}A_{il} = \sum\limits_{l=1}^n(-1)^{l+i}a_{il}D_{il}$
		\item $\det(A) = \sum\limits_{l=1}^na_{lj}A_{lj} = \sum\limits_{l=1}^n(-1)^{l+j}a_{lj}D_{lj}$
	\end{enumerate}
\end{satz}
\begin{proof}
	b) \[\begin{aligned}
			\det(A) & = \det(a_{\_1}, \dots, a_{\_n})=                                                      \\
			        & =\det(a_{\_1}, \dots, \underbrace{\sum_{l=1}^na_{lj}e_l}_{=a_{\_j}}, \dots, a_{\_n})= \\
			        & =\sum_{l=1}^n a_{lj}\det(a_{\_1}, \dots, \underbrace{e_l}_{j}, \dots, a_{\_n}) =      \\
			        & = \sum_{l=1}^n a_{lj}A_{lj}
		\end{aligned}
	\]
	a) analog (angewendet auf $A^T$).
\end{proof}

\begin{satz}
	[Cramer'sche Regel]
	Sei $\adj(A)=(A_{ji})_{i, j\in[n]}$. Dann gilt
	\[A\cdot \adj(A) = \det(A)\cdot I_n\]
\end{satz}
\begin{proof}
	Sei $B=A\cdot\adj(A)\implies$
	\[\begin{aligned}
			b_{ij} & = \sum_{k=1}^n a_{ik} A_{jk}                                                                                         \\
			       & = \sum_{k=1}^n a_{ik} \det(a_{\_1}, \dots, \underbrace{e_j}_{k}, \dots, a_{\_n})                                     \\
			       & = \sum_{k=1}^n a_{ik}
			\bordermatrix{
			       &                                                                                  &        & k      &        &        \\
			       & a_{11}                                                                           & \dots  & a_{1k} & \dots  & a_{1n} \\
			       & \vdots                                                                           & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
			j      & 0                                                                                & \dots  & 1      & \dots  & 0      \\
			       & \vdots                                                                           & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
			       & a_{n1}                                                                           & \dots  & a_{nk} & \dots  & a_{nn} \\
			}                                                                                                                             \\
			       & = \det\left(\bordermatrix{                                                       &                                   \\
			       & a_{1\_}                                                                                                              \\ & \vdots \\ j \to & a_{i\_} \\ & \vdots \\ & a_{n\_}}\right) \\
			       & = \begin{cases}0& i\neq j \\ \det(A) & i=j\end{cases}
		\end{aligned}\]
\end{proof}

\begin{folgerung}
	Sei $A\in\K^{n\times n}$ invertierbar. Sei $x\in\K^n$ die eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems
	$Ax=b$. Dann gilt
	\[
		x_i= \det(A)^{-1} \det(a_{\_1}, \dots, \underbrace{b}_{i}, \dots, a_{\_n})
	\]
\end{folgerung}
\begin{proof}
	\[\begin{aligned}
			 & A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}(A_{ji})                                              \\
			 & \implies \det(A)x_i=\sum_{j=1}^n A_{ji}b_j
			 & = \sum_{j=1}^n b_j \det(a_{\_1}, \dots, \underbrace{e_j}_{i}, \dots, a_{\_n}) \\
			 &
			 & =\det(a_{\_1}, \dots, \underbrace{b}_{i}, \dots, a_{\_n})
		\end{aligned}\]
\end{proof}

\subsubsection{Blockmatrizen}

\begin{defin}
	$A\in\K^{n\times n}$ heißt \underline{obere Blockmatrix} wenn $\exists p\in \{1, \dots, n-1\}$ mit $a_{ij}=0$
	für $p+1\le i\le n, 1\le j\le p$, d.h.
	\begin{equation}
		\label{blockmatrix}
		A=\bordermatrix{
			\ &\overbrace{}^{p} & \overbrace{}^{n-p} \cr
			p\{\ & P & D \cr % } TODO geschwungene Klammern besser machen
			n-p\{\ &0&Q} % }
	\end{equation}
	Analog sind \underline{untere Blockmatrizen} definiert.
\end{defin}

\begin{satz}
	\label{theo:1.4.10}
	Sei $A$ obere Blockmatrix wie in \ref{blockmatrix}. Dann gilt $\det(A)= \det(P) \det(Q)$
\end{satz}
\begin{proof}
	Sei $A = \begin{pmatrix} P & D \\ 0 & Q \end{pmatrix}$.\\
	Wende elementare Zeilenumformungen der ersten $p$ Zeilen an, sodass $P$ obere Dreiecksform hat
	(mit $s$ Zeilenvertauschungen) und elementare Zeilenumformungen der letzten $n-p$ Zeilen sodass
	$Q$ obere Dreiecksform hat (mit $t$ Zeilenvertauschungen).
	Bezeichne das Ergebnis mit $A'= \begin{pmatrix} P' & D \\ 0 & Q' \end{pmatrix}$, wobei $P', Q'$ obere
	Dreiecksform haben.\\
	Es folgt, dass $A', P', Q'$ obere Dreiecksform hat. Da die Determinante oberer Dreiecksmatrizen
	das Produkt der Diagonalelemente ist, gilt $\det(A')=\det(P')\det(Q')$.\\
	Weiters gilt $\det(A')=(-1)^{s+t} \det(A)$ (insgesamt $s+t$ Vertauschungen)
	und $\det(P')= (-1)^s \det(P), \det(Q') = (-1)^t \det(Q)$. Daraus folgt die Behauptung.
\end{proof}

\chapter{Eigenwerte und Eigenvektoren}

\section{Diagonalisierbarkeit}

\begin{defin}
	$D\in \K^{n\times n}$ heißt \underline{Diagonalmatrix} wenn $\forall i\neq j: d_{ij}=0$.
	Wir schreiben auch
	\[
		\diag(\lambda_1, \dots, \lambda_n):=\begin{pmatrix}
			\lambda_1 & 0         & \dots  & 0         \\
			0         & \lambda_2 & \dots  & 0         \\
			\vdots    & \vdots    & \ddots & \vdots    \\
			0         & 0         & \dots  & \lambda_n
		\end{pmatrix}
	\]
\end{defin}

\subsubsection{Bemerkung}
\begin{itemize}
	\item $A\in \K^{n\times m} \implies \diag(\lambda_1, \dots, \lambda_n)A = \begin{pmatrix}
			      \lambda_1 a_{1\_} \\
			      \vdots            \\
			      \lambda_n a_{n\_}\end{pmatrix}$
	\item $\diag(\lambda_1, \dots, \lambda_n)^k = \diag(\lambda_1^k, \dots, \lambda_n^k)$
\end{itemize}

\begin{defin}
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $\alpha \in \homkv, \dim(V)<\infty$ heißt \underline{diagonalisierbar} (bzgl. $B$)
		      wenn eine geordnete Basis $B$ existiert mit ${}_B M(\alpha)_B$ Diagonalmatrix
		\item $A\in\K^{n\times n}$ heißt diagonalisierbar wenn eine invertierbare Matrix $P\in\K^{n\times n}$
		      existiert mit $P^{-1}AP$ Diagonalmatrix.
	\end{enumerate}
\end{defin}

\begin{lemma}

	Sei $V$ ein $\K$-Vektorraum mit $\dim(V)=n<\infty$. \\
	Dann gilt für $\alpha\in\homkv$ und $C$ Basis:
	\[\alpha \text{ diagonalisierbar} \iff {}_C M(\alpha)_C \text{ diagonalisierbar}\]
\end{lemma}
\begin{proof}
	\begin{itemize}
		\item[$\implies$] Sei $\alpha$ diagonalisierbar und $B$ eine Basis mit $_B M(\alpha)_B$ Diagonalmatrix.
			Dann gilt
			\begin{align*}
				{}_B M(\alpha)_B & = {}_B M(\id)_C \cdot {}_C M(\alpha)_C \cdot {}_C M(\id)_B        \\
				                 & = {}_C M(\id)_{B^{-1}} \cdot {}_C M(\alpha)_C \cdot {}_C M(\id)_B
			\end{align*}
			Also ist ${}_C M(\alpha)_C$ diagonalisierbar.
		\item[$\impliedby$] Sei ${}_C M(\alpha)_C$ diagonalisierbar und $P$ invertierbar mit
			$P^{-1}\cdot {}_C M(\alpha)_C \cdot P$ Diagonalmatrix.
			Sei $B$ Basis mit $P={}_C M(\id)_B$.
			Dann gilt ${}_B M(\alpha)_B$ ist Diagonalmatrix.
	\end{itemize}
\end{proof}

\begin{lemma}
	\label{theo:2.1.4}
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $\alpha \in \homkv$ ist diagonalisierbar genau wenn es eine Basis
		      $B=(b_1, \dots, b_n)$ und $\lambda_1, \dots, \lambda_n\in\K$ gibt mit
		      $\forall i=1, \dots, n:\alpha(b_i)=\lambda_i b_i$.
		\item $A\in\K^{n\times n}$ ist diagonalisierbar genau wenn es eine geordnete Basis $B= (b_1, \dots, b_n)$
		      von $\K^n$ gibt mit $\forall i=1, \dots, n: A b_i = \lambda_i b_i$.
	\end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}
	\begin{enumerate} [label=\alph*)]
		\item die Bedingung ist äquivalent zu ${}_B M(\alpha)_B$ diagonalisierbar.
		\item Spezialfall von a).
	\end{enumerate}
\end{proof}

\section{Eigenwerte und Eigenvektoren}

\begin{defin} \label{theo:2.2.1}
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item Sei $\alpha \in \homkv$. $\lambda\in\K$ heißt \underline{Eigenwert} von $\alpha$ wenn es einen Vektor
		      $v\in V\setminus\{0\}$ gibt mit $\alpha(v)=\lambda v$. $v$ heißt \underline{Eigenvektor} zu $\lambda$.\\
		      Die Menge aller Eigenwerte von $\alpha$ heißt \underline{Spektrum} von $\alpha; \spec(\alpha)$
		\item Sei $A \in \K^{n\times n}$. $\lambda\in\K$ heißt \underline{Eigenwert} von $A$ wenn es
		      $v\in \K^n\setminus\{0\}$ gibt mit $A v = \lambda v$. $v$ heißt \underline{Eigenvektor} zu $\lambda$.\\
		      Die Menge aller Eigenwerte von $A$ heißt \underline{Spektrum} von $A; \spec(A)$
	\end{enumerate}
\end{defin}

\begin{lemma}
	\label{theo:2.2.2}
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $\alpha \in \homkv$ diagonalisierbar $\iff \exists$ Basis aus Eigenvektoren.
		\item $A \in \K^{n\times n}$ diagonalisierbar $\iff \exists$ Basis aus Eigenvektoren.
	\end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}
	Folgt direkt aus Lemma \ref{theo:2.1.4} und Definition \ref{theo:2.2.1}
\end{proof}

\begin{defin}
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item Sei $\alpha \in \homkv$ und $\lambda \in \spec(\alpha)$.
		      Dann heißt $\eig_\alpha(\lambda):=\{v\in V: \alpha(v) = \lambda v \}$ der zugehörige \underline{Eigenraum}.
		\item Sei $A \in \K^{n\times n}$ und $\lambda \in \spec(A)$.
		      Dann heißt $\eig_A(\lambda):=\{v\in \K^n: A v = \lambda v \}$ der zugehörige \underline{Eigenraum}.
	\end{enumerate}
\end{defin}

\begin{lemma}

	Sei $\alpha \in \homkv / A\in\K^{n\times n}$ und $\lambda \in \spec(\alpha)/\lambda\in\spec(A)$.\\
	Dann ist $\eig_\alpha(\lambda)/\eig_A(\lambda)$ ein Unterraum von $V/\K$.
\end{lemma}
\begin{proof}
	Nur für $\alpha\in\homkv$
	\begin{itemize}
		\item $ 0 = \alpha(0) = \lambda \cdot 0 \implies 0 \in \eig_\alpha(\lambda) $
		\item $v, w\in \eig_\alpha(\lambda) \implies \alpha(v+w)
			      = \alpha(v) + \alpha(w) = \lambda v + \lambda w
			      = \lambda(v + w) \implies v + w \in \eig_\alpha(V)$
		\item $\mu \in \K, v \in \eig_\alpha(\lambda) \implies \alpha(\mu v) =
			      \mu \cdot \alpha(v) = \mu \cdot \lambda \cdot v =
			      \lambda \cdot (\mu \cdot v) \implies \mu \cdot v \in \eig_\alpha(\lambda)$
	\end{itemize}
\end{proof}

\begin{satz}

	Sei $\alpha \in \homkv$ und $B$ Basis. Dann gilt
	\begin{align*}
		 & \spec(\alpha) = \spec({}_B M(\alpha)_B)                           \\
		 & {}_B\Phi(\eig_\alpha(\lambda)) = \eig_{{}_B M(\alpha)_B}(\lambda)
	\end{align*}
\end{satz}
\begin{proof}
	Sei $\lambda \in \spec(\alpha)$ und $v\in\eig_\alpha(\lambda)$. Dann gilt
	\[
		\alpha(v) = \lambda v \iff {}_B M(\alpha)_B \cdot {}_B v = \lambda \cdot {}_B v
	\]
\end{proof}

\begin{defin}
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item Sei $\alpha \in \homkv, \dim(V)<\infty$ und $B$ Basis. Dann heißt die Funktion
		      \[
			      \chi_\alpha:\begin{cases}\K \to \K \\
				      \lambda \mapsto \det({}_B M(\alpha)_B - \lambda \cdot I_n)\end{cases}
		      \]
		      \underline{charakteristisches Polynom} von $\alpha$.
		\item Sei $A \in \K^{n\times n}$. Dann heißt die Funktion
		      \[
			      \chi_A:\begin{cases}\K \to \K \\
				      \lambda \mapsto \det(A - \lambda \cdot I_n)\end{cases}
		      \]
		      \underline{charakteristisches Polynom} von $A$.
	\end{enumerate}
\end{defin}

\subsubsection{Bemerkung}
$\genfrac{}{}{0pt}{0}{\chi_\alpha}{\chi_A}$ ist Polynom vom Grad
$\le\genfrac{}{}{0pt}{0}{\dim(V)}{n}$, da
\begin{align*}
	 & \chi_A(\lambda)=
	\sum_{\pi \in S_n} \tilde{a}_{1\pi(1)}^{(\lambda)} \cdots \tilde{a}_{n\pi(n)}^{(\lambda)} \text{ mit} \\
	 & \tilde{a}_{ij}^{(\lambda)} = \begin{cases} a_{ij} & i\neq j \\ a_{ij}-\lambda & i=j
	                                \end{cases} \dots \text{ Polynom von Grad $0$ oder $1$}
\end{align*}

\begin{lemma}
	\label{theo:2.2.7}
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $\chi_\alpha$ ist unabhängig von der Wahl der Basis.
		\item $\chi_A = \chi_B$ wenn $A, B$ ähnlich (das heißt $\exists P \in \K^{n \times n}: B = P^{-1}AP$)
	\end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item Sei C weitere Basis.\\
		      Dann gilt $\underbrace{{}_C M(\alpha)_C}_{B}
			      = \underbrace{{}_C M(\id)_B}_{P^{-1}} \underbrace{{}_B M(\alpha)_B}_{A}
			      \underbrace{{}_B M(\id)_C}_{P}$. \\
		      Man kann also alles auf b) zurückführen.
		\item \[\begin{aligned}
				      \chi_A(\lambda) & = \det(A-\lambda I)                        \\
				                      & = \det(P)^{-1} \det(A - \lambda I) \det(P) \\
				                      & = \det(P^{-1}) \det(A - \lambda I) \det(P) \\
				                      & = \det(P^{-1}(A - \lambda I)P)             \\
				                      & = \det(P^{-1}AP-\lambda I)                 \\
				                      & = \det(B - \lambda I)                      \\
				                      & = \chi_B(\lambda)
			      \end{aligned}\]
	\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{lemma}
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item Sei $\alpha\in\homkv$. Dann gilt \[\spec(\alpha) = \{\lambda \in \K: \chi_\alpha(\lambda)=0\}\]
		\item Sei $A\in \K^{\nxn}$. Dann gilt \[\spec(A) = \{\lambda \in \K: \chi_A(\lambda)=0\}\]
	\end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}
	Nur b)
	\[\begin{aligned}
			\lambda \in \spec(A) & \iff \exists v\in V \setminus \{0\}: A v = \lambda v        \\
			                     & \iff \exists v \in V \setminus \{0\}: (A - \lambda I) v = 0 \\
			                     & \iff \ker(A - \lambda I) \neq \{0\}                         \\
			                     & \iff A - \lambda I \text{ nicht injektiv}                   \\
			                     & \iff \det(A - \lambda I) = 0
		\end{aligned}\]
\end{proof}

\subsubsection{Beispiele}
\begin{alignat*}{3}
	 & A = \begin{pmatrix}\bar3 & \bar4 \\ \bar1 & \bar1 \end{pmatrix} \in \mathbb{Z}_5^{2\times2}        &                                              &                                                           \\
	 & \chi_A(\lambda) = \begin{vmatrix} \bar3 - \lambda & \bar4 \\ \bar1 & \bar1 - \lambda \end{vmatrix}
	 &                                                                                                    & = (\bar3 - \lambda)(\bar1 - \lambda) - \bar4                                                             \\
	 &                                                                                                    &                                              & = \bar3 - \bar4 \lambda + \lambda^2 - \bar4               \\
	 &                                                                                                    &                                              & = \bar4 - \bar4 \lambda + \lambda^2 = (\bar2 - \lambda)^2 \\
	 & \implies \spec(A) = \{2\}                                                                                                                                                                                     \\
	 & \eig_{\bar2}(A) = ?                                                                                                                                                                                           \\
	 & v \in \eig_{\bar2}(A) \iff \mathrlap{(A - \bar2 I)v = 0}                                                                                                                                                      \\
	 & \iff \mathrlap{\left(\begin{array}{c c | c}
			                        \bar3 - \bar2 & \bar4         & \bar0 \\
			                        \bar1         & \bar1 - \bar2 & \bar0
		                        \end{array}\right)}                                                                                                                                                    \\
	 & \left(\begin{array}{c c | c}
			         \bar1 & \bar4 & \bar0 \\
			         \bar1 & \bar4 & \bar0
		         \end{array}\right)                                                                                                                                                                                   \\
	 & \left(\begin{array}{c c | c}
			         \bar1 & \bar4 & \bar0 \\
			         \bar0 & \bar0 & \bar0
		         \end{array}\right)                                                                                                                                                                                   \\
	 & \implies \eig_{\bar2}(A) = \left\langle\begin{pmatrix}\bar1 \\ \bar1\end{pmatrix} \right\rangle                                                                                                               \\
	 & \implies A \mathrlap{\text{ nicht diagonalisierbar [Lemma \ref{theo:2.1.4} (b)]}}
\end{alignat*}

\begin{lemma}

	Sei $A \in \C^{n\times n}$ mit reellen Einträgen. Dann gilt:
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $\lambda \in \spec(A) \implies \overline{\lambda} \in \spec(A)$
		\item $v \in \eig_\lambda(A) \implies \overline{v} \in \eig_{\overline{\lambda}}(A)$
	\end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item Klarerweise ist $\chi_A(\lambda)$ ein Polynom mit reellen Koeffizienten, also
		      $\chi_A(\lambda)=a_0+a_1 \lambda + \cdots + a_n \lambda^n,  a_0, \dots, a_n\in\R$\\
		      Sei $\chi_A(\lambda)=0 \implies 0 = \overline0
			      = a_0 + a_1 \overline\lambda + \cdots + a_n \overline{\lambda} ^ n = \chi_A(\overline\lambda)$
		\item $v\in\eig_\lambda(A) \implies A v = \lambda v \implies \overline{A V}
			      = \overline{\lambda v} \implies A \overline{v} = \overline\lambda \overline{v}$
	\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{lemma}
	\label{theo:2.2.10}
	Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten sind linear unabhängig.
\end{lemma}
\begin{proof}
	Seien $v_i \in \eig_{\lambda_i}(A), i=1, \dots, r, \lambda_i \neq \lambda_j \text{ für } i\neq j$.
	Induktion nach $r$
	\begin{itemize}
		\item[$r=1$:] $v_1$ ist linear unabhängig.
		\item[$r-1\mapsto r$:] \begin{equation}\label{eq:2.2.10.1}
				\mu_1 v_1 + \cdots + \mu_1 v_1 = 0 \end{equation}
			\[ \implies A(\mu_1 v_1 + \cdots + \mu_r v_r) = 0 \]
			\begin{equation}\label{eq:2.2.10.2}
				\implies \lambda_1\mu_1 v_1 + \cdots \lambda_r \mu_r v_r = 0
			\end{equation}
			Weiters folgt durch Multiplikation von \ref{eq:2.2.10.1} mit $\lambda_r$,
			dass \begin{equation}\label{eq:2.2.10.3}
				\lambda_r \mu_1 v_1 + \cdots + \lambda_r \mu_r v_r = 0 \end{equation}
			\[ \begin{aligned}
					\text{\ref{eq:2.2.10.3}} - \text{\ref{eq:2.2.10.2}}
					 & \implies \underbrace{(\lambda_r - \lambda_1)}_{\neq0} \mu_1 v_1 + \cdots +
					\underbrace{(\lambda_r - \lambda_{r-1})}_{\neq0} \mu_{r-1} v_{r-1} = 0        \\
					 & \implies v_1, \dots, v_{r-1} \text{ linear abhängig. \Lightning}
				\end{aligned} \]
	\end{itemize}
\end{proof}

\begin{lemma}

	Sei $\alpha \in \homkv, \dim(V)=n \text{ oder } A \in \K^{\nxn}$ mit $n$ verschiedenen Eigenvektoren.
	Dann ist $\alpha/A$ diagonalisierbar.
\end{lemma}
\begin{proof}
	Wegen Lemma \ref{theo:2.2.10} gibt es Basis von Eigenvektoren.
	Daher ist $\alpha/A$ diagonalisierbar wegen Lemma \ref{theo:2.2.2}.
\end{proof}

\begin{defin}
	Sei $\spec(A) = \{\lambda_1, \dots, \lambda_r \}$ und
	$(\lambda_1 - \lambda)^{k_1} \cdots (\lambda_r - \lambda)^{k_r} p \in\K[X]$ mit $p$
	nicht durch Linearfaktoren teilbar (also keine Nullstellen in $\K$).\\
	$k_i$ heißt \underline{algebraische Vielfachheit} des Eigenwerts $\lambda_i$.
	Wir schreiben $k_i = m_a(\lambda_i)$.\\
	$\dim(\eig_A(\lambda_i))$ heißt \underline{geometrische Vielfachheit} des Eigenwerts $\lambda_i$.
	Wir schreiben $\dim(\eig_A(\lambda_i)) = m_g(\lambda_i)$
\end{defin}

\subsubsection{Beispiel}
\begin{itemize}
	\item $\chi_A(\lambda) = \lambda^4 - 2 \lambda^3 + 2 \lambda^2 - 2\lambda + 1 \in \R[X]$\\
	      $\implies \chi_A(\lambda) = (1 - X)^2 \underbrace{(1 + \lambda^2)}_{p(\lambda)}$ \\
	      $\implies m_a(1) = 2$
	\item Für $\K=\C$ zerfällt jedes Polynom in Linearfaktoren, also ist $p$ immer konstant.
\end{itemize}

\begin{satz}

	Sei $\mu\in\spec(A)/\spec(\alpha)$. Dann gilt \[ 1\le m_g(\mu) \le m_a(\mu) \]
\end{satz}
\begin{proof}
	Klarerweise gilt $1\le m_g(\mu)$ da $\mu$ Eigenwert ist.
	Sei $r:= m_g(\mu)$ und $b_1, \dots, b_r$ Basis von $\eig_\alpha(\mu)$. Sei $B=(b_1, \dots, b_n)$ Basis.
	Dann ist
	\[ {}_B M(\alpha)_B =
		\bordermatrix{
			& & & & r & & \cr
			& \mu & 0 & 0 & 0 & * & \dots & * \cr
			& 0 & \mu & 0 & 0 & * & \dots & * \cr
			& \vdots &  & \ddots & \vdots & \vdots &  & \vdots \cr
			r & 0 & 0 & 0 & \mu & * & \dots & * \cr
			& \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \cr
			& 0 & 0 & 0 & 0 & * & \dots & *
		}
		\text{, also}
	\]
	\begin{align*}
		\chi_\alpha(\lambda) & = \left\lvert \begin{array}{c | c}
			                                     \begin{smallmatrix}
				\mu - \lambda & & \\
				& \ddots & \\
				& & \mu - \lambda
			\end{smallmatrix} & A    \\
			                                     \hline                   \\
			                                     0                    & B
		                                     \end{array} \right\rvert \underbrace{=}_
		{\text{Satz \ref{theo:1.4.10}}} \det
		\begin{pmatrix}
			\mu - \lambda &        & 0             \\
			              & \ddots &               \\
			0             &        & \mu - \lambda
		\end{pmatrix} \cdot \det(B)                                        \\
		                     & = (\mu - \lambda)^r \det(B)                            \\
		                     & \implies r \le m_a(\mu)
	\end{align*}
\end{proof}

\begin{lemma}

	Seien $A, B$ ähnlich und $\mu \in \spec(A) (=\spec(B) \text{ nach Lemma \ref{theo:2.2.7}})$.
	Dann stimmen die geometrischen Vielfachheiten überein, das heißt $\dim(\eig_\mu(A)) = \dim(\eig_\mu(B))$.
\end{lemma}
\begin{proof}
	Sei $B = P^{-1} A P$. Dann gilt
	\begin{align*}
		\eig_{\mu}(B) & = \ker(B - \mu I) = \ker(B - \mu P^{-1} P) \\
		              & = \ker(P^{-1} (A - \mu I) P)               \\
		              & \underbrace{\implies}_{\mathclap{\text{
				Für ähnliche Matrizen stimmen die Dimensionen der Kerne überein
			}}} \dim(\eig_\mu(B)) = \dim\eig_\mu(A)
	\end{align*}
\end{proof}

\begin{satz}

	$A/\alpha$ diagonalisierbar $\iff$
	\begin{enumerate}[label=\roman*)]
		\item $\chi_{A/\alpha}$ zerfällt in Linearfaktoren, das heißt
		      \[
			      \chi_{A/\alpha}(\lambda)= (\lambda_1 - \lambda)^{k_1} \cdots (\lambda_r - \lambda)^{k_r},
			      \sum k_i = n
		      \]
		\item algebraische und geometrische Vielfachheiten stimmen überein, das \\
		      heißt $m_a(\lambda_i) = m_g(\lambda_i), i=1, \dots, r$
	\end{enumerate}
\end{satz}
\begin{proof}
	\begin{itemize}
		\item[$\impliedby$:] Aus i), ii) folgt, dass \begin{equation}\label{eq:2.2.15.1}
				\sum_{i=1}^r \underbrace{\dim(\eig_\alpha(\lambda_i))}_{=m_g(\lambda_i)=:d_i} = n \end{equation}
			Sei $b_i^1, \dots, b_i^{d_i}$ Basis von $\eig_\alpha(\lambda_i)$.
			Wir zeigen, dass $B=\{b_i^1, \dots, b_i^{d_i}: i=1, \dots, r\}$ Basis ist.
			\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
				\item $\lvert B \rvert = n$ folgt aus \ref{eq:2.2.15.1}
				\item Ang. $\sum\limits_{i=1}^r
					      (\underbrace{\mu_i^1 b_i^1 + \cdots + \mu_i^{d_i} b_i^{d_i}}_{v_i}) = 0$ \\
				      $\underbrace{\implies}_
					      {\mathclap{\substack{v_i \text{Eigenwerte zu} \\ \text{verschiedenen Eigenvektoren} \\
							      + \text{Lemma \ref{theo:2.2.10}}}}}
					      v_i = 0 \forall i=1, \dots, r \underbrace{\implies}_
					      {\mathclap{\substack{b_i^1, \dots, b_i^{d_i} \\ \text{Basis von }
					      \eig_\alpha(\lambda_i)}}} \mu_i^1, \dots, \mu_i^{d_i} = 0 \forall i=1, \dots, r$ \\
				      $ \implies B $ ist Basis aus Eigenvektoren
				      $\underbrace{\implies}_{\mathclap{\text{Lemma \ref{theo:2.2.2}}}} \alpha $ diagonalisierbar.

			\end{enumerate}

		\item[$\implies$:] Sei $\alpha$ diagonalisierbar. \[\begin{aligned}
					 & \implies \exists \text{ Basis } \{b_1, \dots, b_n\} \text{ aus Eigenvektoren} \\
					 & \implies {}_B M(\alpha)_B = \diag(\lambda_1, \dots, \lambda_n)                \\
					 & \implies \chi_B(\lambda) = (\lambda_1 - \lambda) \cdots (\lambda_n - \lambda)
				\end{aligned}\]
	\end{itemize}
\end{proof}

\subsubsection{Diagonalisieren}
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
	\item Zerlegung in Linearfaktoren
	      \[
		      \chi_A(\lambda) = (\lambda_1 - \lambda)^{m_a(\lambda_1)} \cdots (\lambda_r - \lambda)^{m_a(\lambda_r)}
	      \]
	\item Bestimme Basis $B_i$ der Eigenräume
	      \[ \eig_A(\lambda_i) = \ker(A - \lambda_i I) \]
	\item Ordne Basis $B= \bigcup\limits_{i=1}^n B_i$ zu $B= (b_1, \dots, b_n)$
	\item Mit $S = (b_1, \dots, b_n)$ gilt dann
	      \[
		      \diag(\underbrace{\lambda_1, \dots, \lambda_n}_{
			      \mathclap{\substack{\text{Eigenwerte werden nach} \\
					      \text{Vielfachheit gezählt!} \\
					      \lambda_i \text{ ist Eigenwert von } b_i \text{!}}}
		      }) = S^{-1} A S
	      \]
\end{enumerate}

\subsubsection{Beispiel}
$A = \begin{pmatrix}
		1 & 2  & 2  \\
		2 & -2 & 1  \\
		2 & 1  & -2
	\end{pmatrix}$
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]

	\item \begin{align*}
		      \chi_A(\lambda) = & \begin{vmatrix}
			                          1 -\lambda & 2           & 2           \\
			                          2          & -2 -\lambda & 1           \\
			                          2          & 1           & -2 -\lambda
		                          \end{vmatrix}                                       \\
		      \underbrace{=}_{\mathclap{\substack{\text{Entwicklung}                                           \\ \text{nach 1. Zeile}}}}
		                        & (1-\lambda) \begin{vmatrix} -2 -\lambda & 1 \\ 1 & -2 -\lambda \end{vmatrix}
		      + (-2) \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & -2-\lambda \end{vmatrix}                                     \\
		                        & + 2 \begin{vmatrix} 2 & -2 - \lambda \\ 2 & 1 \end{vmatrix}                  \\
		      =                 & \dots= -\lambda^3 - 3 \lambda^2 + 9\lambda + 27 = (3-\lambda)(-3-\lambda)^2
	      \end{align*}

	\item $\lambda = 3$
	      \begin{align*}
		       & \left( \begin{array}{c c c | c} 1-3 & 2 & 2 & 0 \\ 2 & -2-3 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & -2-3 & 0 \end{array} \right)
		      = \left( \begin{array}{c c c | c} -2 & 2 & 2 & 0 \\ 2 & -5 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & -5 & 0 \end{array} \right)       \\
		       & \sim \left( \begin{array}{c c c | c} -1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 3 & 0 \\ 0 & 3 & -3 & 0 \end{array} \right)
		      \sim \left( \begin{array}{c c c | c} 1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)
		      \sim \left( \begin{array}{c c c | c} 1 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)     \\
		       & \implies \eig_A(3) = \left\langle \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\rangle
	      \end{align*}

	      $\lambda = -3$
	      \begin{align*}
		       & \left( \begin{array}{c c c | c} 1+3 & 2 & 2 & 0 \\ 2 & -2+3 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & -2+3 & 0 \end{array} \right)
		      = \left( \begin{array}{c c c | c} 4 & 2 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right)                                      \\
		       & \sim \left( \begin{array}{c c c | c} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)                                \\
		       & \implies \eig_A(-3) = \left\langle \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \right\rangle
	      \end{align*}

	\item \begin{align*}
		       & S = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}                   \\
		       & \implies S^{-1} A S = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}
	      \end{align*}

\end{enumerate}

\begin{lemma}
	\label{theo:2.2.16}
	Sei $A\in\K^{\nxn}$ und $\underbrace{\spur(A)}_{\mathclap{\color{red}\text{\dq Spur von $A$ \dq}}}
		:= \sum\limits_{i=1}^n a_{ii}$
	\[\chi_A(\lambda) = (-1)^n\lambda^n + (-1)^{n-1} \spur(A) \lambda^{n-1} + \cdots + \det(A)\]

\end{lemma}
\begin{proof}
	$\chi_A(\lambda) = \sum\limits_{\pi \in S_n} \sgn(\pi) \prod\limits_{i=1}^n \tilde{a}_{i\pi(i)}$ mit
	$\tilde{a}_{ij} = \begin{cases} a_{ij} & i\neq j \\ a_{ij} - \lambda & i=j\end{cases}$. \\
	Wenn $\pi\neq \id$ gilt $\deg\left(\prod\limits_{i=1}^n \tilde{a}_{i\pi(i)}\right)\le n-2$,
	da mindestens zwei Elemente vertauscht werden. Die Koeffizienten von Grad $n, n-1$ kann man also aus
	$\prod\limits_{i=1}^n \tilde{a}_{ii} = \prod\limits_{i=1}^n (\tilde{a}_{ii} - \lambda)$ ablesen.
	Daraus folgt die Behauptung für die höchsten beiden Koeffizienten.
	Weiters gilt $\chi_A(0)=\det(A)$, was die Aussage für den konstanten Koeffizienten zeigt.
\end{proof}

\[
	\sigma_j := (-1)^j \sum\limits_{\substack{S\subset [n] \\ \lvert S \rvert = n-j}}
	\prod\limits_{s \in S} \lambda_s
\]

\begin{korollar}
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $A\sim B \implies \spur(A)=\spur(B)$
		\item A diagonalisierbar $\implies \spur(A)=\lambda_1 + \cdots + \lambda_n$ mit
		      $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ Eigenwerte von $A$, nach Vielfachheit gezählt.
		\item A diagonalisierbar $\implies \det(A)=\lambda_1 \cdot \dots \cdot \lambda_n$ mit
		      $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ Eigenwerte von $A$, nach Vielfachheit gezählt.
	\end{enumerate}
\end{korollar}
\begin{proof}
	Folgt daraus, dass das charakteristische Polynom (und damit seine Koeffizienten) unter Ähnlichkeit
	invariant sind (Lemma \ref{theo:2.2.7}) und Lemma \ref{theo:2.2.16}
\end{proof}

\begin{satz}
	[Cayley-Hamilton]
	\dq$\chi_A(A) = 0$\dq, das heißt sei $A\in \K^{\nxn}$ mit charakteristischem Polynom
	$\chi_A(\lambda)=c_n \lambda^n + c_{n-1} \lambda^{n-1} + \cdots + c_0$.
	Dann gilt
	\[
		\chi_A(A):=c_n A^n + c_{n-1} A ^{n-1} + \cdots c_0 I = 0 =
		\begin{pmatrix}0 &\dots &0 \\ \vdots& \ddots &\vdots \\ 0 & \dots & 0\end{pmatrix} \in \K^{\nxn}
	\]
\end{satz}
\begin{proof}
	Sei $B := A^T - \lambda I =
		\begin{pmatrix}
			a_{11} - \lambda & a_{21}           & \dots  & a_{n1}           \\
			a_{12}           & a_{22} - \lambda & \dots  & a_{n2}           \\
			\vdots           & \ddots           & \ddots & \vdots           \\
			a_{1n}           & a_{2n}           & \dots  & a_{nn} - \lambda
		\end{pmatrix}
		= (a_{ji} - \delta_{ij} \lambda)_{ij}$
	und $C:= \adj(B)$, sodass
	\begin{equation}
		CB = \det(B) I_n = \chi_A = I_n [\chi_A = \chi_{A^T}
		\label{eq:2.2.18.1}
	\end{equation}
	\ref{eq:2.2.18.1} heißt komponentenweise, dass
	\begin{flalign}
		  & \sum_{i=1}^{n}
		\underbrace{c_{ki}}_{\mathrlap{\text{Polynome, in die $A$ eingesetzt werden kann}}}
		\underbrace{b_{ij}}
		= \delta_{ij} \cdot \underbrace{\chi_A} \forall k, j \in [n] \nonumber            \\
		= & \sum_{i=1}^{n}c_{ki}(A) b_{ij}(A) = \delta_{jk}\chi_A (A) \label{eq:2.2.18.2}
	\end{flalign}
	Wegen $b_{ij}(A) = a_{ji} I_N - \delta_{ij}A$ gilt weiters
	\begin{equation}
		\forall i \in [n]: \sum_{j=1}^{n} b_{ij}(A) e_j = (\sum_{j=1}^{n} a_{ji} e_j) - A e_i = 0
		\label{eq:2.2.18.3}
	\end{equation}
	Es folgt $\forall k \in [n]$
	\begin{align*}
		\chi_A (A) e_k                                        & = \sum_{j=1}^{n} \delta_{jk} \chi(A) e_j                  & \\
		                                                      & \underbrace{=}_{\mathclap{\text{\ref{eq:2.2.18.2}}}}
		\sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{n} c_{ki}(A) b_{ij}(A) e_j &                                                             \\
		                                                      & = \sum_{i=1}^{n} c_{ki}(A) (\sum_{j=1}^{n} b_{ij(A) e_j}) & \\
		                                                      & \underbrace{=}_{\mathclap{\text{\ref{eq:2.2.18.3}}}} 0    & \\
		                                                      & \implies \chi_A(A) = 0
	\end{align*}
\end{proof}

\subsubsection{Berechnung der Koeffizienten von $\chi_A$}
Sei $f(\lambda) \underbrace{=}_{\text{(*)}} \prod\limits_{j=1}^{n}(\lambda_j - \lambda) =
	\underbrace{c_n\lambda^n}_{=(-1)^n} + c_{n-1}\lambda ^{n-1} + \cdots + c_0$
Wie können wir $c_j$ effizient bestimmen?
\begin{itemize}
	\item [Bemerkung 1:] $\displaystyle { c_j = (-1)^{j} \sum_{\substack{S\subseteq [n] \\
					      \lvert S \rvert = n-j}} \prod_{s \in S} \lambda_s =:
			      \sigma_{n-j}^n (\lambda_1, \dots, \lambda_n)}$ \\
	      Dies folgt aus (*) durch Ausmultiplizieren \\
	      Sei nun weiters $p_j^n(\lambda_1, \dots, \lambda_n) := \sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_i^j$
	\item [Bemerkung 2:] $\sigma_j^n, p_j^n$ sind symmetrisch, das heißt
	      \[
		      \begin{aligned}
			       & \sigma_j^n(\lambda_{\pi(1)}, \dots, \lambda_{\pi(n)}) =
			      \sigma_{j}^n (\lambda_1, \dots, \lambda_n)                                                  \\
			       & p_j^n(\lambda_{\pi(1)}, \dots, \lambda_{\pi(n)}) = p_{j}^n (\lambda_1, \dots, \lambda_n)
		      \end{aligned} \text{ für } \pi \in S_n
	      \]
\end{itemize}

\begin{lemma}
	[Newtonidentität] \label{theo:2.2.19}
	Es gilt für $k\le n$
	\[k\sigma_k^n+\sum_{j=0}^{k-1}\sigma_j^n p_{k-j}^n=0\]
\end{lemma}
\begin{proof}
	Induktion.
	\begin{itemize}
		\item [$k=n$:] Wegen
		      \begin{equation*}
			      0= \sum_{i=1}^{n} =
			      \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=0}^n c_j \lambda_i^j =
			      \sum_{j=0}^n c_j p_j^n =
			      \sum_{j=0}^n \sigma_{n-j}^n p_j^n =
			      \sum_{j=0}^n \sigma_j^n p_{n-j}^n
		      \end{equation*}
		      folgt $\sigma_n^n p_0^n + \sum\limits_{j=0}^n \sigma_j^n p_{n-j}^n = 0$ was mit
		      $p_0^n = n$ die gewünschte Aussage liefert.
		\item [$k<n$:] Betrachte das (symmetrische) \[
			      q(\lambda_1, \dots, \lambda_n) :=
			      k \sigma_k^n + \sum_{j=0}^{k-1} \sigma_j^n p_{k-1}^n
		      \]
		      Es gilt \[q(\lambda_1, \dots, \lambda_n) =
			      \sum_{j_1, \dots, j_n} c_{j_1 \dots j_n} \lambda_1^{j_1} \cdots \lambda_n^{j_n}\]
		      und wir müssen zeigen, dass alle Koeffizienten $c_{j_1 \dots j_n}=0$ sind.
		      Dazu bemerken wir, dass $c_{j_1 \dots j_n}$ immer $0$ ist,
		      wenn mehr als $k$ $j_i$'s ungleich $0$ sind.\\
		      Sei also $c_{j_1 \dots j_n}$ ein solcher Koeffizient mit $j_{k+1}, \dots, j_n=0$.
		      Dann gilt
		      \begin{align*}
			       & \underset{\rotatebox{90}{$=$}}
			      {q(\lambda_1, \dots, \lambda_k, 0, \dots, 0)} =
			      \sum_{j_1, \dots, j_k} c_{j_1 \dots j_n 0 \dots 0}
			      \lambda_1^{j_1} \cdots \lambda_n^{j_k}                      \\
			       & k \sigma_k^n + \sum_{j=0}^{k-1} \sigma_j^k p_{k-1}^k = 0
			      \text{ nach Voraussetzung}
		      \end{align*}
		      Aufgrund der Symmetrie gilt dasselbe Argument für alle anderen Koeffizienten
		      mit höchstens $k$ vielen $j_i$'s ungleich $0$.
	\end{itemize}
\end{proof}

\begin{satz}

	Sei $A \in \K^{\nxn}$ diagonalisierbar. Dann gilt für
	\begin{align*}
		\chi_A(\lambda) & = c_{n}\lambda^{n} + c_{n-1} \lambda ^{n-1} + \cdots + c_0 \\
		                & c_n = (-1)^n                                               \\
		                & c_{n-k} = -\frac1k \sum_{j=0}^{k-1} c_{n-j} \spur(A^{k-j})
	\end{align*}
\end{satz}
\begin{proof}
	Folgt direkt aus Lemma \ref{theo:2.2.19} und der Bemerkung dass für $A$ diagonalisierbar \\
	$\spur(A^k) = \lambda_1^k + \cdots + \lambda_n^k$ gilt.
\end{proof}

\subsubsection{Bemerkung}
$\underset{\mathrlap{\text{\dq fast alle Matrizen sind diagonalisierbar\dq}}}
	{\text{Gilt}}$ auch für $A$ nicht diagonalisierbar. \dq Beweis\dq Stetigkeit

\subsubsection{Triangulierbarkeit von Matrizen}

\begin{defin}
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $\alpha \in \homkv, \dim(V)=n$ heißt \underline{triangulierbar} wenn es eine Basis $B$ gibt,
		      sodass ${}_B M(\alpha)_B$ obere Dreiecksgestalt hat.
		\item $A\in\K^{\nxn}$ heißt \underline{triangulierbar} wenn es eine reguläre Matrix $P\in\K^{\nxn}$ gibt,
		      mit $P^{-1} A P$ obere Dreiecksgestalt.
	\end{enumerate}
\end{defin}

\begin{satz}

	$A \in \K^{\nxn} / \alpha$ ist triangulierbar $\iff \chi_A / \chi_\alpha$ zerfällt in Linearfaktoren.
\end{satz}
\begin{proof}[Beweis]
	\begin{itemize}
		\item[$\implies$:] $\chi_A$ ist invariant
			bezüglich Ähnlichkeitsumformung (Lemma \ref{theo:2.2.7}). \\
			Sei $P^{-1} A P = \begin{pmatrix} \lambda_1 &        & *         \\
                          & \ddots &           \\
                0         &        & \lambda_n\end{pmatrix}$
			, dann folgt\\
			$\chi_A(\lambda) = \chi_{P^{-1} A P}(\lambda)
				= \prod\limits_{i=1}^n (\lambda_i - \lambda) $
		\item[$\impliedby$:] Induktion nach $n$
			\begin{itemize}
				\item[$n=1$:] Jede $1\times1$ Matrix ist obere Dreiecksmatrix.
				\item[$n-1\mapsto n$:] Sei $\chi_A(\lambda) =
						\prod\limits_{i=1}^n (\lambda_i - \lambda)$ und sei
					$b_1 \in \eig_{\lambda_1}(\alpha)$.
					Sei $B=(b_1, \dots, b_n)$ Basis von $\K^n$. Dann gilt
					\[\begin{aligned}
							 & A
							= {}_B M(\alpha)_B
							= \begin{pmatrix}
								  \lambda_1 & a_{12} & \dots     & a_{1n} \\
								  0         & \tl    &           &        \\
								  \vdots    &        & \tilde{A} &        \\
								  0         &        &           & \br\end{pmatrix}                \\
							 & \text{Sei }\beta: \begin{cases}
								                     \overbrace{\langle b_2, \dots, b_n\rangle}^{V}
								                      & \to \langle b_2, \dots, b_n\rangle   \\
								                     b_i
								                      & \mapsto \Phi^{-1}_{\tilde{B}}(C\cdot
								                     {}_{\tilde{B}}v)
							                     \end{cases}
						\end{aligned}\]
					Es gilt $\chi_\alpha(\lambda) =
						\lambda_1 - \lambda) \cdot \chi_\beta(\lambda)$,
					daher zerfällt $\chi_\beta$ in Linearfaktoren.
					Nach Induktionsvoraussetzung existiert eine Basis $\tilde{B} =
						(\tilde{b}_2, \dots, \tilde{b}_n)$ von $\tilde{V}$ mit
					\begin{equation}
						{}_{\tilde{B}} M(\beta)_{\tilde{B}} =
						\begin{pmatrix} \lambda_2 &        & *         \\
                          & \ddots &           \\
                0         &        & \lambda_n\end{pmatrix}
						\label{eq:2.2.22.1}
					\end{equation}
					Weiters ist $\alpha(b_i) = a_{1i} b_1 + \beta(b_i), i=2, \dots, n$.
					Sei $\tilde{b}_i = \sum\limits_{j=2}^n \mu_{ij} b_j$.
					Wegen \ref{eq:2.2.22.1} gilt
					\begin{equation}
						\beta(\tilde{b}_i) \in
						\langle \tilde{b}_1, \dots, \tilde{b}_i \rangle
						\label{eq:2.2.22.2}
					\end{equation}
					Wir zeigen nun, dass für die Basis $C=(c_1, \dots, c_n)$ mit
					$c_1 = b_1, c_2 = \tilde{b}_2, \dots, c_n = \tilde{b}_i $
					die Matrix ${}_C M(\alpha)_C$ obere Dreiecksgestalt hat.
					Dies ist äquivalent zu
					\[\alpha(c_i)\in \langle c_1, \dots, c_n \rangle \forall i=1, \dots, n \]
					\begin{itemize}
						\item [$i=1$:] $\alpha(c_1) = \alpha(b_1) = \lambda_1 b_1
							      \in \langle b_1 \rangle = \langle c_1 \rangle$
						\item [$i>1$:]
						      \begin{align*}
							       & \alpha(c_i) = \alpha(\tilde{b}_i) =
							      \alpha(\sum_{j=2}^n \mu_{ij} b_j)
							      = \sum_{j=2}^n \mu_{ij} \alpha(b_j)                 \\
							       & = \sum_{j=2}^n\mu_{ij}(a_{1j} b_1 + \beta(b_j))
							      = (\underbrace{\sum_{j=2}^n \mu_{ij} a_{1j}}_
							      {\displaystyle\sigma_i})
							      + \sum_{j=2}^n \mu_{ij}\beta(b_j)                   \\
							       & = \sigma_i b_1+ \beta(\sum_{j=2}^n \mu_{ij} b_j)
							      = \sigma_i b_1 + \beta(\tilde{b}_i)                 \\
							       & \underbrace{\in}_{\text{\ref{eq:2.2.22.2}}}
							      \langle b_1,\tilde{b}_2,\dots,\tilde{b}_i\rangle
							      = \langle c_1, \dots, c_i \rangle
						      \end{align*}
					\end{itemize}
			\end{itemize}
	\end{itemize}
\end{proof}

\section{Jordan Normalform}

\begin{defin}
	Eine $m\times m$ Matrix
	\[J_m(\lambda) := \begin{pmatrix}
			\lambda & 1      & 0      & \dots  & 0       \\
			0       & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots  \\
			\vdots  & \ddots & \ddots & \ddots & 0       \\
			\vdots  & \ddots & \ddots & \ddots & 1       \\
			0       & \dots  & \dots  & 0      & \lambda
		\end{pmatrix}\]
	heißt \underline{Jordanblock} der Dimension $m$ zum Eigenwert $\lambda$.\\
	Eine Matrix $A \in \K^{\nxn}$, die als Blockdiagonalmatrix aus Jordanblöcken besteht,
	heißt \underline{Jordanmatrix}. \\
	$A \in \K^{\nxn}$ besitzt eine \underline{Jordan-Normalform} wenn $P\in\K^{\nxn}$ invertierbar existiert,
	sodass $P^{-1}AP$ Jordanmatrix ist.\\
	$\alpha \in \homkv$ besitzt eine \underline{Jordan-Normalform} wenn eine Basis $B$ von $V$ existiert,
	sodass $ {}_{B} M(\alpha)_{B} $ Jordanmatrix ist.\\
	B heißt \underline{Jordanbasis} zu $A/\alpha$.
\end{defin}

\subsubsection{Beispiel}
\begin{itemize}
	\item Jede Diagonalmatrix ist Jordanmatrix
	\item $\begin{pmatrix}1\end{pmatrix},
		      \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix},
		      \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix},
		      \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix},
		      \xcancel{\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}}$
	\item \(
	      \begin{pmatrix} \tl3\br        \\
		       & \tl2 & 1    \\
		       &      & 2\br\end{pmatrix}
	      , \begin{pmatrix}
		      \tl0 & 1               \\
		      0    & 0\br            \\
		           &      & \tl-1\br
	      \end{pmatrix}\)
\end{itemize}
Wir wollen zeigen, dass $\alpha/A$ genau dann eine Jordan-Normalform besitzt, wenn $\alpha/A$ triangulierbar ist.

\subsubsection{Bemerkung}
\begin{itemize}
	\item $\chi_{J_m(\lambda)}(\mu) = (\lambda - \mu)^m \implies \spec(J_m(\lambda)) = \{\lambda\}$ \\
	      $J_m(\lambda) - \lambda I = \begin{pmatrix}
			      0      & 1      & 0      & \dots  & 0      \\
			      0      & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
			      \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
			      \vdots &        & \ddots & \ddots & 1      \\
			      0      & \dots  & \dots  & 0      & 0
		      \end{pmatrix}$\\
	      $\implies \dim(\eig_{J_m(\lambda)}(\lambda)) = \dim(\ker(J_m(\lambda) - \lambda I)) = 1$ \\
	      $\implies m_g(\lambda) = 1$ und $m_a(\lambda) = m$.

	\item $J_m(0)^m = 0$, das heißt $J_m(0)$ ist \underline{nilpotent}.
	      \begin{align*}
		       & J_m(0)(e_i): \begin{cases} e_{i-1} & i \in \{2, \dots, m\} \\
              0       & \text{sonst}\end{cases}    \\
		       & J_m(0)^l(e_i): \begin{cases}e_{i-l} & i \in \{l+1, \dots, m\} \\
             0       & \text{sonst}\end{cases}
	      \end{align*}
\end{itemize}

\begin{defin}
	$\alpha \in \homkv$ oder $A\in \K^{\nxn}$ heißt \underline{nilpotent} (mit Index $m$) falls
	$\alpha^m = 0 / A^m = 0$ und $\forall l \in [m-1]: \alpha^l \neq 0 / A^l \neq 0$.
\end{defin}

\begin{lemma}

	\label{theo:2.3.3}
	Sei $\alpha \in \homkv, \dim(V)=n$ nilpotent mit Index $m$. Dann existiert eine Basis $B$ mit
	\begin{equation*}
		{}_B M(\alpha)_B =
		\begin{pmatrix}
			0 & \delta_1 &        &              \\
			  & \ddots   & \ddots &              \\
			  &          & \ddots & \delta_{n-1} \\
			  &          &        & 0
		\end{pmatrix}
		\text{ und } \delta_i \in \{0, 1\} \forall i \in [n-1]
	\end{equation*}
	Das heißt ${}_B M(\alpha)_B$ ist blockdiagonal mit Jordanblöcken mit Eigenwerten $0$
\end{lemma}
\begin{proof}
	Sei $V_i := \ker(\alpha^i)$. \\
	Dies ergibt eine aufsteigende Kette von Unterräumen
	\begin{equation*}
		\underbrace{\{0\}}_{=V_0} \subseteq V_1 \subseteq \cdots \subseteq \underbrace{V_m}_{=V}
	\end{equation*}
	Wir bauen uns iterativ eine Basis für Komplemente $W_i$ mit $V_{i-1} \oplus W_i = V_i$.
	Sei also $B^{m-1}$ Basis von $V_{m-1}$. \\
	$C^m = (c_1^m, \dots, c_{r_{m}})$ Basis von $W_m$
	[das heißt $C^m$ ergänzt die Basis $B^{m-1}$ zu Basis von $V^m$]. \\
	\underline{Behauptung}
	\begin{enumerate} [label=\arabic*)]
		\item $\alpha(C^m) \subseteq V_{m-1}$
		\item $\alpha(C^m)$ linear unabhängig
		\item $\langle \alpha(C^m) \rangle \cap V_{m-2} = \{0\}$
	\end{enumerate}
	\begin{proof}[Zwischenbeweis]
		\begin{itemize}
			\item[1)] folgt aus $\alpha(V_{i+1}) \subseteq \alpha(V_i)$
			\item[3)] Sei $\sum\limits_{i}\mu_i \alpha(c_i^m) \in V_{m-2}$
				\begin{align*}
					 & \implies \alpha^{m-2}(\sum_{i}\mu_i \alpha(c_i^m)) = 0            \\
					 & \implies \alpha^{m-1} (\sum_{i} \mu_i \alpha(c_i^m)) = 0          \\
					 & \implies \sum \mu_i c_i^m \in V_{m-1}                             \\
					 & \underbrace{\implies}_{\mathclap{\substack{(c_i^m) \text{ liegen} \\
					\text{im Komplement}                                                 \\
							\text{von } V_{m-1}}}}
					\mu_i = 0, \forall i \implies \sum_{i} \mu_i \alpha(c_i^m) = 0
				\end{align*}
			\item[2)] folgt aus 3) [da $0\in V_{m-2}$]
		\end{itemize}
	\end{proof}
	Es folgt, dass
	\[
		\underbrace{V_{m-2} \oplus \langle \alpha(C^m) \rangle \oplus
			\overset{\langle D^{m-1} \rangle}{\langle C^{m-1} \rangle}}_{V_{m-1}} \oplus
		\overset{\langle D^m \rangle}{\langle C^m \rangle} = V
	\]
	Setze $D^m := C^m$ und definiere induktiv für $D^i \subseteq V_i$ die Menge
	$D^{i-1} := \alpha(D^i) \cup C^{i-1} \subseteq V_{i-1}$ sodass mit einer Basis $B^{i-2}$ von
	$V_{i-2}$ die Menge $B^{i-2} \cup D^{i-1}$ Basis von $V_{i-1}$ ist, also
	\[
		V_{i-2} \oplus \underbrace{\langle \alpha(D^i) \rangle \oplus \langle C^{i-1} \rangle}_
		{\langle D^i \rangle}
		= V_{i-1} \text{$\leftarrow$ das geht nach obiger Behauptung}
	\]
	Nach Konstruktion ist $(D^1, \dots, D^m)$ Basis von $V$.
	Sie besteht aus folgenden Elementen:
	\begin{align*}
		\left.
		\begin{array}{lll}
			J_m(0) \to & \alpha^{m-1}(d_1^m), \dots, \alpha(d_1^m),         & d_1^m     \\
			           &                                                    & \vdots    \\
			J_m(0) \to & \alpha^{m-1}(d_{r_m}^m), \dots, \alpha(d_{r_m}^m), & d_{r_m}^m
		\end{array}
		\right\} \in V_m     \\
		\left.
		\begin{array}{lll}
			J_{m-1}(0) \to & \alpha^{m-1}(d_1^{m-1}), \dots, \alpha(d_1^{m-1}),                 & d_1^{m-1}         \\
			               &                                                                    & \vdots            \\
			J_{m-1}(0) \to & \alpha^{m-1}(d_{r_{m-1}}^{m-1}), \dots, \alpha(d_{r_{m-1}}^{m-1}), & d_{r_{m-1}}^{m-1}
		\end{array}
		\right\} \in V_{m-1} \\
		\left. \begin{array}{lr}
			       J_1(0) \to & d_1^1     \\
			                  & \vdots    \\
			       J_1(0) \to & d_{r_1}^1
		       \end{array}
		\right\} V_1 = \ker(\alpha)
	\end{align*}
	Wenn wir die Basiselemente von links nach rechts und von oben nach unten ordnen erhalten wir
	die gewünschte Gestalt.
\end{proof}

\subsubsection{Bemerkung}
Angenommen \(\alpha - \lambda \id: V \to V\) nilpotent. Dann besitzt \(\alpha\) nach Lemma
\ref{theo:2.3.3} Jordan-Normalform.

\begin{defin}
	\label{theo:2.3.4}
	Sei \(V \K\)-Vektorraum, \(\dim(V) < \infty, \alpha \in \homkv\) und \(\lambda \in \spec(\alpha)\).
	Für \(l \in \mathbb{N}\) definiere \(V_{l, \lambda}:= \ker((\alpha - \lambda \id)^l)\)
\end{defin}

\subsubsection{Bemerkung}
\begin{itemize}
	\item $\alpha - \lambda \id|_{V_{l, \lambda}} \in \homk(V_{l, \lambda}, V_{l, \lambda})$:
	      \begin{align*}
		      \text{zu Zeigen: } v\in V_{l, \lambda} & \implies \alpha(v) - \lambda v \in V_{l, \lambda}\text{, das heißt}           \\
		      (\alpha - \lambda \id)^l v = 0         & \implies (\alpha - \lambda \id)^{l-1} (\alpha - \lambda \id) v = 0            \\
		                                             & \implies (\alpha - \lambda \id)(v) \in V_{l, \lambda}               & \square
	      \end{align*}
	\item Nach Lemma \ref{theo:2.3.3} gibt es also Basis von $V_{l, \lambda}$ bezüglich derer
	      $\alpha - \lambda \id |_{V_{l, \lambda}}: V_{l, \lambda} \to V_{l, \lambda}$
	      Jordan-Normalform hat
\end{itemize}

\begin{lemma}

	\label{theo:2.3.5}
	Sei $V \K$-Vektorraum, $\dim(V) < \infty, \alpha \in \homkv$. Für $l\in\mathbb{N}$ sei
	$V_l := \ker(\alpha^l)$. Dann gilt $\alpha(V_l) \subseteq V_{l-1} \subseteq V_l$ für alle
	$l\in \mathbb{N}$ und es existiert genau ein $k\in \mathbb{N}_0$ mit
	\[
		\{0\} = V_0 \subseteq V_1 \subseteq \cdots \subseteq V_k = V_{k+1} \text{ und } V_{l+1} =
		V_l, \forall l \ge k
	\]
\end{lemma}
\begin{proof}
	Da $\dim(V) < \infty$ muss es ein kleinstes $k$ mit $V_{k+1} = V_{k}$ geben.
	Angenommen $\exists l\ge k$ mit $V_{l+1} \neq V_l$. Sei $0\neq v\in V_{l+1} \setminus V_l$
	$\implies 0 = \alpha^{l+1}(v) = \alpha^{k+1}(\alpha^{l-k}(v))$ und $0\neq \alpha^l(v)
		= \alpha^k (\alpha^{l-k}(v)) \implies 0\neq \alpha^{l-k}(v) \in V_{k+1}\setminus V_k$
	\Lightning
\end{proof}

\begin{defin}
	Sei $V_{l, \lambda}$ wie in Definition \ref{theo:2.3.4} und $k$ wie in Lemma \ref{theo:2.3.5}
	Dann heißt \[
		\widetilde{\eig_\alpha(\lambda)} := V_{k, \lambda} = V_{k+1, \lambda}
	\]
	\underline{verallgemeinerter Eigenraum} oder \underline{Hauptraum} von $\alpha$ zum Eigenwert
	$\lambda$. $v \in V_{l, \lambda} \setminus V_{l-1, \lambda}$ für $1 \le l \le k$ heißt
	\underline{verallgemeinerter Eigenvektor} der Ordnung $l$.
\end{defin}

\subsubsection{Idee}
\begin{itemize}
	\item $\alpha|_{\widetilde{\eig_\alpha(\lambda)}}: \widetilde{\eig_\alpha(\lambda)} \to
		      \widetilde{\eig_\alpha(\lambda)}$
	      hat Jordan-Normalform.
	      Zerlege \begin{equation}
		      \label{eq:2.3.6.1}
		      V:= \widetilde{\eig_\alpha(\lambda_1)} \oplus \cdots \oplus \widetilde{\eig_\alpha(\lambda_r)}
	      \end{equation}
	      dann besitzt ganz $\alpha: V\to V$ Jordan-Normalform
	\item Sei $V= V_1 \oplus \cdots \oplus V_r$ und $\alpha \in \homkv$. Falls $\alpha(V_i) \subseteq V_i$ für alle
	      $i \in [r]$, dann schreiben wir $\alpha = \alpha_1 \oplus \cdots \oplus \alpha_r$ mit
	      $\alpha_i = \alpha|_{V_i} \forall i \in [r]$.
	      Für $v= v_1 + \cdots + v_r, v_i \in V_i, \forall i \in [r]$ gilt also
	      $\alpha(v) = \alpha_1(v_1) + \cdots + \alpha_r(v_r)$.
	      Sei $B_i = \{b_1^i, \dots, b_{d_i}^i\}$ Basis von $V_i$ und $B = (B_1, \dots, B_r)$.
	      Dann hat ${}_B M(\alpha)_B$ Blockdiagonalgestalt mit Blöcken ${}_{B_i} M(\alpha_i)_{B_i}$, das heißt
	      \[
		      {}_B M(\alpha)_B = \begin{pmatrix}
			      \overbrace{{}_{B_1} M(\alpha_1)_{B_1}}^{\in \K^{d_1 \times d_1}} &        & 0                                                                \\
			                                                                       & \ddots &                                                                  \\
			      0                                                                &        & \underbrace{{}_{B_r} M(\alpha_r)_{B_r}}_{\in\K^{d_r \times d_r}}
		      \end{pmatrix}
	      \]
	      Insbesondere gilt $\chi_\alpha = \chi_{\alpha_1} \cdot \dots \cdots \chi_{\alpha_r}$
	\item Da wir schon wissen, dass $\alpha|_{\widetilde{\eig_\alpha(\lambda_i)}}$ Jordan-Normalform hat folgt \\
	      Jordan-Normalform für $\alpha$ wenn \ref{eq:2.3.6.1} gezeigt werden kann.
\end{itemize}

\begin{satz}

	\label{theo:2.3.7}
	Sei $V \K$-Vektorraum mit $\dim(V) < \infty$ und $\alpha \in \homkv$ sodass
	$\chi_\alpha(\lambda) = (\lambda_1 - \lambda) \cdots (\lambda_r - \lambda)$ in Linearfaktoren
	zerfällt. Dann gilt
	$V = \widetilde{\eig_\alpha(\lambda_1)} \oplus \cdots \oplus \widetilde{\eig_\alpha(\lambda_r)}$
	und insbesondere $\alpha = \alpha_1 \oplus \cdots \oplus \alpha_r$ mit
	$\alpha_i := \alpha|_{\widetilde{\eig_\alpha(\lambda_i)}} \in \homk(\widetilde{\eig_\alpha(\lambda_i)},
		\widetilde{\eig_\alpha(\lambda_i)})$
\end{satz}
\begin{proof}
	Induktion nach $\dim(V)$.
	\begin{itemize}
		\item[$n=1$:] \checkmark
		\item[$n-1 \mapsto n$:] Da $\chi_A$ in Linearfaktoren zerfällt besitzt es eine Nullstelle
			$\lambda \in \spec(\alpha)$.
			\begin{enumerate}[label=Fall \arabic*:]
				\item $\widetilde{\eig_\alpha(\lambda)} = V$ \\
				      \underline{Behauptung:} $\spec(\alpha) = \{\lambda\}$
				      \begin{proof}[Zwischenbeweis]
					      Angenommen $\lambda' \neq \lambda$ und $\lambda' \in \spec(\alpha)$ und
					      $v\in \eig_\alpha(\lambda')$. \\
					      $\implies (\alpha - \lambda \id) (v) = \alpha(v) - \lambda'v + (\lambda' - \lambda) v
						      = (\lambda' - \lambda)(v)$ \\
					      $\implies (\alpha - \lambda \id)^l (v) \neq 0,\forall l \in \mathbb{N}$\Lightning \\
					      Daraus folgt das gewünschte Resultat
				      \end{proof}
				\item $\widetilde{\eig_\alpha(\lambda)} \neq V$. Sei $k$ minimal mit
				      $\ker(\alpha - \lambda - \id)^k = \widetilde{\eig_\alpha(\lambda)}$ [Lemma \ref{theo:2.3.5}]
				      Setze $V_1 := \widetilde{\eig_\alpha(\lambda)}, V_2 := \im(\alpha - \lambda \id)^k$. \\
				      \underline{Behauptung:}
				      \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
					      \item $\alpha(V_i) \subseteq V_i, i \in \{1, 2\}$
					      \item $V = V_1 \oplus V_2$
				      \end{enumerate}
				      \begin{proof}[Zwischenbeweis]
					      \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
						      \item Wir zeigen $(\alpha - \lambda \id)(V_i) \subseteq V_i$.
						            \begin{itemize}
							            \item[$i=1$:] Sei $v\in V_1 = \ker(\alpha - \lambda \id)^k$. Dann gilt klarerweise
								            $(\alpha - \lambda \id)(v) \in \ker(\alpha - \lambda \id)^k \checkmark$
							            \item[$i=2$:] Sei $v \in \im(\alpha - \lambda \id)^k$, also
								            $v = (\alpha - \lambda \id)^k (w)$
								            $\implies (\alpha - \lambda \id)(v)
									            = (\alpha - \lambda \id)^k (\alpha - \lambda \id)(w) \in
									            \im(\alpha - \lambda \id)^k \checkmark$
						            \end{itemize}
						      \item Es gilt $\dim(V) = \dim(V_1) + \dim(V_2)$ nach der Dimensionsformel.
						            Es genügt also zu zeigen, dass
						            $V_1 \cap V_2 = \{0\}$. \\ Sei $v\in V_1 \cap V_2$
						            \begin{align*}
							             & \underbrace{\implies}_{v\in V_2} \exists w\in V: v = (\alpha - \lambda \id)^k(w) \\
							             & \underbrace{\implies}_{v\in V_1} (\alpha - \lambda \id)^{2k}(w) = 0              \\
							             & \implies w \in V_{2k, \lambda} \setminus V_{k, \lambda}
							            \underbrace{\implies}_{\mathclap{\text{Lemma \ref{theo:2.3.5}}}} w = \{0\}\checkmark
						            \end{align*}
					      \end{enumerate}
				      \end{proof}
			\end{enumerate}

			Es folgt $V = \underbrace{\widetilde{\eig(\lambda)}}_{V_1} \oplus V_2, \dim(V_2) < n$ und \\
			$\alpha = \alpha_1 \oplus \alpha_2, \alpha_i := \alpha|_{V_i}, i\in\{1, 2\}$.
			Es folgt $\chi_\alpha = \chi_{\alpha_1} \cdot \chi_{\alpha_2}$, also zerfällt $\chi_{\alpha_2}$
			in Linearfaktoren. Daher können wir die Induktionsvorraussetzung anwenden,
			was das gewünschte Resultat lierfert.
	\end{itemize}
\end{proof}

\begin{satz}

	Sei $V \K$-Vektorraum, $\dim(V) < \infty$ und $\alpha \in \homkv$ sodass $\chi_A$ in
	Linearfaktoren zerfällt. Dann besitzt $\alpha$ Jordan-Normalform.
\end{satz}
\begin{proof}
	Zerlege nach Satz \ref{theo:2.3.7}
	$V = \widetilde{\eig_\alpha(\lambda_1)} \oplus \cdots \oplus \widetilde{\eig_\alpha(\lambda_r)}$
	und \\
	$\alpha = \alpha \oplus \cdots \oplus \alpha_r$.
	Da $\widetilde{\eig_\alpha(\lambda_i)} = \ker(\alpha - \lambda_i \id)^{k_i}$ ist
	$\alpha_i - \lambda_i \id := \alpha|_{\widetilde{\eig_\alpha(\lambda_i)}} - \lambda
		\id|_{\widetilde{\eig_\alpha(\lambda_i)}} $ nilpotent. Nach Lemma \ref{theo:2.3.3} gibt es eine Basis
	$B_i$ von $\widetilde{\eig_\alpha(\lambda_i)}$ sodass ${}_{B_i} M(\alpha_i)_{B_i}$ Jordan-Normalform
	hat. Es folgt mit $B= (B_1, \dots, B_r)$ dass \\ ${}_B M(\alpha)_B = \begin{pmatrix}
			{}_{B_1} M(\alpha_1)_{B_1} &        &                           \\
			                           & \ddots &                           \\
			                           &        & {}_{B_r}M(\alpha_r)_{B_r}
		\end{pmatrix}$ Jordanmatrix ist.
\end{proof}

\subsubsection{Berechnung der Jordan-Normalform}
\begin{enumerate}
	\item Berechne $\spec(\alpha) = \{ \lambda_1, \dots, \lambda_r \}$
	\item
	      \begin{enumerate}[label=\alph*)]
		      \item Haupträume berechnen: Finde $k$ minimal mit \[
			            \ker(\alpha - \lambda \id)^{k+1} = \ker(\alpha - \lambda \id)^k =: V_\lambda
		            \]
		      \item Für $1 \le l \le k$ bestimme $B_l = \{ b_1^l, \dots, b_{r_l}^l\}$, sodass $(B_1, \dots, B_l)$
		            Basis von $\ker(\alpha - \lambda \id)^l$.
	      \end{enumerate}
	\item
	      \begin{enumerate}[label=\alph*)]
		      \item Setze zunächst $v_i^k = b_i^k, i = 1, \dots, r_k$. $D_k := (v_1^k, \dots, v_{r_k}^k)$ \\
		            Setze $v_i^{k-1} := (\alpha - \lambda \id)(v_i^k) \in \langle B_{k-1} \rangle,
			            i = 1, \dots, r_k$ \\
		            Ergänze gegebenenfalls $(v_1^{k-1}, \dots, v_{r_k}^{k-1},
			            v_{r_{k+1}}^{k-1}, \dots, v_{r_{k-1}}^{k-1})=:D_{k-1}$, sodass \\
		            $\langle D_{k-1} \rangle = \langle B_{k-1} \rangle$
		      \item Führe 3a) iterativ aus. \\
		            Setze $v_i^{l-1} := (\alpha - \lambda \id)(v_i^l), i = 1, \dots, r_l$ \\
		            Ergänze gegebenenfalls
		            $v_1^{l-1}, \dots, v_{r_l}^{l-1}, v_{r_{l+1}}^{l-1}, \dots, v_{r_{l-1}}^{l-1} =:D_{l-1}$,
		            sodass $\langle D_{l-1} \rangle = \langle B_{l-1} \rangle$
	      \end{enumerate}
	\item Sei $B_\lambda = (D_1, \dots, D_k) \implies {}_{B_\lambda} M(\alpha|_{v_\lambda})_{B_\lambda}$ hat
	      Jordan-Normalform mit Eigenwert $\lambda$.
	\item Setze $B = (B_{\lambda_1}, \dots, B_{\lambda_r}) \implies {}_B M(\alpha)_B$ hat Jordan-Normalform.
\end{enumerate}

\subsubsection{Beispiel}
\begin{align*}
	 & A= \begin{pmatrix}
		      1 & 0 & 2 & 3  & 4  \\
		      0 & 1 & 0 & -2 & -3 \\
		      0 & 0 & 1 & 0  & 2  \\
		      0 & 0 & 0 & 1  & -1 \\
		      0 & 0 & 0 & 0  & 1
	      \end{pmatrix}
	, \chi_A(\lambda) = (\lambda - 1)^5                                                                 \\
	 & (A - 1\cdot I) = \begin{pmatrix}
		                    0 & 0 & 2 & 3  & 4  \\
		                    0 & 0 & 0 & -2 & -3 \\
		                    0 & 0 & 0 & 0  & 2  \\
		                    0 & 0 & 0 & 0  & -1 \\
		                    0 & 0 & 0 & 0  & 0
	                    \end{pmatrix}
	\implies \ker(A - I) = \langle ( \underbrace{e_1, e_2}_{B_1} ) \rangle                              \\
	 & (A-I)^2 = \begin{pmatrix}
		             0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
		             0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\
		             0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
		             0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
		             0 & 0 & 0 & 0 & 0
	             \end{pmatrix}
	\implies \ker((A-I)^2) = \langle (\underbrace{e_1, e_2}_{B_1}, \underbrace{e_3, e_4}_{B_2}) \rangle \\
	 & (A-I)^3 = 0 \implies \ker((A-I)^3) =
	\langle(\underbrace{e_1, e_2}_{B_1}, \underbrace{e_3, e_4}_{B_2}, \underbrace{e_5}_{B_3}) \rangle   \\
	 & B_1 = (e_1, e_2), B_2 = (e_3, e_4), B_3 = (e_5)
\end{align*}
\begin{align*}
	\begin{rcases}
		v_1^3 = e_5
	\end{rcases}
	D_3 \\
	\begin{rcases}
		v_1^2 = (A-1I)(v_1^3) = \begin{pmatrix}-4 \\ -3 \\ 2 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix} \\
		v_2^2 = e_4
	\end{rcases}
	D_2 \\
	\begin{rcases}
		v_1^1 = (A - I)(v_1^2) = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\
		v_2^1 = (A - I)(v_2^2) = \begin{pmatrix}3 \\ -2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
	\end{rcases}
	D_1
\end{align*}
\begin{align*}
	(\overset{\mathrlap{\rotatebox{30}{\scriptsize$\in\ker(A-I)$}}}{v_1^1}
	\underset{\mathclap{\substack{\rotatebox{180}{$\curvearrowright$} \\ A-I}}}{,}
	v_1^2
	\underset{\mathclap{\substack{\rotatebox{180}{$\curvearrowright$} \\ A-I}}}{,}
	v_1^3,
	\overset{\mathrlap{\rotatebox{30}{\scriptsize$\in\ker(A-I)$}}}{v_1^1}
	\underset{\mathclap{\substack{\rotatebox{180}{$\curvearrowright$} \\ A-I}}}{,}
	v_2^2) = B, {}_B M(A)_B =
	\begin{pmatrix}
		1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
		0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
		0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
		0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
		0 & 0 & 0 & 0 & 1
	\end{pmatrix}                                                 \\
	P =
	\begin{pmatrix}
		1 & 4  & 0 & 3  & 0 \\
		2 & -3 & 0 & -2 & 0 \\
		0 & 2  & 0 & 0  & 0 \\
		0 & 1  & 0 & 0  & 1 \\
		0 & 0  & 1 & 0  & 0
	\end{pmatrix}
	\implies P^{-1} A P =
	\begin{pmatrix}
		\tl1 & 1 & 0    & 0    & 0    \\
		0    & 1 & 1    & 0    & 0    \\
		0    & 0 & 1\br & 0    & 0    \\
		0    & 0 & 0    & \tl1 & 1    \\
		0    & 0 & 0    & 0    & 1\br
	\end{pmatrix}
\end{align*}

\chapter{Euklidische und Unitäre Vektorräume}
\subsubsection{Motivation}
Wir wollen Geometrie betreiben und Längen beziehungsweise Winkel messen können.
\subsubsection{Länge}
\begin{tikzpicture}[scale=4]
	\draw [-latex, very thick] (0, 0) -- (1.3, 1);
	\draw [dashed] (0, 0) -- (1.3, 0) -- (1.3, 1);
	\node [below] at (0.65, 0) {$x_2 - x_1$};
	\node [right] at (1.3, 0.5) {$y_2 - y_1$};
	\node [below left] at (0, 0) {$(x_1, y_1)$};
	\node [above right] at (1.3, 1) {$(x_2, y_2)$};
	\draw (1.1, 0) -- (1.1, 0.2) -- (1.3, 0.2);
	\draw [fill] (0, 0) circle [radius=0.02];
\end{tikzpicture}

\( \R^2: P_1 = (x_1, y_1), P_2 = (x_2, y_2) \) \\
\( d(P_1, P_2) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \lvert \vect{P_1P_2} \rvert  \)

\subsubsection{Winkel}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
	\coordinate (a) at (0, 0);
	\coordinate (b) at (5, 6);
	\coordinate (c) at (8, 4);
	\draw [fill] (a) circle [radius=0.07];
	\draw [very thick, ->] (a) -- (b);
	\draw [very thick, ->] (a) -- (c);
	\node [below left] at (a) {$p$};
	\node [right] at (b) {$v_2$};
	\node [right] at (c) {$v_2$};
	\draw pic [draw, thick, angle radius=3cm, pic text=$\alpha$] {angle=c--a--b};
\end{tikzpicture} \\
$v_1 = (u_1, w_1), v_2 = (u_2, w_2), v= (u, w)$ \\
$\cos(\alpha) = \dfrac{u_1 u_2 + w_1 w_2}{\lvert w_1 \rvert \lvert w_2 \rvert}$
$\lvert v \rvert = \sqrt{u^2 + w^2}$ \\
$v_1 \cdot v_2 = u_1 u_2 + w_1 w_2$ skalares Produkt \\
$\implies d(P_1, P_2) = \sqrt{\vect{P_1 P_2} \cdot \vect{P_1 P_2}}, \cos(\sphericalangle{v_1 v_2}) =
	\dfrac{v_1 v_2}{\lvert v_1 \rvert \lvert v_2 \rvert}$

\section[Skalarprodukte und Hermitesche Formen]{Skalarprodukte und Hermitesche \\ Formen}
Zunächst sei \( \K = \R \)

\begin{defin}
	Sei $V$ ein $\R$-Vektorraum und $\beta: V \times V \to \R$.
	$\beta$ heißt
	\begin{itemize}
		\item \underline{bilinear} (Bilinearform) wenn $\forall u, v, w\in V, \lambda \in \R$:
		      \begin{align*}
			      \beta(u+v, w) = \beta(u, w) + \beta(v, w), \\
			      \beta(u, v+w)=\beta(u, v) + \beta(u, w),   \\
			      \beta(\lambda u, v) = \lambda \beta(u, v) = \beta(u, \lambda v)
		      \end{align*}
		\item \underline{symmetrisch} wenn $\forall u, v \in V: \beta(u, v) = \beta(v, u)$
		\item \underline{positiv definit} wenn $\forall v \in V\setminus\{0\}: \beta(v, v) > 0$
		\item \underline{skalares Produkt} wenn $\beta$ symmetrisch, positiv definit (spd) und bilinear ist.
	\end{itemize}
\end{defin}

\subsubsection{Bemerkung}
$v=0\in V \implies 0 \cdot v = v \implies \beta(v, v) = \beta(0 \cdot v, v) = 0 \cdot \beta(v, v) = 0$

\subsubsection{Beispiele}
\begin{itemize}
	\item Sei $V = \R^n$ und $v= (v_1, \dots, v_n), w= (w_1, \dots, w_n)$ \\
	      $\beta_1(v, w) = \sum\limits_{i=1}^n v_i w_i= v^Tw$ ist symmetrische positiv definite Bilinearform.
	\item Sei $\dim(V) = n$ und $B=(b_1, \dots, b_n)$ Basis \\
	      Sei für $v, w \in V: \begin{cases} {}_B \Phi(v) = (v_1, \dots, v_n) \\
			      {}_B \Phi(w) = (w_1, \dots, w_n)\end{cases}$ \\
	      $\beta_2(v, w) = \sum\limits_{i=1}^n v_i w_i = \beta_1({}_B \Phi(v), {}_B \Phi(w))$ ist spd.
	\item $V= \R^2, v= \begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix},
		      w= \begin{pmatrix}w_1\\w_2\end{pmatrix}, A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$ \\
	      $\beta_3(v, w) = v^T A w \in \R$ \\
	      symmetrisch, weil
	      \[
		      \beta_3(v, w) = \beta_3(v, w)^T = (v^T A w)^T = w^T A^T v = w^T A v = \beta_3(w, v) \checkmark
	      \]
	      $\beta_3(u, v) = 4v_1w_1 - 2v_1w_2 - 2v_2w_1 + 3v_2 w_2 \implies
		      \beta(v, v) = (2 v_1 - v_2)^2 + 2 v_2^2 = 0
		      \implies v_2 = 0 \implies (2v_1)^2 = 0 \implies v_1 = 0$
	\item Sei $a, b \in \R, a < b, V = \{f:[a, b] \to \R: f \text{ stetig}\}$ \\
	      Sei $h \in V: h(t) > 0 \forall t \in [a, b]$
	      \begin{align*}
		       & \beta_4(f, g) = \int_a^b f(t) g(t) h(t) dt \text{ bilinear, symmetrisch} \\
		       & \beta_4(f, f) = \int_a^b \lvert f(t) \rvert ^2 h(t) dt = 0 \implies f= 0
	      \end{align*}
\end{itemize}

\begin{defin}
	Ein Vektorraum mit skalarem Produkt heißt \underline{Euklidischer Raum}.\\
	Man schreibt oft $u \cdot v, \inner uv$ anstatt $\beta(u, v)$.
\end{defin}

Nun sei $\K = \C$

\begin{defin}
	Sei $V$ ein \C-Vektorraum und $\beta: V \times V \to \C$. $\beta$ heißt \underline{hermitesche Form} wenn für
	alle $u, v, w \in V, \lambda \in \C$:
	\begin{enumerate}[label=\roman*)]
		\item $\beta(u + v, w) = \beta(u, w) + \beta(v, w)$
		\item $\beta(\lambda u, v) = \lambda \beta(u, v)$
		\item $\beta(u, v) = \overline{\beta(u, v)}$
	\end{enumerate}
\end{defin}

\begin{lemma}

	\label{theo:3.1.4}
	Sei $\beta$ hermitesche Form
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $\beta(u, v + w) = \beta(u, v) + \beta(u, w)$
		\item $\beta(u, \lambda v) = \overline{\lambda} \beta(u, v)$
		\item $\beta(u, u) \in \R$
	\end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $\beta(u, v+w) \overset{\text{iii}}{=} \overline{\beta(v+ w, u)} \overset{\text{i}}{=}
			      \overline{\beta(v, u)} + \overline{\beta(w, u)} \overset{\text{iii}}{=}\beta(u, v) + \beta(u, w) \checkmark$
		\item $\beta(u, \lambda v) \overset{\text{iii}}{=} \overline{\beta(\lambda v, u)} \overset{\text{ii}}{=}
			      \overline{\lambda}\cdot\overline{\beta(v, u)} \overset{\text{iii}}{=} \overline{\lambda} \beta(u, v)$
		\item $z = \overline{z} \iff z \in \R$ \\
		      $\beta(u, u) \overset{\text{iii}}{=} \overline{\beta(u, u)} \implies \beta(u, u) \in \R$
	\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{defin}
	Sei $\beta$ hermitesche Form.
	\begin{itemize}
		\item $\beta$ heißt \underline{positiv definit} wenn $\forall v \in V\setminus\{0\}:
			      \underbrace{\beta(v, v)}_{\in\R} > 0$
		\item Eine positiv definite hermitesche Form heißt \underline{skalares Produkt}
		\item Ein komplexer Vektorraum mit einem skalaren Produkt heißt \underline{unitärer} \underline{Raum}.
	\end{itemize}
\end{defin}

\subsubsection{Beispiel}
$V = \C^n, u = (u_1, \dots, u_n), v = (v_1, \dots, v_n)$ \\
$u \cdot v = \sum\limits_{i=1}^n u_i \overline{v_i}$ ist skalares Produkt
\par
Wir zeigen nun, dass jeder euklidische Vektorraum in einen unitären Vektorraum eingebettet werden kann.

\begin{defin}
	Sei $V$ ein \R-Vektorraum.
	\begin{align*}
		 & V_\C := \{ (u, v): u, v\in V \} \text{
		[Schreibe $(u, v) =: u + \overset{\mathclap{\substack{i^2 = -1                                             \\ |}}}{i} \cdot v$]} \\
		 & (u_1, v_1) + (u_2, v_2) := (u_1 + u_2, v_1 + v_2) \text{ Addition}                                      \\
		 & \lambda = (\gamma + i \delta) \in \C, \lambda \cdot (u, v) = (\gamma u - \delta v, \delta u + \gamma v)
		\text{ skalare Multiplikation}                                                                             \\
		 & \lambda(u + iv) = (\gamma + i \delta) (u + iv) = \gamma u + i \gamma v + i \delta u - \delta v          \\
		 & \; \; =(\gamma u - \delta v) + i (\gamma v + \delta u)                                                  \\
		 & \implies (V_\C, +, \cdot) \text{ ist \C-Vektorraum}
	\end{align*}
	$V_\C$ heißt die \underline{komplexe Erweiterung} von V.
\end{defin}

\[
	\text{Einbettung: }\iota: \begin{cases}V \to V_\C \\ v \mapsto (v, 0) = v + i\cdot 0 \end{cases}
\]

\begin{lemma}
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $V$ ist durch die Einbettung $v \overset{\iota_V}{\mapsto} (v, 0)$ \dq in $V_\C$ enthalten\dq, das heißt
		      $\iota_V$ ist injektiv.
		\item Seien $V, W$ \R-Vektorräume, $\alpha \in \Hom_\R(V, W)$. Dann existiert eine eindeutige komplexe
		      Erweiterung $\alpha_\C \in \Hom_\C(V_\C, W_\C)$ mit
		      \[
			      \forall v \in V: \alpha_\C(\iota_V(v)) = \iota_W(\alpha(v))
		      \]
	\end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $\iota_V$ ist linear \checkmark \\
		      $\iota_V(v) = (0, 0) \implies v = 0$ (injektiv)
		\item Sei $\alpha_\C$ so eine Fortsetzung \\
		      $\alpha_\C(u + iv) = \alpha_\C(u) + i \alpha_\C(v) = \alpha(u) + i\alpha(v)$ \\
		      $\alpha_\C((u, v)) = (\alpha(u), \alpha(v))$ Dadurch ist $\alpha_\C$ eindeutig bestimmt!
	\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{defin}
	$\alpha_\C$ heißt die komplexe Forsetzung von $\alpha$
\end{defin}

Auch skalare Produkte können eindeutig fortgesetzt werden.

\begin{satz}

	Sei $(V, \beta)$ euklidischer \R-Vektorraum. Dann existiert genau eine hermitesche Form $\beta_\C$ auf $V_\C$,
	welche $\beta$ fortsetzt:
	\[
		\forall v, w \in V: \beta_\C(\iota_V(v), \iota_V(w)) = \beta(v, w)
	\]
\end{satz}
\begin{proof}
	Ein solches $\beta_\C$ muss erfüllen, dass
	\begin{align*}
		\beta_\C(u_1 + i v_1, u_2 + i v_2) & = \beta_\C(u_1, u_2 + i v_2) + i \beta_\C(v_1, u_2+iv_2)                   \\
		                                   & = \beta_\C(u_1, u_2) + i \beta_\C(v_1, u_2)
		\underset{\mathclap{\substack{|                                                                                 \\\text{\ref{theo:3.1.4} b)}}}}{-}
		i \beta_\C(u_1, v_2) + \beta_\C(v_1, v_2)                                                                       \\
		                                   & = \beta(u_1, u_2) + \beta(v_1, v_2) + i(\beta(v_1, u_2) - \beta(u_1, v_2))
	\end{align*}
	und dadurch ist $\beta_\C$ eindeutig bestimmt.
\end{proof}

\begin{satz}
	[Cauchy-Schwarz]
	\label{theo:3.1.10}
	Für $u, v$ in einem euklidischen/unitären Vektorraum $V$ gilt
	\[
		\lvert \inner uv \rvert ^2 \le \inner uu \inner vv
	\]
	Gleichheit gilt genau wenn $u, v$ linear abhängig sind.
\end{satz}
\begin{proof}
	$v=0 \checkmark$ \\
	$v \neq 0 \implies \inner vv >0$ \\
	Sei $\lambda \in \C \implies$
	\begin{align*}
		0 & \le \inner{u - \lambda v}{ u - \lambda v  }                      \\
		  & = \inner u {u - \lambda v} - \lambda \inner v {u-\lambda v}      \\
		  & = \inner uu - \overline{\lambda} \inner uv - \lambda \inner vu +
		\underbrace{\lambda \overline{\lambda}}_{=\lvert\lambda\rvert^2} \inner vv
	\end{align*}
	Sei $\lambda := \dfrac{\inner uv}{\inner vv}, \overline{\lambda} =
		\dfrac{\overline{\inner uv }}{\overline{\inner vv }}
		=\dfrac{\inner vu}{\inner vv}$, so folgt
	\begin{align*}
		0 & \le \inner uu - \frac{\inner vu \inner uv }{\inner vv }
		- \frac{\inner uv \inner vu }{\inner vv } +
		\frac{\cancel{\inner vv } \inner uv \inner vu }
		{\inner{v}{v}^{\cancel{2}}}                                         \\
		  & = \inner uu - \frac{\lvert \inner uv \rvert^2}{\inner vv }      \\
		  & \implies 0 \le \inner uu \inner vv - \lvert \inner uv \rvert ^2 \\
		  & \implies \inner uu \inner vv \ge \lvert \inner uv \rvert^2.
	\end{align*}
	Gleichheit gilt, wenn $\inner{u - \lambda v}{u - \lambda v} = 0$, also $u, v$ linear abhängig.
\end{proof}

\begin{defin}
	Man nennt
	\begin{itemize}
		\item $\norm v := \sqrt{\inner vv }$ die \underline{Länge} oder die \underline{Norm} von
		      $v \in V$.
		\item $\cos(\sphericalangle v w) := \dfrac{\inner vw }{\norm v \norm w }$ der
		      Kosinus des \underline{Winkels} zwischen $v, w \in V$. \\
		      (Wegen Satz \ref{theo:3.1.10} ist $\cos(\sphericalangle v w) \le 1$ und damit auch $\sphericalangle v w$
		      wohldefiniert!)
		\item $v\in V$ heißt \underline{normiert} wenn $\norm v = 1$
	\end{itemize}
\end{defin}

\begin{satz}

	$\norm \cdot $ ist eine \underline{Norm}, das heißt
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $\norm v \ge 0$
		\item $\norm v = 0 \implies v = 0$
		\item $\norm {\lambda v} = \lvert \lambda \rvert \norm v $
		\item $\norm {v + w} \le \norm v + \norm w $ (Dreiecksungleichung)
	\end{enumerate}
\end{satz}
\begin{proof}
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $\norm v = (\underbrace{\inner vv }_{\in [0, \infty)})^\frac12 \ge 0$
		\item $\norm v = 0 \implies \norm{v}^2 = 0 \implies \inner vv = 0 \implies v = 0$
		\item $\norm{\lambda v}^2 = \inner{\lambda v}{\lambda v}= \norm{\lambda}^2
			      \inner vv = \lvert \lambda \rvert^2 \norm{v}^2$
		\item \begin{align*}
			      \norm{u + v}^2 & = \inner{u + v}{u +v}                                       \\
			                     & = \inner u{u+v} + \inner v{u+v} = \inner uu + \inner uv +
			      \inner vu + \inner vv                                                        \\
			                     & = \inner uu + \inner uv + \overline{\inner uv } + \inner vv \\
			                     & = \inner uu + 2 \Re(\inner uv ) + \inner vv                 \\
			                     & \le \inner uu + 2 \lvert \inner uv \rvert + \inner vv       \\
			                     & \le \inner uu + 2 \norm u \norm v + \inner vv               \\
			                     & = \norm{u}^2 + 2 \norm u \norm v + \norm{v}^2
			      = (\norm u + \norm v )^2
		      \end{align*}
	\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{defin}
	Sei $V = (v_1, \dots, v_k)$ mit $\forall i \in [k]: v_i \neq 0$.
	\begin{itemize}
		\item $v, w$ heißen \underline{orthogonal}, wenn $\inner vw = 0$ [schreibe auch $v \bot w$]
		\item $V$ heißt \underline{Orthogonalsystem} (OS), wenn
		      $\forall i, j \in [k], i\neq j: v_i \bot v_j$
		\item $V$ heißt \underline{Orthonormalsystem} (ONS), wenn $V$ ein Orthogonalsystem ist
		      und $\forall i \in [k]: \norm{v_i}= 1$
		\item $V$ heißt \underline{Orthogonalbasis} (OB), wenn $V$ ein Orthogonalsystem und eine Basis ist.
		\item $V$ heißt \underline{Orthonormalbasis} (ONB), wenn $V$ ein Orthonormalsystem und eine Basis ist.
	\end{itemize}
\end{defin}

\begin{satz}

	Sei $(v_1, \dots, v_k)$ ein Orthogonalsystem. Dann ist $(v_1, \dots, v_k)$ linear \\unabhängig.
\end{satz}
\begin{proof}
	Angenommen $\lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_k v_k = 0$
	\[
		\forall i \in [k]: 0 = \lambda_1 \underbrace{\inner {v_1}{v_i}}_{=0} + \dots +
		\lambda_i \underbrace{\inner {v_i}{v_i}}_{\neq0} + \dots +
		\lambda_k \underbrace{\inner {v_k}{v_i}}_{=0}
		= \lambda_i \underbrace{\norm{v_i}^2}_{\neq 0}
	\]
	$\implies \lambda_i = 0$
\end{proof}

\begin{satz}

	\label{theo:3.1.15}
	Sei $B=(b_1, \dots, b_n)$ Orthonormalbasis von $V, n\in \mathbb{N}\cup \{\infty\}$.
	Dann gilt für alle $v, w \in V$ und $(\lambda_1, \dots, \lambda_n) = {}_B \Phi(v), (\mu_1, \dots, \mu_n)
		= {}_B\Phi(w)$:
	\[
		\inner vw = \sum_{i=1}^n \lambda_i \overline{\mu_i}
	\]
	Weiters gilt $\lambda_i = \inner{v}{b_i}, b_i^*(v) = \inner v {b_i}$
\end{satz}
\begin{proof}
	\begin{align*}
		 & \inner{b_i}{b_j} = \delta_{ij}                                                                        \\
		 & \begin{rcases}v = \sum_{i=1}^n \lambda_i b_i \\
			   w = \sum_{i=1}^n \mu_i b_i\end{rcases} \implies \inner vw
		= \sum_{i, j = 1}^n \inner{\lambda_i b_i}{\mu_j b_j} = \sum_{i, j = 1}^n \lambda_i \overline{\mu_j}
		\inner{b_i}{b_j} = \sum_{i=1}^n \lambda_i \overline{\mu_i}                                               \\
		 & {}_B \Phi(b_i) = (0, \dots, \overset{i}{1}, \dots, 0) \implies \inner v{b_i} = \sum_{j=1}^n \lambda_j
		\delta_{ij} = \lambda_i
	\end{align*}
\end{proof}

\begin{satz}
	[Gram-Schmidt Orthonormalisierungsverfahren]
	\label{theo:3.1.16}
	Sei $(a_1, a_2, \dots) \subseteq V$ linear unabhängig. Dann existiert genau ein Orthonormalsystem
	$(b_1, b_2, \dots)$ mit
	\begin{enumerate}[label=\roman*)]
		\item $\forall k: \langle a_1, \dots, a_k \rangle = \langle b_1, \dots, b_k \rangle =: U_k$
		\item Die Basistransformationsmatrix $M_k$ zwischen der Basen $(a_1, \dots, a_k)$ und $(b_1, \dots, b_k)$
		      von $U_k$ hat positive Determinante.
	\end{enumerate}
\end{satz}
\begin{proof}
	$b_1, b_2, \dots$ werden induktiv definiert.
	\begin{itemize}
		\item $b_1 = \frac{a_1}{\norm{a_1}}, M_1 = \begin{pmatrix}\frac{1}{\norm{a_1}}\end{pmatrix}$ \\
		      Eindeutigkeit: Sei $\tilde b_1$ mit i), ii) $\implies \tilde b_1 = c \cdot a_1, 1 = \norm{\tilde b_1}
			      = \norm{c \cdot a_1} = \lvert c \rvert \norm{a_1}$ \\
		      $ \implies \lvert c \rvert = \dfrac{1}{\norm{a_1}} \implies \tilde M_k =(c)$
		\item $(b_1, \dots, b_n)$ schon konstruiert mit i), ii) \\
		      Sei $c_{n+1} := a_{n+1} - \sum\limits_{j=1}^n \inner{a_{n+1}}{b_j} b_j$
		      \begin{align*}
			       & \forall i \in [n]: \inner{c_{n+1}}{b_i} = \inner{a_{n+1}}{b_i} -
			      \sum\limits_{j=1}^n \inner{a_{n+1}}{b_j} \underbrace{\inner{b_j}{b_i}}_{\delta_{ij}} \\
			       & = \inner{a_{n+1}}{b_i}
			      - \inner{a_{n+1}}{b_i} = 0 \implies c_{n+1} \bot \langle b_1, \dots, b_n \rangle
		      \end{align*}
		      $b_{n+1} = \dfrac{c_{n+1}}{\norm{c_{n+1}}} \implies (b_1, \dots, b_{n+1})$ Orthonormalsystem mit \\
		      $\langle b_1, \dots, b_n \rangle = \langle a_1, \dots, a_n \rangle$
		      \begin{align*}
			       & b_1 = \mu_{11} a_1                                                                      \\
			       & b_2 = \mu_{21} a_1 + \mu_{22} a_2                                                       \\
			       & b_3 = \mu_{31} a_1 + \mu_{32} a_2 + \mu_{33} a_3                                        \\
			       & \vdots                                                                                  \\
			       & b_n = \mu_{n1} a_1 + \dots + \mu_{nn} a_n                                               \\
			       & b_{n+1} = \mu_{n+1 1} a_1 + \dots + \mu_{n+1 n} a_n + \dfrac{1}{\norm{c_{n+1}}} a_{n+1} \\
			       & \implies \det(\mu_{ij}) = \det(M_n) \cdot \dfrac{1}{\norm{c_{n+1}}} > 0
		      \end{align*}
		      Eindeutigkeit: Sei $\tilde b_{n+1}$ ein weiterer Vektor mit i), ii)
		      \begin{align*}
			       & \implies \tilde b_{n+1} = \mu_1 b_1 + \dots + \mu_n b_n + \mu b_{n+1}                                \\
			       & \forall i \in [n]: 0 = \inner{\tilde b_{n+1}}{b_i} = \mu_i \implies \tilde b_{n+1} = \mu b_{n+1}     \\
			       & 1 = \norm{\tilde b_{n+1}} = \lvert \mu \rvert \norm{b_{n+1}} = \lvert \mu \rvert \implies \lvert \mu
			      \rvert = 1                                                                                              \\
			       & \det(\tilde M_{n+1}) = \det(M_n) \cdot \mu > 0 \implies \mu = 1 \land \tilde b_{n+1} = b_{n+1}
		      \end{align*}
	\end{itemize}
\end{proof}

\begingroup
\allowdisplaybreaks

\subsubsection{Veranschaulichung im $\R^2$}
\begin{tikzpicture}[scale=3.79]
	\tikzmath{
		\a1 = 3;
		\a2 = 1;
		\a3 = 2;
		\a4 = 2;
		\norma1 = sqrt((\a1 * \a1 + \a2 * \a2));
		\normeda1 = \a1 / \norma1;
		\normeda2 = \a2 / \norma1;
		\innerprod = (\normeda1 * \a3) + (\normeda2 * \a4);
		\c1 = \a3 - (\innerprod * \normeda1);
		\c2 = \a4 - (\innerprod * \normeda2);
		\t1 = (\innerprod * \normeda1);
		\t2 = (\innerprod * \normeda2);
		\normc = sqrt((\c1 * \c1 + \c2 * \c2));
		\b3 = \c1 / \normc;
		\b4 = \c2 / \normc;
	}
	\draw [->] (0, 0) --node[above]{$a_1$} (\a1, \a2);
	\draw [->] (0, 0) --node[above]{$a_2$} (\a3, \a4);
	\draw [->, blue, thick] (0, 0) --node[below right]{$\inner{a_2}{b_1}b_1$} (\t1, \t2);
	\draw [->, violet, very thick] (0, 0) --node[below right]{$\frac{a_1}{\norm{a_1}}=:b_1$} (\normeda1, \normeda2);
	\draw [->, magenta, thick] (0, 0) --node[left]{$c_2:=a_2 - \inner{a_2}{b_1}b_1$} (\c1, \c2);
	\draw [->, teal, very thick] (0, 0) --node[right]{$\frac{c_2}{\norm{c_2}}=:b_2$} (\b3, \b4);
\end{tikzpicture}

\subsubsection{Beispiel}
$V = \R^4, a_1 = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix},
	a_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -4 \\ -5 \end{pmatrix},
	a_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ -2 \\ -5 \end{pmatrix}$
\begin{align*}
	 & b_1 = \frac{1}{\norm{a_1}} a_1 ,\; \norm{a_1} = (4^2 + 2^2 + 2^2 + 1^2)^{\frac 12} = \sqrt{25} = 5   \\
	 & = \frac 15 \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} ,\;
	\inner{a_2}{b_1} = \frac 15 \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -4 \\ -5 \end{pmatrix} \cdot
	\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} = \frac 15 (8 + 4 + 8 + 5)^\frac 12 = \frac{25}5       \\
	 & c_2 = a_2 - \underbrace{\inner{a_2}{b_1}}_5 b_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -4 \\ -5 \end{pmatrix} -
	\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix}    \\
	 & \norm c_2 = (4 + 4 + 16) = \sqrt{24}                                                                 \\
	 & \implies b_2 = \frac{1}{\sqrt{24}} \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix}                 \\
	 & c_3 = a_3 - \inner{a_3}{b_1} b_1 - \inner{a_3}{b_2} b_2 = \dots =
	\begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix}                                                          \\
	 & \norm{c_3} = (4 + 36 + 4)^\frac 12 = \sqrt{44}                                                       \\
	 & \implies b_3 = \frac 1{\sqrt{44}} \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}
\end{align*}

\endgroup

\begin{satz}

	\label{theo:3.1.17}
	Sei $V$ ein euklidischer/unitärer Vektorraum mit höchstens abzählbarer Dimension.
	Dann kann jedes Orthonormalsystem zu einer Orthonormalbasis von $V$ ergänzt werden.
\end{satz}
\begin{proof}
	Sei $(b_1, \dots, b_k)$ ein Orthonormalsystem, $(b_1, \dots, b_k, a_{k+1}, \dots)$ eine Basis.
	Satz \ref{theo:3.1.16} $\implies \exists b_{k+1}, b_{k+2}, \dots$ mit $(b_1, \dots, b_k, b_{k+1}, \dots)$
	Orthonormalbasis.
\end{proof}

\begin{defin}
	\begin{itemize}
		\item $M, N \subseteq V$ heißen \underline{orthogonal} wenn $\forall v \in M, w \in N:
			      \underset{\inner vw = 0}{v \bot w}$ \\
		      Wir schreiben $M \bot N$ \\
		      $[M = {v} \implies v \bot N]$
		\item Für $M \subseteq V$ heißt
		      \[
			      M^\bot := \{ v\in V: v \bot M \} = \{ v \in V: \forall w \in M: \inner vw = 0 \}
		      \]
		      \underline{orthogonales Komplement} von M
	\end{itemize}
\end{defin}

\subsubsection{Bemerkung}
$M^\bot$ ist immer Unterraum von $V$, selbst wenn $M$ kein Unterraum ist.

\begin{satz}

	Sei $U$ $r$-dimensionaler Unterraum von $n$-dimensionalem euklidischen/\\ unitären Vektorraum $V$. Dann gilt:
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $\dim(U^\bot) = n - r$
		\item $(U^\bot)^{{}^\bot} = U$
		\item $V = U \oplus U^\bot$
	\end{enumerate}
\end{satz}
\begin{proof}
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $(b_1, \dots, b_r)$ Orthonormalbasis von $U$.\\
		      $(b_1, \dots, b_r, b_{r+1}, \dots, b_n)$ Orthonormalbasis von $V$. \newline
		      [die existiert laut Satz \ref{theo:3.1.17}] \\
		      Behauptung: $U^\bot = \langle b_{r+1}, \dots, b_n \rangle$ \\
		      Beweis: $\subseteq$: Sei $v\in U^\bot, v = \sum_{i=1}^n \lambda_i b_i$
		      \[
			      \forall i \in [r]: 0 = \inner v{b_i} = \inner{\sum_{j=1}^n \lambda_j b_j}{b_i} =
			      \sum_{j=1}^n \lambda_j \underbrace{\inner{b_j}{b_i}}_{\delta_{ij}} = \lambda_i
		      \]
		      $\supseteq: v\in \langle b_{r+1}, \dots, b_n \rangle \overset{!}{\implies} v \in U^\bot$ \\
		      $\implies \sum_{j=r+1}^n \lambda_j b_j, u = \sum_{i=1}^r \mu_i b_i \in U$ \\
		      $\implies \inner vu = \sum_{j=r+1}^n \lambda_j \sum_{i=1}^r \underbrace{\inner{b_j}{b_i}}_{=0}=0$ \\
		      $\implies$ a)
		\item $U \subseteq (U^\bot)^{{}^\bot}$ \\
		      Sei $v \in U \implies \forall w \in U^\bot: \inner wv = 0 \implies v \in (U^\bot)^{{}^\bot}$ \\
		      $(U^\bot)^{{}^\bot} \subseteq U: \dim((U^\bot)^{{}^\bot}) \overset{\text{a)}}{=} n - \dim(U^\bot)
			      \overset{\text{a)}}{=} n - (n-r) = r = \dim(U)$
		\item $U\oplus U^\bot$: Sei $w\in U \cap U^\bot \implies \inner ww = 0 \implies w = 0$
	\end{enumerate}
\end{proof}

\subsubsection{Bemerkung}
$(U^\bot)^{{}^\bot}$ gilt im Allgemeinen nicht, wenn $\dim(V) = \infty$.

\subsubsection{Beispiel}
$V = \{ f: [0, 1] \to \R, \text{ stetig} \}, \inner fg = \int_0^1 f(t) g(t) dt$\\
$U = \{ p \in V: p \text{ ist Polynom}\}$\\
$(p_1, p_2, \dots)$ ist eine Orthonormalbasis von $U$.\\
Wir zeigen: $U^\bot = \{0\} \implies (U^\bot)^{{}^\bot} =V\neq U$
\begin{nonumbersatz}[Weierstraß]
	$\forall f \in V, \varepsilon > 0 \; \exists p \in U: \norm{f-p}_\infty \le \varepsilon$\\
	Beweis wird hier nicht geführt.
\end{nonumbersatz}
\par
Sei $f \in V \setminus \{0\}, a := \norm f^2 = \inner ff, b = \norm f _\infty$.
Sei $p \in U: \norm{f-p}_\infty < \frac a {2b}$ \\
Behauptung: $\inner fp > 0$
\begin{align*}
	\inner fp = \int_0^1 f(t)p(t) dt & = \int_0^1 f(t)[f(t) - (f(t) - p(t))]dt                                \\
	                                 & = \int_0^1 f(t)f(t)dt - \int_0^1 f(t)(f(t) - p(t)) dt                  \\
	                                 & = a - \int_0^1 f(t)[f(t)-p(t)] dt                                      \\
	\int_0^1 \underbrace{f(t)}_{\substack{\le \norm b_\infty                                                  \\ \le b}}
	[\underbrace{f(t) - p(t)}_{\substack{\le \norm{f - p}_\infty                                              \\\le \frac a {2b}}}]
	                                 & \le \int_0^1 b \cdot \frac a {2b}dt -
	\int_0^1 \frac a2 dt = \frac a2                                                                           \\
	\forall f \in V: \exists p \in U: \int_0^1 f(t)p(t)dt
	                                 & \neq 0 \implies U^\bot = \{\} \implies U \subsetneq (U^\bot)^{{}^\bot}
\end{align*}

\section[Adjungierte Abbildungen und normale Endomorphismen]
 {Adjungierte Abbildungen und normale \\Endomorphismen}
\begin{defin}
	Seien $V, W$ euklidische/unitäre Vektorräume, $\alpha \in \homk(V, W), \K \in \{\R, \C\}$. \\
	$\alpha^* \in \homk(W, V)$ heißt \underline{zu $\alpha$ adjungiert}, falls
	\[
		\forall v \in V: \forall w \in W: \inner{\alpha(v)}{w}_W = \inner{v}{\alpha^*(w)}_V
	\]
	$V=W$: Gilt $\genfrac{}{}{0pt}{0}{\alpha = -\alpha^*}{\alpha = \alpha^*}$,
	so heißt $\alpha$ $\genfrac{}{}{0pt}{0}{\text{\underline{anti-selbstadjungiert}}}
		{\text{\underline{selbstadjungiert}}}$.
\end{defin}

\subsubsection{Bemerkung}
\begin{itemize}
	\item $\alpha^*$ muss nicht existieren! \\
	      Beispiel: $U, V$ wie vorher. $\alpha \in \Hom_\R(U, V), \alpha(p) = p \forall p \in U$ \\
	      Angenommen $\exists \alpha^* \in \Hom_\R(V, U), e(t) = e^t \implies e \in V$ \\
	      $\alpha^* (e) = a_1 p_1 + \dots + a_m p_m$ \\
	      $f := e - (a_1 p_1 + \dots + a_m p_m) = e- \alpha^*(e) \neq 0$ \\
	      Behauptung: $f \in U^\bot (\implies f = 0$ \Lightning)
	\item $i \in \{m+1, m+2, \dots \}$ %Eigentlich nicht so wirklich ein Punkt?!
	      \begin{align*}
		       & \inner{e}{p_i} = \inner{e}{\alpha(p_i)} = \inner{\alpha^*(e)}{p_i} =
		      \inner{a_1 p_1 + \dots + a_m p_m}{p_i} = 0                              \\
		       & \implies \forall i = m+1, m+2, \dots: \inner{f}{p_i} = 0
	      \end{align*}
	      Außerdem: $i\in [m]: \inner{e}{p_i} = \inner{\alpha^*}{p_i}$ \newline
	      $\implies \inner{f}{p_i} =
		      \inner{e - \alpha^*(e)}{p_i} = \inner{\alpha^*(e) - \alpha^*(e)}{p_i} = 0$ \\
	      $\implies \inner{f}{p_i} \forall i = 1, 2, \dots \implies f \in U^\bot \implies f= \{0\}$\Lightning
	\item Wenn $\alpha^*$ existiert, dann ist $\alpha^*$ eindeutig.
\end{itemize}

\begin{lemma}

	Sei $\alpha \in \homk(V, W), \dim(V) < \infty$
	Dann existiert $\alpha^*$: \\
	Mit $\{e_1, \dots, e_n\}$ Orthonormalbasis von $\underbrace{V}_{
		\mathclap{\text{Existenz gegeben wegen Satz \ref{theo:3.1.17}}}}$ gilt:
	\[
		\alpha^*(w) := \sum_{i=1}^n \inner{w}{\alpha(e_i)} e_i
	\]
\end{lemma}
\begin{proof}
	Zu Zeigen: $\forall v \in V, w \in W: \inner{\alpha(v)}{w} = \inner{v}{\alpha^*(w)}$.\\
	O.B.d.A.: $v = e_j$ für $j \in [n]$
	\begin{align*}
		\inner{v}{\alpha^*(w)} = \inner{e_j}{\sum_{i=1}^n \inner{w}{\alpha(e_i)}e_i}
		 & = \sum_{i=1}^n \inner{e_j}{\inner{w}{\alpha(e_i)} e_i}                                     \\
		 & = \sum_{i=1}^n \overline{\inner{w}{\alpha(e_i)}} \underbrace{\inner{e_j}{e_i}}_{\delta_ij} \\
		 & = \overline{\inner{w}{\alpha(e_j)}} = \inner{\alpha(e_j)}{w} = \inner{\alpha(v)}{w}
	\end{align*}
\end{proof}

\begin{defin}
	Sei $A \in \C^{m \times n}$.
	\begin{align*}
		 & \overline{A} := (\overline{a}_{ij})_{i,j} &  & \text{ zu $A$ \underline{konjugiert komplexe} Matrix} \\
		 & A^* = (\overline{A})^T                    &  & \text{ zu $A$ \underline{adjungierte} Matrix}
	\end{align*}
\end{defin}

\begin{satz}

	\label{theo:3.2.4}
	Sei $\alpha \in \homk(V, W), \K \in \{\R, \C\}, \dim(V), \dim(W) < \infty$
	\[
		\begin{rcases}
			E = \{e_1, \dots, e_n\} \text{ ONB von V} \\
			F = \{f_1, \dots, f_n\} \text{ ONB von W}
		\end{rcases}
		\implies {}_E M(\alpha^*)_F = ({}_F M(\alpha)_E)^*
	\]
\end{satz}
\begin{proof}
	\begin{align*}
		 & A = {}_F M(\alpha)_E = (a_{ij})_{\substack{i=1,\dots,m                                                  \\j=1,\dots,n}}, \,
		B = {}_E M(\alpha^*)_F = (b_{ij})_{\substack{i=1,\dots,n                                                   \\j=1,\dots,m}} \\
		 & \alpha(e_j) = \sum_{i=1}^m a_{ij} f_i                                                                   \\
		 & F \text{ ONB} \implies a_{ij} = \inner{\alpha(e_j)}{f_i}                                                \\
		 & \alpha^*(f_j) = \sum_{i=1}^n b_{ij} e_i \implies b_{ij} = \inner{\alpha^*(f_j)}{e_i}                    \\
		 & \dots = \overline{\inner{e_i}{\alpha^*(f_j)}} = \overline{\inner{\alpha(e_i)}{f_j}} = \overline{a_{ji}} \\
		 & \implies B = A^*
	\end{align*}
\end{proof}

\begin{lemma}
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $(\alpha^*)^{{}^*} = \alpha$
		\item $(\alpha + \beta)^* = \alpha^* + \beta^*$
		\item $(\lambda \alpha)^* = \overline{\lambda}\alpha^*$
		\item $(\beta \circ \alpha)^* = \alpha^* \circ \beta^*$
		\item $\alpha \in \homkv, \dim(V) < \infty \implies \det(\alpha) = \overline{\det(\alpha^*)}$
	\end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $\inner{\alpha(v)}{w} = \inner{v}{\alpha^*(w)} = \overline{\inner{\alpha^*(w)}{v}} =$ \\
		      $\overline{\inner{w}{(\alpha^*)^{{}^*}(v)}} = \inner{(\alpha^*)^{{}^*}(v)}{w} \; \forall v \in V, w \in W$ \\
		      $\implies \inner{\alpha(v) - (\alpha^*)^{{}^*}(v)}{w} = 0 \; \forall v \in V, w \in W, \;
			      w:= \alpha(v) - (\alpha^*)^{{}^*}$ \\
		      $\implies \inner{\alpha(v) - (\alpha^*)^{{}^*}}{\alpha(v) - (\alpha^*)^{{}^*}} = 0 \iff
			      \norm{\alpha(v) - (\alpha^*)^{{}^*}} = 0 \implies \forall v \in V: \alpha(v) = (\alpha^*)^{{}^*}$
		\item $ \inner{(\alpha + \beta)}{w} = \inner{v}{(\alpha + \beta)^*(w)} $ \\
		      $ = \inner{\alpha(v) + \beta(v)}{w} = \inner{\alpha(v)}{w} + \inner{\beta(v)}{w} = \inner{v}{\alpha^*(w)} +
			      \inner{v}{\beta^*(w)} = \inner{v}{\alpha^*(w) + \beta^*(w)}$
		\item $ \inner{(\lambda \alpha)(v)}{w} = \inner{v}{(\lambda \alpha)^*(w)} $\\
		      $ = \lambda \inner{\alpha(v)}{w} = \lambda \inner{v}{\alpha^*(w)} = \inner{v}{\overline{\lambda} \alpha^*(w)}$
		\item $ \inner{\beta \circ \alpha(v)}{w} = \inner{\alpha(v)}{\beta^*(w)} = \inner{v}{\alpha^* \circ \beta^*(w)}$ \\
		      $ = \inner{v}{(\beta \circ \alpha)^*(w)} $
		\item Sei $E$ Orthonormalbasis, $A = {}_E M(\alpha)_E = (a_{ij}) \in \C^{\nxn}$
		      \[
			      \overline{\det(\alpha)} = \sum_{\pi \in S_n} \sgn(\pi) \overline{a}_{1\pi(1)} \cdots \overline{a}_{n\pi(n)}
			      = \det(\overline{A}) = \det(\overline A^T) = \det(A^*)
		      \]
		      $ =\det({}_E M(\alpha^*)_E) = \det(\alpha^*) $ %Eigentlich noch in dem oberen environment
	\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{defin}
	$\alpha \in \homkv$ mit $V$ euklidisch/unitär heißt \underline{normal}, wenn $\alpha^*$ existiert und
	\[
		\alpha \circ \alpha^* = \alpha^* \circ \alpha
	\]
\end{defin}

\begin{satz}

	\label{theo:3.2.7}
	\[
		\alpha \text{ normal} \iff \inner{\alpha(v)}{\alpha(w)} = \inner{\alpha^*(v)}{\alpha^*(w)}
	\]
\end{satz}
\begin{proof}
	\begin{itemize}
		\item[$\implies$:]$\inner{\alpha(v)}{\alpha(w)} = \inner{v}{\alpha^*(\alpha(w))}
			\underbrace{=}_{\alpha \text{ normal}} \inner{v}{\alpha(\alpha^*(w))}$ \\
		$ \inner{\alpha^*(v)}{\alpha^*(w)} = \inner{v}{(\alpha^*)^{{}^*} (\alpha^*(v))} = \inner{v}{\alpha(\alpha^*(w))}$
	\end{itemize}
\end{proof}

\begin{lemma}

	\[
		\alpha \text{ normal } \implies \ker(\alpha) = \ker(\alpha^*)
	\]
\end{lemma}
\begin{proof}
	\begin{align*}
		 & \norm{\alpha(v)}^2 = \inner{\alpha(v)}{\alpha(v)} = \inner{\alpha^*(v)}{\alpha^*(v)} = \norm{\alpha^*(v)}^2 \\
		 & v \in \ker(\alpha) \iff \alpha(v) = 0 \iff \norm{\alpha(v)} = 0 \iff \norm{\alpha^*(v)} = 0                 \\
		 & \iff \alpha^*(v) = 0 \iff v \in \ker(\alpha^*)
	\end{align*}
\end{proof}

\begin{satz}

	\label{theo:3.2.9}
	$\alpha$ normal:
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $\alpha$ und $\alpha^*$ besitzen die selben Eigenvektoren.
		\item $v \in \eig_\alpha(\lambda)\implies v \in \eig_{\alpha^*}(\overline \lambda)$
	\end{enumerate}
\end{satz}
\begin{proof}
	$v \in \eig_\alpha(\lambda)$
	\begin{align*}
		\norm{\alpha(v) - \lambda v}^2 & = \inner{\alpha(v) - \lambda v}{\alpha(v) - \lambda v}                         \\
		                               & = \inner{\alpha(v)}{\alpha(v)} - \lambda \inner{v}{\alpha(v)} -
		\overline\lambda \inner{\alpha(v)}{v} + \lambda \overline \lambda
		\inner vv                                                                                                       \\
		                               & \underbrace{=}_{\alpha\text{ normal}}
		\inner{\alpha^*(v)}{\alpha^*(v)} - \lambda \overline{\inner{\alpha(v)}{v}}
		-\overline{\lambda} \inner{v}{\alpha^*(v)} + \lambda \overline \lambda
		\inner vv                                                                                                       \\
		                               & = \inner{\alpha^*(v)}{\alpha^*(v)} - \lambda \overline{\inner{v}{\alpha^*(v)}}
		- \overline \lambda \inner{v}{\alpha^*(v)}
		+ \lambda \overline \lambda \inner vv                                                                           \\
		                               & =\inner{\alpha^*(v)}{\alpha^*(v)} - \lambda \inner{\alpha^*(v)}{v}
		- \overline \lambda \inner{v}{\alpha^*(v)} + \lambda \overline\lambda
		\inner vv                                                                                                       \\
		                               & = \inner{\alpha^*(v) - \overline \lambda v}{\alpha^*(v) - \overline{\lambda}
			v} = \norm{\alpha^*(v) - \overline \lambda v}^2
	\end{align*}
	\begin{align*}
		 & v \in \eig_\alpha(\lambda) \iff \alpha(v) - \lambda v = 0 \iff \norm{\alpha(v) - \lambda v}^2 = 0 \\
		 & \iff \norm{\alpha^*(v) - \overline \lambda v}^2 = 0 \iff \alpha^*(v) - \overline \lambda v = 0
		\iff v \in \eig_{\alpha^*}(\overline\lambda)
	\end{align*}
\end{proof}

\begin{satz}
	[Spektralsatz für normale Abbildungen]
	\label{theo:3.2.10}
	$\alpha \in \Hom_\C(V, V), V$ unitär mit $\dim(V) = n < \infty$. Dann gilt:
	\[
		\exists \text{ Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von } \alpha \iff \alpha \text{ normal}
	\]
\end{satz}
\begin{proof}
	\begin{itemize}
		\item[$\impliedby$:] $\alpha$ normal
			\begin{itemize}
				\item[$n=1$:] $\exists$ Eigenvektor $e_1 \in V \setminus\{0\}$ mit $\alpha(e_1) = \lambda e_1$.\\
					o.B.d.A.: $\norm{e_1} = 1 \implies v$ ist Orthonormalbasis aus Eigenvektoren
				\item[$n-1 \to n$:] $\exists$ Eigenvektor $e_1 \in V \setminus\{0\}$ mit $\alpha(e_1) = \lambda e_1$.\\
					o.B.d.A.: $\norm{e_1} = 1 \; U= \langle e_1 \rangle ^\bot$
					\begin{itemize}
						\item $V = \langle e_1 \rangle \oplus U, \alpha(U) \overset{\text{!}}{\subseteq} U,
							      \alpha(\langle e_1 \rangle) \subseteq \overset{\checkmark}{\langle}e_1 \rangle$
					\end{itemize}
					$\implies \alpha = \alpha|_{\langle e_1 \rangle} \oplus \alpha|_U$ \\
					Sei $v \in U\implies 0 = \inner{v}{e_1}
						\;\;\; [e_1 \in \eig_\alpha(\lambda) \iff e_1 \in \eig_{\alpha^*}(\overline\lambda)]$
					\begin{align*}
						\inner{\alpha(v)}{e_1}   & = \inner{v}{\alpha^*(e_1)} = \inner{v}{\overline \lambda e_1} \\
						                         & = \lambda \inner{v}{e_1} = 0                                  \\
						\implies \alpha(v) \in U & \implies \alpha(U) \subseteq U \checkmark                     \\
						                         & \implies \alpha|_U \in \Hom(U, U), \dim(U) = n-1              \\
					\end{align*}
					\begin{align*}
						 & \overset{\mathclap{\substack{\text{Induktionsvorraussetzung}                     \\|}}}
						{\implies} \exists
						\text{ ONB } (e_2, \dots, e_n) \text{ von $U$ aus Eigenvektoren von } \alpha        \\
						 & \implies (e_1, \dots, e_n) \text{ ist ONB von $V$ aus Eigenvektoren von } \alpha
					\end{align*}
			\end{itemize}
		\item[$\implies$:] Sei $(e_1, \dots, e_n)$ Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von $\alpha$. Seien \\
			weiters $\lambda_1, \dots, \lambda_n \in \C$ die zugehörigen Eigenwerte.
			\[
				\alpha:\begin{cases} V                          & \to V                                    \\
              v = \sum_{i=1}^n \mu_i e_i & \mapsto \sum_{i=1}^n \lambda_i \mu_i e_i\end{cases}
			\]
			Definiere
			\[
				\beta:\begin{cases} V & \to V \\ v = \sum_{i=1}^n \mu_i e_i &\mapsto \sum_{i=1}^n \overline \lambda_i
              \mu_i e_i\end{cases} \implies \beta = \alpha^*
			\]
			\[
				\begin{aligned}
					\alpha^*(\alpha(v)) & = \alpha^*( \sum_{i=1}^n \lambda_i \mu_i e_i )
					= \sum_{i=1}^n \overline\lambda_i \lambda_i \mu_i e_i
					= \sum_{i=1}^n \lvert \lambda_i \rvert^2 \mu_i e_i                          \\
					\alpha(\alpha^*(v)) & = \alpha( \sum_{i=1}^n \overline\lambda_i \mu_i e_i )
					= \sum_{i=1}^n \lambda_i \overline\lambda_i \mu_i e_i
					= \sum_{i=1}^n \lvert \lambda_i \rvert^2 \mu_i e_i
				\end{aligned}
				\implies \alpha \text{ normal}
			\]
	\end{itemize}
\end{proof}

\subsubsection{Bemerkung}
Im Reellen/Euklidischen Fall gilt dieser Satz genau dann, wenn $\alpha$ diagonalisierbar ist.

\begin{satz}

	\label{theo:3.2.11}
	Sei $V$ ein unitärer Vektorraum mit $\dim(V) = n < \infty$ und $\alpha \in \Hom_\C(V, V)$ selbstadjungiert.
	(Das heißt $\alpha = \alpha^*$) \\
	Dann gilt:
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item Alle Eigenwerte von $\alpha$ sind reell.
		\item $V$ besitzt eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von $\alpha$.
		\item Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten sind orthogonal.
	\end{enumerate}
\end{satz}
\begin{proof}
	$\alpha$ ist normal: $\alpha \circ \alpha^* = \alpha \circ \alpha = \alpha^* \circ \alpha$
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item Sei $\lambda$ Eigenwert von $\alpha$ mit Eigenvektor $v\in V\setminus\{0\}$\\
		      $\overset{\text{\ref{theo:3.2.7}}}{\implies} v$ ist Eigenvektor von $\alpha^*$ mit Eigenwert
		      $\overline{\lambda}$ \\
		      $\implies \lambda v = \alpha(v) = \alpha^*(v) = \overline{\lambda} v \implies
			      (\lambda - \overline{\lambda}) v = 0 \overset{v\neq0}{\implies} \lambda = \overline{\lambda}$ \\
		      $\implies \lambda \in \R$
		\item Folgt direkt aus Satz \ref{theo:3.2.10} \& $\alpha$ normal.
		\item Sei $\alpha(v_1) = \lambda_1 v_1, \alpha(v_2)=\lambda_2 v_2, \lambda_1 \neq \lambda_2$
		      \begin{align*}
			       & \lambda_1 \inner{v_1}{v_2} = \inner{\lambda_1 v_1}{v_2} = \inner{\alpha(v_1)}{v_2} =
			      \inner{v_1}{\alpha^*(v_2)} = \inner{v_1}{\alpha(v_2)}                                                      \\
			       & = \inner{v_1}{\lambda_2 v_2} = \overline{\lambda_2} \inner{v_1}{v_2} = \lambda_2 \inner{v_1}{v_2}       \\
			       & \implies \underbrace{(\lambda_1 - \lambda_2)}_{\neq 0} \inner{v_1}{v_2} = 0 \implies \inner{v_1}{v_2}=0
		      \end{align*}
	\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{lemma}

	Sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und $\alpha \in \Hom_\R(V, V)$ normal. Dann ist
	$\alpha_\C \in \Hom_\C (V_\C, V_\C)$ auch normal.
\end{lemma}
\begin{proof}
	Sei $\alpha \in \Hom(V, V), \alpha_\C$ die komplexe Erweiterung von $\alpha$. Seien weiters $v, v' \in V$ mit
	$v = u+iw, v' = u' +iw', u, w, u', w' \in \R$.
	\begin{equation}
		\label{eq:3.2.12.1}
		\begin{split}
			\inner{\alpha_\C(v)}{\alpha_\C(v')} & = \inner{\alpha(u) + i\alpha(w)}{\alpha(u') + i\alpha(w')}                                \\
			& \begin{multlined}=\inner{\alpha(u)}{\alpha(u')} +
				i \inner{\alpha(w)}{\alpha(u')}
				- i \inner{\alpha(u)}{\alpha(w')} \\
				+ (-i)(-i)\inner{\alpha(w)}{\alpha(w')}\end{multlined}                                    \\
			& \begin{multlined}= \inner{\alpha^*(u)}{\alpha^*(u')} + i \inner{\alpha^*(w)}{\alpha^*(u')}
				- i \inner{\alpha^*(u)}{\alpha^*(w')} \\
				+ (-i)(-i)\inner{\alpha^*(w)}{\alpha^*(w')} \end{multlined} \\
			& = \inner{\alpha^*(u)+i\alpha^*(w)}{\alpha^*(u')} +
			\inner{\alpha^*(u) + i\alpha^*(w)}{i\alpha^*(w')}                                                                               \\
			& = \inner{\alpha^*(u) + i\alpha^*(w)}{\alpha^*(u') + i\alpha^*(w')}                        \\
			& = \inner{(\alpha^*)_\C(v)}{(\alpha^*)_\C(v')}
		\end{split}
	\end{equation}
	Bleibt zu Zeigen, dass $(\alpha^*)_\C = (\alpha_\C)^*$:
	\begin{align*}
		\inner{\alpha_\C(v)}{v'} & = \inner{\alpha(u) + i \alpha(w)}{u' + i w'}                                   \\
		                         & = \inner{\alpha(u)}{u'} + i \inner{\alpha(w)}{u'} -i \inner{\alpha(u)}{w'} +
		i (-i) \inner{\alpha(w)}{w'}                                                                              \\
		                         & = \inner{u}{\alpha^*(u')} + i \inner{w}{\alpha^*(u')}
		-i \inner{u}{\alpha^*(w')} +i (-i) \inner{w}{\alpha^*(w')}                                                \\
		                         & = \inner{u+iw}{\alpha^*(u')} + \inner{u+iw}{i\alpha^*(w')}                     \\
		                         & = \inner{u + iw}{\alpha^*(u') + i \alpha^*(w')} = \inner{v}{(\alpha^*)_\C(v')}
	\end{align*}
	Das heißt $(\alpha^*)_\C$ ist tatsächlich die adjungierte Abbildung von $\alpha_\C$ und mit
	\ref{eq:3.2.12.1} folgt nach Satz \ref{theo:3.2.7}, dass $\alpha_\C$	normal ist.
\end{proof}

\begin{lemma}

	\label{theo:3.2.13}
	Sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und $\alpha \in \Hom_\R(V, V)$ normal. Sei $v_\C \in V_\C$
	$\underbrace{\text{normierter}}_{\text{d.h. }\norm{v_\C}_{V_\C}=1}$ Eigenvektor von $\alpha_\C$ zum Eigenwert
	$\lambda \in \C\setminus \R$. \\
	Dann ist $\overline{v_\C}$ normierter Eigenvektor von $\alpha_\C$ zu Eigenwert $\overline{\lambda}$.
	Insbesondere sind $v_\C, \overline{v_\C}$ orthogonal.
\end{lemma}
\begin{proof}
	Sei $u + iw \in V_\C$ mit $u, w\in V$. $\alpha_\C(u + iw) = \alpha(u) + i\alpha(w)$ \\
	$v_\C = u + iw$ ist normiert
	\begin{align*}
		\implies 1 = \inner{u+iw}{u+iw} & = \inner uu_V + i \inner wu_V - i \inner uw_V + \inner ww_V    \\
		                                & = \inner uu_V + i \inner wu_V - i \inner wu_V + \inner ww_V    \\
		                                & = \inner uu_V + \inner ww_V                                    \\
		\implies \inner{u - iw}{u - iw} & = \inner uu_V + \inner{-w}{-w}_V = \inner uu_V \inner ww_V = 1 \\
		\implies \norm{\overline{v_\C}} = 1
	\end{align*}
	$\lambda = \gamma + i \delta$
	\[
		\alpha_\C(v_\C) = \lambda v_\C \implies \alpha(u) + i \alpha(w) = (\gamma + i \delta) (u + iw) =
		(\gamma u - \delta w) + i(\delta u + \gamma w)
	\]
	\[
		\begin{aligned}
			\alpha(u) = \gamma u + \delta w \\
			\alpha(w) = \delta u + \gamma w
		\end{aligned}
		\implies
		\begin{aligned}
			\alpha_\C (\overline{v_\C}) = \alpha(u) + i \alpha(-w) & = (\gamma u + \delta w) + i
			(\delta u - \gamma w)                                                                  \\
			                                                       & = (\gamma - i \delta)(u - iw)
			= \overline{\lambda}\overline{v_\C}
		\end{aligned}
	\]
	$\implies \overline{v_\C}$ ist Eigenvektor von $\alpha_\C$ zum Eigenvektor $\overline\lambda$
	$\overset{\text{\ref{theo:3.2.9}}}{\implies} \overline{v_\C}$ ist Eigenvektor von $\alpha^*_\C$ zum
	Eigenwert $\lambda$.
	\begin{align*}
		 & \lambda \inner{v_\C}{\overline{v_\C}} = \inner{\alpha(v_\C)}{\overline{v_\C}} =
		\inner{v_\C}{\alpha^*_\C(\overline{v_\C})} = \inner {v_\C}{\lambda \overline{v_\C}}
		= \overline{\lambda} \inner{v_\C}{\overline{v_\C}}                                 \\
		 & \implies (\underbrace{\lambda - \overline\lambda}
		_{\mathrlap{\neq 0\text{, weil } \lambda \in \C \setminus \R}})
		\inner{v_\C}{\overline{v_\C}}= 0 \implies \inner{v_\C}{\overline{v_\C}} = 0
	\end{align*}

\end{proof}

\begin{satz}

	\label{theo:3.2.14}
	Sei $V$ ein euklidischer Vektorraum mit $\dim(V) = n < \infty$
	\[
		\alpha \in \Hom_\R(V, V) \text{ normal} \iff \exists \text{ ONB } B = (e_1, \dots, e_n) \text{ von } V
		\text{ mit }
	\]
	{\setcounter{MaxMatrixCols}{20}
	\[
		{}_B M(\alpha)_B = \begin{pmatrix}
			\lambda_1                                                                                                                                                    \\
			 & \lambda_2                                                                                                                                                 \\
			 &           & \ddots                                                                                                                                        \\
			 &           &        & \lambda_k                                                                                                                            \\
			 &           &        &           & \tl \gamma_1 & \mathllap{-}\delta_1                                                                                      \\
			 &           &        &           & \delta_1     & \gamma_1 \br                                                                                              \\
			 &           &        &           &              &                      & \tl \gamma_2 & \mathllap{-}\delta_2                                                \\
			 &           &        &           &              &                      & \delta_2     & \gamma_2 \br                                                        \\
			 &           &        &           &              &                      &              &                      & \ddots                                       \\
			 &           &        &           &              &                      &              &                      &        & \tl \gamma_r & \mathllap{-}\delta_r \\
			 &           &        &           &              &                      &              &                      &        & \delta_r     & \gamma_r \br
		\end{pmatrix}
	\]
	}
	wobei $\spec(\alpha_\C) = \{\underbrace{\lambda_1, \dots, \lambda_k}_{\in \R},
		\underbrace{\lambda_{k+1}, \dots, \lambda_{k+r}}_{\in\C\setminus\R} \}$ und
	$\lambda_{k+j} = \gamma_j + i \delta_j$
	\subsubsection{Bemerkung}
	Jedem Kästchen $\eta(\gamma, \delta)$ entspricht ein Paar $\lambda, \overline\lambda$ konjugiert komplexer
	Eigenwerte von $\alpha_\C$. $\gamma = \Re(\lambda), \delta = \Im(\lambda)$
\end{satz}
\begin{proof}
	\leavevmode
	\begin{itemize}
		\item[$n=1$:] \checkmark
		\item[$n-1 \to n$:] Wenn $\alpha$ reellen Eigenwert besitzt, kann man wie im Beweis von Satz \ref{theo:3.2.10}
			vorgehen. Wenn nicht: Sei $v_\C \in V_\C$ ein Eigenvektor von $\alpha_\C$ zum Eigenwert
			$\lambda = \delta + i\gamma \in \C \setminus \R$.\\
			Lemma \ref{theo:3.2.13}: $\overline{v_\C}$ ist Eigenvektor von $\alpha_\C$ zum Eigenwert $\overline\lambda$
			und \\ $\inner{v_\C}{\overline{v_\C}} = 0$ \\
			Setze
			\[
				\begin{rcases}
					a = \frac{1}{\sqrt2}(v_\C + \overline{v_\C}) \in V  & v_\C = u + iw            \\
					b = \frac{1}{i\sqrt2}(v_\C - \overline{v_\C}) \in V & \overline{v_\C} = u - iw
				\end{rcases}
				\implies \begin{aligned}
					v_\C + \overline{v_\C} = 2u \\
					\frac 1i(v_\C - \overline{v_\C}) = 2w
				\end{aligned}
			\]
			\tl UE\br $\implies \norm a = \norm b = 1$ und $\inner ab = 0$ \\
			Weiters
			\[
				\begin{aligned}
					\alpha(a) & = \frac{1}{\sqrt{2}}(\alpha_\C(v_\C) + \alpha_\C(\overline {v_\C}))
					= \frac{1}{\sqrt{2}}(\lambda v_\C + \overline \lambda \overline {v_\C})                      \\
					          & = \frac{1}{\sqrt{2}}((\delta + i \gamma)(u + iw) + (\delta - i \gamma)(u - iw))  \\
					          & = \frac{1}{\sqrt{2}}((\delta u - \gamma w) + i(\delta w + \gamma u) +
					(\delta u - \gamma w) - i(\delta w + \gamma u))                                              \\
					          & = \frac{1}{\sqrt{2}}(\delta 2 u - \gamma 2 w)
					= \delta\frac{2u}{\sqrt{2}} - \gamma \frac{2w}{\sqrt{2}}                                     \\
					          & = \delta a - \gamma b                                                            \\
					\alpha(b) & = \frac{1}{i\sqrt{2}}(\alpha_\C(v_\C) - \alpha_\C(\overline{v_\C}))
					= \frac{1}{i\sqrt{2}}(\lambda v_\C - \overline \lambda \overline{v_\C})                      \\
					          & = \frac{1}{i\sqrt{2}}((\delta + i \gamma)(u + iw) - (\delta - i \gamma)(u - iw)) \\
					          & = \frac{1}{i\sqrt{2}}((\delta u - \gamma w) + i(\delta w + \gamma u) -
					((\delta u - \gamma w) - i(\delta w + \gamma u)))                                            \\
					          & = \frac{1}{i\sqrt{2}}(2i \delta w + 2i \gamma u)
					= \delta \frac{2iw}{i\sqrt{2}} + \gamma \frac{2iu}{i\sqrt{2}}
					= \delta \frac{2w}{\sqrt{2}} + \gamma \frac{2u}{\sqrt{2}}                                    \\
					          & = \delta b + \gamma a
				\end{aligned}
			\]
		\item[$\impliedby$:] Da $B$ Orthonormalbasis ist, folgt aus Satz \ref{theo:3.2.4} und
			$\lambda_i, \gamma_i, \delta_i \in \R$, dass
			${}_B M(\alpha^*)_B = {}_B M(\alpha)_B^* = \overline{{}_B M(\alpha)_B}^T = {}_B {M(\alpha)_B}^T$. Da
			${}_B M(\alpha^*)_B$ eine Blockdiagonalmatrix ist, reicht es aus die multiplikative Kommutativität für
			die	einzelnen Blöcke zu zeigen:
			\begin{align*}
				 & \lambda_i \lambda_i = \lambda_i \lambda_i \checkmark              \\
				 & \begin{pmatrix} \gamma & -\delta \\ \delta & \gamma \end{pmatrix}
				\begin{pmatrix} \gamma & \delta \\ -\delta & \gamma \end{pmatrix}
				= \begin{pmatrix} \gamma^2 + \delta^2 & 0 \\ 0 & \delta^2 +\gamma^2 \end{pmatrix}
				= \begin{pmatrix} \gamma & \delta \\ -\delta & \gamma \end{pmatrix}
				\begin{pmatrix} \gamma & -\delta \\ \delta & \gamma \end{pmatrix}
			\end{align*}
	\end{itemize}
\end{proof}

\begin{satz}

	Sei $V$ ein euklidischer/unitärer Vektorraum, $\alpha \in \homkv$ \\
	anti-selbstadjungiert. Dann gilt
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $\lambda \in \spec(\alpha) \implies \Re(\lambda) = 0$
		\item $\alpha_\C$ besitzt eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren.
		\item Ist $V$ euklidisch, so sind die Diagonalelemente der Matrix ${}_B M(\alpha)_B$ gleich $0$, wobei
		      $B$ die Basis aus Satz \ref{theo:3.2.14} ist.
	\end{enumerate}
\end{satz}
\begin{proof}
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $\alpha$ ist normal $\implies$ wegen Satz \ref{theo:3.2.9}
		      $v \in \eig_\alpha(\lambda)\implies v \in \eig_{\alpha^*}(\overline \lambda)$
		      Mit $0 \neq v \in \eig_{\alpha}(\lambda)$:
		      \[
			      \alpha(v) = \lambda v = -\alpha^*(v) = -\overline \lambda v \implies \lambda = -\overline \lambda
			      \implies \Re (\lambda) = 0
		      \]
		\item $\alpha$ ist normal, $\alpha^*= -\alpha$
		\item Folgt aus dem Satz~\ref{theo:3.2.14}, sowie a).
	\end{enumerate}
\end{proof}

\section{Orthogonale und unitäre Abbildungen}

\begin{defin}
	Seien $V, W$ beide euklidische/unitäre Vektorräume, $\alpha \in \Hom(V, W)$ heißt\\ \underline{orthogonal}/%
	\underline{unitär} wenn
	\[
		\forall  v, w \in V: \inner{\alpha(v)}{\alpha(w)}_W = \inner vw_V
	\]
\end{defin}

\subsubsection{Bemerkung}
Das sind genau die Längen- und Winkelerhaltenden Abbildungen.

\begin{satz}
	\label{theo:3.3.2}
	Seien $V, W$ euklidische/unitäre Vektorräume und $\alpha \in \Hom(V, W)$. Dann sind äquivalent:
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $\alpha$ ist orthogonal/unitär
		\item $\forall v \in V: \norm v_V = 1 \implies \norm{\alpha(v)}_W = 1$
		\item $\forall v \in V: \norm v_V = \norm{\alpha(v)}_W$
		\item $( e_1, \dots, e_n ) \subseteq V \text{ ONS } \implies
			      ( \alpha(e_1), \dots, \alpha(e_n) ) \subseteq W \text{ ONS.}$
	\end{enumerate}
\end{satz}
\begin{proof}
	\leavevmode
	\begin{itemize}
		\item[a) $\implies$ b):] \checkmark
		\item[b) $\implies$ c):] Es gilt für $v \in V\setminus \{0\}:$
			$\norm{\frac{v}{\norm v}} = 1 \implies \norm{\frac{\alpha(v)}{\norm v}} = 1$\\
			$\implies \norm{\alpha(v)} = \norm v$
		\item[c) $\implies$ d):] $\inner vw = \frac 14(\norm{v+w}^2 - \norm{v-w}^2 +i\norm{v+iw}^2 - i\norm{v-iw}^2)$
		\item[d) $\implies$ a):] Sei $v, w \in V$.
			\begin{enumerate}[label=\arabic*. Fall:]
				\item $v = 0 \implies \inner{\alpha(v)}{\alpha(w)} = \inner{0}{\alpha(w)} = 0 \checkmark$
				\item $w = \lambda v \implies \inner{\alpha(w)}{\alpha(v)} = \lambda \inner{\alpha(v)}{\alpha(v)}
					      = \lambda \norm{\alpha(v)}^2$. \\
				      Sei $l := \frac{v}{\norm v} \overset{\text{d)}}{\implies} \alpha(l)$ ist ONS
				      $\implies \norm{\alpha(l)} = 1 \implies \norm{\alpha(v)} = \norm v$. \\
				      Es folgt $\inner{\alpha(v)}{\alpha(w)} = \inner vw \checkmark$.
				\item $v, w$ linear unabhängig. Sei $(e_1, e_2)$ ONS mit $\langle\{e_1, e_2\}\rangle
					      = \langle\{ v, w \}\rangle$.
				      (Gram-Schmidt liefert Existenz)
				      \begin{align}
					      \implies & (\alpha(e_1), \alpha(e_2)) \text{ ist ONS} \nonumber                   \\ \nonumber
					               & v = \mu_1 e_1 + \mu_2 e_2                                              \\ \nonumber
					               & w = \tau_1 e_1 + \tau_2 e_2                                            \\ \nonumber
					      \implies & \alpha(v) = \mu_1 \alpha(e_1) + \mu_2 \alpha(e_2)                      \\
					               & \alpha(w) = \tau_1 \alpha(e_1) + \tau_2 \alpha(e_2) \label{eq:3.3.2.1}
				      \end{align}
				      \[
					      \underset{\text{\ref{theo:3.1.15}}}{\implies}
					      \inner vw = \mu_1 \overline{\tau_1} + \mu_2 \overline{\tau_2}
					      \underset{\mathclap{\substack{| \\ (\alpha(e_1), \alpha(e_2)) \text{ ONS \& \ref{eq:3.3.2.1}}}}}{=}
					      \inner{\alpha(v)}{\alpha(w)}
				      \]
			\end{enumerate}
	\end{itemize}
	Beweis für $\inner vw = \frac 14(\norm{v+w}^2 - \norm{v-w}^2 +i\norm{v+iw}^2 - i\norm{v-iw}^2)$:
	\begin{align*}
		 & \frac 14(\norm{v+w}^2 - \norm{v-w}^2 +i\norm{v+iw}^2 - i\norm{v-iw}^2)                            \\
		 & \begin{multlined}= \frac 14 (\inner{v+w}{v+w} -
			   \inner{v-w}{v-w}) + \frac i4 (\inner{v+iw}{v+iw} \\- \inner{v-iw}{v-iw})\end{multlined}           \\
		 & \begin{multlined}= \frac 14 (\cancel{\inner vv} + \inner vw + \inner wv + \cancel{\inner ww}
			   - \cancel{\inner vv} + \inner vw + \inner wv - \cancel{\inner ww}) \\
			   + \frac i4 (\cancel{\inner vv} + \inner v{iw} + \inner {iw}v + \cancel{\inner {iw}{iw}}\\
			   - \cancel{\inner vv} - \inner v{-iw} - \inner {-iw}v - \cancel{\inner {-iw}{-iw}})
		   \end{multlined}   \\
		 & = \frac 14 (2 \inner vw + 2 \inner wv) +
		\frac i4 (-i \inner vw + i \inner wv -i \inner vw + i \inner wv)                                     \\
		 & = \frac 14 (2 \inner vw + 2 \inner wv) + \frac 14 (\inner vw - \inner wv + \inner vw - \inner wv) \\
		 & = \frac 14 (2 \inner vw + 2 \inner wv + 2 \inner vw - 2 \inner wv)                                \\
		 & = \frac 14 4 \inner vw = \inner vw
	\end{align*}
\end{proof}

\begin{korollar}
	\label{theo:3.3.3}
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $\alpha$ orthogonal $\implies \alpha_\C$ unitär
		\item $\alpha$ orthogonal/unitär $\implies \alpha$ injektiv.
	\end{enumerate}
\end{korollar}
\begin{proof}
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item Folgt direkt aus Satz~\ref{theo:3.3.2}:
		      \begin{align*}
			      \norm{\underset{\substack{\rotatebox{90}{=}                                         \\u+iv}}{v_\C}}
			      = 1 & \iff \norm u^2 + \norm v^2 = 1                                                \\
			          & \implies \norm{\alpha_\C(v_\C)} = \norm{\alpha(u)}^2 + \norm{\alpha(v)}^2 = 1
		      \end{align*}
		\item $\alpha(v) = 0 \implies \norm{\alpha(v)} = 0 \implies \norm v = 0 \implies v = 0$
	\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{defin}
	\begin{itemize}
		\item $A \in \R^{\nxn}$ heißt \underline{orthogonal} wenn $A^{-1} = A^T$.
		\item $A \in \C^{\nxn}$ heißt \underline{unitär} wenn $A^{-1} = A^* = \overline{A}^T$.
		\item $O(n, \R) := \{ A \in \R^{\nxn}: \det(A)\neq 0 \land A^{-1} = A^T \}$
		\item $U(n, \C) := \{ A \in \C^{\nxn}: \det(A)\neq 0 \land A^{-1} = A^* \}$
	\end{itemize}
\end{defin}

\subsubsection{Beispiele}
\[
	\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}, \;
	\begin{pmatrix} \sin\varphi & \cos \varphi \\ -\cos\varphi & \sin \varphi \end{pmatrix}, \;
	\frac 13 \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ -2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & -2\end{pmatrix}\text{orthogonal}
\]
\[
	\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & i \\ -i & -1 \end{pmatrix}
	\text{unitär}
\]

\begin{satz}
	Es sind äquivalent für $A \in \K^{\nxn}, \K \in \{\R, \C\}$:
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $A$ ist orthogonal/unitär.
		\item $(a_{1\_}, a_{2\_}, \dots, a_{n\_})$ bilden ONS in $\K^n$.
		\item $(a_{\_1}, a_{\_2}, \dots, a_{\_n})$ bilden ONS in $\K^n$.
	\end{enumerate}
\end{satz}
\begin{proof}
	\leavevmode
	\begin{itemize}
		\item[a) $\iff$ b):] heißt, dass $\inner{a_{i\_}}{a_{j\_}}_{\K^n} = \delta_{ij}$.\\
			Gleichzeitig gilt $(\inner{a_{i\_}}{a_{j\_}}_{\K^n})_{i,j=1,\dots,n} = A A^*$ \\
			Also ist b) gleichbedeutend mit $A A^* = I$, also $A^{-1} = A^*$.
		\item[a) $\iff$ c):] genauso, nur mit $A^* A$
	\end{itemize}
\end{proof}

\begin{satz}

	Sei $V$ ein euklidischer/unitärer Vektorraum mit $\dim(V)<\infty$ und $\alpha\in\Hom(V, V)$. Dann gilt
	\[
		\alpha\text{ ist orthogonal/unitär} \iff \alpha^{-1}=\alpha^*
	\]
\end{satz}
\begin{proof}
	\begin{itemize}
		\item[$\implies$:] Seien $v,w \in V$.
			$\alpha^{-1}$ existiert wegen Korollar~\ref{theo:3.3.3}b)
			\begin{align*}
				\inner{v}{\alpha^*(w) - \alpha^{-1}} & = \inner{v}{\alpha^*(w)} - \inner{v}{\alpha^{-1}(w)}               \\
				                                     & = \inner{\alpha(v)}{w} - \inner{v}{\alpha^{-1}(w)}                 \\
				                                     & = \inner{\alpha(v)}{w} - \inner{\alpha(v)}{\alpha(\alpha^{-1}(w))} \\
				                                     & = \inner{\alpha(v)}{w} - \inner{\alpha(v)}{w} = 0
			\end{align*}
		\item[$\impliedby$:] Sei $\alpha^* = \alpha^{-1}, u,v,w\in V, v = \alpha(w)$
			\[
				\implies \inner uw = \inner{u}{\alpha^{-1}(v)} = \inner{u}{\alpha^*(v)} = \inner{\alpha(u)}{v}
				=\inner{\alpha(u)}{\alpha(w)} \checkmark
			\]
	\end{itemize}
\end{proof}

\begin{satz}

	Sei $B$ Orthonormalbasis, $\alpha \in \Hom(V, V), A= {}_B M(\alpha)_B$. Dann gilt:
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $\alpha$ orthogonal $\iff A$ orthogonal.
		\item $\alpha$ unitär $\iff A$ unitär.
	\end{enumerate}
\end{satz}
\begin{proof}
	Satz \ref{theo:3.2.4}: ${}_B M(\alpha^*)_B = A^*$ \\
	${}_B M(\alpha^{-1})_B = A^{-1}$
\end{proof}

\begin{satz}
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $O(n, \R)$ ist Untergruppe von $\GL(n, \R)$.
		\item $U(n, \C)$ ist Untergruppe von $\GL(n, \C)$.
		\item $A \in O(n, \R) \implies \det(A) \in \{1, -1\}$.
		\item $A \in U(n, \C) \implies \lvert \det(A) \rvert = 1
			      \implies \det(A) = e^{i\alpha}, \alpha \in [ 0, 2\pi ]$.
	\end{enumerate}
\end{satz}
\begin{proof}
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $I \in O(n, \R), A,B \in O(n, \R)$ \\
		      $(AB)^* = B^*A^* = B^{-1}A^{-1} = (AB)^{-1} \implies AB \in =(n, \R)$ \\
		      $(A^{-1})^{{}^*} = (A^*)^{{}^*} = A \implies A^{-1} \in O(n, \R)$
		\item Genauso
		\item $A^{-1} = A^T$.
		      \begin{align*}
			      1 & = \det(A A^{-1}) = \det(A)\det(A^{-1}) = \det(A) \det(A^T) = \det(A) \det(A) \\
			        & = \det(A)^2 \implies \det(A) \in \{-1, 1\}
		      \end{align*}
		\item $\det(\overline A) = \overline{\det(A)} \implies \det(A^*) = \overline{\det(A)}$.
		      \begin{align*}
			       & 1 = \det(A) \det(A^{-1})=\det(A) \det(A^*) = \det(A) \overline{\det(A)} \\
			       & \implies \lvert \det(A) \rvert=1
		      \end{align*}
	\end{enumerate}
\end{proof}

\subsubsection{Polarzerlegung}
$z = \overbrace{e^{i\varphi}}^{\text{Betrag 1}} \underbrace{\lvert z \rvert}_{\mathclap{\text{positiv reell}}}$\\
Betrag 1 $\cong$ unitär, positiv $\cong$ selbstadjungiert mit positiven Eigenwerten.

\begin{satz}
	[Polarzerlegung]
	\label{theo:3.3.9}
	Sei $V$ ein euklidischer/unitärer Vektorraum, $\dim(V)<\infty$ und sei $\alpha \in \Hom(V,V)$. Dann existiert
	eine orthogonale/unitäre Abbildung $\beta$ und eine selbstadjungierte Abbildung $\gamma$ mit lauter
	nichtnegativen reellen Eigenwerten, sodass $\alpha = \beta \circ \gamma$. Falls $\alpha$ Automorphismus ist,
	so sind alle Eigenwerte von $\gamma$ positiv, und $\gamma, \beta$ eindeutig bestimmt.
\end{satz}
\begin{proof}
	Zunächst: $\alpha$ Automorphismus.
	\begin{itemize}
		\item $\alpha^*$ ist auch Automorphismus.
		      \begin{align*}
			      \text{Sei }\alpha^*(v) = 0 & \implies \forall w \in V:
			      \inner{w}{\alpha^*(v)} = 0                                                            \\
			                                 & \implies \forall w \in V: \inner{\alpha(V)}{v} = 0       \\
			                                 & \implies v \in \underbrace{\im(\alpha)}_v{}^\bot = \{0\} \\
			                                 & \implies v = 0
		      \end{align*}
		\item $\alpha^*\circ \alpha$ ist Automorphismus und selbstadjungiert.
		      \[
			      (\alpha^*\alpha)^{{}^*} = \alpha^*(\alpha^*)^{{}^*} = \alpha^* \alpha
		      \]
		\item Satz \ref{theo:3.2.11} ist $\spec(\alpha^*\alpha) \subseteq \R\setminus\{0\}$.
		      $\exists$ ONB $(e_1, \dots, e_n)$ von V aus Eigenvektoren, $(\lambda_1, \dots, \lambda_n) \subseteq
			      \R\setminus\{0\}$ Eigenwerte.
		      Behauptung: $\lambda_i > 0 \forall i \in [n]$
		      \[
			      \lambda_i = \lambda_i \inner{e_i}{e_i} = \inner{\lambda_ie_i}{e_i} =
			      \inner{\alpha^*\alpha(e_i)}{e_i} = \inner{\alpha(e_i)}{\alpha(e_i)} > 0
		      \]
		\item $\gamma: \begin{cases} v                          & \to V                                           \\
              v = \sum_{i=1}^n \mu_i e_i & \mapsto \sum_{i=1}^n \mu_i \sqrt{\lambda_i} e_i\end{cases}$
		      ${}_B M(\alpha^* \alpha)_B = \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ & \ddots \\ & & \lambda_n\end{pmatrix}$
		      ${}_B M(\gamma)_B = \begin{pmatrix} \sqrt{\lambda_1} \\ & \ddots \\ & & \sqrt{\lambda_n}\end{pmatrix}$
		      $\implies \gamma$ selbstadjungiert \\
		      $\implies \gamma^2 = \alpha^* \alpha$
		\item $\alpha = \beta \circ \gamma \implies \beta = \alpha \circ \gamma^{-1}$ Behauptung: $\beta$ unitär, das
		      heißt $\beta^{-1} = \beta^*$
		      \begin{align*}
			      \beta^{-1} & = (\alpha \gamma^{-1})^{{}^{-1}} = \gamma \alpha^{-1} = \gamma^{-1} \gamma^2 \alpha^{-1}
			      = \gamma^{-1} \alpha^* \alpha \alpha^{-1} = \gamma^{-1} \alpha^*                                      \\
			                 & = (\alpha(\gamma^{-1})^*)^{{}^*} = (\alpha \gamma^{-1})^{{}^*} = \beta^*
		      \end{align*}
		      $\implies \beta$ unitär.
	\end{itemize}
	\underline{Eindeutigkeit:} $\alpha = \beta' \circ \gamma'$
	\[
		\gamma^2 = \alpha^* \alpha = (\gamma')^* \underbrace{\beta'^* \beta'}_{\id}\gamma' = (\gamma')^* \gamma'
		= (\gamma')^2
	\]
	$\implies \gamma, \gamma'$ haben dieselben Eigenwerte und Eigenvektoren. \\
	$\implies \gamma = \gamma' \implies \beta = \beta'$ \\
	\underline{$\alpha$ nicht injektiv}:
	\begin{itemize}
		\item $W := \ker(\alpha)^\bot \implies \alpha|_W$ ist injektiv. \\
		      Sei $v, w \in W, \alpha(v) = \alpha(w) \implies \alpha(v - w) = 0 \implies v - w \in \ker(\alpha)
			      = W^\bot \cap W = \{0\} \implies v = w$
		      $\implies \alpha|_W = \beta_W \circ \gamma_W$ mit $\beta, \gamma \in \Hom(W, W); \beta_W$ unitär,
		      $\gamma_W$ selbstadjungiert mit positiven Eigenwerten.
		\item Sei $( e_1, \dots, e_k )$ ONB von $W$, $(e_1, \dots, e_k, \dots, e_n)$ ONB von $V$.
		\item $\pi:\begin{cases} V                              & \to W                          \\
              v = \sum_{i=1}^n \lambda_i e_i & \to \sum_{i=1}^k \lambda_i e_i\end{cases}$
		      orthogonale Projektion auf $W$. \\
		      $\pi$ ist selbstadjungiert:
		      \begin{align*}
			       & \inner{\pi(v)}w = \inner{\sum_{i=1}^k \lambda_i e_i}{\sum_{j=1}^n \mu_j e_j} = \sum_{i=1}^k \lambda_i
			      \overline{\mu_i}                                                                                           \\
			       & \inner{v}{\pi(w)} = \inner{\sum_{i=1}^n \lambda_i e_i}{\sum_{j=1}^k \mu_j e_j} = \sum_{i=1}^k \lambda_i
			      \overline{\mu_i}
		      \end{align*}
		      $\gamma := \pi^* \circ \gamma_W \circ \pi = \pi \circ \gamma_W \circ \pi$
		      \begin{align*}
			       & v\in W                      &  & \implies \gamma(v) = \gamma_W(v) \\ % Hier fehlt noch was aus der VO, nachschauen
			       & v \in W^\bot = \ker(\alpha) &  & \implies \gamma(v) = 0
		      \end{align*}
		      $\beta := \underset{W}{\beta_W} \oplus \underset{W^\bot}{I}$ ist orthogonal/unitär. \\
		      $\implies \alpha = \beta \circ \gamma$
	\end{itemize}
\end{proof}

\begin{defin}
	$\alpha \in \Hom(V, V)$ heißt
	$\genfrac{}{}{0pt}{0}{\text{\underline{positiv definit}}}{\text{\underline{positiv semi-definit}}}$, wenn
	$\forall v \in V\setminus \{0\}: \inner{\alpha(v)}{v}\genfrac{}{}{0pt}{0}{>}{\ge}0$
\end{defin}

\begin{lemma}

	Sei $\alpha$ selbstadjungiert. Dann gilt
	\begin{align*}
		\alpha \text{ positiv definit}      & \iff \text{ Alle Eigenwerte positiv}       \\
		\alpha \text{ positiv semi-definit} & \iff \text{ Alle Eigenwerte nicht-negativ}
	\end{align*}
\end{lemma}
\begin{proof}
	Sei $(e_1, \dots, e_n)$ ONB aus Eigenvektoren,
	$(\lambda_1, \dots, \lambda_n), \lambda_i \in \R$ Eigenwerte, $v = \sum_{i=1}^n
		\mu_i e_i$
	\begin{align*}
		\inner{\alpha(v)}v = \inner{\sum_{i=1}^n \lambda_i \mu_i e_i}{\sum_{j=1}^n \mu_j e_j} =
		\sum_{i=1}^n \lambda_i \mu_i \overline{\mu_i} = \sum_{i=1}^n \lambda_i \underbrace{\lvert \mu_i\rvert}_{\ge 0}{}^2
	\end{align*}
	Angenommen $\exists i \in [n]:\lambda_j \le 0 \implies \inner{\alpha(\lambda_j)}{e_j} = \lambda_j \le 0
		\implies \alpha$ nicht positiv definit. \\
	Angenommen $\forall i \in [n]: \lambda_i > 0 \implies \inner{\alpha(v)}v = \sum_{i=1}^n \lambda_i
		\lvert \mu_i \rvert^2 > 0$.
\end{proof}

\subsubsection{Bemerkung}
In der Polarzerlegung ist $\beta$ orthogonal/unitär und $\gamma$ selbstadjungiert \& positiv (semi-)definit.

\section[Hauptachsentheorem für symmetrische/hermitesche Matrizen]{Hauptachsentheorem für \\symmetrische/hermitesche Matrizen}

\subsubsection{Ziel}
Klassifizierung aller Skalarprodukte.

\begin{defin}
	\begin{align*}
		A \in & \R^{\nxn} \text{heißt} &  & \text{\underline{symmetrisch}, wenn}       &  & A = A^T  \\
		A \in & \C^{\nxn} \text{heißt} &  & \text{\underline{hermitesch}, wenn}        &  & A = A^*  \\
		A \in & \R^{\nxn} \text{heißt} &  & \text{\underline{schiefsymmetrisch}, wenn} &  & A = -A^T \\
		A \in & \C^{\nxn} \text{heißt} &  & \text{\underline{schiefhermitesch}, wenn}  &  & A = A^*
	\end{align*}
\end{defin}

\begin{satz}

	$V$ euklidischer/unitärer Vektorraum, $\dim(V)< \infty$. Dann gilt:
	\begin{itemize}
		\item	$\alpha$ selbstadjungiert $\iff \exists$ ONB $B$ mit ${}_B M(\alpha)_B$ \\
		      symmetrisch/hermitesch.
		\item	$\alpha$ anti-selbstadjungiert $\iff \exists$ ONB $B$ mit ${}_B M(\alpha)_B$ \\
		      schiefsymmetrisch/schiefhermitesch.
	\end{itemize}
\end{satz}

\begin{satz}
	\label{theo:3.4.3}
	$A$ symmetrisch/hermitesch. \\
	$\implies \exists$ orthogonale/unitäre Matrix $P$ mit $D = P^{-1} A P$ reelle Diagonalmatrix
\end{satz}
\begin{proof}
	Sei $E = \{e_1, \dots, e_n\} \subseteq \K^n$ kanonische Basis, \\
	$\varphi_A : \begin{cases} \K^n & \to \K^n \\v & \mapsto Av\end{cases}
		\implies {}_E M(\varphi_A)_E = A \implies {}_E M(\varphi_A^*)_E = A^* = A$ \\
	$\implies \varphi_A$ selbstadjungiert.
	$\implies \exists$ ONB $B=(b_1, \dots, b_n)$ von $\K^n$ aus ~Eigenvektoren von $\varphi_A$, Eigenwerte sind
	reell.
	$\implies {}_B M(\varphi_A)_B = D = \diag(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ \\
	$\implies {}_B M(\varphi_A)_B = \underbrace{{}_B M(\id)_E}_{P^{-1}}
		\underbrace{{}_E M(\varphi_A)_E}_{A} \underbrace{{}_E M(\id)_B}_{\underbrace{(b_1, \dots, b_n)}_{P}}
		\implies D = P^{-1} A P$
\end{proof}

\begin{korollar}

	$A$ symmetrisch/hermitesch $\implies$ Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal.
\end{korollar}

\subsubsection{Berechnung der Hauptachsentransformation}
$A \in \K^{\nxn}$
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
	\item $\chi_A(\lambda) = \prod_{j=1}^r (\lambda_j - \lambda)^{d_j} $ ($\sum d_j = n$; algebraische Vielfachheit = geometrische Vielfachheit)
	\item Für jedes $j \in [r]:$ Berechne Basis $B_j = (b_1^j, \dots, b_{d_j}^j)$ von $\ker(A - \lambda_j I)$
	\item Orthogonalisiere $B_j$ zu ONS $E_j = (e_1^j, \dots, e_{d_j}^j)$ mittels Gram-Schmidt Verfahren.
	\item $B = \bigcup_{j=1}^r E_j$ ist die gesuchte Orthonormalbasis.\\
	      Insbesondere $B^{-1} A B = \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ & \ddots \\ & & \lambda_n\end{pmatrix}$ \\
	      $B^{-1} = \overline B^T$
\end{enumerate}
Polarzerlegung $A \in \K^{\nxn}, A^* A$ symmetrisch/hermitesch
\[
	\implies A^* A = P^* \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ & \ddots \\ & & \lambda_n \end{pmatrix} P
\]
\[
	(A^* A)^{\frac 12} = P^* \begin{pmatrix} \sqrt{\lambda_1} \\ & \ddots \\ & & \sqrt{\lambda_n} \end{pmatrix} P
	\underset{\mathclap{O=AS^{-1}}}{=} S \implies A = \underset{\mathclap{\substack{| \\ \text{orthogonal/unitär}}}}{O} S
\]

\begin{satz}
	Sei $V$ ein reeller/komplexer Vektorraum mit $\dim(V) = n, B=(b_1, \dots, b_n)$ Basis. Für $A \in K^{\nxn}$ ist
	\begin{equation}
		\label{eq:3.4.5.1}
		\inner vw := {}_B \Phi(v)^T A {}_B \overline{\Phi(w)}
	\end{equation}
	Genau dann ein Skalarprodukt, wenn $A$ symmetrisch/hermitesch und\\
	$\underbrace{\text{positiv definit}}_{\substack{\forall \lambda \in \spec(A): \lambda > 0 \\
			\rotatebox{90}{\tiny$\iff$} \\ \forall v \in V\setminus\{0\}: \inner{Av}{v} > 0}}$ ist. \\
	Umgekehrt: Sei $\inner ..$ Skalarprodukt und $B$ Basis
	\[
		\implies \inner vw = {}_B \Phi(v)^T \underbrace{(\inner{b_i}{b_j})_{i,j=1}^n}_A {}_B \overline{\Phi(w)}
	\]
	($A = P^* \left( \begin{smallmatrix} \lambda_1 \\ & \ddots \\ & & \lambda_n\end{smallmatrix} \right)
		P \implies \inner vw = {}_B \Phi(v)^T  P^*
		\left( \begin{smallmatrix} \lambda_1 \\ & \ddots \\ & & \lambda_n\end{smallmatrix} \right)
		P {}_B \overline{\Phi(w)}$
	$\implies$ in geeigneter Basis ist jedes Skalarprodukt durch $\sum_{i=1}^n \mu_i \overline \lambda_i$ gegeben.)
\end{satz}
\begin{proof}
	Nur für $\K=\C$. Angenommen \ref{eq:3.4.5.1} ist Skalarprodukt.
	\begin{align*}
		\implies & \underset{\rotatebox{90}{$=$}}{\inner{b_i}{b_j}} = {}_B \Phi(b_i)^T A {}_B \overline{\Phi(b_j)}
		= e_i^T A e_j = a_{ij}                                                                                     \\
		         & \overline{\inner{b_j}{b_i}} = \overline{a_{ji}}                                                 \\
		\implies & a_{ij} = \overline{a_{ji}} \implies A \text{ hermitesch}
	\end{align*}
	Weiters muss $A$ positiv definit sein: Angenommen $\exists x \in \C^n \setminus \{0\}: x^T Ax = 0
		\implies v := \sum x_i b_i$, das heißt ${}_B \Phi(v) = x$ erfüllt $\inner vv = {}_B \Phi(v)^T A {}_B
		\overline{\Phi(v)} = x^T A \overline x = 0$ \\
	Sei $A$ hermitesch \& positiv definit. Klarerweise gilt dann für \\
	$\inner uv := {}_B \Phi(u)^T A {}_B \overline{\Phi(v)}$:
	\begin{align*}
		\inner{u+v}{w}       & = \inner uw + \inner vw \\
		\inner uv            & = \overline{\inner vu}  \\
		\inner{\lambda u}{v} & = \lambda \inner uv
	\end{align*}
	Bleibt zu zeigen, dass $\forall v \in V\setminus\{0\}: \inner vv > 0$ \\
	Satz \ref{theo:3.4.3} $\implies \exists$ unitäre Matrix $U$ mit
	$A = \underset{\substack{\rotatebox{90}{$=$}\\U^{-1}}}{U^*}
		\underbrace{\diag(\lambda_1, \dots, \lambda_n)}_\Sigma U, \lambda_i \in (0, \infty)\forall i \in [n]$
	\begin{align*}
		 & \inner vv={}_B \Phi(v)^T A {}_B \overline{\Phi(v)} = {}_B \Phi(v)^T U^* \Sigma U {}_B \overline{\Phi(v)}
		= \underset{\substack{\rotatebox{90}{$=$}                                                                   \\\sum \lambda_i \lvert x_i \rvert^2 > 0}}
		{(\overline U {}_B\Phi(v))^T \Sigma \overline{\overline U {}_B (v)}}                                        \\
		 & v \neq0 \implies \overline U {}_B \Phi(v) =
		\left( \begin{smallmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{smallmatrix} \right) \neq 0
	\end{align*}
\end{proof}

\begin{defin}
	Sei $A \in \K^{\nxn}$ eine symmetrische/hermitesche Matrix.
	\begin{itemize}
		\item \[
			      t(A) := \lvert \{\lambda \in \spec(A): \lambda > 0 \} \rvert
		      \]
		      heißt \underline{Trägheitsindex} von $A$.
		\item $A, B$ heißen \underline{kongruent} wenn eine invertierbare Matrix $Q \in \K^{\nxn}$ existiert mit
		      $B = Q^* A Q$
	\end{itemize}
\end{defin}

\subsubsection{Bemerkung}
$M_B(\sigma), M_{B'}(\sigma)$ sind kongruent (\& umgekehrt)

\begin{satz}
	[Trägheitssatz von Sylvester]
	Sei $A \in \K^{\nxn}$ symmetrisch/hermitesch mit $\rg(A) = r, t(A)=t$. Dann gilt:
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item Es gibt $S \in \K^{\nxn}$ invertierbar mit
		      \[
			      S^* A S =
			      \diag(\underbrace{1, \dots, 1}_t, \underbrace{-1, \dots, -1}_{r-t}, \underbrace{0, \dots, 0}_{n-r})
		      \]
		      $A$ ist zu dieser Matrix kongruent.
		\item $A, B$ kongruent $\iff t(A) = t(B) \land \rg(A) = \rg(B)$
	\end{enumerate}
	\subsubsection{Bemerkung}
	Trägheitsindex und Rang charakterisieren symmetrische Bilinearformen / hermitesche Sesquilinearformen komplett.
\end{satz}
\begin{proof}
	Nur $\K = \C$
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item Satz \ref{theo:3.4.3} $\implies \exists P$ unitär mit $P^* AP = \diag(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$
		      o.B.d.A. $\lambda_1, \dots, \lambda_t > 0, \lambda_{t+1}, \dots, \lambda_{r} < 0, \lambda_{r+1}, \dots,
			      \lambda_n = 0$. \\
		      Setze $T = \begin{pmatrix}
				      \frac{1}{\sqrt{\lvert \lambda_1 \rvert}}                              \\
				       & \ddots                                                             \\
				       &        & \frac{1}{\sqrt{\lvert \lambda_r \rvert}}                  \\
				       &        &                                          & 1              \\
				       &        &                                          &   & \ddots     \\
				       &        &                                          &   &        & 1
			      \end{pmatrix}$
		      $\implies S := PT$ ist invertierbar.
		      \begin{align*}
			      S^* A S & = T \underbrace{P^* A P}_{\mathclap{\diag{\lambda_1, \dots, \lambda_n}}} T = T
			      \begin{pmatrix}
				      \lambda_1             \\
				       & \ddots             \\
				       &        & \lambda_n
			      \end{pmatrix} T                                                                    \\
			              & = \begin{pmatrix}
				                  1                                                 \\
				                   & \ddots                                         \\
				                   &        & 1                                     \\
				                   &        &   & -1                                \\
				                   &        &   &    & \ddots                       \\
				                   &        &   &    &        & -1                  \\
				                   &        &   &    &        &    & 0              \\
				                   &        &   &    &        &    &   & \ddots     \\
				                   &        &   &    &        &    &   &        & 0
			                  \end{pmatrix}
		      \end{align*}
		\item $A, B$ kongruent, das heißt $\exists Q$ invertierbar mit $B = Q^* A Q$\\
		      $ \implies \rg(B) = \rg(A)$.
		      Satz \ref{theo:3.4.3} $\implies \exists P_1, P_2$ unitär mit
		      \begin{align*}
			      P_1^* A P_1 & = \begin{pmatrix}
				                      \lambda_1             \\
				                       & \ddots             \\
				                       &        & \lambda_n
			                      \end{pmatrix} = D \\
			      P_2^* A P_2 & = \begin{pmatrix}
				                      \mu_1             \\
				                       & \ddots         \\
				                       &        & \mu_n
			                      \end{pmatrix} = G
		      \end{align*}
		      $t(A) := t, t(B) := s$ \\
		      Ordne so, dass $\ontop{\lambda_1, \dots, \lambda_t > 0,
				      \lambda_{t+1}, \dots, \lambda_r < 0,
				      \lambda_{r+1}, \dots, \lambda_n = 0}
			      {\mu_1, \dots, \mu_s > 0, \mu_{s+1}, \dots, \mu_r < 0, \mu_{r+1}, \dots, \mu_n =0}$ \\
		      Setze $a_i := \sqrt{\lvert \lambda_i \rvert}, b_i := \sqrt{\lvert \mu_i \rvert}$
		      \begin{equation}
			      \label{eq:3.4.6.1}
			      x^* D x = \sum_{j=1}^t a_j^2 \lvert x_j \rvert^2 - \sum_{j=t+1}^r a_j^2 \lvert x_j \lvert^2
		      \end{equation}
		      $C := P_2 Q^{-1} P_1, y := Cx$
		      \begin{equation}
			      \label{eq:3.4.6.2}
			      x^* D x = x^* C^* G C x = y^* G y = \sum_{j=1}^s b_j^2 \lvert y_j \rvert^2 - \sum_{j=s+1}^r b_j^2
			      \lvert y_j \rvert^2
		      \end{equation}
		      Angenommen $t<s$:
		      \begin{equation}
			      \label{eq:3.4.6.3}
			      \begin{rcases} x_i = 0                           & i = 1, \dots, t   \\
               y_i = \sum_{j=1}^n C_{ij} x_j = 0 & i = s+1, \dots, n
			      \end{rcases}
		      \end{equation}
		      $\implies <n \text{ Gleichungen in }n$
		      Variablen $\implies \exists z \in \C^n \setminus \{0\}:$ \ref{eq:3.4.6.3} ist für $z$ erfüllt.
		      \begin{align*}
			      z^* D z & \overset{\text{\ref{eq:3.4.6.1}}}{=} - \sum_{j=t+1}^r a_j^2 \lvert z_j \rvert^2 < 0                     \\
			      z^* D z & \overset{\text{\ref{eq:3.4.6.2}}}{=} \sum_{j=1}^s b_j^2 \abs{y_j}^2 > 0
			              &                                                                                     & \text{\Lightning}
		      \end{align*}
		      $\implies s = t$
	\end{enumerate}
\end{proof}

\subsubsection{Berechnung des Trägheitsindex:}
Sei $A$ symmetrisch hermitesch, $\det(A) \neq 0 \implies \chi_A(\lambda) = a_1 \lambda^n + \dots +
	\underset{\mathrlap{\rotatebox{325}{\scriptsize$\neq 0$}}}{a_0}$ mit $a_i \in \R$ ist Polynom mit lauter
reellen Nullstellen.

\begin{satz}
	[Vorzeichenregel von Descartes]
	Sei $p$ Polynom mit $p(0) \neq 0$, reellen Koeffizienten und lauter reellen Nullstellen. Dann gilt
	\[
		\abs{ \{ \lambda: p(\lambda) = 0 \land \lambda > 0 \} }
		= \abs{ i \in \{0, \dots n-1 \}: a_i a_{i+1} < 0 }
	\]
\end{satz}

\section{Bilinearformen und Sesquilinearformen}

\begin{defin}
	\begin{itemize}
		\item $\sigma: V\times V \to \K$ mit $\forall u,v,w \in V, \lambda \in \K$:
		      \begin{align}
			      \sigma(v+w, u)       & = \sigma(v, u) + \sigma(w, u) \nonumber   \\
			      \sigma(v, w+u)       & = \sigma(v, w) + \sigma(v, u) \nonumber   \\
			      \sigma(\lambda v, w) & = \lambda \sigma(v, w) \nonumber          \\
			      \sigma(v, \lambda w) & = \lambda \sigma(v, w) \label{eq:3.5.1.1}
		      \end{align}
		      heißt \underline{Bilinearform}.
		\item Falls $\K = \C$ und anstelle von \ref{eq:3.5.1.1} gilt, dass
		      $\sigma(v, \lambda w) = \overline \lambda \sigma(v,w)$, so heißt $\sigma$ \underline{Sesquilinearform}.
		\item Eine Bilinearform heißt \underline{symmetrisch}, wenn $\sigma(u, v) = \sigma(v, u)$ und \\
		      \underline{alternierend}, wenn $\sigma(u, v) = -\sigma(v, u)$.
		\item Eine Sesquilinearform heißt \underline{hermitesch}, wenn $\sigma(u, v) = \overline{\sigma(v, u)}$
	\end{itemize}
\end{defin}

\subsubsection{Beispiel}
\begin{itemize}
	\item Euklidisches Skalarprodukt ist symmetrische Bilinearform.
	\item Unitäres Skalarprodukt ist hermitesche Bilinearform.
	\item \begin{equation} \label{eq:3.5.1.2}
		      \sigma(x, y) = x_1 y_1 + x_1 y_2 + x_2 y_1 - 5 x_2 y_2 = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \end{pmatrix}
		      \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}
	      \end{equation}
	      $V=\R^2$
	      $ q(x) := \sigma(x, x) = x_1^2 + x_1 x_2 + x_2 x_1 - 5x_2^2, \R^2 \to \R$
\end{itemize}
Sei $ B= (b_1, \dots, b_n)$ Basis, so ist $M_B(\sigma) := (\sigma(b_i, b_j))_{i,j=1}^n$

\begin{lemma}
	\label{theo:3.5.2}
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item Es gilt für $\sigma$ Bilinearform und $B$ Basis, dass
		      \[
			      \sigma(u, v) = {}_B \Phi(u)^T M_B(\sigma) {}_B \Phi(v) \; \forall u, v
		      \]
		\item Es gilt für $\sigma$ Sequilinearform, dass
		      \[
			      \sigma(u, v) = {}_B \Phi(u)^T M_B(\sigma) {}_B \overline{\Phi(v)} \; \forall u, v
		      \]
		\item Sei $B'$ eine weitere Basis und $\K = \R$
		      \[
			      M_{B'}(\sigma) = {{}_B M(\id)_{B'}}^T \, M_B(\sigma) \, {}_B M(\id)_{B'}
		      \]
		\item Sei $B'$ eine weitere Basis und $\K = \C$
		      \[
			      M_{B'}(\sigma) = {{}_B M(\id)_{B'}}^T \, M_B(\sigma) \, {}_B \overline{M(\id)}_{B'}
		      \]
		\item $\sigma$ symmetrisch/hermitesch $\iff M_B(\sigma)^* = M_B(\sigma)$
	\end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item Analog wie b)
		\item $u = \sum \lambda_i b_i, v=\sum \mu_j b_j, A = M_B(\sigma)$
		      \begin{align*}
			      \sigma(u, v) & = \sigma(\sum \lambda_i b_i, \sum \mu_j b_j) = \sum_{i=1}^n \lambda_i
			      \underbrace{\sum_{j=1}^n \underbrace{\sigma(b_i, b_j)}_{a_{ij}} \overline \mu_j}
			      _{A {}_B\overline{\Phi(v)}}                                                          \\
			                   & = {}_B \Phi(u)^T M_B(\sigma) {}_B \overline{\Phi(v)}
		      \end{align*}
		\item Analog wie d)
		\item $b'_i = \sum_k a_{ki} b_k, M_{B'} = (\sigma(b'_i, b'_j))_{i,j}$
		      \begin{align*}
			      \sigma(b'_i, b'_j) & = \sigma(\sum_k a_{ki} b_k, \sum_l a_{lj} b_l) = \sum_k a_{ki} \sum_l
			      \underbrace{\sigma(b_i,b_j)}_{M_B(\sigma)} \overline{a_{lj}}                               \\
			                         & = (A^T M_B(\sigma)\overline A)_{ij}
		      \end{align*}
		\item \begin{align*}
			      \underset{\rotatebox{70}{$=$}}{\sigma(v, w)}
			       & = \underset{\rotatebox{110}{$=$}}{\overline{\sigma(w, v)}}                    \\
			      {}_B \Phi(v)^T M_B(\sigma) {}_B \overline{\Phi(w)}
			       & = \left({}_B\overline{\Phi(w)}^T \overline{M_B(\sigma)} {}_B \Phi(v)\right)^T \\
			       & =  {}_B \Phi(v)^T \overline{M_B(\sigma)}^T {}_B \overline{\Phi(w)}            \\
			      \implies M_B(\sigma) = M_B(\sigma)^*
		      \end{align*}
	\end{enumerate}
\end{proof}


\begin{satz}

	Sei $V$ euklidischer/unitärer Vektorraum und $\sigma$ symmetrische/hermitesche Bilinear-/Sesquilinearform.
	Dann existiert eine Orthonormalbasis $B$ mit \\ $M_B(\sigma)$ reelle Diagonalmatrix.
\end{satz}
\begin{proof}
	Nach Lemma \ref{theo:3.5.2} e) gilt $M_B(\sigma)^* = M_B(\sigma)$ und daher nach Satz \ref{theo:3.4.3}
	gibt es orthogonale/unitäre Matrix $U$ mit
	\[
		U^* M_B(\sigma) U = \left(\begin{smallmatrix}
				\lambda_1 \\ & \ddots \\ & & \lambda_n
			\end{smallmatrix}\right), \lambda_i \in \R \forall i \in [n]
	\]
	Behauptung folgt dann aus Lemma \ref{theo:3.5.2} d).
\end{proof}

\subsubsection{Beispiel}
$\sigma$ wie in \ref{eq:3.5.1.2}, $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -5 \end{pmatrix}$ \\
$\chi_a(\lambda) = \det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 \\ 1 & -5-\lambda \end{pmatrix}
	= (\lambda -1)(5 + \lambda) - 1$ \\
Nullstellen: $\lambda_1, \lambda_2 = -2 \pm \sqrt{10}$\\
$b_1 = \frac{1}{\sqrt{20+6\sqrt{10}}} \begin{pmatrix}
		3 + \sqrt{10} \\ 1 \end{pmatrix},
	b_2 = \frac{1}{\sqrt{20-6\sqrt{10}}} \begin{pmatrix}3 - \sqrt{10} \\ 1 \end{pmatrix}$ \\
$M_B(\sigma) = \begin{pmatrix} -2 + \sqrt{10} & 0 \\ 0 & -2 -\sqrt{10} \end{pmatrix}$ \\
$ \implies q(\tilde x_1, \tilde x_2) = \lambda_1 \tilde x_1^2 + \lambda_2 \tilde x_2^2 \equiv c$

\begin{tikzpicture}[scale=1.8]
	\tikzmath{
		\bfactor1 = 1 / sqrt(20 + 6* sqrt(10));
		\bfactor2 = 1 / sqrt(20 - 6* sqrt(10));
		\bx1 = \bfactor1 * (3 + sqrt(10));
		\by1 = \bfactor1;
		\bx2 = \bfactor2 * (3 - sqrt(10));
		\by2 = \bfactor2;
		\brichtung1 = \by1 / \bx1;
		\brichtung2 = \by2 / \bx2;
	}
	\begin{axis}[
			title=\scriptsize{Niveaulinien von $q(x)$},
			xlabel={$x_1$},
			ylabel={$x_2$},
			ymin=-2.7,ymax=2.7,
			xmin=-3.3,xmax=3.3,
			view={0}{90},
			axis lines=middle,
			tick label style={font=\tiny},
			label style={font=\scriptsize},
		]
		\addplot3 [
			contour gnuplot={
					levels={0,-1,-4,-9,-16,-25,-36,1,4,9},
					contour label style={every node/.append style={text=ForestGreen}},
					label distance = 90pt,
				},
			samples=80,
			domain=-3.3:3.3,
			domain y=-2.7:2.7,
			contour/draw color={ForestGreen},
		]
		{x^2 + 2*x*y - 5*y^2};
		\draw [->, red, thick] (0,0) -- (\bx1, \by1) node[above]{\footnotesize$b_1$};
		\draw [->, red, thick] (0,0) -- (\bx2, \by2) node[above right]{\footnotesize$b_2$};
		\addplot [
			domain=-3.3:3.3,
			color=red,
			style={dash pattern=on 3pt off 2pt on 15pt off 2pt},
		]
		{x * \brichtung1};
		\addplot [
			domain=-3.3:3.3,
			color=red,
			style={dash pattern=on 3pt off 2pt on 15pt off 2pt},
		]
		{x * \brichtung2};
	\end{axis}
\end{tikzpicture}

\begin{defin}
	Sei $\rho: V \to \K$ heißt \underline{quadratische Form} wenn $\forall u, v \in V, \lambda \in \K:$
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $\rho(\lambda v) = \lambda^2 \rho(v)$
		\item $ \sigma(u, v) := \rho(u + v) - \rho(u) - \rho (v)$ ist eine (symmetrische) Bilinearform
	\end{enumerate}
\end{defin}

\begin{lemma}

	Sei $\operatorname{char}(\K) \neq 2$. Dann entsprechen die quadratischen Formen und symmetrischen
	Bilinearformen einander eineindeutig.
\end{lemma}
\begin{proof}
	$\rho$ quadratische Form $\implies \sigma(v, w) = \rho(u + v) - \rho(u) - \rho(v)$ ist symmetrische
	Bilinearform. \\
	Sei umgekehrt $\sigma$ symmetrische Bilinearform,
	$\rho(v) := \underset{\mathclap{\substack{\rotatebox{90}{$\to$}\\\operatorname{char}(\K) \neq 2}}}
		{\frac 12} \sigma(v, v)$.
	\begin{align*}
		\rho(\lambda v) = \frac 12 \sigma(\lambda v, \lambda v) & = \lambda^2 \frac 12 \sigma(v, v) =
		\lambda^2 \rho(v) \implies \text{a)}                                                                                      \\
		\rho(u+v) - \rho(u) - \rho(v)                           & = \frac 12(\sigma(u + v, u + v) - \sigma(u, u) - \sigma(v, v))  \\
		                                                        & \begin{multlined}
			                                                          = \frac 12(\cancel{\sigma(u, u)} + \sigma(u, v) + \sigma(v, u)
			                                                          + \cancel{\sigma(v, v)} \\
			                                                          - \cancel{\sigma(u, u)} - \cancel{\sigma(v, v)})\end{multlined} \\
		                                                        & = \sigma(u, v) \text{ ist symmetrische Bilinearform.}
	\end{align*}
\end{proof}

\begin{defin}
	\label{theo:3.5.6}
	Sei $V\, \C$-VR. $\rho: V \to \R$ heißt \underline{hermitesche Form} wenn $\forall u, v \in V, \lambda \in \C$:
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $\rho(\lambda v) = \abs{\lambda}^2 \rho(v)$
		\item $\rho(u+v) + \rho(u -v) = 2(\rho(u) + \rho(v))$
		\item $\sigma(u,v) := \frac 12 (\rho(u+v) + i\rho(u +iv) - (1+i)(\rho(u) + \rho(v)))$ ist hermitesche
		      Sesquilinearform.
	\end{enumerate}
\end{defin}

\begin{lemma}
	Hermitesche Formen und hermitesche Sesquilinearformen entsprechen einander eineindeutig
\end{lemma}
\begin{proof}
Für hermitesche Form ist durch Definition \ref{theo:3.5.6} c) eine hermitesche Sesquilinearform definiert. \\
Sei umgekehrt $\sigma$ hermitesche Sesquilinearform. Dann ist $\rho(v) := \frac12 \sigma(v, v)$ hermitesche
Form:
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item \checkmark
\item \begin{align*}
\rho(u+v) + \rho(u - v) &= \sigma(u+v, u+v) + \sigma(u-v, u-v) \\
&\begin{multlined}= \sigma(u, u) + \sigma(v, v) + \sigma(u, v) + \sigma(v, u)
	+ \sigma(u, u)\\ + \sigma(v, v) - \sigma(u, v) - \sigma(v, u)
\end{multlined} \\
&= 2\sigma(u, u) + 2\sigma(v, v) \\
&= 2(\rho(u) + \rho(v))
\end {align*}
\item \begin{align*}
	\frac12 (\rho(u+v) + i\rho(u+iv)
	 & - (1+i)(\rho(u)+\rho(v))) =                                                               \\
	 & \begin{multlined}
		   = \sigma(u+v, u+v) + i \sigma(u+iv,u+iv) \\- \sigma(u, u) - \sigma(v, v) - i\sigma(u, u) -
		   i \sigma(v, v) \end{multlined} \\
	 & = \sigma(u, v) + \sigma(v, u) + i \sigma(iv, u) + i \sigma(u, iv)                         \\
	 & = \sigma(u, v) + \overline{\sigma(u, v)} + i \overline{\sigma(u, iv)} + \sigma(u, v)      \\
	 & = \sigma(u, v) + \overline{\sigma(u, v)} + i \cdot \overline{\overline{i}} \cdot
	\overline{\sigma(u, v)}
	+ \sigma(u, v)                                                                               \\
	 & = 2 \sigma(u, v)
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{proof}

\subsubsection{Bemerkung}
$\sigma$ heißt Polarform von $\rho$

\section[Die Singulärwertzerlegung und die Pseudoinverse]{Die Singulärwertzerlegung und die \\Pseudoinverse}

Wir wollen nun für zwei euklidische Vektorräume $V, W$ eine geeignete Normalform \\ bezüglich Orthonormalbasen
herleiten. Polarzerlegung besagt für $\alpha \in \Hom(V, V)$, dass Orthonormalbasen $B, B'$ von $V$ existieren
mit
\[
	{}_B M(\alpha)_B = \begin{pmatrix}
		s_1                              \\
		 & \ddots                        \\
		 &        & s_r                  \\
		 &        &     & 0              \\
		 &        &     &   & \ddots     \\
		 &        &     &   &        & 0
	\end{pmatrix}, s_1, \dots, s_n > 0
\]
Das heißt $\alpha$ lässt sich aus orthogonalen Endomorphismen und Skalierung zusammensetzen.

\begin{satz}
	[Singulärwertzerlegung]
	Sei $A \in \R^{m \times n} / \C^{m \times n}$. Dann gibt es orthogonale/unitäre Matrizen $U, V$ sowie
	$s_1, \dots, s_r \in (0, \infty)$ mit
	\[
		A = \underbrace{U}_{\K^{m\times m}} \underbrace{\begin{pmatrix}s_1                              \\
				 & \ddots                        \\
				 &        & s_r                  \\
				 &        &     & 0              \\
				 &        &     &   & \ddots     \\
				 &        &     &   &        & 0\end{pmatrix}}_{\K^{m \times n}} \underbrace{V}_{\K^{n \times n}}
	\]
	$s_1, \dots, s_r$ heißen \underline{Singulärwerte} von $A$.
\end{satz}
\begin{proof}
	\begin{itemize}
		\item $A^* A \in \K^{\nxn}$ selbstadjungiert und positiv semi-definit. \\
		      Eigenwerte $\lambda_1, \dots, \lambda_n \in [0, \infty)$, ONB $b_1, \dots, b_n$ aus Eigenvektoren.
		      Sei $\lambda_1, \dots, \lambda_r \in (0, \infty), \lambda_{r+1} = \dots = \lambda_n = 0$
		      $s_i := \sqrt{\lambda_i}, i\in [n]$
		\item Es gilt, dass $\overbrace{\frac 1{s_1} A b_1}^{b_1'}, \dots, \overbrace{\frac 1{s_r} A b_r}^{b_r'}$
		      Orthonormalsystem in $\K^m$ ist.
		      \begin{align*}
			      \overline{\inner{Ab_i}{Ab_j}}_{\K^m} & = \overline{b_i^T A^T \overline A \,\overline{b_j}}
			      = \overline{b_i}^T A^* A b_j = \lambda_j \overline{b_i}^T b_j                              \\
			                                           & = \lambda_j \overline{\inner{b_i}{b_j}}_{\K^n}
			      = \lambda_j \delta_{ij} \in \R
		      \end{align*}
		\item Ergänze $b_1', \dots, b_r'$ zu Orthonormalbasis $b_1', \dots, b_r', \dots, b_m'$ von $\K^m$. \\
		      Sei $\varphi_A: x \mapsto A\cdot x \implies {}_{B'} M(\varphi_A)_B = \left( \begin{smallmatrix}
					      s_1 \\
					      & \ddots \\
					      & & s_r \\
					      & & & 0 \\
					      & & & & \ddots \\
					      & & & & & 0
				      \end{smallmatrix} \right)$ \\
		      $v = \sum \mu_i b_i \implies Av = \sum \mu_i \underbrace{A b_i}_{s_i b_i'} = \sum \mu_i s_i b_i'$
	\end{itemize}
\end{proof}

Mittels der Singulärwertzerlegung können wir für jede Matrix (bzw. lineare Abbildung) eine verallgemeinerte
Inverse berechnen.

Sei   ${}_B M(\alpha)_B = \begin{pmatrix}s_1                              \\
		 & \ddots                        \\
		 &        & s_r                  \\
		 &        &     & 0              \\
		 &        &     &   & \ddots     \\
		 &        &     &   &        & 0\end{pmatrix}$ \\
$\implies \ker(\alpha) = \langle b_{r+1}, \dots, b_n \rangle_V, \im(\alpha) = \langle b'_1, \dots b_r' \rangle_W,
	\ker(\alpha)^\bot = \langle b_1, \dots, b_r \rangle_V$

\begin{align*}
	\alpha:  V                                                                    & \to
	\ker(\alpha)^{\bot}                                                           &           & \overset{\beta}{\to}
	\im(\alpha)                                                                   &           & \to
	W                                                                                                                            \\
	\sum_{i=1}^n \lambda_i b_i                                                    & \mapsto
	\sum_{i=1}^r \lambda_i b_i                                                    &           & \mapsto
	\sum_{i=1}^r s_i \lambda_i b_i'                                               &           & \mapsto
	\sum_{i=1}^r s_i \lambda_i b_i'                                                                                              \\
	\left(\begin{smallmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{smallmatrix}\right)         & \mapsto
	\left(\begin{smallmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_r\end{smallmatrix}\right)         &           & \mapsto
	\left(\begin{smallmatrix}s_1 x_1 \\ \vdots \\ s_r x_r\end{smallmatrix}\right) &           & \mapsto
	\left.\left(\begin{smallmatrix}
			            s_1 x_1 \\ \vdots \\ s_r x_r \\ 0 \\ \vdots \\ 0
		            \end{smallmatrix}\right)\right\}  m                                                                  \\
	\sum_{i=1}^r \frac{\mu_i}{s_i} b_i                                            & \mapsfrom
	\sum_{i=1}^r \frac{1}{s_i} \mu_i b_i                                          &           & \underset{\beta^{-1}}{\mapsfrom}
	\sum_{i=1}^r \mu_i b_i'                                                       &           & \mapsfrom
	\sum_{i=1}^m \mu_i b_i' = w \cdot \alpha^{+}
\end{align*}

\subsubsection{Bemerkung:}
$\alpha$ invertierbar, $V=W \implies n = m = r \implies \alpha^\dagger = \alpha^{-1}$ \\
Wir haben eine echte Verallgemeinerung.

\begin{defin}
	\leavevmode
	\begin{itemize}
		\item Sei $A \in \K^{m \times n}, \K \in \{\R,\C\}$ mit
		      \[
			      A = U^* \Sigma V, \Sigma = \left( \begin{smallmatrix}
					      s_1 \\
					      & \ddots \\
					      & & s_r \\
					      & & & 0 \\
					      & & & & \ddots \\
					      & & & & & 0
				      \end{smallmatrix} \right)
		      \]
		      Dann heißt die Matrix
		      \[
			      A^\dagger = V^* \Sigma^\dagger U \in \K^{n \times m}, \Sigma^\dagger = \left( \begin{smallmatrix}
					      \frac1{s_1} \\
					      & \ddots \\
					      & & \frac1{s_r} \\
					      & & & 0 \\
					      & & & & \ddots \\
					      & & & & & 0
				      \end{smallmatrix} \right)
		      \]
		      (Moore-Penrose) \underline{Pseudoinverse} von $A$.
		\item Sei $\alpha \in \homk(V, W), \dim(V), \dim(W) < \infty$ und $B, B'$ Orthonormalbasen mit
		      ${}_{B'} M(\alpha)_B = \Sigma$ und $\alpha^\dagger$ so, dass ${}_B M(\alpha^\dagger)_B = \Sigma^\dagger$.
		      Dann heißt $\alpha^\dagger$ (Moore-Penrose) \underline{Pseudoinverse} von $\alpha$.
	\end{itemize}
\end{defin}

\begin{satz}
	\label{theo:3.6.3}
	Seien $V, W$ endlich dimensional euklidische/unitäre Vektorräume, \\
	$\alpha \in \Hom(V, W)$. Dann gilt:
	\[
		\alpha^\dagger \text{ ist pseudoinverse} \iff \begin{aligned}
			 & \alpha \circ \alpha^\dagger \circ \alpha = \alpha                 \\
			 & \alpha^\dagger \circ \alpha \circ \alpha^\dagger = \alpha^\dagger \\
			 & \alpha \circ \alpha^\dagger \text{ selbstadjungiert}              \\
			 & \alpha^\dagger \circ \alpha \text{ selbstadjungiert}              \\
		\end{aligned}
	\]
\end{satz}
\begin{proof}
	Beweis über Matrizen, da äquivalent. Weiters die $\implies$ Richtung nur für \R.
	\begin{itemize}
		\item[$\implies$:] $A = U^T \Sigma V, A^\dagger = V^T \Sigma^\dagger U$
			\[
				A A^\dagger = U^T \Sigma \underbrace{V V^T}_{=I} \Sigma^\dagger U = U^T \Sigma \Sigma^\dagger U =
				U^T \left( \begin{smallmatrix} 1 \\ & \ddots \\ & & 1 \\ & & & 0 \\ & & & & \ddots \\
						& & & & & 0 \end{smallmatrix} \right) U
			\]
			$A^\dagger A$.
			\[
				A A^\dagger A = U^T \Sigma \underbrace{V V^T}_I \Sigma^\dagger \underbrace{U U^T}_I \Sigma V
				= U^T \underbrace{\Sigma \Sigma^\dagger \Sigma}_\Sigma V = U^T \Sigma V = A
			\]
		\item[$\impliedby$:]
			\begin{itemize}
				\item Sei $\alpha \in \Hom(V, W), \alpha^\dagger \in \Hom(W, V)$
				      \begin{equation} \label{eq:3.6.3.1}
					      \begin{aligned}
						      \ker(\alpha) = \ker(\alpha^\dagger \circ \alpha)         &  &
						      \im(\alpha) = \im(\alpha \circ \alpha^\dagger)                \\
						      \ker(\alpha^\dagger) = \ker(\alpha \circ \alpha^\dagger) &  &
						      \im(\alpha^\dagger) = \im(\alpha^\dagger \circ \alpha)
					      \end{aligned}
				      \end{equation}
				      \tl UE\br\,:
				      $\ker(\alpha) \subseteq \ker(\alpha^\dagger \circ \alpha) \subseteq \ker(\alpha \circ \alpha^\dagger
					      \circ \alpha) = \ker(\alpha) \implies \ker(\alpha) = \ker(\alpha \circ \alpha^\dagger \circ \alpha)$
				\item $\nu := \alpha^\dagger \circ \alpha$ erfüllt $\nu \circ \nu$ und ist selbstadjungiert
				      ? für $\nu' := \alpha \circ \alpha^\dagger$ \\
				      $\implies \underbrace{\ker(\nu)}_{=\ker(\alpha)} \bot \im(\nu)$
				      [Sei $v\in \ker(\nu), w = \nu(v) \in \im(\nu) \implies \inner vw = \inner{\nu(v)}{w} = 0$] \\
				      $\implies$
				      \begin{enumerate}[label=\alph*)]
					      \item $\nu(v) \in \im(\nu)$
					      \item $\forall u \in \im(\nu), v \in V:$
					            \begin{align*}
						            \inner{\nu(v) - v}{u} & = \inner{\nu(v) - v}{\nu(w)} = \inner{\nu^2(v) - \nu(v)}{w} \\
						                                  & = \inner{\nu(v) - \nu(v)}{w} = 0
					            \end{align*}
				      \end{enumerate}
				      $\implies (b_1, \dots, b_n)$ ONB mit $\langle b_{r+1}, \dots, b_n \rangle_V = \ker(\nu) =
					      \ker(\alpha)$
				      \begin{align*}
					                     & \sum_{i=1}^n \lambda_i b_i &  & \overset{\nu}{\mapsto} \sum_{i=1}^r \lambda_i b_i
					      \text{[$\nu$ ist orthogonale Projektion auf $\ker(\alpha)^\bot$]}                                  \\
					      \text{Analog:} & \sum_{i=1}^m \mu_i b_i'    &  & \overset{\nu'}{\mapsto} \sum_{i=1}^r \mu_i b_i'
					      \text{[$\nu'$ ist orthogonale Projektion auf $\im(\alpha)$]}                                       \\
				      \end{align*}
				      \[
					      \implies {}_B M(\alpha^\dagger \circ \alpha)_B =
					      \left(\begin{smallmatrix}
							      1 \\
							      & \ddots \\
							      & & 1 \\
							      & & & 0 \\
							      & & & & \ddots \\
							      & & & & & 0
						      \end{smallmatrix}\right),\; {}_{B'} M(\alpha \circ \alpha^\dagger)_{B'} =
					      \left(\begin{smallmatrix}
							      1 \\
							      & \ddots \\
							      & & 1 \\
							      & & & 0 \\
							      & & & & \ddots \\
							      & & & & & 0
						      \end{smallmatrix}\right)
				      \]
				      \begin{equation}
					      \label{eq:3.6.3.2}
					      \begin{split}
						      \implies
						      \underbrace{\left(\begin{smallmatrix}
								      1 \\
								      & \ddots \\
								      & & 1 \\
								      & & & 0 \\
								      & & & & \ddots \\
								      & & & & & 0
							      \end{smallmatrix}\right)}_n &= {}_B M(\alpha^\dagger)_{B'} \cdot {}_{B'} M(\alpha)_B = \\
						      &=
						      \begin{pmatrix}
							      a_{11}^\dagger & \dots & a_{1m}^\dagger \\
							      \vdots         &       & \vdots         \\
							      a_{n1}^\dagger & \dots & a_{nm}^\dagger
						      \end{pmatrix}
						      \underbrace{\left.\left(\begin{smallmatrix}
								      s_1 \\
								      & \ddots \\
								      & & s_r \\
								      & & & 0 \\
								      & & & & \ddots \\
								      & & & & & 0
							      \end{smallmatrix}\right)\right\}}_n \scriptstyle{m}
					      \end{split}
				      \end{equation}
				      \begin{align*}
					      \underbrace{
						      \left(\begin{smallmatrix}
							            1 \\
							            & \ddots \\
							            & & 1 \\
							            & & & 0 \\
							            & & & & \ddots \\
							            & & & & & 0
						            \end{smallmatrix}\right)
					      }_m & = {}_{B'} M(\alpha)_B \cdot {}_B M(\alpha^\dagger)_{B'} =                   \\
					          & =\scriptstyle{m}\underbrace{\left\{\left(\begin{smallmatrix}
							                                                     s_1 \\
							                                                     & \ddots \\
							                                                     & & s_r \\
							                                                     & & & 0 \\
							                                                     & & & & \ddots \\
							                                                     & & & & & 0
						                                                     \end{smallmatrix}\right)\right.}_n
					      \begin{pmatrix}
						      a_{11}^\dagger & \dots & a_{1m}^\dagger \\
						      \vdots         &       & \vdots         \\
						      a_{n1}^\dagger & \dots & a_{nm}^\dagger
					      \end{pmatrix}
				      \end{align*}
				      Es gilt $\ker(\alpha^\dagger) = \ker(\nu') = \im(\alpha)^\bot
					      = \langle b_{r+1}', \dots, b_r' \rangle \implies a^\dagger_{i\_} = 0 \forall i > r$
				      \[
					      \implies {}_B M(\alpha^\dagger)_{B'} =
					      \begin{pmatrix}
						      \begin{smallmatrix}
							      a_{11}^\dagger & \dots & a_{1r}^\dagger \\
							      \vdots & & \vdots \\
							      a_{r1}^\dagger & \dots & a_{rr}^\dagger
						      \end{smallmatrix} & 0        \\
						      0                                          & 0
					      \end{pmatrix}
					      \text{ und } a_{ij}^\dagger = \delta_{ij} \frac{1}{s_i} \text{ wegen \ref{eq:3.6.3.2}}
				      \]
			\end{itemize}
	\end{itemize}
\end{proof}

\begin{satz}
	Sei $\alpha \in \Hom(V, W)$.
	\begin{itemize}
		\item $\alpha$ injektiv $\implies \alpha^\dagger = (\alpha^* \circ \alpha)^{{}^{-1}} \circ \alpha^*$
		\item $\alpha$ surjektiv $\alpha^\dagger = \alpha^* \circ (\alpha \circ \alpha^*)^{{}^{-1}}$
	\end{itemize}
\end{satz}
\begin{proof}
	Sei $\alpha$ injektiv $\implies \alpha^* \circ \alpha$ bijektiv. Angenommen $\alpha^* \circ \alpha$ nicht
	surjektiv $\implies$
	\begin{align*}
		\exists w \in V \setminus \{0\}: \forall v \in V: \inner{\alpha^* \circ \alpha(v)}{w} = 0 \\
		\implies \forall v: \inner{\alpha(v)}{\alpha(w)}_W = 0                                    \\
		\implies \alpha(w) \in \im(\alpha)^\bot \cap \im(\alpha) \implies \alpha(w) = 0           \\
		\overset{\alpha \text{ injektiv}}{\implies} w = 0 & \text{\Lightning}
	\end{align*}
	$\implies \beta:= (\alpha^* \circ \alpha)^{{}^{-1}} \circ \alpha^*$ ist wohldefiniert.
	Nun gilt:
	\begin{itemize}
		\item $\alpha \circ \beta \circ \alpha = \alpha \circ (\alpha^* \circ \alpha)^{{}^{-1}} \circ \alpha^* \circ
			      \alpha = \alpha$
		\item $\beta \circ \alpha \circ \beta = (\alpha^* \circ \alpha)^{{}^{-1}} \circ \alpha^* \circ \alpha \circ
			      \beta = \beta$
		\item $\beta \circ \alpha, \alpha \circ \beta$ sind selbstadjungiert.
	\end{itemize}
	$\underset{\text{Satz \ref{theo:3.6.3}}}{\implies} \beta = \alpha^\dagger$
\end{proof}

\subsubsection{Anwendung: Methode der kleinsten Quadrate}
Sei $Ax = b$ Lineares Gleichungssystem mit $L(A,b) = \emptyset$. Versuche ein $x$ zu finden mit
$\norm{Ax-b}_{\K^m}$ minimal, $\norm{\alpha(v) - w}$ minimal.
Sei $b_1, \dots, b_n$ Orthonormalbasis von $V$, $b_1', \dots, b_m'$ ONB von $W$.
$\langle b_1, \dots, b_r \rangle = \ker(\alpha)^\bot, \langle b_1', \dots b_r'\rangle = \im(\alpha)$
$v = \sum_{i=1}^n \lambda_i b_i \implies \alpha(v) = \sum_{i=1}^r s_i \lambda_i b_i'$
$w = \sum_{i=1}^n \mu_i b_i'$

\[
	\norm{\alpha(v) - w}^2 = \norm{\sum_{i=1}^r s_i \lambda_i b_i' - \sum_{i=1}^m \mu_i b_i'}^2 =
	\sum_{i=1}^r (s_i \lambda_i - \mu_i)^2 + \sum_{i = r+1}^m \mu_i^2
\]
Wird minimal wenn $\lambda_i = \frac{\mu_i}{s_i}, i \in [r]$, das heißt das optimale $v$ ist durch
$v^\dagger = \alpha^\dagger(w)$ gegeben.
$\left[\text{Alle optimalen durch }v^\dagger + \sum_{j=r+1}^m \mu_j^2 = L(\alpha^* \alpha, \alpha^*(w))\right]$

\begin{satz}
	Sei $\alpha \in \homk(V, W), \K \in \{\R,\C\}, V, W$ endlich dimensional.
	Sei $w \in W$. Dann gilt mit $v^\dagger = \alpha^\dagger(w)$ dass
	\[
		\norm{\alpha(v^\dagger)-w} = \min_{v\in V} \norm{\alpha(v) - w}
	\]
	Alle Vektoren mit dieser Eigenschaft erfüllen die\\ \underline{Normalgleichungen}
	$\ontop{\alpha^* \alpha(v) = \alpha^*(w)}{A^* A x = A^* b}$
\end{satz}
\begin{proof}
	Angenommen $L(A, b) \neq \emptyset$. $\to$ Suche $v \in L(A, b)$ mit minimaler Norm:
	Sei $w \in \im(\alpha) \implies w = \sum_{j=1}^r \mu_j b_j'$
	\[
		\implies L(\alpha, w) = \left\{ \sum_{j=1}^r \frac{\mu_j}{s_j} b_j + \sum_{j=r+1}^n \lambda_j b_j:
		\lambda_{r+1}, \dots, \lambda_n \in \K\right\}
	\]
	Minimale Norm, wenn $\lambda_{r+1}, \dots, \lambda_n = 0$ das heißt für
	$v = \sum_{i=1}^r \frac{\mu_i}{s_i} b_i = \alpha^\dagger(w)$
\end{proof}

\begin{satz}
	Sei $\alpha \in \Hom(V, W), w \in \im(\alpha)$.
	Dann gilt mit $v^\dagger = \alpha^\dagger (w)$:
	\[
		\norm{v^\dagger} = \min\{\norm v: \alpha(v) = w \}
	\]
\end{satz}

\subsubsection{Beispiel (lineare Regression)}
$(t_i, y_i)_{i=1}^m$ gegeben. Wollen Polynome finden, die gut auf die Messungen passen.
Suchen also $p: p(t_i) \sim y_i, \forall i \in [m]$ \\
\begin{tikzpicture}[declare function={approx(\x) = 0.17 * \x * \x + -1.1 * \x + 4.1;}]
	\draw [red, thick] plot [domain=0:10,samples=144,smooth] (\x, {approx(\x)}) node[right,color=black]
		{$p(t) = a_0 + a_1 t + a_2 t^2$};
	\foreach[count=\i] \diff in {0.93,-0.56,-2.12,1.35,-0.83,0.87,-0.04,-1.16,-0.02,1.25,0.13,-0.62,2.71,-1.84,-0.24,1.64,-0.06,-0.52,-0.21,-1.24}
	\filldraw[ForestGreen] (\i * .5, {approx(\i * .5) + \diff * .6}) circle (.5mm);
	\draw[->] (0, 0) -- (10, 0);
	\draw[->] (0, 0) -- (0, 10);
\end{tikzpicture}
\[
	\text{minimiere }
	\sum_{i=1}^m (f(t_i) - y_i)^2 = \sum_{i=1}^m (a_0 + a_1 t_i + a_2 t_i^2 - y_i)^2 = \norm{A x -b}^2_{\K^m}
	\text{ wobei}
\]
\[
	A = \begin{pmatrix} 1 & t_1 & t_1^2 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & t_m & t_m^2 \end{pmatrix},
	x = \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{pmatrix},
	b = \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_m \end{pmatrix}
\]

\subsubsection{Anwendung: Ausgleichsquadrik}
Problem: homogenes LGS $Ax=0$. Finde $x$ mit $\norm x = 1$ und $\norm{Ax}$ minimal. \\
$b_1, \dots, b_n$ ONB aus EVen von $A^* A$ mit nichtnegativen EWen.
\begin{align*}
	X = \sum \lambda_i b_i \implies \norm{Ax}^2 & = \inner{Ax}{Ax}       \\
	                                            & = \inner{A^* A x}{x} =
	\inner{\sum s_i \lambda_i b_i}{\sum \lambda_j b_j} = \sum_{i=1}^n s_i \abs{\lambda_i}^2
\end{align*}
$s_1 \le s_2 \le \dots \le s_n, \norm x = \sum \abs{\lambda_i}^2$
\[
	\frac{\norm{Ax}}{\norm x} = \frac{\sum s_i \abs{\lambda_i}^2}{\sum \abs{\lambda_i}^2} \ge
	\frac{s_1 \sum \abs{\lambda_i}^2}{\sum \abs{\lambda_i}^2} s_1
\]
$\norm x = 1 \implies \norm{Ax} \ge s_1$
$\norm{b_i} \implies \lambda_1, \lambda_2 = \dots = \lambda_n = 0 \implies \norm{Ab_1} = s_1 \implies b_1$
löst unser Minimierungsproblem. \\
$Q = \{(x,y) \in \R^2: \psi(x, y) = 0\}$ \\
$\psi(x, y):= a_1 x^2 + a_2 xy + a_3 y^2 a_4 x + a_5 y + a_6$ \\
Gegeben: $(x_i,y_i)^m_{i=1}$ Suche $x = (a_1, \dots, a_6)^T$ mit $\norm x = 1$ sodass
\[
	\sum_{i=1}^m (a_1 x_i^2 + a_2 x_i y_i + a_3 y_i^2 + a_4 x_i + a_5 y_i + a_6)^2=\norm{Ax}^2
\]
minimal.
$A = \begin{pmatrix}
		x_1^2  & x_1 y_1 & y_1^2  & x_1    & y_1    & 1      \\
		\vdots & \vdots  & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
		x_m^2  & x_m y_m & y_m^2  & x_m    & y_m    & 1      \\
	\end{pmatrix}$ \\
Suche $x \in \R^6$ mit $\norm x = 1$ und $\norm{Ax}$ minimal.
$\implies x$ ist Eigenvektor von $A^* A$ zum kleinsten Eigenwert.

\begin{nonumbersatz}
	Sei $A \in \K^{m \times n}$ und $b \in \K^n$ Eigenvektor von $A^* A$ zum kleinsten Eigenwert $r_1$.
	Dann gilt
	\[
		\frac{\norm{Ab}}{\norm b} = \min\left\{\frac{\norm{Ax}}{\norm x}: x\in\R^n\right\} = \sqrt{r_1}
	\]
\end{nonumbersatz}

\end{document}